Lịch sử các nhà toán học
Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel, sinh ngy 5 thỏng 8 nm
1802, mt ngy 6 thỏng 4 nm 1829, l mt
nh toỏn hc xut sc ngi Nauy. Cụng trỡnh
toỏn hc tiờu biu ca ụng l chng minh
phng trỡnh bc 5 tr lờn khụng th gii
bng phng phỏp i s v nghiờn cu tich
phõn ca nhng hm i s .
ng thi, Abel ó phi vt ln sut cuc
i ngn ngi bi kch ca mỡnh. Abel sinh gn
Stavanger (Nauy). ễng b sinh non ba thỏng,
v ngi ta n rng "thng bộ ch sng sút
nh c tm trong ru vang ". trng,
cu bộ Abel hc xong tt c cỏc mụn, tr
toỏn. Nhng tui 19, khi bc chõn vo i hc, cu ó thc s tr thnh nh toỏn
hc v i nht ca Nauy. Nm 1826, Abel sng Paris 3 thỏng hon tt mt bn
tho. Bn tho ny ó a ụng lờn nh cao vinh quang, vỡ nú ó t nn múng cho lý
thuyt v cỏc hm elip: ú l s hp nht hai b mụn hỡnh hc v i s, trong ú
ụng s dng cỏc cụng thc toỏn hc tớnh toỏn chu vi mt hỡnh elip (tng t nh
b mụn lng giỏc ngy nay).
Abel trỡnh bn tho ca mỡnh ti Vin hn lõm khoa hc Paris v ch i, ch
i mói. Sau vi thỏng khụng cú tin tc gỡ, v tin rng bn tho ó mt, u nm
1827, ụng tr v Nauy, khụng mt ng xu dớnh tỳi v mt ht nhu khớ. Hai thỏng
sau ú, Abel tip tc nghiờn cu, dy hc v c gng thc hin nhng cuc tip xỳc
cui cựng vi gii khoa hc. ễng bt u ho ra mỏu vo khong l giỏng sinh nm
1828, v ra i vỡ bnh lao tui 26.
Hai ngy sau cỏi cht ca Abel, hai lỏ th liờn tip ti nh ụng. Mt trong s ú t
Berlin, ngh ụng n lm vin hn lõm. Lỏ th th hai c gi t Paris, thụng
bỏo bn tho ca ụng ó c nhit lit hoan nghờnh.
Cauchy Augustin

Năm 1833,Cauchy tới Paris để tháp tùng Charles X và để dạy dỗ con trai ông.
Cauchy quay về Paris năm 1838 và được giữ lại chức vụ cũ ở Viện Hàn Lâm, nhưng
ông không được giảng dạy vì đã từ chối tuyên thệ trung thành với chính phủ. Khi
ông bị vua Louis Philippe bãi chức, ông trở thành giáo sư dạy ở đại học Sorbonne và
tiếp tục công việc đó đến khi qua đời.
Richard Dedekind
Richard Dedekind, sinh ngày
6/10/1831, mất ngày 12/2/1916, là
một nhà tóan học người Đức được
biết đến bởi nghiên cứu của ông về
tính liên tục và định nghĩa về số
thực trong thuật ngữ của
Dedekind”cuts”- phân tích của ông
về bản tính của con số và phương
pháp quy nạp toán học, bao gồm
định nghĩa về vị trí giới hạn và
không giới hạn; và công trình Lý
thuyết số của ông đã gây nhiều ảnh
hưởng, đặc biệt là trong lĩnh vực đại
số. Trong những đóng góp đáng kể
của ông vào tóan học là việc xuất
bản các tác phẩm thu thập lại của
Peter Dirichlet, Carl Gaussvà Georg Riemann. Ngghiên cứu của Dedekind về công
trình của Dirichlet đã dẫn tới nghiên cứu của ông về lĩnh vực số đại số, cũng như sự
giới thiệu của ông về tính lý tưởng. Ông đã phát triển khái niệm này thành lý thuyết
của tính lý tưởng, là điều quan trọng cơ bản trong đại số hiện đại. Dedekind cũng
giới thiệu những khái niệm cơ bản như “Chuỗi vòng”.
Tác giả: J.W.Dauben
Cramer ( kh«ng cã h×nh)
GABRIEL CRAMER

