Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa 1

PHN I: I S
Ch 1: CN THC BIN I CN THC.

1. Hằng đẳng thức đáng nhớ 2
2 2
a b a 2ab b

3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b
2
2 2
a b a 2ab b
3

2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca
2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Điều kiện để căn thức có nghĩa:
A
có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức:


2
A A


AB A. B (A 0;B 0)
A A
(A 0;B 0)
B
B2
A B A B (B 0)
A B

C C( A B)
(A 0;B 0;A B)
A B
A B




Dng 1: Tỡm iu kin biu thc cú cha cn thc cú ngha.

Phng phỏp: Nu biu thc cú:
Cha mu s

KX: mu s khỏc 0
Cha cn bc chn

KX: biu thc di du cn

0
Cha cn thc bc chn di mu

KX: biu thc di du cn

0
Cha cn thc bc l di mu

5)
35x2x 11) 12x 4)
73xx 10)
147x
1
3)
2x 9) 2x5 2)
3x 8) 13x 1)
2
2
2
2
2
2

















Bài 2: Thực hiện phép tính.
33
3;
3
33
3152631526 h) ;2142021420 g)
725725 f) ;10:)4503200550(15 c)
26112611 e) ;0,4)32)(10238( b)
;526526 d) ;877)714228( a)



Bài 3: Thực hiện phép tính.
1027
1528625
c)
57
1
:)
31
515
21
714
b)


a

Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau:
53
53
53
53
d)
65
625
65
625
c)
113
3
113
3
b)
1247
1
1247
1
a)








Bài 7: Rút gọn biểu thức sau:
4
3y6xy3x
yx
2
e)
)4a4a(15a
12a
1
d)
;
4a
a42a8aa
c)
1.a vµ 0a víi,
1a
aa
1
1a
aa
1 b)
b.a vµ 0b 0,a víi,
ba
1
:
ab
abba
a)
22







Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
  
a.)y)(1x(1xybiÕt , x1yy1xE e)
1.x2x9x2x16biÕt , x2x9x2x16D d)
3;3yy3xxbiÕt , yxC c)
;1)54(1)54(x víi812xxB b)
549
1
y;
25
1
x khi2y,y3xxA a)
2222
2222
22
33
3
2







+ Dng toỏn ny rt phong phỳ vỡ th hc sinh cn rốn luyn nhiu nm c
mch bi toỏn v tỡm ra hng i ỳng n, trỏnh cỏc phộp tớnh quỏ phc tp.

Bi 1: Cho biu thc
21x
3x
P




a) Rỳt gn P.
b) Tớnh giỏ tr ca P nu x = 4(2 - 3 ).
c) Tớnh giỏ tr nh nht ca P.
Bi 2: Xột biu thc
1.
a
a2a
1aa
aa
A
2







a) Rỳt gn A.

222222
baa
b
:
ba
a
1
ba
a
M














a) Rỳt gn M.
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa 5








a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm giá trị lơn nhất của P.
Bài 6: Xét biểu thức
.
x3
1x2
2x
3x
6x5x
9x2
Q










a) Rút gọn Q.
b) Tìm các giá trị của x để Q < 1.


a) Rút gọn H.
b) Chứng minh H ≥ 0.
c) So sánh H với
H
.
Bài 8: Xét biểu thức
.
1aaaa
a2
1a
1
:
1a
a
1A

















a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên.
Bài 10: Xét biểu thức
.
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
P










a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x sao cho
.
2
1
P 



- Nếu > 0 thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
1
b
x
2a

;
2
b
x
2a


* Công thức nghiệm thu gọn:
Ta có

2
' b' ac
(Với

b
b'
2
).
- Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu = 0 thì phơng trình có nghiệm kép

1 2
b'

; P =
1 2
c
x .x
a


Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phơng trình
2
ax bx c 0

(a 0).
Ta có thể sử dụng định lí Vi-et để tính các biểu thức của x
1
, x
2
theo a, b, c
S
1
=

2
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2



3.

