1
BÀI GIẢI
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
(GV: Trần Ngọc Hội – 2009)

CHƯƠNG 1
NHỮNG ĐỊNH LÝ CƠ BẢN TRONG
LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Bài 1.1: Có ba khẩu súng I, II và III bắn độc lập vào một mục tiêu. Mỗi
khẩu bắn 1 viên. Xác suất bắn trúng mục tiêu cuả ba khẩu I, II và III lần
lượt là 0,7; 0,8 và 0,5. Tính xác suất để
a) có 1 khẩu bắn trúng.
b) có 2 khẩu bắn trúng.
c) có 3 khẩu bắn trúng.
d) ít nhất 1 khẩu bắn trúng.
e) khẩu thứ 2 bắn trúng biết rằng có 2 khẩu trúng.

Lời giải
Tóm tắt:
Khẩu súng I IIù III
Xác suất trúng 0,7 0,8 0,5

Gọi A
j
(j = 1, 2, 3) là biến cố khẩu thứ j bắn trúng. Khi đó A
1
, A
2
, A
3

1
, A
2
, A
3
độc lập nên theo công thức Nhân xác suất ta
có
2
123 1 2 3
123 1 2 3
123 1 233
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,7.0,2.0,5 0,07;
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0,3.0,8.0,5 0,12;
P(A A A ) P(A )P(A )P(A ) 0, 3.0, 2.0,5 0,03.
===
===
===

Suy ra P(A) = 0,22.
b) Gọi B là biến cố có 2 khẩu trúng. Ta có
123 123 123
B AAA AAA AAA=++
Tính toán tương tự câu a) ta được P(B) = 0,47.
c) Gọi C là biến cố có 3 khẩu trúng. Ta có
123
C AAA.
=

Tính toán tương tự câu a) ta được P(C) = 0,28.
d) Gọi D là biến cố có ít nhất 1 khẩu trúng. Ta có

2
B)=0,4
Suy ra P(A
2
/B) =0,851.

Bài 1.2: Có hai hộp I và II mỗi hộp chứa 10 bi, trong đó hộp I gồm 9 bi
đỏ, 1 bi trắng; hộp II gồm 6 bi đỏ, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp
2 bi.
a) Tính xác suất để được 4 bi đỏ.
b) Tính xác suất để được 2 bi đỏ và 2 bi trắng.
c) Tính xác suất để được 3 bi đỏ và 1 bi trắng.
d) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Hãy tìm xác suất để bi trắng
có được của hộp I.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
3
Lời giải

Gọi A
i
, B
i
(i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi đỏ và (2 - i) bi
trắng có trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II.
Khi đó
- A
0


- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc từng đôi và ta có:

02
64
0
2
10
11
64
1
2
10
20
64
2
2
10
6
P(B ) ;
45
24
P(B ) ;
45

B
2

A
0
0 1 2
A
1
1 2 3
A
2
2 3 4

a) Gọi A là biến cố chọn được 4 bi đỏ. Ta có:
A = A
2
B
2
.
Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:

22
36 15
P(A) P(A )P(B ) . 0,2667.
45 45
===
b) Gọi B là biến cố chọn được 2 bi đỏ và 2 bi trắng. Ta có:

2
+ A
1
B
1
+ A
2
B
0
) = P(A
0
B
2
) + P(A
1
B
1
) + P(A
2
B
0
)
Từ đây, do tính độc lập , Công thức nhân xác suất thứ nhất cho ta:
P(B) = P(A
0
)P(B
2
) + P(A
1
)P(B

d) Giả sử đã chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng. Khi đó biến cố C đã
xảy ra. Do đó xác suất để bi trắng có được thuộc hộp I trong trường hợp
này chính là xác suất có điều kiện P(A
1
/C). Theo Công thức nhân xác
suất , ta có
11
P(A C) P(C)P(A /C)
=
.
Suy ra
1
1
P(A C)
P(A /C)
P(C)
=
.
Mà A
1
C = A
1
B
2
nên11212
915
P(A C) P(A B ) P(A )P(B ) . 0, 0667.

2
T
3
.

Suy ra P(A) = P(T
1
T
2
T
3
) = P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(T
3
/ T
1
T
2
)
= (6/10)(5/9)(4/8) = 0,1667.

b) Gọi B là biến cố khách hàng dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Ta có:

B = X
1

3
T
4
) + P(T
1
X
2
T
3
T
4
) + P(T
1
T
2
X
3
T
4
)
= P(X
1
) P(T
2
/X
1
) P(T
3
/X
1

3
)
+ P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(X
3
/ T
1
T
2
) P(T
4
/ T
1
T
2
X
3
)
= (4/10)(6/9)(5/8)(4/7) + (6/10)(4/9)(5/8)(4/7)+(6/10)(5/9)(4/8)(4/7)
= 3(4/10)(6/9)(5/8)(4/7) = 0,2857.

c) Giả sử khách hàng đã dừng lại ở lần kiểm tra thứ 4. Khi đó biến
cố B đã xảy ra. Do đó xác suất để ở lần kiểm tra thứ 3 khách hàng
gặp sản phẩm xấu trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện
P(X

T
2
X
3
T
4
) = P(T
1
) P(T
2
/T
1
) P(X
3
/ T
1
T
2
) P(T
4
/ T
1
T
2
X
3
)
= (6/10)(5/9)(4/8)(4/7) = 0,0952.