dạy. Bằng chứng là ông đã đề xuất những sự đỗi mới và được viện hàn lâm chấp
nhận là thay vì dạy bằng tiếng Latinh thì ông sẽ dạy bằng tiếng Pháp mặc dù tiếng
Latinh là tiếng thông dụng của các vị học giả lúc bấy giờ.
Năm 1724, Cramer tiếp tục theo đuôi những điều kiện về quy định của mình và bắt
đầu 2 năm du lịch – 1727. Ông đến thăm những đất nước có những nhà toán học ở
các thành phố và nước ở châu Âu. Ông đến Basel nơi mà những nhà toán học đó
đang làm việc, ông trải qua 5 tháng cùng hợp tác với Joham Bernoulli và Fuler người
mà sau đó đến St. Petersburg để làm việc với Daniel Bernoulli. Cramer sau đó đến
Anh để gặp Halley, de Moivre, Stirling và những nhà toán học khác. Cuộc thảo luận
này và sự giữ mối quan hệ của Cramer với họ đã ảnh hưởng rất nhiều đến công việc
của ông khi ông đã trở về Geneva.
Từ Anh Quốc, Cramer đi đến Leiden nơi ông đã gặp ’s Gravesande, sau đó ông lại
tiếp tục cuộc hành trình đến Paris để có cuộc thảo luận với Fontenelle, Maupertuis,
Buffon, Clairaut... 2 năm du lịch đó đã làm cho mọi nhà toán học gặp Gramer đều
phải cảm phục ông, ông vẫn giữ mối quan hệ với họ suốt cuộc đời ông và ông được
giao nhiệm vụ hết sức quan trọng là biên soạn tất cả các tác phẩm, các công trình của
họ.
Năm 1729 ở Geneva, Cramer cố gắng hết sức để tham gia vào một giải được trao bởi
viện hàn lâm Pháp – 1730 là “Quelle est la cause de la figure elliptique des phanètes
et de la mobilité de leur aphélies ?” Viện hàn lâm đánh giá cao Cramer, cho rằng ông
là người giỏi nhất thứ hai mà họ từng nhận được, giải này từng được trao cho Johann
Bernoulli.
Năm 1734, Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học.
Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học,
ông ta còn thú vui khác là viết sách, mặc dù những bài báo đó thường không có nhà
toán học nào viết cả, Cramer phát hành sách với các môn học ở phạm vi rất rộng như
những khó khăn khi giải toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn
Đông. Ông phát hành một bài báo về bắc cực quang và một về pháp luật mà ông có
thể ứng dụng khả năng để chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2,3
nhân chứng so với một nhân chứng.

luật của mình
** Năm 1734, “cặp song sinh Calandrini – Cramer” không còn làm việc chung với
nhau nữa khi Calandrini được trao triếc ghế viện triết học, còn Cramer – toán học.
Cuộc sống của Cramer rất bận rộn, ngoài giảng dạy, quan hệ với các nhà toán học,
Cramer còn viết sách báo, mặc dù thường thì không có nhà toán học nổi tiếng nào
viết chúng cả, Ông phát hành các bài báo ở nhiều địa điểm khác nhau bao gồm hồi kí
viện hàn lâm Pháp năm 1734, viện hàn lâm Berlin năm 1748, 1750 và 1752. Cramer
phát hành sách báo với cá môn học ở phạm vi rất rộng như những khó khăn khi giải
toán hình học, lịch sử toán học, triết học, và về miền viễn Đông. Ông phát hành
PhilosophicalP một bài báo về bắc cực quang ở trong và mộtmTransactions of the
Royal Society of London bài báo về pháp luật mà ông có thể ứng dụng khả năng để
chứng minh ý nghĩa của sự chứng nhận độc lập của 2 hay 3 nhân chứng hơn là một
nhân chứng.
Cramer không chỉ làm việc cho viện hàn lâm mà ông còn tham gia như một thành
viên của “The Council of Two Hundred” – 1734 và “The Council of Seventy” –
1749. Công việc của ông ở đây đã tạo điều kiện cho ông sử dụng những kiến thức về
khoa học và toán học, nên ông đã nhận công việc có liên quan đến pháo, củng cố và
xây dựng lại các toà nhà, sự khai quật và ông được mọi người xem như là một
“chuyên viên lưu trữ”. Ông ta đi du lịch nước ngoài lần II vào năm 1747, lần này ông
chỉ đến Paris để thắt chặt hơn tình bạn của mình với Fontenelle và để gặp
d’Alembert.
Có 2 lĩnh vực về công việc toán học của Cramer mà chúng ta cần chú ý. Đó là công
việc biên soạn mà ông đảm nhận và tác phẩm toán học “Introduction à l’analyse des
lignes courbes algébraique” được xuất bản năm 1750.
Johann Bernoulli mất năm 1748, chỉ 3 hay hơn trước khi Cramer mất, nhưng
Bernoulli đã sắp xếp cho Cramer xuất bản tác phẩm “Complete Works” của mình
trước khi chết. Điều đó thể hiện sự tin tưởng của Bernoulli dành cho Cramer và ông
cũng khẳng định rằng, không có sự biên tập nào về các tác phẩm của ông được xuất
bản bởi những nhà biên soạn khác ngoài Cramer. “Complete Works” của Johann
Bernoulli được Cramer xuất bản trong 4 cuốn vào 1742. Johann Bernoulli không

