Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện:
Lê Thị Hiền
1
Phần I: giới thiệu đề tài:

A.Lý do chọn đề tài:

Giải toán là một nghệ thuật thực hành;giống nh bơi lội,trợt tuyết,hay
chơi đàn Vì vậy để có kỹ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập .Tuy
rằng,không phải là cứ giải bài tập là có kỹ năng.Việc luyện tập sẽ có hiệu
quả,nếu nh biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tơng
tự,nhằm vận dụng một tính chất nào đó,nhằm rèn luyện một phơng pháp chứng
minh nào đó. Thực tiễn cho thấy học sinh thờng học toán không chú ý đến
phơng pháp giải nên khi gặp những bài toán có sử dụng phơng pháp tơng tự
gặp nhiều lúng túng.
Vậy không ngoài tâm huyết với các em học sinh,niềm đam mê dành cho
bộ môn toán học và sự mong muốn nâng cao chất lợng tôi đ tiến hành học
tập tích luỹ soạn ra đề tài này.
B.nhiệm vụ:

+Cơ sở lý luận của đề tài:
việc khai thác bài tập toán có ý nghĩa hay không?
+Vận dụng lý luận vào thực tiễn:
khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
C.Phơng pháp nghiên cứu:

+phơng pháp nghiên cứu thực tiễn,lý thuyết
+phơng pháp tổng kết kinh nghiệm

giải.Sự thực là khi giải bài tập thì không chỉ là giải một vấn đề cụ thể mà là giải
đề bài trong một loạt vấn đề nào đó.Do đó hớng suy nghĩ và phơng pháp giải
bài tập cũng nhất định có một ý nghĩa chung nào đó.Nếu ta chú ý từ đó mà khái
quát đợc hớng suy nghĩ và cách giải của vấn đề nào đó là gì thì ta sẽ có thể
dùng nó để chỉ đạo giải vấn đề cùng loại và sẽ mở rộng ra.Nhà toán học Đềcác
nói rất đúng rằng: Mỗi vấn đề mà tôi giải quyết đều sẽ trở thành ví dụ mẫu mực
dùng để giải quyết vấn đề khác.Do đó sau khi giải một bài toán nên chú ý khai
thác hớng suy nghĩ và cách giải.

B.Vận dụng lý luận vào thực tiễn:

xét bài toán 28 trang 21 sách bài tập toán 8 tập 1:
a.Chứng minh:
)1(
1
1
11
+
=
+

xxxx
(1)
b.Đố: Đố em tính nhẩm đợc tổng sau:
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1

xx
xx

b.Xét đặc điểm đẳng thức ở câu a:VP có mẫu là 1tích 2biểu thức cách nhau 1;1
chính là tử thì có
)1(
1
1
11
+
=
+

xxxx
.Tơng tự với đặc điểm nh VP ở câu a;ta có:
)5)(4(
1
)4)(3(
1
)3)(2(
1
)2)(1(
1
)1(
1
++
+
++
+
++

1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
11
=
+
+
+

+
+
+

+
+
+

+
+
+


+
+ xxxxxxxxxx
+
5
1
+
x

I.khai thác ứng dụng bài 28 trong tính toán;trong toán
rút gọn;toán chứng minh đẳng thức:
Từ(1),nếu thay x=1 thì ta có các bài toán sau:

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện:
Lê Thị Hiền
3
Bài1:Tính:
a.
100
.
99
1

6
.
5
1
5

4
.
3
1
3
.
2
1
2
1
++++++
=
100
99
100
1
1
100
1
99
1

5
1
4
1
4
1
3
1

1
+
=
+
n
n
n

*)Nhận xét
đặc điểm mẫu các phân thức để từ đó ta có các dạng bài toán
khác:các hạng tử trong tổng trên đều là những phân thức có dạng:mẫu là một tích
2nhân tử cách nhau 1 đơn vị chính bằng tử.Vậy mẫu là tích 2nhân tử cách nhau 2
hay 3 hay 4thì giải bài toán nh thế nào?chẳng hạn:
Bài2
:Tính tổng:
a.
2007
.
2005
1