Suy ra P(X

⎡
⎢
−−−
⎢
⎢
−−−
⎣

Suy ra
A = T
1
T
2
X
3
D
4
+ T
1
X
2
T
3
D
4
+ X
1
T
2
T

Theo Công thức Nhân xác suất, ta có
P(T
1
T
2
X
3
D
4
) = P(T
1
)P(T
2
/T
1
)P(X
3
/T
1
T
2
)P(D
4
/T
1
T
2
X
3
)

)
= (4/12)(3/11)(3/10)(5/9) = 1/66;

P(X
1
T
2
T
3
D
4
) = P(X
1
)P(T
2
/X
1
)P(T
3
/X
1
T
2
)P(D
4
/X
1
T
2
T

D
2
+ X
1
X
2
D
3
+ X
1
X
2
X
3
D
4

Từ đây, do tính xung khắc từng đôi của các biến cố thành phần, ta có:
P(B) = P(D
1
)+ P(X
1
D
2
) + P(X
1
X
2
D
3

1
X
2
)
+ P(X
1
)P(X
2
/X
1
)P(X
3
/X
1
X
2
)P(D
4
/X
1
X
2
X
3
)

= 5/12+ (3/12)(5/11) + (3/12)(2/11)(5/10) + (3/12)(2/11)(1/10)(5/9)
= 5/9
3
lần lượt là các biến cố sản phẩm do phân xưởng I, II, III sản
xuất. Khi đó A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
P(A
1
) = 30% = 0,3; P(A
2
) = 45% = 0,45; P(A
3
) = 25% = 0,25.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(B) = P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/A
2
) + P(A
3
)P(B/A
3
)


11
1
22
2
33
3
P(A )P(B/A ) 0, 3.0,7 21
P(A /B) ;
P(B) 0, 66 66
P(A )P(B/A ) 0,45.0, 5 22,5
P(A /B) ;
P(B) 0, 66 66
P(A )P(B/A ) 0,25.0,9 22,5
P(A /B) .
P(B) 0, 66 66
===
===
===

Vì P(A
2
/B) = P(A
3
/B) > P(A
1
/B) nên sản phẩm loại A ấy có khả năng
do phân xưởng II hoặc III sản xuất ra là nhiều nhất.

c) Chọn mua ngẫu nhiên 121 sản phẩm X (trong rất nhiều sản phẩm X)

sản phẩm loại A trong ba cửa hàng I, II và III lần lượt là 70%, 75% và
50%. Một khách hàng chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một
sản phẩm
a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.
b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người
khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?

Lời giải

Tóm tắt:
Cửa hàng I II III
Tỉ lệ loại A 70% 75% 50%

Chọn nhẫu nhiên một cửa hàng và từ đó mua một sản phẩm.

a) Tính xác suất để khách hàng mua được sản phẩm loại A.

Gọi B là biến cố sản phẩm chọn mua thuộc loại A.
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố chọn cửa hàng I, II, III. Khi đó A
1
, A
2
,
A

) = 75% = 0,75;
P(B/A
3
= 50% = 0,5.

Suy ra P(B) = 0,65 = 65%. Vậy xác suất để khách hàng mua được sản
phẩm loại A là 65%.

b) Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Theo bạn, khả năng người
khách hàng ấy đã chọn cửa hàng nào là nhiều nhất?

Giả sử đã mua được sản phẩm loại A. Khi đó biến cố B đã xảy ra. Do đó,
để biết sản phẩm loại A đó có khả năng khách hàng ấy đã chọn cửa
hàng nào là nhiều nhất ta cần so sánh các xác suất có điều kiện P(A
1
/B),
10
P(A
2
/B) và P(A
3
/B). Nếu P(A
i
/B) là lớn nhất thì cửa hàng thứ i có nhiều
khả năng được chọn nhất.
Theo công thức Bayes ta có:

11
1
22

để trong ba bi lấy được từ hộp I có hai bi đỏ và một bi trắng.

Lời giải

Gọi A là biến cố chọn được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
A
i
(i = 0, 1, 2, 3) là biến cố có i bi đỏ và (3-i) bi trắng có trong 3 bi chọn
ra từ hộp I. Khi đó A
0
, A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
ta có:
03
84
0
3
12
12
84
1
3
12
21
84

==
==

a) Tính xác suất để lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
11
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:
P(A)=P(A
0
)P(A/A
0
)+P(A
1
)P(A/A
1
)+P(A
2
)P(A/A
2
)+P(A
3
)P(A/A
3
)
Theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có
31
510
0
4
15

C
CC
C
CC
C
==
==
==
==

Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 0,2076.

b) Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Tìm xác suất để
trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi trắng.

Giả sử đã lấy được 3 bi đỏ và 1 bi trắng từ hộp II. Khi đó biến cố A đã
xảy ra. Do dó xác suất để trong 3 bi lấy được từ hộp I có 2 bi đỏ và 1 bi
trắng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện P(A
2
/A). p
dụng công thức Bayes, ta có:
22
2
112 280
.
P(A )P(A/A )
220 1365
P(A /A) 0,5030.
P(A) 0, 2076
===

22
33
14
P(A ) ; P(A ) ;
55
23
P(A ) ;P(A ) ;
55
32
P(A ) ;P(A ) .
55
==
==
==

1) Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi trắng. Ta có
123
A
AAA.
=

Suy ra P(A) = P(A
1
) P(A
2
) P(A
3
) = 0,048.

2) Gọi B là biến cố lấy 2 bi đen, 1 bi trắng. Ta có

Suy ra
P(A
1
/B) =0,1034 .
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 3 bi.
Tính xác suất được cả 3 bi đen.

Gọi A là biến cố lấy được cả 3 bi đen.
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, II, III. Khi đó A
1
, A
2
,
A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) = 1/3.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

==

Suy ra P(A) = 0,1667.

Bài 1.9:
Có 20 hộp sản phẩm cùng lọai, mỗi hộp chứa rất nhiều sản
phẩm, trong đó có 10 hộp của xí nghiệp I, 6 hộp của xí nghiệp II và
4 hộp của xí nghiệp III. Tỉ lệ sản phẩm tốt của các xí nghiệp lần
lượt là 50%, 65% và 75%. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp và chọn ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm từ hộp đó.

a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm
tốt.
b) Giả sử trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩåm tốt. Tính
xác suất để 2 sản phẩm tốt đó của xí nghiệp I.

Lời giải

Gọi A là biến cố trong 3 sản phẩm chọn ra có đúng 2 sản phẩm tốt.
A
j
(j = 1, 2, 3) là biến cố chọn được hộp của xí nghiệp thứ j.
Khi đó A
1
, A
2
, A
3
là một đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
1

==
==

Mặt khác, từ giả thiết, theo công thức Bernoulli, ta có
22
13
22
23
22
33
P(A / A ) C (0, 5) (1 0, 5) 0, 375
P(A / A ) C (0,65) (1 0,65) 0, 443625
P(A / A ) C (0,75) (1 0,25) 0, 421875
=−=
=−=
=−=

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(A) = P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3


Xếp loại sinh viên Giỏi Khá Trung bình
Số lượng 3 4 3
Số câu trả lời được/20 20 16 10

Gọi A là biến cố sinh viên trả lời được cả 3 câu hỏi.
A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố sinh viên thuộc loại Giỏi, Khá;
Trung bình.