đi qua 5 điểm. Nó dẫn đến 5 phương trình đường thẳng trong 5 ẩn số và ông muốn
mọi người đọc phần phụ lục có ghi quy tăc của Cramer để giải quyết vấn đề đó.
Nhưng chúng ta tất nhiên nên lưu ý rằng Cramer không phải là người đầu tiên tìm ra
quy tắc này.
Cramer cũng được biết đến vì đã tự làm nghịch các định luật của mình ông phát biểu
một định lý bởi Maclaurin : một phương trình bậc n giao với một phương trình bậc m
thành n.m điểm. Khi lấy m = n = 3 thì 2 khối 3 chiều sẽ giao nhau tại 9 điểm, công
thức tính của Cramer lúc đó là n2/2 + 3n/2 với n = 3 tạo thành 9 nên một khối 3
chiều chỉ duy nhất được xác định bởi 9 điểm. Cramer gọi đó là một nghịch lý nhưng
sự cố gắng của ông để giải thích nghịch lý bên là hoàn toàn sai.
Tên tuổi của Cramer thỉnh thoảng được gắn liền với một vấn đề khác tên là vấn đề
Castillon – Cramer. Vấn đề này được Cramer xuất trình với Castillon, là làm cách
nào để khắc một tam giác trong một vòng tròn mà nó đi qua 3 điểm cho trước.
Castillin giải quyết được vấn đề này sau 25 năm Cramer chết, và vấn đề này vẫn tiếp
tục được tổng quát hoá bằng những cách khác nhau về việc khắc các đa giác trong
một mặt cắt hình nón.
Cramer làm việc cật lực để viết cuốn “Introduction à l’analyse” và đảm nhận biên
soạn các tác phẩm với số lượng rất lớn ngoài công việc bình thường của mình.
Sức khỏe của ông ngày càng đi xuống với chiều hướng không tốt. Ông trải qua 2
tháng nằm trên giường và bác sĩ yêu cầu ông nên nghỉ ngơi ở phía nam nước Pháp để
phục hồi sức khỏe.
Rồi Geneva ngày 21/12/1751, ông bắt đâu cuộc hành trình của mình nhưng ông đã
chết 2 tuần sau đó khi vẫn chưa kết thúc cuộc hành trình.
* article by : J J O’ Connor & E F Robert son.
Euler
Leonhard Euler sinh ngày 15/4/1707, mất ngày 18/9/1783 là nhà toán học có nhiều
phát minh nhất trong lịch sử. 866 quyển sách và bài báo của ông đã chiếm 1/3 trong
toàn bộ nghiên cứu về toán học, lý thuyết vật lý và cơ khí kỹ thuật được xuất bản vào
giữa những năm từ 1726 đến 1800. Trong tóan học thuần túy, ông đã hợp nhất phép
vi phân của Leibniz với công thức vi phân của Newton thành những phân tích tóan

Alexandra để làm vẻ vang cho nhà vua. Thành phố Alexandra là một trung tâm khoa
học, nơi tập họp nhiều nhà bác học nổi tiếng trên thế giới. Nơi đây có một thư viện
lớn tập trung nhiều sách vở của thế giới Đông - Tây. Euclide đã đến đây nghiên cứu,
học tập, bổ sung kiến thức toán học.
Thời Euclide, những kiến thức toán học của Hi Lạp còn rất tản mạn. Euclide là người
hệ thống hóa những kiến thức đó thành một bộ sách toán học gồm 13 tập, đặt tên là
Những nguyên lý. Bộ sách toán học của Euclide có thể coi là cơ sở cho sự phát triển
hình học sơ cấp. Nhiều thế kỷ, bộ sách này được coi là cuốn sách giáo khoa duy nhất
về toán ở Châu Âu.
“Những nguyên lí” là một tập tuyển những thành tựu cơ bản của hình học và là hạt
nhân nòng cốt của toán học trong suốt hai nghìn năm .Không một ai có thể đưa ra
những nội dung kết quả như trong cuốn “Nguyên lí” của Euclide cấu tạo đề mục và
sự trình bày của họ vẫn còn những thiếu sót.
Cuốn “Nguyên lí” mở đầu bằng những định nghĩa và những tiền đề, định đề thứ năm
về đường song song nổi tiếng và đặc biệt nhất, định đề này khẳng định việc tồn tại
duy nhất một đường thẳng qua một điểm và song song với một đường thẳng đã cho.
Sự lựa chọn định đề trên của Euclide đã dẫn đế sự xuất hiện sau này của hình học phi
Euclide vào thế kỉ XIX là sửa đổi định đề này.
“Nguyên lí” bao gồm 13 cuốn . Từ cuốn một đến cuốn 6 là hình học phẳng, từ cuốn
7 đến 9 là luận về tỉ số, cuốn 10 thuyết về số vô tỉ của Eudoxe , và cuối cùng từ cuốn
11 đến 13 là về hình học không gian. Cuốn sách cuối cùng viết sự nghiên cứu những
tính chất của ngũ giác đều và việc chứng minh về sự tồn tại của nó. “Nguyên lí” có
một vài trò rất quan trọng bởi sự sáng suốt của nó mà các định lý được làm sáng tỏ
và được chứng minh sự đòi hỏi về độ chính xác cao đã trở thành đích đến của những
nhà khoa học ở các thế kỉ tương lai.
Hơn 100000 cuốn sách “Nguyên lí” đã được xuất bản cho đến lúc nó được in ấn lần
đầu tiên vào năm 1482.
Ngoài ra, Euclide còn là tác giả của một số tác phẩm khác về quang học, hình học
cao cấp .v.v..
Pierre Fermat