7
.
5
1
5
.
3
1
3

7
1
5
1
(
2
1
7
.
5
1
);
5
1
3
1
(
2
1
5
.
3
1
);
3
1
1
1
(
2

1
1(
2
1
)
2007
1
2005
1

7
1
5
1
5
1
3
1
3
1
1
1
(
2
1
==++++

b.Phơng pháp làm tơng tự nh câu a.
Xét hạng tử tổng quát:
1 1 1 1

Bài3:Tính tổng:
a.
100
.
98
5

10
.
8
5
8
.
6
5
6
.
4
5
4
.
2
5
+++++

b.
+
+ + +
1 2 2 3 3 4 k k 1
n n n n

5
8
.
6
5
);
6
1
4
1
(
2
5
6
.
4
5
);
4
1
2
1
(
2
5
4
.
2
5
====

8
1
6
1
6
1
4
1
4
1
2
1
(
2
5
++++
=
=
20
49
)
100
1
2
1
(
2
5
=


=
k k 1
1 1
a a
+


+Trờng hợp 2:Nếu
+
= = = =
2 1 3 2 4 3 k 1 k
a a a a a a a a
= b
n


Ta có
1 2 2 3 3 4 k k 1
n n n n

a .a a .a a .a a .a
+
+ + +
=
n
(
b
1 2 2 3 3 4 k k 1
b b b b
)

1 1 1 1

1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n 1)(2n 1)(2n 3)
+ + + +
+ +
với n
2;


nN

Hớng dẫn
: Phơng pháp giải tơng tự nh các bài trên:viết các hạng tử dới
dạng hiệu.
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện:
Lê Thị Hiền
5
Nhận xét:
2 1 1
(n 1)n(n 1) (n 1).n n.(n 1)
=
+ +
Do đó ta có:
A=
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( )
2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n 1).n n.(n 1) 2 2 n.(n 1)



b
thì
việc áp dụng ngợc công thức trên trong thực tế đợc sử dụng rất nhiều. Chẳng
hạn với bài toán sau:
Bài 5
: Cho biết a,b,c là các số thực khác nhau.Chứng minh:
b c c a a b 2 2 2
(a b)(a c) (b c)(b a) (c a)(c b) a b b c c a

+ + = + +


Hớng dẫn:
Đối với đề này nếu dùng cách hoà đồng mẫu số vế trái để
chứng minh thì quá trình tính phức tạp.Có cách gì ngắn gọn không?Quan sát các
số hạng ở vế trái ta thấy tử số vừa đúng bằng hiệu của 2 thừa số ở mẫu số:
b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).Điều đó gợi cho ta nhớ đến dùng
ngợc công thức
b a 1 1
a.b a b

=
tức
b c 1 1
.
(a b)(a c) a b a c

=

+ + + + + + + + +

b. N=
2 2 2 2
1 1 1 1
x 5x 6 x 7x 12 x 9x 20 x 11x 30
+ + +
+ + + +

Hớng dẫn
:a.Để rút gọn M cần phân tích các mẫu thành nhân tử
Ta có:
2
x
+x = x(x+1);
2 2
x 3x 2 x x 2x 2
+ + = + + +
= (x+1)(x+2);
2 2
x 5x 6 x 2x 3x 6
+ + = + + + =
(x+2)(x+3);
2 2
x 7x 12 x 3x 4x 12
+ + = + + +
=(x+3)(x+4);
2 2
x 9x 20 x 4x 5x 20
+ + = + + +



=
1 1 1 1 1 1 1 1
x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 x 5 x 5 x 6
+ + +


=
1 1 4
x 2 x 6 (x 2)(x 6)

=


Bài 7: Rút gọn:
a.K=
2 2 2 2 2 2 2
a a a a 1
x a.x x 3a.x 2a x 5.a.x 6a x 7.a.x 12a x 4a
+ + + +
+ + + + + + + +

b.H=
2 2 2 2 2 2 2
a a a a 1

x ax x 3ax 2a x 5ax 6a x 19ax 90a x 10a
+ + + + +
+ + + + + + + +


H==
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x x a x a x 2a x 2a x 3a x 3a x 4a x 4a
+ + + +
+ + + + + + + +
-
1 1 1 1

x 5a x 9a x 10a x 10a
+ + +
+ + + +

H=
1
x

*)Xét biểu thức sau:
2 2
(x 1) x 2x 1
+ = +
nên ta có:
2 2 2 2
2x 1 1 1
x .(x 1) x (x 1)
+
=
+ +