ứng dụng hệ thức Vi-et:
a) Nhẩm nghiệm: Cho phơng trình
2
ax bx c 0

(a 0).
- Nếu a + b + c = 0 x
1
= 1;
2
c
x
a


- Nếu a - b + c = 0 x
1
= -1;
2
c
x
ab) Tìm hai số khi biết tổng và tích:
Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P

:
Dạng 1: Tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm
Phơng pháp: Điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm là
2
b 4ac
0 hoặc
c
0
a


Trong trờng hợp cần chứng minh có ít nhất một trong hai phơng trình:

2
ax bx c 0

;
2
a'x b'x c' 0

có nghiệm
ngời ta thờng làm theo một trong hai cách sau:
Cách 1: Chứng minh
1 2
0

Cách 2:
1 2
. 0


1 1 S
x x P

;
2
2 2 2
1 2
1 1 S 2P
x x P
Dạng 3: Hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm
Bớc 2: Tính S =
1 2
b
x x
a

; P =
1 2
c
x .x
a

, theo m
Bớc 3: Khử m để lập hệ thức giữa S và P,
từ đó suy ra hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc tham số m
Dạng 4: Điều kiện để hai nghiệm liên hệ với nhau bởi một hệ thức cho trớc


Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm
3. Phơng trình trùng phơng:
4 2
ax bx c 0

(a 0)
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt x
2
= t 0
Bớc 2: Biến đổi đa về phơng trình bậc hai ẩn t
Bớc 3: Giải phơng trình bậc hai trên
Bớc 4: So sánh với điều kiện và kết luận nghiệm

Dng 1: Gii phng trỡnh bc hai.
Bi 1: Gii cỏc phng trỡnh
1) x
2
6x + 14 = 0 ; 2) 4x
2
8x + 3 = 0 ;
3) 3x
2
+ 5x + 2 = 0 ; 4) -30x
2
+ 30x 7,5 = 0 ;
5) x
2
4x + 2 = 0 ; 6) x
2

5) 3x
2
19x 22 = 0 ; 6) 5x
2
+ 24x + 19 = 0 ;
7) ( 3 + 1)x
2
+ 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x
2
11x + 30 = 0 ;
9) x
2
12x + 27 = 0 ; 10) x
2
10x + 21 = 0.

Dng 2: Chng minh phng trỡnh cú nghim, vụ nghim.
Bi 1: Chng minh rng cỏc phng trỡnh sau luụn cú nghim.
1) x
2
2(m - 1)x 3 m = 0 ; 2) x
2
+ (m + 1)x + m = 0 ;
3) x
2
(2m 3)x + m
2
3m = 0 ; 4) x
2
+ 2(m + 2)x 4m 12 = 0 ;







c) Chng minh rng phng trỡnh: c
2
x
2
+ (a
2
b
2
c
2
)x + b
2
= 0 vụ nghim vi a, b, c l
di ba cnh ca mt tam giỏc.
d) Chng minh rng phng trỡnh bc hai:
(a + b)
2
x
2
(a b)(a
2
b
2
)x 2ab(a

x
2
- 4ax + b
2
= 0 (3)
x
2
+ 4bx + a
2
= 0 (4)
Chứng minh rằng trong các phương trình trên có ít nhất 2 phương trình có nghiệm.
c) Cho 3 phương trình (ẩn x sau):
(3) 0
c
b
1
x
b
a
ba2a
cx
(2) 0
ba
1
x
ac
ac2c
bx
(1) 0
ac

a) Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0.
Biết a ≠ 0 và 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm.
b) Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm nếu một trong hai
điều kiện sau được thoả mãn:
a(a + 2b + 4c) < 0 ;
5a + 3b + 2c = 0.
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm
của phương trình bậc hai cho trước.
Bài 1: Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình: x
2
– 3x – 7 = 0.
Tính:
  
4
2
4
1
3
2
3
1
1221

.
Bài 2: Gọi x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình: 5x
2
– 3x – 1 = 0. Không giải phương trình,
tính giá trị của các biểu thức sau:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa 10

.
x4xx4x
3xx5x3x
C
;
x
1
x
1
1x
x
x
x
1x
x
x


















Bài 3:
a) Gọi p và q là nghiệm của phương trình bậc hai: 3x
2
+ 7x + 4 = 0. Không giải phương trình
hãy thành lập phương trình bậc hai với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là
1p
q
vµ
1q
p

.
b) Lập phương trình bậc hai có 2 nghiệm là

  
2
2
1
1
21
1
2
2
1
1221
x
2x
x
2x
D ;xxC
;
1x
x
1x
x
B ;2x3x2x3xA









2
. Hãy thiết lập phương trình ẩn y
có hai nghiệm y
1
; y
2
thoả mãn:














1
2
2
2
2
2
1
1
22











0.5x5xyy
xxyy
b) ;
3x3x
y
y
y
y
x
x
x
x
yy
a)
21
2
2
2
1
2


21
2121
21
xx
y
1
y
1
vµ
x
1
x
1
yy Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để pt có nghiệm có nghiệm kép,vô nghiệm.
Bài 1:
a) Cho phương trình (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x).
Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này.
b) Cho phương trình (2m – 1)x
2
– 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0.
Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2mx + m – 4 = 0.