tranh luận với những người theo học phái Desvartes về những định luật về khúc xạ
ánh sáng.
Năm 1654, Blaise Pascal viết thư cho Fermat để hỏi ông bằng cách nào chi lời khi
một trò chơi bị cắt ngang nửa chừng; sáu bức thư trao đổi của hai nhà toán học xoay
quanh vấn đề đó là nguồn gốc của phép tính xác suất, Fermat còn đam mê thuyết các
con số; để nhấn mạnh những bài chứng minh của mình, ông đã sáng chế ra kỹ thuật
“giảm vô hạn” (descente infinie) , đó chính là phương pháp mà ông dùng để chứng
minh rằng không có một số nguyên khác không : định lý này được nhiều người biết
như định lý cuối cùng của Fermat hay “định lí lớn của Fermat”. Những lần thứ
chứng minh định lí này đã giúp thuyết các con số của ông đạt được nhiều tiến bộ lớn,
nhưng phải đợi đến ngày 26/06/1993 , ba thế kỉ sau cái chết của fermat, Andrew
Wiles, giáo sư trường Đại học Princeton ở Hoa Kì, công bố ở Cambridge (Anh) rằg
ông đã chứng minh được hoàn chỉnh định lí Fermat, nhưng còn một phần chưa đầy
đủ, và Wiles đã kết thúc công việc của mình ngày 19/09/1994 với sự giúp đỡ của
người cộng sự Richard Taylor, trường Đại học ở Cambridge.
Định lí Fermat :
an + bn = cn
Định lí vĩ đại Fermat được đề ra bởi Pierre de Fermat “Với mọi n > 3, không tồn tại
một số nguyên a, b, hay c nào khác không sao cho an + bn + cn”
Khi nghiên cứu Số học, tác phẩm lớn của nhà toán học Hy Lap Diophante , ông quan
tâm những chương liên quan tới định lí Pythagore, tức là những tập hợp của ba con
số a, b, c (ví dụ : 3, 4 và 5), nghiệm đúng bất đẳng thức a2 + b2 = c2
Theo Fermat, phương trình an + bn = cn không có nghiệm nguyên nào khi những giá
trị n lớn hơn 2. Chẳng hạn, không tồn tại số nguyên dương a, b, c sao cho
a3 + b3 = c3.
Trước đó, vì không chứng minh, các nhà toán học đã tự hài lòng việc kiểm nghiệm
với những giá trị đặt ra cho n. Các mày tính cho phép kiểm tra đến số mũ 4000000.
Vào những năm 1980, Yoichi Miyaokaune , một người Nhật, đưa ra cách chứng
minh nhưng đã sai, vào tháng 12 năm 1994, ông ta nhận thấy nó không hoàn chỉnh
và đã đưa lại một cách chứng minh khác vào tháng 10 năm 1994. Ngày 23/06/1993 ở

Carbon). Fibonacci được dạy tóan ở Bugia và đi du lịch nhiều nơi với cha ông và
nhận ra những lợi ích to lớn của hệ thống toán học được sử dụng ở những nước mà
họ đặt chân đến. Fibonacci đã viết những đều này trong cuốn sách Liber abaci nổi
tiếng của ông vào năm 1202 : “ Khi cha tôi được đất nước bổ nhiệm như một công
chứng viên của công chúng tại các hải quan ở Bugia, hoạt động cho các thương nhân
Pisa đến đó, ông mang tôi theo đến đó trong khi tôi vẫn còn là một đứa trẻ, và vì thấy
trước sự thuận lợi hữu ích và lâu dài, ông muốn tôi ở đó và nhận sự dạy dỗ trong một
trường học kế toán. Ơ đó, khi tôi được giới thiệu về nghệ thuật của chín biểu tượng
của người An Độ qua một bài giảng phi thường, những kiến thức về nghệ thuật làm
tôi hứng thú hơn tất cả những thứ khác rất nhanh và tôi rất muốn hiểu được chúng, vì
mọi thứ đều được nghiên cứu bởi nghệ thuật của Ai Cập, Syria, Hy Lạp, Sicily, và
Provence, trong tất cả các hình thức phong phú của nó.”
Fibonacci kết thúc các chuyến đi của ông khoảng năm 1200 và trong thời gian đó
ông quay trở lại Pisa. Ơ đó, ông đã viết mọt số văn bản quan trọng đóng một vai trò
quan trọng trong việc làm sống lại những kỹ năng toán học cổ đại và ông đã có
những đóng góp quan trọng của chính mình. Fibonacci sống trong những ngày trước
khi có việc in ấn, vì thế những cuốn sách của ông đều là bản viết tay và cách duy
nhất để có bản sao của một trong các cuốn sách của ông là phải viết tay lại một bản
khác. Trong những cuốn sách của ông, chúng tôi vẫn còn những bản sao của cuốn
Liber abaci (1202), Practica geometriae (Thực tiễn hình học) (1220), Flos (1225) và
Liber quadratorum (bản ghi chép về số chính phương). Một vài bản sao chép tay
được cho rằng từng được sản sản xuất, chúng tôi may mắn có được nguồn vào những
bản viết tay của ông trong các công trình này. Tuy nhiên, chúng tôi biết rằng ông đã
viết một vài văn bản khác mà không may đã bị thất lạc.
Cuốn sách của ông về số học thương mại Di minor guisa bị mất cũng như những lời
bình về cuốn sách những cái sai của các nguyên tố Euclid (Book X of Euclid’s
Elements), cuốn sách chứa đựng một phương pháp diễn đạt bằng số về những con số
không hợp lý mà Euclid đã giải quyết trước đó từ quan điểm hình học.
Người ta có thể đã nghỉ rằng vào thời điểm mà châu Au không ưu đãi về học bổng,
Fibonacci hẳn sẽ bị lờ đi như bình thường. Tuy nhiên điều này không phải thế và sự