Yêu cầu của bài toán là tính xác suất có điều kiện P(A
2
/A).

Các biến cố A
1
, A
2
, A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi, và ta có:
P(A
1
) = 3/10; P(A
2

20
40
16 4
2
4
20
40
10 10
3
4
20
C
P(A / A ) 1;
C
C C 1820
P(A / A ) ;
C4845
CC 210
P(A / A ) .
C4845
==
==
==

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
15
Suy ra P(A
2
/A) = 0,3243.


1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
)+ P(A
3
)P(A/A
3
) +
P(A
4
)P(A/A
4
).
trong đó
11
18 10
0
2
28
CC
10
P(A/A ) =
21
C
=
(Vì khi A

Bây giờ ta tính P(A
0
); P(A
1
); P(A
2
); P(A
3
); P(A
4
).
Gọi B
i
, C
i
(i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i bi trắng và (2 - i) bi
đen có trong 2 bi được chọn ra từ hộp I, hộp II. Khi đó

- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc và ta có:

02 11 20
10 8 10 8 10 8
012
222

- B
i
và C
j độc lập.

- Tổng số bi trắng có trong 4 bi chọn ra phụ thuộc vào các biến cố B
i
và
C
j
theo bảng sau:

C
0
C
1
C
2

B
0
0 1 2
B
1
1 2 3
B
2

1
) + P(B
1
)P(C
0
) = 848/4641.
A
2
= B
0
C
2
+ B
1
C
1
+ B
2
C
0
⇒ P(A
2
) = P(B
0
)P(C
2
)+P(B
1
)P(C
1

2
C
2
⇒ P(A
4
) = P(B
2
)P(C
2
) = 20/221.

Từ đó suy ra P(A) = 0,5080. Bài 1.12: Có hai hộp cùng cỡ. Hộp thứ nhất chứa 4 bi trắng 6 bi xanh,
hộp thứ hai chứa 5 bi trắng và 7 bi xanh. Chọn ngẫu nhiên một hộp rồi
từ hộp đó lấy ra 2 bi thì được 2 bi trắng. Tính xác suất để viên bi tiếp
theo cũng lấy từ hộp trên ra lại là bi trắng.

Lời giải

Gọi A
1
là biến cố 2 bi lấy đầu tiên là bi trắng.
A
2
là biến cố bi lấy lần sau là bi trắng.
Bài tóan yêu cầu tính P(A
2
/A

1
, B
2
lần lượt là các biến cố chọn được hộp I, hộp II. Khi đó B
1
, B
2

là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có: P(B
1
) = P(B
2
) = 0,5.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
P(A
1
) = P(B
1
) P(A
1
/ B
1
) + P(B
2
) P(A
1
/ B
2
)
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

1
A
2
) = P(B
1
) P(A
1
A
2
/ B
1
) + P(B
2
) P(A
1
A
2
/ B
2
).
Mà
12 1 1 1 2 11
12 2 1 2 2 12
62 1
P(A A / B ) P(A / B )P(A / A B ) ;
45 8 30
10 3 1
P(A A /B ) P(A /B )P(A /A B ) .
66 10 22
===

, A
2
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và
10 01
ab ab
12
11
ab ab
CC CC
ab
P(A ) ; P(A ) .
Cab Cab
++
== ==
++

Theo công thức Bayes, ta có
11 11
1
1122
P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A )
P(A / A)
P(A) P(A )P(A / A ) P(A )P(A / A )
==
+

Mà

10 10
a1 b a b1

+−
+
+
+− + +−Bài 1.14: Có 3 hộp phấn, trong đó hộp I chứa 15 viên tốt và 5 viên xấu,
hộp II chứa 10 viên tốt và 4 viên xấu, hộp III chứa 20 viên tốt và 10 viên
xấu. Ta gieo một con xúc xắc cân đối. Nếu thấy xuất hiện mặt 1 chấm thì
ta chọn hộp I; nếu xuất hiện mặt 2 hoặc 3 chấm thì chọn hộp II, còn xuất
hiện các mặt còn lại thì chọn hộp III. Từ hộp được chọn lấy ngẫu nhiên
ra 4 viên phấn. Tìm xác suất để lấy được ít nhất 2 viên tốt.

Lời giải

Gọi A là biến cố chọn được ít nhất 2 viên phấn tốt.
A
j
(j =1,2, 3) là biến cố chọn được hộp thứ j. Khi đó A
1
, A
2
, A
3
là hệ
đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
- A
1
xảy ra khi và chỉ khi thảy con xúc xắc, xuất hiện mặt 1 chấm, do
đó P(A

10 4 10 4 10 4
2
444
14 14 14
22 31 40
20 10 20 10 20 10
3
444
30 30 30
C C C C C C 4690
P(A / A ) ;
C C C 4845
CC CC CC 960
P(A / A ) ;
C C C 1001
C C C C C C 24795
P(A / A ) .
C C C 27405
=++=
=++=
=++=Suy ra P(A) =0,9334.

Bài 1.15: Có hai kiện hàng I và II. Kiện thứ nhất chứa 10 sản phẩm,
trong đó có 8 sản phẩm loại A. Kiện thứ hai chứa 20 sản phẩm, trong đó
có 4 sản phẩm loại A. Lấy từ mỗi kiện 2 sản phẩm. Sau đó, trong 4 sản
phẩm thu được chọn ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Tính xác suất để trong 2
sản phẩm chọn ra sau cùng có đúng 1 sản phẩm loại A.

)P(C/A
1
) + P(A
2
)P(C/A
2
) + P(A
3
)P(C/A
3
)
+ P(A
4
)P(C/A
4
).