+ m – 2)(x
2
+ 4)
2
– 4(2m + 1)x(x
2
+ 4) + 16x
2
= 0. Xác định m để
phương trình có ít nhất một nghiệm.

Dạng 5: Xác định tham số m để các nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 thoả
mãn điều kiện cho trước.
Bài 1: Cho phương trình: x
2
– 2(m + 1)x + 4m = 0
1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại.
3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)
4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm).
5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
6) Định m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 2x
1
– x

2
+ x
2
2
) = 5x
1
x
2

c) (m – 1)x
2
– 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x
1
2
+ x
2
2
) = 5x
1
2
x
2
2

d) x
2
– (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 ; 3x
1

+ 1 = 0
d) x
2
– (3m – 1)x + 2m
2
– m = 0 ; x
1
= x
2
2

e) x
2
+ (2m – 8)x + 8m
3
= 0 ; x
1
= x
2
2

§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa 12

f) x
2
– 4x + m
2

1
21


 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó.
c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2.
mx
2
– (m + 3)x + 2m + 1 = 0.
Bài 5: Cho phương trình: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0).
Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi
nghiệm kia là 9ac = 2b
2
.

Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số.
Bài 1:
a) Cho phương trình x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 1 < x
1

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn 2.
Bài 5: Tìm m để phương trình: x
2
– mx + m = 0 có nghiệm thoả mãn x
1
≤ - 2 ≤ x
2
.

Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ
thuộc tham số.
Bài 1:
a) Cho phương trình: x
2
– mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương
trình không phụ thuộc vào tham số m.
b) Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x
2
– 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có
nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m.
c) Cho phương trình: 8x
2
– 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
; x
2
. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm
đối với hai số – 1 và 1.
Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)

2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
 .
Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0.
a) Giải và biện luận phương trình theo m.
b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
:
- Tìm một hệ thức giữa x
1
; x
2
độc lập với m.
- Tìm m sao cho |x
1
– x
2
| ≥ 2.

i) Giả sử x
0
là nghiệm của pt (1) thì kx
0
là một nghiệm của pt (2), suy ra hệ pt:
(*)
0c'kxb'xka'
0cbxax
0
2
0
2
0
2
0








Giải hệ pt trên bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số để tìm m.
ii) Thay các giá trị m vừa tìm được vào hai pt (1) và (2) để kiểm tra lại.
2/ Định giá trị của tham số m để hai pt bậc hai tương đương với nhau.
Xét hai pt: ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (3)
a’x








(4)(3)
(4)(3)
(4)
(3)
PP
SS
0
0

Chỳ ý: Bng cỏch t y = x
2
h pt (*) cú th a v h pt bc nht 2 n nh sau:





c'ya'xb'
caybx

gii quyt tip bi toỏn, ta lm nh sau:
o Tỡm iu kin h cú nghim ri tớnh nghim (x ; y) theo m.
o Tỡm m tho món y = x

cx
2
+ bx + a = 0 (2)
Tỡm h thc gia a, b, c l iu kin cn v hai phng trỡnh trờn cú mt nghim chung
duy nht.
Bi 4: Cho hai phng trỡnh:
x
2
2mx + 4m = 0 (1)
x
2
mx + 10m = 0 (2)
Tỡm cỏc giỏ tr ca tham s m phng trỡnh (2) cú mt nghim bng hai ln mt nghim
ca phng trỡnh (1).
Bi 5: Cho hai phng trỡnh:
x
2
+ x + a = 0
x
2
+ ax + 1 = 0
a) Tỡm cỏc giỏ tr ca a cho hai phng trỡnh trờn cú ớt nht mt nghim chung.
b) Vi nhng giỏ tr no ca a thỡ hai phng trỡnh trờn tng ng.
Bi 6: Cho hai phng trỡnh:
x
2
+ mx + 2 = 0 (1)
x
2
+ 2x + m = 0 (2)



























1815y10x
96y4x
6) ;
142y3x

































Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Giải các hệ phương trình sau
 
 































13.44yy548x4x2
72y31x5
5) ;
071y22xx3
01y2xx2
4)
;
4
2y
5
1x
2
7
2y
3y
1x
1x
3) ;
9
4y
5
1x
2x
4
4y

32m3nyx2m
nmy1n2mx

b) Định a và b biết phương trình: ax
2
- 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy:
a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m
2
+ 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m
2
+ 2m – 2.
Bài 3: Cho hệ phương trình
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa 16

sè) thamlµ (m
4myx
m104ymx






a) Giải hệ phương trình khi m =
2

d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x
2
+ 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ;
y) nằm trên parabol y = - 0,5x
2
).
e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên
một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau.
Bài 5: Cho hệ phương trình:





12ymx
2myx

a) Giải hệ phương trình trên khi m = 2.
b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0.
c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên.
d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x – y đạt giá trị lớn nhất.

B - Một số hệ bậc hai đơn giản:
Dạng 1: Hệ đối xứng loại I
Ví dụ: Giải hệ phương trình
 




































8)
6yx
232yxyx
7)
31xyyx
101y1x
6)
17xy1yy1xx
81y1x
5)
133yxy3x
1y3xyx
4)
84xyyx
19yxxy
3)
2yxyx
4yxyx
2)
7xyyx
8yxyx
1)
22
2
22
2
22
22
22
22
































2y
x
3
y
1
2x
7)
y
x
43xy
x
y
43yx
6)
x2y2xy
y2x2yx
5)
1yxyx
1yxyx
4)
x2yy
y2xx
3)
x2xy
y2yx
2)
3x1y
3y1x
1)
3

x3yy
y3xx
9)
3
3
2
2

Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số
Giải các hệ phương trình sau:
§Ò c¬ng «n thi vµo líp 10 – M«n To¸n – Trêng TrÇn §¹i NghÜa 18

       
  
   
   











































0222
12
9)
02
0
8)
02
022
7)
1232
835
6)
05
0532
5)
4
01122
4)
452
442
3)
8
12
2)
03
01
1)
22
22
22

Chủ đề 4: HÀM SỐ ĐỒ THỊ.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số
Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax
2
khi:
a) a = 2 ; b) a = - 1.

Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết:
a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5)
b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng () : y = 2x – 1/5.
c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3.
d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 30
0
.
e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng
f) (): y = 2x – 3; (’): y = 7 – 3x tại một điểm.
g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài).

Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số.
a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6).
Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa 19

b) nh k (d) song song vi ng thng 2x + 3y 5 = 0.

2
x
2
1
y
a) V th (P) ca hm s trờn.
b) Trờn (P) ly hai im M v N ln lt cú honh l - 2; 1. Vit phng trỡnh ng
thng MN.
c) Xỏc nh hm s y = ax + b bit rng th (D) ca nú song song vi ng thng MN v
ch ct (P) ti mt im.
Bi 5:
Trong cựng h trc to , cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) v ng thng (D): y = kx + b.
1) Tỡm k v b cho bit (D) i qua hai im A(1; 0) v B(0; - 1).
2) Tỡm a bit rng (P) tip xỳc vi (D) va tỡm c cõu 1).
3)V (D) v (P) va tỡm c cõu 1) v cõu 2).
4) Gi (d) l ng thng i qua im






1;
2
3
C v cú h s gúc m
a) Vit phng trỡnh ca (d).
b) Chng t rng qua im C cú hai ng thng (d) tip xỳc vi (P) ( cõu 2) v vuụng


Bi 3: Mt canụ xuụi t bn sụng A n bn sụng B vi vn tc 30 km/h, sau ú li ngc t B
tr v A. Thi gian xuụi ớt hn thi gian i ngc 1 gi 20 phỳt. Tớnh khong cỏch gia
hai bn A v B. Bit rng vn tc dũng nc l 5 km/h v vn tc riờng ca canụ lỳc xuụi
v lỳc ngc bng nhau.
Bi 4: Mt canụ xuụi mt khỳc sụng di 90 km ri ngc v 36 km. Bit thi gian xuụi dũng
sụng nhiu hn thi gian ngc dũng l 2 gi v vn tc khi xuụi dũng hn vn tc khi
ngc dũng l 6 km/h. Hi vn tc canụ lỳc xuụi v lỳc ngc dũng.

