Dãy số có qui luật
I > Phơng pháp dự đoán và quy nạp :
Trong một số trờng hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn
Sn = a
1
+ a
2
+ a
n
(1)
Bằng cách nào đó ta biết đợc kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả).
Thì ta nên sử dụng phơng pháp này và hầu nh thế nào cũng chứng minh đợc .
Ví dụ 1 : Tính tổng S
n
=1+3+5 + + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S
1
= 1
S
2
= 1 + 3 =2
2

S
3
= 1+ 3+ 5 = 9 = 3
2Ta dự đoán Sn = n
2

Tơng tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phơng pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + + n =
2
)1( +nn
2, 1
2
+ 2
2
+ + n
2
=
6
)12)(1( ++ nnn
3, 1
3
+2
3
+ + n
3
=
2
2
)1(






+nn

2
- b
3 1
a
n
= b
n
b
n+ 1
khi đó ta có ngay : S
n
= ( b
1
b
2
) + ( b
2
b
3
) + + ( b
n
b
n + 1
) = b
1
b
n + 1

1
99
1
100.99
1
=
Do đó : S =
100
9
100
1
10
1
100
1
99
1

12
1
11
1
11
1
10
1
==+++
Dạng tổng quát S
n
=

++
++++
nnn
Ta có S
n
=








++

+
++






+









++

+
+++
)2)(1(
1
)1(
1

4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
S
n
=
)2)(1(4
)3(
)2)(1(
1

= 2! - 1! +3! 2 ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng S
n
=
[ ]
222
)1(
12

)3.2(
5
)2.1(
3
+
+
+++
nn
n
Ta có :
[ ]
;
)1(
11
)1(
12
222
+
=
+
+

2
1
)
2
1
nn
= 1-
22
)1(
)2(
)1(
1
+
+
=
+ n
nn
n
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn là tổng cần tính:
Ví dụ 6 : Tính tổng S = 1+2+2
2
+ + 2
100
( 4)
ta viết lại S nh sau : S = 1+2 (1+2+2
2
+ + 2
99
)
2

n
= 1+p ( 1+p+p
2
+ + p
n-1
)
S
n
= 1 + p ( 1+p +p
2
+ + p
n-1
+ p
n
–p
n
) =>S
n
= 1+p ( S
n
–p
n
)
 S
n
= 1 +p.S
n
–p
n+1
=>S

+ 3p
3
+ + ( n+ 1) p
n +1

= 2p –p +3p
2
–p
2
+ 4p
3
–p
3
+ + (n+1) p
n
- p
n
+ (n+1)p
n
–p
n
+ ( n+1) p
n+1
= ( 2p + 3p
2
+4p
3
+ +(n+1) p
n
) – ( p +p + p + p

++
−
−
n
n
Pn
P
P
( theo VD 7 )
L¹i cã (p-1)S
n
= (n+1)p
n+1-
1
1
1
−
−
+
P
p
n
=>S
n
=
2
11

+=+
n
i
n
i
n
i
iiii
baba
1 1 1
)(
; 2,
∑∑
==
=
n
i
i
n
i
i
aaaa
11
.
VÝ dô 9 : TÝnh tæng : S
n
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1)
Ta cã : S
n
=

∑
∑
=
=
nnn
i
nn
ni
n
i
n
i
(Theo I )
cho nªn : S
n
=
3
)2)(1(
6
)12)(1(
2
)1( ++
=
++
+
+ nnnnnnnn
VÝ dô 10 : TÝnh tæng : S
n
=1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1)
ta cã : S

)1(
6
)12)(1(3
2
+=
+
−
++
nn
nnnnn
3
Ví dụ 11 . Tính tổng S
n
= 1
3+
+2
3
+5
3
+ + (2n +1 )
3

ta có : S
n
= [( 1
3
+2
3
+3
3

3
+ + n
3
)
S
n
=
4
)1(8
4
)22()12(
2222
+

++ nnnn
( theo (I) 3 )=( n+1)
2
(2n+1)
2
2n
2
(n+1)
2

= (n +1 )
2
(2n
2
+4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều ( Học sinh lớp 6 )

*
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) (k-1) k(k+1)
=> 1.2 =
1.2.3 0.1.2
3 3


2.3.4 1.2.3
2.3
3 3

( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)
3 3
n n n n n n
n n
=
+ + +
+ =
4
S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3 3
n n n n n n + + + +
+ =
Ví dụ 15 : Chứng minh rằng : k (k+1) (k+2) (k+3) (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2)
từ đó tính tổng S = 1.2 .3 + 2.3 .4 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chứng minh : VT = k( k+1) (k+2)
[ ]
)1()3( + kk

)3n)(2n)(1n(n +++
* Bài tập đề nghị : Tính các tổng sau
1, B = 2+ 6 +10 + 14 + + 202
2, a, A = 1+2 +2
2
+2
3
+ + 2
6.2
+ 2
6 3

b, S = 5 + 5
2
+ 5
3
+ + 5
99

+ 5
100

c, C = 7 + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + 2 .5 + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 ,
5, S =
100.99
1

4.3


3
1
3
1
3
1
++++
9, S
n
=
)2)(1(
1

4.3.2
1
.3.2.1
1
++
+++
nnn
10, S
n
=
100.99.98
2

4.3.2
2
3.2.1

=?
Trong quá trình bồi dỡng học sinh giỏi , tôi đã kết hợp các dạng toán có liên quan đến dạng tính
tổng để rèn luyện cho các em , chẳng hạn dạng toán tìm x :
14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, 1 + 2 + 3 + 4 + + x = 820
c, 1 +
1991
1989
1
)1(
2

10
1
6
1
3
1
=
+
++++
xx
Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan
15, Chứng minh : a, A = 4+ 2
2
+2
3
+2
4
+ + 2

(1). Dãy 1: Sử dụng công thức tổng quát
na
1
a
1
n)a.(a
n
+
=
+
- - - Chứng minh - - -
naanaa
a
naa
na
naa
ana
naa
n
+
=
+

+
+
=
+
+
=
+


22.17
10
17.12
10
12.7
10
++++=C
d)
258.253
4

23.18
4
18.13
4
13.8
4
++++=D
Bài 1.2 : Tính:
6
a)
509.252
1

19.7
1
7.9
1
9.2

8
5
120
1

21
1
15
1
10
1
2008
=
x
b)
45
29
45.41
4

17.13
4
13.9
4
9.5
47
=+++++
x
c)
93

n
nn
b)
34
5
)34)(14(
5

15.11
5
11.7
5
7.3
5
+
=
+
++++
n
n
nn
Bài 1.5 : Chứng minh rằng với mọi
2; nNn
ta có:
15
1
)45)(15(
3

24.19

2
;
11.4
2
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy
b) Gọi S là tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy. Tính S.
Bài 1.8 : Cho
2222
9
1

4
1
3
1
2
1
++++=A
. Chứng minh
9
8
5
2
<< A
Bài 1.9 : Cho
2222
2007
2

7


9
1
5
1
+++=S
. Chứng minh:
12
1
<S
Bài 1.12 : Cho
2222
305
9

17
9
11
9
5
9
++++=A
. Chứng minh:
4
3
<A
Bài 1.13 : Cho
2
201
202.200

100.98
99

6.4
5
5.3
4
4.2
3
3.1
2
22222
+++++=B
. T×m phÇn nguyªn cña B.
∗ Bµi 1.16 : Cho
2500
2499

16
15
9
8
4
3
++++=C
. Chøng minh C > 48
∗ Bµi 1.17 : Cho
59 321
1


1
)2) ((
2
nananaananaa
n
++
−
+
=
++
Chøng minh:
)2)((
1
)(
1
)2)(()2)((
2
)2)((
)2(
)2)((
2
nananaananaa
a
nanaa
na
nanaa
ana
nanaa
n
++

2
3.2.1
2
+++=S
∗ Bµi 1.20 : Cho
20.19.18
1

4.3.2
1
3.2.1
1
+++=A
. Chøng minh
4
1
<A
∗ Bµi 1.21 : Cho
29.27.25
36

7.5.3
36
5.3.1
36
+++=B
. Chøng minh B < 3
∗ Bµi 1.22 : Cho
308.305.302
5

5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++=M
∗ Bµi 1.25 : TÝnh
100.99
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
100
1

52
1
51
1
++++
+++
=P
Bµi 1.26: TÝnh:
2007.2005
1004.1002

)12)(12(

2

12005
2

12005
2
12005
2
12005
2
20052
2
2006
2
1
2
3
2
2
+
++
+
++
+
+
+
+
+
=

=
+
++
=
+


p dng vo bi toỏn vi m {2; 2 , ., 2 } v
k { 2005, 2005 ,
2006
2
2005
} ta cú:
12005
2
12005
2
12005
2
2
2



=
+
12005
2
12005
2


2
1
2
1
2
1
++++=A
Bài 2.2: Tính:
10099432
2
1
2
1

2
1
2
1
2
1
2
1
+++=B
Bài 2.3: Tính:
9953
2
1

2

8
3
2
++++=
. Chứng minh
2
1
> nA
Bài 2.6: Cho
98
98
3
13

27
28
9
10
3
4 +
++++=B
. Chứng minh B < 100.
Bài 2.7: Cho
9932
4
5

4
5
4

2
3
1
++++=E
. Chứng minh:
4
3
<E
Bài 2.10: Cho
n
n
F
3
13

3
10
3
7
3
4
32
+
++++=
với n

N
*
. Chứng minh:
4

3
7
++++=H
. Chứng minh:
5
9
7
3 << H
Bài 2.13: Cho
10032
3
605

3
23
3
17
3
11
++++=I
. Chứng minh: I < 7
Bài 2.14: Cho
10132
3
904

3
22
3
13

.
9
8
=A
.
Bài 3.2: Cho dãy số:
,
35
1
1,
24
1
1,
15
1
1,
8
1
1,
3
1
1
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Tính tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy.
Bài 3.3: Tính:






780
1
1
15
1
1
10
1
1
6
1
1
3
1
1B
.
Bài 3.4: Cho
200
199

6
5
.
4
3
.
2
1
=C
. Chứng minh:

+






+






+






+= 1
99
1
1
4
1
1
3
1



= 1
100
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
F
.
Bài 3.8: Tính:
2222
30
899

4
15
.
3
8
.
2
3
=G

=
Bµi 3.11: Cho






−






−






−






−= 1

−






−






−=
20
1
1
4
1
1
3
1
1
2
1
1L
víi
21
1

1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1M
víi
19
11
Bµi 3.14: TÝnh:
51.49
50

5.3
4
.
4.2
3
.
3.1
2
2222
=N
Bµi 3.15: TÝnh


7
3
1
7
2
1
7
1
1P
.
Bµi 3.16: TÝnh:






−






−











−






−






−=
99
1
2
1

7
1
2
1
5



+






+






+=
101.99
1
1
5.3
1
1
4.2
1
1
3.1
1
1V
. Chøng minh V < 2.

3
1
=A
. Chøng minh:
25
1
<A
Bµi 3.22: TÝnh:
101.100
100

4.3
3
.
3.2
2
.
2.1
1
2222
=B
Bµi 3.23: TÝnh:






+





+






+






+
=
1999
1000
1
3
1000
1
2
1000
1
1
1000


−






−






−=
2
)12(
1
1
25
4
1
9
4
1
1
4
1
n

=
n
E
321
1
1
321
1
1
21
1
1

và
n
n
F
2+
=
với n

N
*
. Tính
F
E
Bài 3.26: Cho





+=
1024
2
1
1
256
1
1
16
1
1
4
1
1
2
1
1G
và
2047
2
1
=H
. Tính: G + H.
Bài 3.27: Cho
n
nn
I
2
22

3
1
1;
3
1
1;
3
1
1
16842
a) Tìm số hạng tổng quát của dãy.
b) Gọi A là tích của 11 số hạng đầu tiên của dãy. Chứng minh
A23
1

là số tự nhiên.
c) Tìm chữ số tận cùng của
A
B
23
3

=
Bài 3.29: Cho
n
nn
A
2
22
42

Bài 3.30: Cho
n
n
A
2
2
42
3
16

3
1297
.
3
37
.
3
7 +
=





+



3
1
1
3
1
1.
3
1
1
3
1
1
3
1
1
với n

N
a) Chứng minh : 5A 2B là số tự nhiên.
b) Chứng minh với mọi số tự nhiên n khác 0 thì 5A 2B chia hết cho 45.
Bài 3.31: Cho
n
nn
A
2
22
42
3
23


1

104.3
1
103.2
1
102.1
1
400.101
1

302.3
1
301.2
1
300.1
1
++++
++++
=C
Bµi 4.4: TÝnh:
100
99

4
3
3
2
2
1


53
1
52
1
51
1
++++
++++
=E
Bµi 4.6: TÝnh
121
16
11
16
16
121
15
11
15
15
:
27
8
9
8
3
8
8
27

2
1
2:
5
1
15
2
3
+






−






−






+

1
1
99
2
98

97
3
98
2
99
1
++++
−−−−−
++++
+++++
=H
Bµi 4.9: TÝnh
2941
5
41
5
29
5
5
2941
4
41
4
29

91
3
169
3
13
3
3
:
85
4
289
4
7
4
4
85
12
289
12
7
12
12
+++
+++
−−−
−−−
=K
Bµi 4.11: TÝnh
20.1516.1212.98.64.3
10.58.46.34.22.1

+






−






−
+
−






=M
Bµi 4.13: TÝnh
43
11
8:
1517
38

1.99
1
3.97
1

95.5
1
97.3
1
99.1
1
99
1

7
1
5
1
3
1
1
+++++
+++++
=Q
Bµi 4.16: TÝnh
1
199
2
198