Ta có:
0
11
13
1
2
4
11
22
2
2
4
11

); P(A
3
).
Gọi B
i
, C
i
(i = 0, 1, 2) lần lượt là các biến cố có i sp A và (2 - i) sp B
có trong 2 sp được chọn ra từ kiện I, kiện II. Khi đó
- B
0
, B
1
, B
2
xung khắc từng đôi và ta có:
02
82
0
2
10
11
82
1
2
10
20
82
2
2

416
0
2
20
11
416
1
2
20
20
416
2
2
20
120
P(C ) ;
190
64
P(C ) ;
190
6
P(C ) ;
190
CC
C
CC
C
CC
C
==

1 2 3
B
2
2 3 4

Ta có:
A
1
= B
0
C
1
+ B
1
C
0
.
A
2
= B
0
C
2
+ B
1
C
1
+ B
2
C

a) Tính xác suất để mục tiêu bò diệt.
b) Giả sử mục tiêu đã bò diệt. Tính xác suất có 10 viên trúng.

Lời giải
Tóm tắt:
- Số viên bắn ra: 10 viên.
- Xác suất trúng của mỗi viên: 0,8.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
21

Số viên trúng 1 2-9 10
Xác suất mục tiêu bò diệt 20% 80% 100%

a) Gọi A là biến cố mục tiêu bò diệt.
A
0
, A
1
, A
2
, A
3
lần lượt là các biến cố có 0; 1; 2-9; 10 viên trúng. Khi
đó, A
0
, A
1
, A
2
, A

)P(A/A
3
).

Theo công thức Bernoulli với n =10; p = 0,8, q = 0,2, ta có
10 10
0
19 9
110
10 10
3
10 9 10
2013
P(A ) q (0,2) ;
P(A ) C pq 10(0,8)(0, 2) ;
P(A ) p (0, 8) ;
P(A ) 1 P(A ) P(A ) P(A ) 1 (0,2) 10(0,8)(0,2) (0,8) .
==
==
==
=− − − =− − −

Suy ra P(A) = 0,8215.

b) Giả sử mục tiêu đã bò diệt. Khi đó biến cố A đã xảy ra. Do đó xác
suất có 10 viên trúng trong trường hợp này chính là xác suất có điều kiện
P(A
3
/A).
Theo công thức Bayes, ta có:

phẩm không thuộc loại A có trong 3 sản phẩm lấy từ lô hàng.
Khi đó
- A
0
, A
1
, A
2
xung khắc từng đôi và theo công thức Bernoulli với n = 2; p
= 0,6; q = 0,4 ta có:
0
02 2
0
2
1
11
1
2
2
20 2
2
2
P(A ) p q (0,4) 0,16;
P(A ) p q 2(0,6)(0,4) 0,48;
P(A ) p q (0, 6) 0, 36.
C
C
C
===
== =

10
30
64
3
3
10
4
P(B ) ;
120
36
P(B ) ;
120
60
P(B ) ;
120
20
P(B ) .
120
CC
C
CC
C
CC
C
CC
C
==
==
==
==

)P(B
0
)+ P(A
1
)P(B
1
)+ P(A
2
)P(B
2
) = 0,3293.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
23
b) Gọi D là biến cố có 2 sản phẩm loại A trong 5 sản phẩm có được.
Giả sử trong 5 sản phẩm trên có 2 sản phẩm loại A. Khi đó biến cố D đã
xảy ra. Do đó, xác suất để 2 sản phẩm loại A đó đều do máy sản xuất
chính là xác suất có điều kiện P(A
2
/D).
Theo công thức nhân xác suất ta có:
2
2
P(A D)
P(A /D) .
P(D)
=

Nhận xét rằng tổng số sản phẩm loại A có trong 5 sản phẩm thu được
phụ thuộc vào các biến cố A

B
1
+ A
2
B
0
và A
2
D = A
2
B
0
.

Từ đây, ta tính được P(D) = 0,236 ; P(A
2
D) = 0,012. Suy ra xác suất cần
tìm là

P(A
2
/D) = 0,0508.

Bài 1.18: Có hai lô hàng, mỗi lô chứa 60% sản phẩm tốt, trong đó lô I
chứa 15 sản phẩm, lô II chứa rất nhiều sản phẩm. Từ lô II lấy ra 3 sản
phẩm bỏ vào lô I, sau đó từ lô I lấy ra 2 sản phẩm.
a) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I.
b) Tính xác suất lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, trong đó sp tốt có
trong lô I từ trước.
c) Giả sử đã lấy được 1sp tốt, 1sp xấu t

== =
== =
===

24
a) Gọi A là biến cố lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(A) = P(A
0
)P(A/A
0
) + P(A
1
)P(A/A
1
) + P(A
2
)P(A/A
2
) + P(A
3
)P(A/A
3
).

Từ giả thiết ta suy ra trong lô I có 15.60% = 9 sp tốt và 6 sp xấu. Do đó
theo công thức tính xác suất lựa chọn, ta có:
11
99

==
==
==
==

Suy ra xác suất cần tìm là: P(A) = 0,5035

b) Gọi B là biến cố lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I, trong đó sp tốt có
trong lô I từ trước. Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(B) = P(A
0
)P(B/A
0
) + P(A
1
)P(B/A
1
) + P(A
2
)P(B/A
2
) + P(A
3
)P(B/A
3
).

Ta có:
11

C153
==
==
==
==

Suy ra xác suất cần tìm là: P(B) = 0,4235.

c) Giả sử đã lấy được 1sp tốt, 1sp xấu từ lô I. Khi đó biến cố A đã xảy ra.
Do đó xác suất đã lấy được 2sp tốt, 1sp xấu từ lô II trong trường hợp này
chính là XS có điều kiện P(A
2
/A). Theo công thức Bayes, ta có:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
25
22
2
77
0, 432.
P(A )P(A / A )
153
P(A / A) 0, 4318.
P(A) 0,5035
===*


- Gọi X
1
là ĐLNN chỉ số chai bia SG bò bể trong một chuyến. Khi đó,
X
1
có phân phối nhò thức X
1
∼ B(n
1
,p
1
) với n
1
= 1000 và p
1
= 0,2% =
0,002. Vì n
1
khá lớn và p
1
khá bé nên ta có thể xem X
1
có phân phân
phối Poisson:
X
1
∼ P(a
1
) với a

20
2
11
e2
P(X 1) 1 P(X 0) 1 1 e 0, 8647.
0!
−
−
≥=− ==− =− =

b) Tính xác suất để lái xe được thưởng.
Theo giả thiết, lái xe được thưởng khi có không quá 1 chai bò bể, nghóa
là

X
1
+ X
2
+ X
3
≤ 1.