Dng 2: Toỏn lm chung lm riờng (toỏn vũi nc)
Bi tp 1:
Hai vũi nc cựng chy y mt b khụng cú nc trong 3h 45ph . Nu chy riờng r , mi vũi
phi chy trong bao lõu mi y b ? bit rng vũi chy sau lõu hn vũi trc 4 h .
Gii
Gi thi gian vũi u chy chy mt mỡnh y b l x ( x > 0 , x tớnh bng gi )
Gi thi gian vũiau chy chy mt mỡnh y b l y ( y > 4 , y tớnh bng gi )
1 gi vũi u chy c
x
1
( b )
1 gi vũi sau chy c
y
1
( b )
1 gi hai vũi chy c
x
1
+
y
1


x
1
+
y
1
=
15
4

y – x = 4
























)(
5,1
5,2
)(
10
6
4
5,2
6
4
03072
4
060144
4
5
4
4
11
22
b
y
x
a
y
x
xy

Gọi thời gian người thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ người thứ hai làm
được
y2
1
công việc
1 giờ cả hai người làm được
6
1
công việc nên ta có pt :
x
2
1
+
y2
1
=
6
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :











y
x
y
x
yx
yx

Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một người làm trong 10 giờ còn người kia làm trong 5
giờ Đề cơng ôn thi vào lớp 10 Môn Toán Trờng Trần Đại Nghĩa 22

Bi tp 3:
Hai t thanh niờn tỡnh nguyn cựng sa mt con ng vo bn trong 4 gi thỡ xong . Nu lm
riờng thỡ t 1 lm nhanh hn t 2 6 gi . Hi mi i lm mt mỡnh thỡ bao lõu s xong vic ?
Gii
Gi thi gian mt mỡnh t 1sa xong con ng l x( gi ) ( x 4 )
Thi gian mt mỡnh t 2 sa xong con ng l x + 6 ( gi )
Trong 1 gi t 1 sa c
x
1
( con ng )
Trong 1 gi t 2 sa c
6
1



Bi tp 4:
Hai i cụng nhõn lm mt on ng . i 1 lm xong mt na on ng thỡ i 2 n lm
tip na cũn li vi thi gian di hn thi gian i 1 ó ó lm l 30 ngy . Nu hai i cựng lm
thỡ trong 72 ngy xong c on ng .Hi mi i ó lm bao nhiờu ngy trờn on ng ny
?
Gii
Gi thi gian i 1 lm l x ngy ( x > 0 ) thỡ thi gian i 2 lm vic l x + 30 ( ngy )
Mi ngy i 1 lm c
x
2
1
( on ng )
Mi ngy i 2 lm c
)30(2
1
x
( on ng )
Mi ngy c hai i lm c
72
1
( on ng )
Vy ta cú pt :
x
2
1
+
)30(2
1
x

trồng được của hai đội bằng nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x – 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng được
2
40

x
(ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng được
2
90

x
(ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng được
2
40

x
(x + 2) (ha)
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng được
2
90

x
(x - 2) (ha)
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dược của hai đội trong trường này là bằng nhau nên ta có pt:

5
2
5
2426



x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn
Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày . Bài 6:(197/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu người thứ nhất làm trong 3
giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 25% công việc . Hỏi mỗi người làm công
việc đó trong mấy giờ thì xong .
Giải:
Gọi x , y lần lượt là số giờ người thứ nhất người thứ hai một mình làm xong công việc đó
( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt











Ta cú h pt

























15
10
5

Mt gi ngi th hai lm c
y
1
(cụng vic )
Mt gi c hai ngi lm c
12
1
(cụng vic )
Nờn ta cú pt :
x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
trong 8 gi hai ngi lm c 8.
12
1
=
3
2
(cụng vic )
Cụng vic cũn li l 1 -
3
2
=
3





1
x
+
1
y
=
1
12

y
6
=
10
3






x=30
y=20
























4
5
100
5
504
126
4
504

12
504
(gi ) Bi tp 10: ( 258 /96 nõng cao v chuyờn )
Hai i cụng nhõn cựng lm chung mt cụng vic . Thi gian i I lm mt mỡnh xong cụng
vic ớt hn thi gian i II lm mt mỡnh xong cụng vic ú l 4 gi . Tng thi gian ny gp
4,5 ln thi gian hai i cựng lm chung xong cụng vic ú . Hi mi i lm mt mỡnh thỡ
phi bao lõu mi xong .
Gii :
Gi thi gian i I lm mt mỡnh xong cụng vic l x gi ( x > 0 )
Suy ra thi gian i II lm mt mỡnh xong cụng vic l x + 4 gi
Trong 1 gi hai i lm chung c :
)4(
42
4
11





xx
x
xx
( cụng vic )
Thi gian hai i lm chung xong cụng vic l
4
2