MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN
TRONG CƠ HỌC CHẤT ĐIỂM
GV: Th.s Đặng Hữu Thọ
Bài tập 1 Một vật đặt giữa dầm đàn hồi tạo cho dầm có độ võng
1
δ
,
1
δ
gọi là độ võng
tĩnh . Cho dầm không có khối lượng. Hãy xác định độ võng cực đại
axm
δ
khi cho vật rơi
từ độ cao H so với độ cao khi dầm nằm ngang.

Hướng dẫn
Gọi dầm có độ cứng là K
Khi cân bằng tĩnh thì:
1
mg K
δ
=
1
mg
K
δ
⇒ =
Động năng của vật ở A và ở B đều bằng 0
Suy ra:
0

ax ax
2
ax 1 ax 1 ax
1
( ) 0
2
2 2 0
m m
m m m
mg H K
δ δ
δ δ δ δ δ
+ − =
→ − − =
Giải phương trình, ta có:

2
ax 1 1 1
2
m
H
δ δ δ δ
= + +

2
ax 1 1 1
2
m
H
δ δ δ δ

2
sau va chạm.

,
α β
là góc lệch hướng chuyển động của m
1
,m
2
so với hướng chuyển động ban đầu
của hạt m
1
sau va chạm.
Áp dụng ĐLBT động lượng, ta có:

1 1 1 2 2
m v m v m v= +
r r r
(1)
Chiếu phương trình (1) lên
phương nằm ngang và phương thẳng đứng, ta có:
v
r
2
v
r
1
v
r
α

(3)
Vì va chạm hoàn toàn đàn hồi nên áp dụng ĐLBT cơ năng, ta có:

2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
m v m v m v m v m v m v= + ⇒ = +
(4)
Từ (1), suy ra:
2 2 1 1 1
os osm v c m v m v c
β α
= −

2 2 2
2 2 1 1 1
( ) ( os ) ( os )m v c m v m v c
β α
= −
(5)
Từ (3), suy ra:
2 2 2 2
1 1 2 2
( ) (sin ) ( ) (sin )m v m v
α β
=
(6)
Từ (5) và (6), ta có:
2 2 2

2
2
2
2
1
sin
m
m
α
≤
nên
2
1
sin
m
m
α
≤
Vậy giá trị lớn nhất của góc lệch hướng chuyển động của m
1
là2
ax
1
sin
m
m
m

v gl=
Theo ĐLBT cơ năng
vận tốc nhỏ nhất của đạn được xác định bởi điều kiện:
V
1
m
m
2m

2
2
0
1min
2
2
4 5
8 2
mv
mv
mgl mgl= + =
Hay:
0
2 5v gl=
b. Khi tấm gỗ được thả tự do, để dây quay đủ vòng thì vận tốc nhỏ nhất của quả cầu
và đạn đối với điểm treo tại điểm cao nhất là:
min
u gl=
.
Như vậy:trong hệ qui chiếu gắn với trái đất, tại thời điểm quả cầu ở cao nhất, gọi vận tốc
của tấm gỗ và quủa cầu là

(1)
Theo ĐLBT cơ năng, vận tốc nhỏ nhất của viên đạn
/
0
v
xác định từ hệ thức:
2
/2
2
0
2 ( )
2
4
8 2 2
m u gl
mv
Mu
mgl
−
= + +
(2)
Từ (1) và (2):
/
0
8
2 (5 )
m
v gl
M
= +

mgl m M= + + +
(5)
Từ (3),(4) và (5) ta tính được:
2
(4 3 )
2
y
m M gl
v
m M
+
=
+
Phương trình chuyển động của quả cầu theo phương dọc dây khi dây nằm ngang là:
2
2
(2 )
y
mv
m M
T
M l
+
=
Vậy lực căng dây T khi dây nằm ngang là:

2
2 (4 3 )
(2 )
mM m M

mv mgl⇔ =

2
2
c
v gl⇒ =
Phương trình chuyển động của quả cầu:

P T ma+ =
r r
r
(1)
Tại C: -P+T=ma
ht
( )
ht
T m g a⇒ = +
Trước khi chạm đinh:
2
1
( ) 3
c
v
T m g mg
l
= + =
Sau khi chạm đinh:
2
2
( ) 5

1 1
w w (1 os )
2 2 2
2
os
3
c D c
l
mg c mv mv
c
α
α
= ⇔ − + =
⇒ = −
A
B
C
O
D
x
y
suy ra
1
5
(1 os )
2 6
l l
h c
α
= − =

2
1
.sin
2
y gt v t
β
= − +
suy ra:
2 2
2 2
27 9
tan .
2 os 28 4
g
y x x x x
v c
β
β
= − + = − −
. Quỹ đạo là một phần của parabol
• Quả cầu lên đến vị trí cao nhất tại M.

2 2
sin
5
2 54
M
v
l
h

là độ cao tối thiểu của nêm để vật m lên đến đỉnh và cùng trượt với nêm.
Theo định luật bảo toàn động lượng và bảo toàn năng lượng , ta có:

( )
0
mv m M v= +

( )
2 2
0 0
1 1
2 2
mv M m v mgH= + +
Suy ra:
2
0
0
1,04
2 ( )
Mmv
H m
g M m
= =
+
Trường hợp 1: H=1m:
Vật m trượt qua đỉnh nêm và trượt xuống mặt phẳng ngang
Gọi v
1
,v
2

Thay (3) vào (1), ta có: m(v
0
-v
1
)=M(v
0
+v
1
) (4)
Suy ra
1 0
0
m M
v v
m M
−
= <
+
vô lí
Vậy V
2
=0
⇒
v
1
=v
0
=5m/s
Trường hợp 2: H=1,2m>H
0

0min
, vật lên nêm cao 1,2m thì dừng lại cùng chuyển động với nêm với vận tốc v
mv
0min
=(m+M)v

2 2
0min
1 1
( )
2 2
mv m M v mgH= + +
Suy ra:
0min
2 (1 ) 5,37( / )
m
v gH m s
M
= + =
.
H
Bài tập 6: Đứng trên một chiếc cầu nhỏ bắc qua con kênh, một bạn học sinh nhìn xuống
và ước tính độ cao của cầu so với mặt nước H
0
=10(m). Để kiểm tra ước đoán của mình
có chính xác không. bạn ấy dùng sợi dây nhẹ đàn hồi có độ cứng K=100N/m. Nhận thấy,
nếu thả xuống sát mặt nước thì kết quả sẽ không chính xác do sợi dây không thẳng. Bạn
ấy đã dùng một quả cầu kim loại có khối lượng riêng
3
8,8( / )g cm

Suy ra:
0
0
2
7,5( )
mgH
l H m
k
= − =
(1)
Độ cao thực chất của cầu là H, vật chìm vào nước ở độ sâu x. Theo ĐLBT năng lượng, ta
có:
2
0
1
( ) ( )
2
m
mg H x gx k H x l
ρ
ρ
+ − = + −
(2)
Để tìm liên hệ giữa x và l, ta sử dụng đoạn dây chìm trong nước có độ dài tự nhiên
h=0,25m.
Khi vận tốc của vật bằng 0 thì lực căng dây bằng:
( )T k H x l= + −
(3)
Đây chính là lực căng của đoạn dây dài h được kéo đến độ dài x. Độ cứng của đoạn dây
này là:

(5)
Thế (5) vào (2) suy ra:
2
0
. . 1 .
( ) ( )
2
m
H h H h H h
mg H g k H l
l h l h l h
ρ
ρ
+ − = + −
− − −
(6)
Thay các dữ kiện bài ra vào (6), ta tìm được hai nghiệm:
H
1
=9,7(m) và H
2
=5,4 (m)
Kết hợp với điều kiện
x h>
suy ra H
2
=9,7(m) là thoả mãn
Vậy bạn học sinh đó đã đoán khá chính xác, sai số
3%
.