Vì X
1
∼ P(2);X
2
∼ P(2,2); X
3
∼ P(2,4) nên X
1

0! 1!
−−
+
= 0,0103.

c) Lái xe phải chở ít mất mấy chuyến để xác suất có ít nhất một chuyến
được thưởng không nhỏ hơn 0,9?

Gọi n là số chuyến xe cần thực hiện và A là biến cố có ít nhất 1 chuyến
được thưởng. Yêu cầu bài toán là xác đònh n nhỏ nhất sao cho P(A) ≥ 0,9.
Biến cố đối lập của A là:
A
không có chuyến nào được thưởng.
Theo câu b), xác suất để lái xe được thưởng trong một chuyến là p =
0,0103. Do đó theo công thức Bernoulli ta có:
nn
n
P(A) 1 P(A) 1 q 1 (1 0,0103)
1 (0,9897) .
=− =− =− −
=−Suy ra
n
n
P(A) 0, 9 1 (0,9897) 0,9
(0,9897) 0,1
n ln(0, 9897) ln 0, 1
ln 0,1

1
là ĐLNN chỉ số linh kiện A bò hỏng trong một máy tính. Khi
đó, X
1
có phân phối nhò thức X
1
∼ B(n
1
,p
1
) với n
1
= 1000 và p
1
=
0,02% = 0,0002. Vì n
1
khá lớn và p
1
khá bé nên ta có thể xem X
1
có
phân phân phối Poisson:
X
1
∼ P(a
1
) với a
1
= n


0,1 0
0,1
22
e (0, 1)
P(X 1) 1 P(X 0) 1 1 e 0, 0952.
0!
−
−
≥ =− = =− =− =

b) Tính xác suất để máy tính ngưng hoạt động.
4
Theo giả thiết, máy tính ngưng hoạt động khi số linh kiện hỏng nhiều
hơn 1, nghóa là khi
X
1
+ X
2
+ X
3
> 1.

Vì X
1
∼ P(0,2);X
2
∼ P(0,1); X
3
∼ P(0,1) nên X

1
+ X
2
+ X
3
= 1)] =
0,4 0 0,4 1
e(0,4) e(0,4)
1
0! 1!
−−
−−
= 1-1,4.e
-0,4
= 0,0615 = 6,15%.

c) Giả sử trong máy đã có 1 linh kiện hỏng. Khi đó máy tính ngưng
hoạt động khi có thêm ít nhất 1 linh kiện hỏng nữa, nghóa là khi

X
1
+ X
2
+ X
3
≥ 1.

Suy ra xác suất để máy tính ngưng hoạt động trong trường hợp này là:

P(X

100kg
2
. Những sản phẩm có trọng lượng từ 45kg đến 70kg được xếp vào
loại A. Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm (trong rất nhiều sản phẩm). Tính
xác suất để
a) có đúng 70 sản phẩm loại A.
b) có không quá 60 sản phẩm loại A.
c) có ít nhất 65 sản phẩm loại A.

Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để một sản phẩm thuộc loại A.

Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
5
Gọi X
0
là trọng lượng của loại sản phẩm đã cho. Từ giả thiết ta suy ra
X
0
có phân phối chuẩn X
0
∼ N(μ
0
, σ
0
2
) với μ
0
= 50, σ

100 sản phẩm được kiểm tra, thì X có phân phối nhò thức X ∼ B(n,p)
với n = 100, p = 0,6687. Vì n = 100 khá lớn và p = 0,6687 không
quá gần 0 cũng không quá gần 1 nên ta có thể xem X có phân phối
chuẩn như sau:
X ∼ N(μ, σ
2
)
với μ = np = 100.0,6687 = 66,87;
npq 100.0, 6687.(1 0,6687) 4,7068.σ= = − =
a) Xác suất để có 70 sản phẩm loại A làø:
1 70 1 70 66, 87
P(X 70) f( ) f( )
4,7068 4,7068
1 0, 3209
f (0, 66) 0, 0681 6,81%.
4,7068 4,7068
−μ −
== =
σσ
====

(Tra bảng giá trò hàm Gauss ta được f(0,66) = 0,3209).

b) Xác suất để có không quá 60 sản phẩm loại A là:

60 0 6066,87 066,87
P(0X60)( )( )( )( )
4,7068 4,7068
( 1,46) ( 14,21) (1, 46) (14, 21) (1, 46) (5)
0,4279 0,5 0,0721 7,21%.

0,1554).

Bài 2.4: Sản phẩm trong một nhà máy được đóng thành từng kiện, mỗi
kiện gồm 14 sản phẩm trong đó có 8 sản phẩm loại A và 6 sản phẩm loại
B. Khách hàng chọn cách kiểm tra như sau: từ mỗi kiện lấy ra 4 sản
phẩm; nếu thấy số sản phẩm thuộc loại A nhiều hơn số sản phẩm thuộc
loại B thì mới nhận kiện đó; ngược lại thì loại kiện đó. Kiểm tra 100
kiện (trong rất nhiều kiện). Tính xác suất để
a) có 42 kiện được nhận.
b) có từ 40 đến 45 kiện được nhận.
c) có ít nhất 42 kiện được nhận.
Lời giải

Trước hết ta tìm xác suất để một kiện được nhận.
Theo giả thiết, mỗi kiện chứa 14 sản phẩm gồm 8A và 6B. Từ mỗi kiện
lấy ra 4 sản phẩm; nếu thấy số sản phẩm A nhiều hơn số sản phẩm B,
nghóa là được 3A,1B hoặc 4A, thì mới nhận kiện đó. Do đó xác suất để
một kiện được nhận là:

31 40
86 86
444
44
14 14
CC CC
P (3 k 4) P (3) P (4) 0, 4056
CC
≤≤ = + = + =

Vậy xác suất để một kiện được nhận là p = 0,4056.