trong suốt các chuyến đi của ông. Cuốn sách mà tiếp tục được sao chép và mô phỏng
rộng rãi giới thiệu về Hệ thống số Thập phân giá trị của Hindu – Ả rập và ứng dụng
của những số Ả rập vào châu Au (tựa gốc : the Hindu-Arabic place-valued decimal
system and the use of Arabic numerals into Europe. Thực ra, mặc dù cuốn sách chủ
yếu nói về ứng dụng của những con số Ả rập mà được biết đến như lời luận lý toán
học, nhưng những phương trình đường thẳng cùng xảy ra cùng lúc cũng được nghiên
cứu trong công trình này. Chắc chắn nhiều vấn đề mà Fibonacci quan tâm đến trong
cuốn Liber abaci thì giống như những gì xuất hiện trong các nguồn thông tin của Ả
rập.
Phần thứ hai của Liber abaci bao gồm một bộ sưu tầm lớn các bài toán tập trung vào
các nhà buôn. Chúng liên quan đến giá hàng hoá, cách tính lợi nhuận trong các cuộc
giao dịch, cách qui đổi các loại tiền tệ thông hành khác nhau ở các nước Địa Trung
Hải, và những bài toán bắt nguồn từ Trung quốc.
Một vấn đề trong phần thứ ba của cuốn Liber abaci là những con số Fibonacci và trật
tự Fibonacci – một vấn đề được nhớ đến nhiều nhất ngày nay:
“Một nguời đặt một đôi thỏ vào một nơi bao quanh là những bức tường. Hỏi có bao
nhiêu đôi thỏ đuợc sản xuất từ đôi thỏ đó trong một năm nếu giả sử rằng mỗi tháng
mỗi đôi thỏ sinh ra một đôi thỏ mới kể từ tháng thứ hai trở đi?”
Kết quả lần lượt sẽ là 1,1,2,3,5,8,13,21,24,55,... (Fibonacci đã bỏ trong lời nói đầu
cuốn Liber abaci). Trật tự kế tiếp nhau này, trật tự mà các con số là tổng của hai số
đứng trứơc nó, đã tỏ ra cực kỳ có lợi và xuất hiện trong nhiều lĩnh toán học và khoa
học khác. Tạp chí định kỳ Fbonacci là một tạp chí hiện đại dành cho việc nghiên cứu
toán học liên quan đến trật tự này :
Nhiều bài toán khác được đưa ra trong phần thứ ba này, bao gồm các loại này và
nhiều nhiều hơn nữa:
“ Một con nhện leo quá cao lên trên một bức tường mỗi ngày vàtrượt xuống một
khỏang bằng một số cố định mỗi tối, hỏi bao nhiêu ngày thì con nhện đó leo hết bức
tường.
Một con chó săn có tốc độ tăng theo cách số học đuổi một con thỏ rừng cũng có tốc
độ tăng theo cách số học. Hỏi chúng đi được bao xa trước khi con chó bắt kịp con

một đường cong được tạo thành khi một hình nón bị cắt bởi một mặt phẳng tại một
góc dốc hơn các cạnh của nó so với đáy hình nón). Fibonacci chứng minh rằng
nghiệm của phương trình không phải là một số nguyên cũng không phải là một phân
số, cũng không phải là nghiệm chính phương của một phân số. Ong ta tiếp tục :
“Và bởi vì nó không thể thoã phương trình này theo cách nào ở trên, tôi đã làm việc
để giảm phương pháp xuống một số gần đúng”
Không giải thích phương pháp của mình, Fibonacci đưa ra giải pháp gần đúng là kí
hiệu số có phân số dạng 60 là 1.22.7.42.33.4.40 ( số này được viết như sau : 1 +
22/60 + 7/602 + 42/603 + ...). Kí hiệu này lật ngược lại là số thập phân
1.3688081075 chính xác đến chín chữ số thập phân, một kết quả đáng kinh ngạc.
Cuốn sách Bản ghi chép về số chính phương (Liber quadratorum), đuợc viết năm
1225, là “mẩu” công trình ấn tượng nhất của Fibonacci, mặc dù không phải là công
trình mà ông nổi tiếng nhất. Tên cuốn sách có nghĩa là cuốn sách của bình phương và
nó là một cuốn sách có nhiều lý thuyết kiểm chứng các phương pháp để tìm ra bộ ba
Pythagore. Đầu tiên Fibonacci viết rằng các số bình phương có thể được xây dựng
như tổng của các số lẻ để miêu tả một cách cần thiết một sự xây dựng quy nạp dùng
công thức n2 + (2n + 1) = (n + 1)2. Fibonacci viết :
“Tôi nghĩ về nguồn gốc của các số bình phương và khám phá ra rằng chúng xuất
hiện từ tăng dần có quy tắc của các số lẻ. Ta có số chính phương đầu tiên là 1, cộng
thêm 3 vào ta được số chính phương thứ hai là 4 (22), nếu thêm vào tổng này một số
lẻ là 5 thì số chính phương thứ ba ta được là 9 (32), và vì thế trật tự kế tiếp và các
loạt số chính phương luôn luôn xuất hiện thông qua cách cộng quy tắc các số lẻ.”
Để xây dựng bộ ba Pythagore, Fibonacci đã làm như sau :
“Vì thế khi tôi muốn tìm hai số bình phương mà tổng của chúng lại cho ra một số
chính phương, thì tôi lấy bất kì một số lẻ nào là số chính phương và tìm số thứ hai
bằng cách cộng các số lẻ đứng trước nó ngoại trừ số chính phương lẻ đó. Ví dụ như,
tôi lấy 9 như một trong hai số bình phương được đề cập đến; số còn lại sẽ thu được
bằng cách thêm vào 9 các số lẻ trước 9 là 1,3,5,7, tổng số sẽ được là 16, một số chính
phương, số này sau khi thêm 9 sẽ được 25, một số chính phương.”
Fibonacci cũng chứng minh nhiều kết quả thú vị theo lý thuyết như là :