Do đó ta có bài toán sau:


1 2 2 3 3 4 x (x 1)
+ + + +
+

=1-
2
1
( x 1)
+
=
2
x (x 2 )
(x 1)
+
+

II.khai thác các ứng dụng bài 28 trong chứng minh bất
đẳng thức:
Bài9
:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n
1

:
a.A =
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1

2 4 6 8 (2n) 2
+ + + + + <

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n
+ + + + + = + + + +
nên
A<
1 1 1 1 1
(1
4 1.2 2.3 3.4 (n 1).n
+ + + + +

) hay
A<
1 1 1 1 1 1 1 1
(1 1 )
4 2 2 3 3 4 n 1 n
+ + + + +

hay
A<
1 1
(1 1 )
4 n
+
hay A <
1 1
2 4n

hay A<
2

Lê Thị Hiền
8
B <
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2
+ + + +
+
hay
B <
1 1 1 1 1 1
( ) B B
2 2 2n 2 4 4(n 1) 4
< <
+ +
(ĐPCM)
Bài10
:Chứng minh với n nguyên,n>1 thì:
A=
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2
1 2 3 n n
+ + + + <

Hớng dẫn
:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội,tơng tự nh bài 9.
-Nhận xét: Với k=2;3;4;;n ta có:
2 2
1 1 1 1 1


Hớng dẫn
: áp dụng kết quả bài 10 ta có A<2-
1
n
mà B = A-1 hay A = B+1 khi
đó: B+1 < 2-
1
n
hay B < 1-
1
n
hay B < 1 (ĐPCM)
Bài12
: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; n
2

thì:
C =
2 2 2 2
1 1 1 1 2

2 3 4 n 3
+ + + + <

Hớng dẫn
:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy vận dụng nó
nh thế nào?có giống với bài 11 không?(với bài 11 thì cha đánh giá đợc
C<
3

3
2
(ĐPCM) Bài13
: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n;n
2

ta có:
D=
3 3 3 3
1 1 1 1 1

2 3 4 n 4
+ + + + <

Hớng dẫn
:Để áp dụng (1) cần sử dụng phơng pháp làm trội.Vậy sử dụng nh
thế nào?Hy xem nhận xét sau:
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
hay hay ( )
k k k k (k 1)k(k 1) k 2 (k 1)k k(k 1)
< < <
+ +
Do đó ta có:
D<
3 3 3
1 1 1


3 4 5 n 12
+ + + + <

Hớng dẫn
:Ta có:
3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
hay hay ( )
n n n n (n 1)n(n 1) n 2 (n 1)n n(n 1)
< < <
+ +

Do đó :
E <
1 1 1 1 1 1 1
( )
2 2.3 3.4 3.4 4.5 (n 1)n n(n 1)
+ + +
+
hay
E <
1 1 1
( )
2 2.3 n(n 1)

+
hay E <
12
1

hay H<1 (ĐPCM)
Bài16:Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n ta có:
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền
10
K=
1 5 11
2! 3! 4!
+ + +
.+
2
n n 1
n!
+
<2
Hớng dẫn:Ta có:
2
n n 1 n(n 1) 1 1 1
(n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)! (n 1)!
+ +
= =
+ + + +

Do đó K=
1 1 1 1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2! 1! 3! 2! 4! 3! 5! (n 1)! (n 1)!
+ + + + +

Hớng dẫn:Ta có:
2 2 2 2
2n 1 1 1
n .(n 1) n (n 1)
+
=
+ +
Do đó:
M=
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1
2 2 3 n (n 1) (n 1)
+ + + =
+ +
<1 (ĐPCM)
Bài18:Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có:
N=
2 2
1 1 1 1 9

5 13 25 n (n 1) 20
+ + + + <
+ +

Hớng dẫn:Ta có:
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
. ( )
k (k 1) 2k 2k 1 2 k(k 1) 2 k k 1

k = n:
2 2
1 1 1 1
( )
n (n 1) 2 n n 1
<
+ + +

Do đó N<
1 1 1 1 1 1 1 1
( )
5 2 2 3 3 4 n n 1
+ + + +
+
hay N<
1 1 1 1
( )
5 2 2 n 1
+
+
hay
N<
1 1 9
hayN
5 4 20
+ <
(ĐPCM)
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8
.
10
1