P(40 X 45) ( ) ( ) ( ) ( )
4,9101 4,9101
(0,90) ( 0,11) (0,90) (0,11) 0,3159 0, 0438 0,3597 35, 97%.
−
μ
−
μ
−−
≤ ≤ =ϕ −ϕ =ϕ −ϕ
σσ
=ϕ −ϕ− =ϕ +ϕ = + = =(Tra bảng giá trò hàm Laplace ta được ϕ (0,9) = 0,3519; ϕ (0,11) =
0,0438).

c) Xác suất để có ít nhất 42 kiện được nhận làø

100 42 100 40, 56 42 40,56
P (42 X 100) ( ) ( ) ( ) ( )
4,9101 4,9101
(12) (0,29) 0,50 0,1141 0,3859 38, 59%.
−
μ
−
μ
−−
≤ ≤ =ϕ −ϕ =ϕ −ϕ
σσ
=ϕ −ϕ = − = =

1
, A
2
lần lượt là các biến cố kiện hàng thuộc loại I, II. Khi đó A
1
,
A
2
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có
P(A
1
) = 0,9; P(A
2
) = 0,1.
Theo công thức xác suất đầy đủ ta có:
P(C) = P(A
1
) P(C/A
1
) + P(A
2
) P(C/A
2
).

Theo giả thiết, từ mỗi kiện lấy ra 2 sản phẩm; nếu cả 2 sản phẩm thuộc
loại A thì mới nhận kiện đó. Do đó:

20
64

npq 144.0,3622.(1 0,3622) 5,7676.σ= = − =

a) Xác suất để có 53 kiện được nhận là P(X=53) = 6,84% (Tương tự Bài
21).
b) Xác suất để có từ 52 đến 56 kiện được nhận là P(52 ≤ X ≤ 56) =
26,05% (Tương tự Bài 21).
c) Phải kiểm tra ít nhất bao nhiêu kiện để xác suất có ít nhất 1 kiện
được nhận không nhỏ hơn 95%?

Gọi n là số kiện cần kiểm tra và D là biến cố có ít nhất 1 kiện được nhận.
Yêu cầu bài toán là xác đònh n nhỏ nhất sao cho P(D) ≥ 0,95.
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
9
Biến cố đối lập của D là
D
: không có kiện nào được nhận.
Theo chứng minh trên, xác suất để một kiện được nhận là p = 0,3622.
Do đó
Theo công thức Bernoulli ta có:
nnn
P(D) 1 P(D) 1 q 1 (1 0, 3622) 1 (0, 6378) .=− =− =− − =−

Suy ra
n
n
P(D) 0, 95 1 (0, 6378) 0, 95
(0,6378) 0,05
n ln(0,6378) ln 0, 05
ln 0,05
n 6,6612

là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A
1
) = P(A
2
) = 0,5.
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 ≤ k ≤ 100, ta có:

112 2
12
P(X = k) = P(A )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A )
11
=P(X=k/A)+P(X=k/A)
22
(1)
Như vậy, gọi X
1
, X
2
lần lượt là các ĐLNN chỉ số sản phẩm đạt tiêu
chuẩn trong trường hợp chọn được máy 1, máy 2. Khi đó:
• (1) cho ta
12
11
P(X = k) = P(X =k)+ P(X =k)
22

10
• X
1

1
p
1
= 100.0,8 = 80;
1111
n p q 100.0, 8.0,2 4.σ= = =
• X
2
có phân phối nhò thức X
2
∼ B(n
2
,p
2
) với n
2
= 100, p
2
= 60% =
0,60. Vì n
2
= 100 khá lớn và p
2
= 0,60 không quá gần 0 cũng
không quá gần 1 nên ta có thể xem X
2
có phân phối chuẩn như
sau:
X
2

+
σσ σσ
−−
+−+
+=b) Xác suất để có từ 70 đến 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn là:
12
11 2 2
11 2 2
11
P(70 X 90) = P(70 X 90)+ P(70 X 90)
22
90 70 90 70
11
=[( ) ( )] [( ) ( )]
22
1 90 80 70 80 1 90 60 70 60
=[( ) ( )] [( ) ( )]
2 4 4 2 4,899 4,899
1
= [ (2,5) ( 2,5) (6,12) (2, 04)]
2
1
= (0,49379 0,
2
≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤
−μ −μ −μ −μ
ϕ−ϕ +ϕ−ϕ

2
lần lượt là các biến cố chọn được máy 1, máy 2.
Khi đó A
1
, A
2
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và ta có:
P(A
1
) = P(A
2
) = 0,5.
Theo công thức xác xuất đầy đủ, với mỗi 0 ≤ k ≤ 100, ta có:

112 2
12
P(X = k) = P(A )P(X=k/A ) + P(A )P(X= k/A )
11
=P(X=k/A)+P(X=k/A)
22
(1)
Như vậy, gọi X
1
, X
2
lần lượt là các ĐLNN chỉ số phế phẩm trong trường
hợp chọn được máy 1, máy 2. Khi đó:
• (1) cho ta
12
11

= n
1
p
1
= 1000.0,01 = 10, nghóa là X
2
∼ P(10).

• X
2
có phân phối nhò thức X
2
∼ B(n
2
,p
2
) với n
2
= 1000 và p
2
= 2% =
0,002. Vì n
2
khá lớn và p
2
khá bé nên ta có thể xem X
2
có phân
phân phối Poisson:
X

22
1e101e20
=31,35%
2k!2k!
−−
==
≤≤ ≤ ≤ ≤ ≤
+=
∑∑ 12
Bài 2.8: Một xí nghiệp có hai máy I và II. Trong ngày hội thi, mỗi công
nhân dự thi được phân một máy và với máy đó sẽ sản xuất 100 sản
phẩm. Nếu số sản phẩm loại A không ít hơn 70 thì công nhân đó sẽ được
thưởng. Giả sử đối với công nhân X, xác suất sản xuất được 1 sản phẩm
loại A với các máy I và II lần lượt là 0,6 và 0,7.
a) Tính xác suất để công nhân X được thưởng.
b) Giả sử công nhân X dự thi 50 lần. Số lần được thưởng tin chắc nhất là
bao nhiêu?

Lời giải

Gọi Y là ĐLNN chỉ số sản phẩm loại A có trong 100 sản phẩm được sản
xuất.
A
1
, A
2
lần lượt là các biến cố chọn được máy I, máy II.