kiểu mẫu về lòng yêu nước tự do và theo chủ nghĩa Von-te. Mẹ ông dạy ông tiếng hy
lạp và tiếng latinh với một truyền thống thuần thiên chúa giáo và chính thống chủ
nghĩa đặc trưng của một gia đình quan viên và luật gia. Vào năm 12 tuổi, được nhận
học bổng của trường trung học hoàng gia Louis-Le-Grand, Galois đã hiểu được cùng
một lúc những lời ca tụng của thế hệ ông cũng như sự kìm hãm của nó. Ở tuổi 15,
chán chường với những bài học văn học, ông chuyển qua môn toán – môn học được
xem là môn phụ – mà nay đã được ông chú tâm hoàn toàn vào! Ông thích tìm tòi và
khinh thường những bài tập ở trường. Khát khao được vào học tại trường Bách Khoa
– nơi có thầy Augustin Cauchy giảng dạy, ông tự giới thiệu và trượt lần đầu tiên.
Năm 1828, được một người thầy giúp đỡ, ông có những phát minh mang tính thời
đại. Ông sát nhập những khái niệm và phương pháp được trình bày bởi Gauss và
Cauchy và đến năm 1829, ông trình bày những nghiên cứu về lý luận phương trình
của mình.
Bị từ chối khỏi trường Bách Khoa năm 1829 bởi một câu hỏi nhỏ mà ông coi thường
không chịu bàn về (ông sai nhưng ngoan cố không nhận). Sau đó, ông thi và đậu vào
trường dự bị (trường chuyên chất lượng cao bình thường – Trường Cao đẳng sư
phạm). Tại đây, ông thực hiện bản luận văn khoa học đầu tiên nhắm đến Giải thưởng
lớn về toán học của Viện hàn lâm khoa học năm 1830 nhưng những bản báo cáo của
ông sau đó được thông báo là bị biến mất. Một năm sau đó, bản báo cáo khoa học
thứ hai của ông bị đánh giá là khó hiểu (không thể hiểu được!). Vào thời điểm này,
cha của ông tự sát sau một chuỗi những âm mưu làm loạn chính trị của phó linh mục
vùng Bourg-La-Reine và ông bị đuổi khỏi trường sau khi gửi một lá thư cho tờ báo
“La Gazette des écoles” (Báo của các trường) mà nội dung là ông đã tố cáo thái độ
của thầy hiệu trưởng trong “Ba ngày vinh quang” (27-28-29) của cuộc Cách mạng tư
sản Pháp vào tháng 7.
Ông tham gia vào nhóm “les Amis du peuple” (“Bạn dân”) và vào cuộc khởi nghĩa –
cuộc cách mạng tư sản Pháp. Tháng 4 năm 1831, trong một bữa tiệc của người Cộng
Hoà, một tay nâng cốc, một tay cầm con dao bỏ túi mở lưỡi, Galois hô lớn :”A
Louis-Philippe” và ông bị bắt nhưng rồi được thả trắng án. Hai tháng sau, tại cầu
Mới, trong trang phục pháo binh, ông dẫn đầu đoàn người biểu tình và bị bắt. Bị

• Trường mở rộng của Galois : sự mở rộng giới hạn L của tập K, lũy thừa n, sẽ tuân
theo quy luật của Galois khi và chỉ khi tập hợp LG những bất biến của nhóm Galois
G=G(L/K) đượ rút gọn về K. Nhóm Galois khi đó theo thứ tự n.
• Sự tương ứng của Galois : trường mở rộng Galois L của tập hợp K được cho trước,
áp dụng cho một nhóm các phân nhóm Galois G (L/G) trong tập hợp những tập hợp
con L chứa K mà trong phân nhóm H của G(L/G), kết hợp tập hợp những bất biến
L
H
, sẽ bijective.
Suy nghĩ của Galois đã chứng tỏ (bằng thực nghiệm) những đẳng cấu nhóm của tập
hợp này.
Ta có a
n
x
n
+a
n-1
x
n-1
+a
n-2
x
n-2
+...+a
0
=0 hàm số bất khả quy mà tất cả hàm căn khác nhau
là x
1
,x
2