102
.
2
1
101
.
1
1
+++
= )
110
1
10
1

102
1
2
1
101
1
1(
100
1
+++



12
1
2
1
11
1
1
1
(
10
1
110
.
100
1

12
.
2
1
11
1
+++=+++

= )
110
1

100

1
1(
10
1
+++
Do đó ta có:
x=
10
100
1
:
10
1
=

b.Xét )
99
1
97
1

7
1
5
1
5
1
3
1
3

2
1
=
Khi đó ta có:
99
98
99
148
)2(
99
49
=+ xxx
hay 49(x-2)+99x=148x-98 hay
49x+99x-148x=0 hay 0.x=0 hay x

R
c.
2009
2007
2
)1(
1

10
1
6
1
3
1
=

=
+

2009
2
1
2
=
+
x

x=2008(thoả mn
x
o ; x 1

)
Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện:
Lê Thị Hiền
12
Bài21:
Giải phơng trình:
a.(
10
9
10
1
)1)(

.
2
1
11
.
1
1
()
60
.
10
1

53
.
3
1
52
.
2
1
51
.
1
1
++++=++++ x
)
Hớng dẫn:
a. (
10

1

4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1 ++++
(x-1)+
10
9
10
1
= xx
10
9
10
1
)1(
10
9
=+ xxx


53
.
3
1
52
.
2
1
51
.
1
1
++++=++++ x
)


)
60
1
50
1

12
1
2
1
11
1
1


12
1
11
1
50
1

2
1
1(
10
1
)
60
1

52
1
51
1
10
1

3
1
2
1
1(
50


2
1
1(
50
1
+++=+++ x


x =
5
50
1
:
10
1
=

Bài22
:Giải các phơng trình sau:
a.
2 2
1 1 1
x 4x 3 x 8x 15 6
+ =
+ + + +

b.
2 2 2
1 2 3 6

ĐKXĐ:x
1;x 3;x 5


PT đ cho đợc viết:
1 1 1
(x 1)(x 3) (x 3)(x 5) 6
+ =
+ + + +
1 1 1 1 1 1
( )
2 x 1 x 3 x 3 x 5 6
+ =
+ + + +

Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8Ngời thực hiện:
Lê Thị Hiền
13


1 1 1 1
( )
2 x 1 x 5 6
=

11 2.12 3.13 50.60
+ + + +

Hớng dẫn
:Cách làm tơng tự bài 21b);chỉ có chú ý dấu bất đẳng thức thay cho
dấu đẳng thức và ta có giá trị biểu thức sau luôn dơng :

1 1 1 1 1 1
1
2 3 10 51 52 60
+ + + +
nên ta có kết quả là x < 5
Phần 3:kết luận:

Phơng pháp giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm
vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học
tập môn toán.Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác
nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán
theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai
thác các ứng dụng của một bài toán cơ bản vào giải quyết các bài toán cùng loại.
Hi vọng rằng với một số ví dụ tôi đa ra trong đề tài này giúp các em học
sinh sẽ biết cách làm chủ đợc kiến thức của mình,thêm yêu mến môn toán,tự tin
trong quá trình học tập và nghiên cứu sau này.
Đây mới chỉ là kinh nghiệm của bản thân tôi nên chắc chắn còn nhiều
khiếm khuyết,hi vọng đợc các bạn đồng nghiệp quan tâm và góp ý để đề tài
đợc hoàn chỉnh hơn.
*)
Sau đây là một số bài tập đề nghị:

Bài 1


2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5)
+ + + +
+ +

Bài 2
:Rút gọn các biểu thức sau:
a.
2 2 2 2
(x 1)(x 2) (x 2)(x 3) (x 3)(x 4) x 4
+ + +
+ + + + + + +

b.
1 1 1 1 1

A
1.(2n 1) 3.(2n 3) 5(2n 5) (2n 3).3 (2n 1).1
1 1 1
B
1
3 5 2n 1
+ + + + +

=
+ + + +


Bài 3
:Giải phơng trình:

Ngời thực hiện:
Lê thị hiền
Giáo viên:
Trờng THCS Thị Trấn.