22

• X
1
có phân phối nhò thức X
1
∼ B(n
1
,p
1
) với n
1
= 100, p
1
= 0,6. Vì
n
1
= 100 khá lớn và p
1
= 0,6 không quá gần 0 cũng không quá gần
1 nên ta có thể xem X
1
có phân phối chuẩn như sau:
X
1
∼ N(μ
1
, σ
1
2

có phân phối chuẩn như sau:
X
2
∼ N(μ
2
, σ
2
2
)
với μ
1
= n
2
p
2
= 100.0,7 = 70;
2222
n p q 100.0,7.0,3 4,5826.σ= = =

a) Xác suất để công nhân X được thưởng là:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
13
12
11 22
11 22
11
P(70 Y 100) = P(70 X 100)+ P(70 X 100)
22
100 70 100 7011
=[( ) ( )] [( ) ( )]

=⇔ −≤≤ −+
⇔−≤≤−+
⇔≤≤ ⇔=Vậy số lần được thưởng tin chắc nhất của công nhân X là 13 lần.

Bài 2.9: Trong ngày hội thi, mỗi chiến só sẽ chọn ngẫu nhiên một trong
hai loại súng và với khẩu súng chọn được sẽ bắn 100viên đạn. Nếu có từ
65 viên trở lên trúng bia thì được thưởng. Giả sử đối với chiến só A, xác
suất bắn 1 viên trúng bia bằng khẩu súng loại I là 60% và bằng khẩu
súng loại II là 50%.
a) Tính xác suất để chiến só A được thưởng.
b) Giả sử chiến só A dự thi 10 lần. Hỏi số lần được thưởng tin chắc nhất
là bao nhiêu?
c) Chiến só A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có
ít nhất một lần được thưởng không nhỏ hơn 98%?

Lời giải

Gọi X là ĐLNN chỉ số viên trúng trong 100 viên được bắn ra.
Gọi A
1
, A
2
lần lượt là các biến cố chọn được khẩu súng loại I, II.
Khi đó A
1
, A
2

có phân phối nhò thức X
1
∼ B(n
1
,p
1
) với n
1
= 100, p
1
= 0,6. Vì n
1

= 100 khá lớn và p
1
= 0,6 không quá gần 0 cũng không quá gần 1
nên ta có thể xem X
1
có phân phối chuẩn như sau:
X
1
∼ N(μ
1
, σ
1
2
)
với μ
1
= n

2
, σ
2
2
)
với μ
1
= n
2
p
2
= 100.0,5 = 50;
2222
n p q 100.0,5.0,5 5.σ= = =

a) Xác suất để chiến só A được thưởng là:
12
11 22
11 22
11
P(65 X 100) = P(65 X 100)+ P(65 X 100)
22
100 65 100 6511
=[( ) ( )] [( ) ( )]
22
1 100 60 65 60 1 100 50 65 50
=[( ) ( )] [( ) ( )]
2 4,899 4,899 2 5 5
11
= [ (8,16) (1, 02) (10) (3)]= (0,5 0, 3

c) Chiến só A phải tham gia hội thi ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có
ít nhất một lần được thưởng không nhỏ hơn 98%?

Gọi n là số lần tham gia hội thi và D là biến cố có ít nhất 1 lần được
thưởng. Yêu cầu bài toán là xác đònh n nhỏ nhất sao cho P(D) ≥ 0,98.
Biến cố đối lập của D là
D: không có lần nào được thưởng.
Theo chứng minh trên, xác suất để một lần được thưởng là p = 0,0776.
Do đó
Theo công thức Bernoulli ta có:
nnn
P(D) 1 P(D) 1 q 1 (1 0, 0776) 1 (0,9224) .=− =− =− − =−

Suy ra
n
n
P(D) 0, 98 1 (0, 9224) 0,98
(0,9224) 0, 02
n ln 0, 9224 ln 0, 02
ln 0, 02
n48,43
ln 0, 9224
n49.
≥⇔− ≥
⇔≤
⇔≤
⇔≥ ≈
⇔≥

Vậy chiến só A phải tham gia hội thi ít nhất là 49 lần.

13
4
2
22
4
3
31
4
4
40
4
P(X 0) (0, 8) (0, 2) 0,0016;
P(X 1) (0, 8) (0, 2) 0, 0256;
P(X 2) (0, 8) (0,2) 0,1536;
P(X 3) (0, 8) (0, 2) 0, 4096;
P(X 4) (0,8) (0,2) 0, 4096.
C
C
C
C
C
== =
== =
== =
== =
== =

Vậy luật phân phối của X là:

X 0 1 2 3 4

= 2; p
1
= 70% = 0,7
với các xác suất đònh bởi:
k
k2k
1
2
P(X k) (0,7) (0,3)
C
−
==
Cụ thể
X
1
0 1 2
P 0,09 0,42 0,49
• X
2
có phân phối nhò thức X
2
∼ B(n
2
, p
2
); n
2
= 2; p
2
= 80% = 0,8

=1)+ (X
1
=1)(X
2
=0)]
= P(X
1
=2)P(X
2
=0)+ P(X
1
=2)P(X
2
=1)+ P(X
1
=1)P(X
2
=0) =
0,1932.

b) Gọi X là số sp loại A có trong 4 sp chọn ra . Khi đó
X = X
1
+ X
2

Vì X
1
, X
2

= 0,74.

Bài 2.12: Cho hai hộp I và II, mỗi hộp có 10 bi; trong đó hộp I gồm 6 bi
đỏ, 4 bi trắng và hộp II gồm 7 bi đỏ, 3 bi trắng. Rút ngẫu nhiên từ mỗi
hộp hai bi.
a) Tính xác suất để được hai bi đỏ và hai bi trắng.
b) Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra.
Tìm luật phân phối của X. Lời giải
Gọi X
1
, X
2
lần lượt là các ĐLNN chỉ số bi đỏ có trong 2 bi được chọn
ra từ hộp I, hộp II. Khi đó
- X
1
có phân phối siêu bội X
1
∼ H(N
1
, N
1A
, n
1
); N
1
= 10; N

, n
2
); N
2
= 10; N
2A
= 7; n
2
= 2
với các xác suất đònh bởi:
k2k
73
2
2
10
P(X k) .
CC
C
−
==
Cụ thể

18
X
2
0 1 2
P 3/45 21/45 21/45

Gọi X là đại lượng ngẫu nhiên chỉ số bi đỏ có trong 4 bi được rút ra. Khi
đó

=1) (X
2
=1)+ (X
1
=2) (X
2
=0)]
= P(X
1
=0) P(X
2
=2)+ P(X
1
=1)P(X
2
=1)+ P(X
1
=2)P(X
2
=0)]
= (6/45)(21/45) + (24/45)(21/45) + (15/45)(3/45) = 1/3.

b) Luật phân phối của X có dạng: X 0 1 2 3 4
P p
0
p
1

p
3
= P(X = 3)= P(X
1
=1) P(X
2
= 2) + P(X
1
=2) P(X
2
= 1)= 91/225;
p
4
= P(X = 4)= P(X
1
=2) P(X
2
= 2) = 7/45.

Vậy luật phân phối của X là :

X 0 1 2 3 4
P 2/225 22/225 1/3 91/225 7/45 Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com
19
Bài 2.13: Một máy sản xuất sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 10%. Một lô
hàng gồm 10 sản phẩm với tỉ lệ phế phẩm 30%. Cho máy sản xuất 3 sản
phẩm và từ lô hàng lấy ra 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt có trong

0
02 3
1
3
1
12 2
1
3
2
21 2
1
3
3
30 3
1
3
P(X 0) p q (0, 1) 0, 001;
P(X 1) p q 3(0, 9)(0, 1) 0, 027;
P(X 2) p q 3(0, 9) (0,1) 0, 243;
P(X 3) p q (0, 9) 0, 729.
C
C
C
C
== = =
== = =
== = =
== = =
73
2
3
10
30
73
2
3
10
1
P(X 0) ;
120
21
P(X 1) ;
120
63
P(X 2) ;
120
35
P(X 3) .
120
CC
C
CC
C
CC
C
CC
C
== =

p
0
= P(X = 0)= P(X
1
= 0)P(X
2
= 0) = 1/120000;
p
1
= P(X = 1)= P(X
1
= 0)P(X
2
= 1) + P(X
1
= 1)P(X
2
= 0) = 1/2500;
p
2
= P(X = 2) = P(X
1
= 0)P(X
2
= 2) + P(X
1
= 1)P(X
2
= 1) + P(X
1

= 3) + P(X
1
= 2)P(X
2
= 2) + P(X
1
= 3)P(X
2
= 1)
= 10521/40000
p
5
= P(X = 5) = P(X
1
= 2) P(X
2
= 3) + P(X
1
= 3)P(X
2
= 2) = 567/1250
p
6
= P(X = 6) = P(X
1
= 3)P(X
2
= 3) = 1701/8000.

Vậy luật phân phối của X là:

N
2A
/N
2
)
- Phương sai của X là
D(X) = D(X
1
) + D(X
2
) = n
1
p
1
q
1
+ n
2
p
2
q
2
(N
2
-n
2
)/(N
2
-1)= 0,76.


28
1
2
10
20
28
2
2
10
28
P(A ) ;
45
16
P(A ) ;
45
1
P(A ) .
45
CC
C
CC
C
CC
C
==
==
==Với mỗi k = 0, 1, 2, 3 theo công thức xác suất đầy đủ, ta có

Mà

30
48
0
3
12
30
57
1
3
12
30
66
2
3
12
4
P(X 3/ A ) ;
220
10
P(X 3/ A ) ;
220
20
P(X 3/ A ) .
220
CC
C
CC
C

1
333
12 12 12
21 21 21
48 57 66
2
333
12 12 12
28 16 1
p P(X 0) . . . 179 / 825;
45 45 45
28 16 1
p P(X 1) . . . 223 / 450;
45 45 45
28 16 1
p P(X 2) . . . 1277 / 4950;
45 45 45
CC CC CC
CCC
CC CC CC
CCC
CC CC CC
CCC
=== + + =
===++=
=== + + =p
3

2
,
A
3
là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đôi và P(A
1
) = P(A
2
) = P(A
3
) = 1/3.

Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có:

P(C) = P(A
1
)P(C/A
1
) + P(A
2
)P(C/ A
2
)+ P(A
3
)P(C/A
3
)

Theo Công thức xác suất lựa chọn:
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com

C
==
==
==

Suy ra P(C)= 0,4728.
b) Luật phân phối của X có dạng:

X 0 1 2 3
P p
0
p
1
p
2
p
3Gọi B
j
(j = 1, 2, 3) là biến cố lấy được sp loại A từ lô thứ j. Khi đó B
1
, B
2
,
B
3
độc lập và
11

== + +
123
123 1 2 3
P(B )P(B )P(B ) 151/ 800
" X 3" B B B P(X 3) P(B )P(B )P(B ) 21/ 800
=
−== ⇒ == =

Vậy luật phân phối của X là

X 0 1 2 3
P 273/800 71/160 151/800 21/800

Từ luật phânphối của X ta suy ra mode, kỳ vọng và phương sai của X :
- Mode: Mod(X) = 1.
- Kỳ vọng: M(X) = 0,9.
- Phương sai: D(X) = 0,625.
24
2.16: Một người có 5 chìa khóa bề ngoài rất giống nhau, trong đó chỉ có 2
chìa mở được cửa. Người đó tìm cách mở cửa bằng cách thử từng chìa một
cho đến khi mở được cửa thì thôi (tất nhiên, chìa nào không mở được thì
loại ra). Gọi X là số chìa khóa người đó sử dụng. Tìm luật phân phối của
X. Hỏi người đó thường phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa? Trung
bình người đó phải thử bao nhiêu chìa mới mở được cửa?

Lời giải
Ta thấy X là ĐLNN rời rạc nhận 4 giá trò: 1, 2, 3, 4. Luật phân phối của
X có dạng:

X 1 2 3 4

Vậy luật phân phối của X là:

X 1 2 3 4
P 2/5 3/10 1/5 1/10

Từ luật phân phối trên ta suy ra:

- Mode của X là Mod(X) = 1.
- Kỳ vọng của X là
ii
M(X) x p 2
=
=
∑
.
Vậy người đó thường phải thử 1 chià thì mở được cửa. Trung bình người
đó phải thử 2 chìa mới mở được cửa.

Bài 2.17: Một người thợ săn có 5 viên đạn. Người đó đi săn với nguyên
tắc: nếu bắn trúng mục tiêu thì về ngay, không đi săn nữa. Biết xác suất
Printed with FinePrint trial version - purchase at www.fineprint.com