i+1
/G
i
phải giao hoán với nhau. Như vậy, đẳng thức chung bậc 4 trở lên sẽ không giải được
bằng hàm căn thức tại vì số nhóm những hoán vị của n phần tử là không giải
được.
Johann Carl Friedrich Gauss
Sinh ngày 30/4/1777 tại Brunswick
Mất ngày 23/2/1855 tại Gottingen, Hanover
Vào năm bảy tuổi ,Carl Friedrich Gauss bắt dầu học tiểu học và tài năng của ông ta
được chú ý ngay lập tức. Thầy Buttner và trợ giảng Martin Martels đã rất ngạc nhiên
khi Gauss cộng các số nguyên từ 1 đến 100 ngay tức thì bằng cách cộng 50 cặp số có
tổng là 101.
Năm 1788 Gauss bắt đầu học tiếng Đức và tiếng Latin tại trường Gymnasium và
nhận được sự giúp đỡ nhiệt ting của Buttner và Bartels. Sauk hi nhận được khoảng
tiền từ công tước vùng Brunswick –ngài Wolfenbuttel, năm 1792 Gauss vào học
trường cao đẳng Brunswick Collegium Carolinum. Tại đây Gauss đã độc lập khám
phá ra định luật của Bode, định lí về nhị thức và ý nghĩa giữa số học và hình học,
cũng như định luật về tính nghịch đảo của phương trìng bậc 2 và định lí về số
nguyên tố.
Năm 1795 Gauss rời Brunswick để học ở trường đại học Gottingen.Gaus thường chế
nhạo thầy Kastner của mình. Người bạn duy nhất của Gauss là Farkas Bolyai. Họ
gặp nhau vào năm 1799 và giao thiệp với nhau trong nhiều năm.
Gauss đã không nhận được bằng tốt nghiệp khi rời Gottingen, nhưng vào lúc nay
Gauss đã khám phá ra một dịnh luật rất quan trọng, đó là việc xây dựng 17-gon bình
thường bằng thước và compa. Đây là sự tiến bộ vĩ đại nhất trong lĩnh vực này từ thời
toán học Hi Lạp và được xuất bàn trong chương 7 của cuốn Disquisitiones
Arithmeticae, cuốn sách về những công trình nổi tiếng của Gauss.
Gauss trở về Brunswick và nhận chứng chỉ vào năm 1799. Sau khi đồng ý trả tiền
công cho Gauss, công tước vùng Brunswick yêu cầu Gauss phải đệ trình luận án tiến

thêm ba đứa con. Cuộc hôn nhân này đã tạo nhiều thuận lợi cho Gauss.
Công việc của Gauss bị trì trệ bởi vì bi kịch này. Ông cho xuất bản cuốn sách thứ hai
của mình,cuốn Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem
ambientium vào năm 1809. Đây là hai tuyển tập luận án về sự chuyển động của các
thiên thể. Trong tuyển tập thứ nhất Gauss đề cập đến bất phương trình, các tiết diện
hình nón và quĩ đạo elip. Tuyển tập thứ hai là phần chính của công trình. Gauss đã
chỉ ra cách để ước tính và cách chọn lọc những ước tính về quỹ đạo của các hành
tinh. Gauss đã ngưng thu thập của Gauss về thiên văn học sau năm 1817, mặc dù ông
còn làm việc quan sát thiên văn cho đến năm 70 tuổi.
Ông dành hầu hết thời gian của mình làm việc ở đài thiên văn cho đến năm 1816
nhưng ông vẫn dành thời gian để nghiên cứu những chủ đề khác . Trong thời gian
này ông cho xuất bản cuốn Disquisitiones generales circa seriem infinitam – cuốn
sách về vệc xử lí chặc chẽ các chuỗi toán học và giới thiệu về chức năng của hình
học cao cấp; cuốn Methodus nova integralium valores per approximationem
inveniendi – đây là một bài thảo luận về đánh giá thống kê và cuốn Theoria
attractionis corporum sphaeroidicorum ellipticorum homogeneorum methodus nova
tractata. Công việc sau này của Gauss được truyền cảm hứng từ những vấn đề về đo
đạc và đựơc quan tâm cùng với tài năng lí luận. Sự thật Gauss đã nhận thấy sự hứng
thú của mình về sự đo đạc vào mhững năm 1820.
Vào năm 1818, Gauss đã được mời làm việc ở cục đo lường thuộc bang Hanover để
kết nối với đường dây hiện tại của Đan Mạch. Gauss đã rất vui vẻ nhận nhiệm vụ cá
nhân ở cục đo lường. Ông .làm công việc đo lường ngày đêm với tinh thần lao động
hăng say cho việc tính toán. Gauss thường viết thư cho Schumacher, Olbers, Besssel,
báo cáo tình hình và thảo luận những vấn đề.
Bởi vì cục đo lường này, Gauss đã khám phá ra được đá heliotrope. Viên đá này
được dùng để phản chiếu lại những tia nắng mặt trời dùng trong việc thiết kế nhửng
tấm gương và kính viễn vọng nhỏ. Tuy nhiên, những giới hạn không chính xác này
được sử dụng cho cục đo lường và những hệ thống không thỏa đáng của tam giác.
Gauss rất vui nếu ông nhận được những lời khuyên hữu ích để theo đuởi những nghề
nghiệp khác nhưng ông ta đã cho xuất bản hơn 70 bài báo vào khoảng giữa năm

Ông được mời giữ một chức vụ ở trường Đại học Berlin và Minna và gia đình rất
muốn được dời về đó. Tuy nhiên Gauss không thích thay đổi và quyết định ở lại
Gottingen. Vào năm 1831 người vợ thứ 2 của Gauss qua đời sau khi bệnh nặng trong
một thời gian dài.
Năm 1831 Wilhelm Weber đến Gottingen đảm đương chức giáo sư vật lí thay ông
Tobias Mayer. Gauss quen biết với Weber từ năm 1828 và hỗ trợ cho công việc của
ông ta. Gauss đã làm việc trên lĩnh vực vật lý trước năm 1831, xuất bản cuốn Uber
ein allbemeines Grundgesetz der Mechanik, bao gồm cả nguồn gốc của sự bắt buộc ,
và cuốn Principia generalia t heorae figurae fluidorum in statu aequilibrii thảo luận
về lực hấp dẫn. Bài luận này dựa trên khả năng lí luận của Gauss, và đã chứng minh
được sự quan trọng của Gauss trên lĩnh vực vật lý.
Năm 1832 gauss và Weber bắt đầu nghiê cứu về lí thuyết về hiện tượng từ trường
trái đất sau khi Alexander von Humboldt cố gắng tìm kiếm sự giúp đỡ của Gauss
trong việc thiết lập hệ thống nghiên cứu từ tính vòng quanh trái đất.Gauss rất thích
thú với công việc này và trước năm 1840 ông đã viết ba luận án quan trọng về đề tài
này. Tất cả những luận án này đều liên quan đến những lí thuyết hiện tại về từ trường
trái đất , bao gồn cả ý kiến của Poisson , sự đo đạc chính xác lực từ và kinh nghiệm
về định nghĩa từ trường trái đất.
Một trong ba cuốn sách trên chỉ ra có hai cực trên trái đất và chứng minh bằng một
định lí quan trọng, liên quan tới sự xác định cừng độ của từ trường, của lực từ phụ
thuộc vào gáo lệch. Gauss sử dụng phương trình của Laplace để hổ trợ ông trong
việc tính toán, và đưa ra vị trí chính xác của cực nam của nam châm.
Humboldt chế ra loại lịch để quan sát độ lệch của từ trường trái đất. Tuy nhiên khi
trạm quan sát từ trường của Gauss dược xây dựng, ông tiếp tuc sử lại nhiều thủ tục
của Humboldt, làm mất lòng ông ta. Tuy vậy Gauss cũng đạt được nhiều kết qua
chính xác.
Gauss và Weber đã thành công rất nhiều trong sáu năm làm việc cùng nhau. Họ đã
tìm ra định luật Kirchhoff bằng máy điện báo sơ khai có thể gửi tin nhắn trong phạm
vi hơn 5000 bộ. Tuy nhiên đây chỉ là trò tiêu khiển của Gauss. Ông còn thích thù hơn
trong việc thiết lập một mạng lưới trạm đo từ tính trê toàn trái đất. Việc này đã gây

về khai triển hàm số giải tích trong một phần được qui định bởi một đường cong
phẳng như là tổng của các đa thức, các đa thức được xác định trong phần này. Các đa
thức này được biết như “Đa thức Faber”. Hầu hết các tác phẩm của ông là lý thuyết
hàm số.
Ong cũng biên sọan một bộ các tác phẩm của Christoffel và các tập 14, 15, 16 của bộ
các tác phẩm của Euler. Ong thích việc dạy toán và đã cùng làm việc với von Dyck ở
Munich. Faber còn diễn thuyết về phép phân tích phức tạp, lý thuyết về xác suất, tính
tương đối và cơ học giải tích. Khi Chiến tranh thế giới lần thứ hai kết thúc năm 1945,
Faber được chính phủ chỉ định làm hiệu trưởng của trường Technische Hochschule ở
Munich. Ong đã tổ chức việc giảng dạy lại ở trường đại học trước khi về hưu vài
năm sau đó. Ong còn có nhiều sở thích khác bên cạnh toán học, ông là nhà ngôn ngữ
học, yêu nhạc, họa và đi bộ đường dài.
Tác giả: JJ O’ Connor và EF Robertson.
Guillaume Francois Antoine Marquis De
L’Hopital
Sinh năm 1161 – Mất năm 1704
Guillaume de L’Hôpital từng phục vụ trong quân đoàn kỵ binh cho đến khi từ chức
vì cận thị. Từ đó, ông bắt đầu quan tâm đến Toán học. Ông được học các phép toán
từ người thầy Johann Bernoulli học từ cuối năm 1691 đến tháng 7 năm 1692.
L’Hôpital là một nhà toán học rất có năng lực và ông đã bắt đầu giải bài toán về
đường cong ngắn nhất trên đồ thị. Trước đây có nhiều nhà toán học đã độc lập giải
bài toán này như Newton, Leibniz và Jacob Bernoulli và điều đó đã tạo nhiều điều
kiện thuận lợi cho L’Hôpital. L’Hôpital được biết đến với cuốn sách “Phân tích giá
trị nhỏ nhất của những đường cong đồ thị” (“Analyse des infiniment pour
l’intelligence des lignes courbes”) (1696), được xem là văn bản đầu tiên viết về phép
tính vi phân. Trong phần mở đầu, L’Hôpital thừa nhận sự biết ơn đối với những nhà
toán học đi trước Leibniz, Jacob Bernoulli và Johann Bernoulli nhưng cũng khẳng
định những công trình mới trong sách là sự tìm tòi của bản thân ông.
Cuốn sách này nói về một định lý, gọi là định lý L’Hôpital, về việc tìm giới hạn của
hàm số mà tử số và mẫu số tiến tới 0 tại một điểm.

Tubingen, và rồi (như hiện nay) trở thành một thành trì của những người theo thuyết
Lu-ti chính thống.
* Quan điểm của Kepler: