Biến đổi Fourier
Biến đổi Fourier liên tục
Chuỗi Fourier
Biến đổi Fourier rời rạc
Biến đổi Fourier theo thời gian
gián đoạn
Biến đổi Fourier rời rạc
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Trong toán học, phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT), đôi khi còn được gọi là
biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi trong giải tích Fourier cho các tín hiệu
thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực
hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên
các máy tính. Đặc biệt, biến đổi này được sử dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu
và các ngành liên quan đến phân tích tần số chứa trong trong một tín hiệu, để giải
phương trình đạo hàm riêng, và để làm các phép như tích chập. Biến đổi này có
thể được tính nhanh bởi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT).
Mục lục
1 Định nghĩa
2 Các tính chất
2.1 Đầy đủ
2.2 Trực giao
2.3 Định lý Plancherel và định lý Parseval
2.4 Tuần hoàn
2.5 Định lý dịch
2.6 Unita
3 Ứng dụng
3.1 Phân tích phổ
4 Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc
5 Tham khảo
6 Liên kết ngoài
Định nghĩa

k
:
trong đó atan2 là dạng hai đối số của hàm arctan. Cần ghi chú rằng các thừa số chuẩn hóa của DFT và IDFT (ở
đây là 1 và 1/N) và dấu của các số mũ chỉ là quy ước, và có thể khác nhau trong các tài liệu khác nhau. Điều kiện
duy nhất cho các quy ước này là DFT và IDFT có dấu ngược nhau ở các số mũ và tích của hai thừa số chuẩn hóa
phải là 1/N.
Các tính chất
Đầy đủ
Phép biến đổi Fourier rời rạc là một biến đổi tuyến tính khả nghịch
trong đó C kí hiệu tập các số phức. Nói cách khác, với mọi N > 0, mọi vectơ phức N chiều đều có một DFT và
một IDFT, và chúng đều là các vectơ phức N chiều.
Trực giao
Các vectơ tạo thành một cơ sở trực giao của tập các vectơ phức N chiều:
trong đó là hàm delta Kronecker. Có thể dùng điều kiện trực giao để suy ra công thức cho IDFT từ định
nghĩa của DFT, và điều kiện này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Định lý Plancherel và định lý Parseval
Nếu X
k
và Y
k
là các DFT của x
n
và y
n
thì theo định lý Plancherel:
trong đó dấu sao kí hiệu số phức liên hợp. Định lý Parseval là một trường hợp đặc biệt của định lý Plancherel:
Các định lý này tương đương với điều kiện unita dưới đây.
Tuần hoàn
Nếu như ta tính biểu thức định nghĩa DFT tại mọi số nguyên k thay vì chỉ cho k=0, , N-1, thì dãy số nhận được là
một mở rộng tuần hoàn của DFT, và có chu kì N.

đây). Trong không gian vectơ thực, một biến đổi unita có thể xem là phép quay vật rắn của hệ tọa độ, và tất cả các
tính chất của phép quay vật rắn đều đúng cho toán tử unita DFT.
Tính trực giao của DFT nay có thể viết dưới dạng điều kiện trực chuẩn:
Nếu X được định nghĩa là unita DFT của vectơ x thì
và định lý Plancherel có thể viết dưới dạng:
Nếu ta coi DFT chỉ là một phép biến đổi tọa độ trong đó chỉ cần chỉ ra các thành phần của vectơ trong hệ tọa độ
mới, thì mệnh đề trên chỉ nói rằng tích vô hướng của hai vectơ được giữ nguyên trong phép biến đổi unita DFT.
Trong trường hợp đặc biệt khi x=y, điều này có nghĩa là độ dài vectơ cũng được giữ nguyên—đây chính là định lý
Parseval:
Ứng dụng
DFT có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khác nhau. Ở đây chỉ mô tả một số ví dụ (tham khảo thêm các
tài liệu ở cuối trang). Tất cả các ứng dụng của DFT đều dựa trên một tính chất quan trọng là DFT và IDFT đều có
thể được tính nhanh chóng bằng thuật toán biến đổi Fourier nhanh.
Phân tích phổ
Khi sử dụng DFT để phân tích phổ, dãy {x_n} thường đại diện cho một dãy hữu hạn các mẫu tại các thời điểm
cách đều nhau của một tín hiệu x(t), trong đó t để chỉ thời gian. Việc chuyển từ thời gian liên tục sang mẫu (thời gian
rời rạc) chuyển biến đổi Fourier liên tục của x(t) thành biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT), và thường gây ra
hiệu ứng răng cưa. Việc chọn lựa tần số lấy mẫu thích hợp (xem tần số Nyquist) là vô cùng quan trọng cho việc
giảm thiểu hiệu ứng này.
Một số cặp biến đổi Fourier rời rạc
Một số cặp DFT
Ghi chú
Định lý dịch
DFT cho số
thực
từ công thức
cấp số nhân
từ định lý nhị
thức
là một hàm

Oppenheim, Alan V.; Schafer, R. W.; and Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper
Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2.
Smith, Steven W. (1997). The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing
( . San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 0-
9660176-3-3. />Cormen, Thomas H.; Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). "Chapter 30:
Polynomials and the FFT". Introduction to Algorithms (ấn bản Second Edition). MIT Press and McGraw-
Hill. pp.822–848. ISBN 0-262-03293-7. esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830–838.
P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). "On computing the inverse DFT". IEEE Trans. Acoust.,
Speech and Sig. Processing 36 (2): 285–286.
J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). "Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier
transformation". IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66-74.
Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). "Eigenvectors and functions of the discrete Fourier
transform". IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 30 (1): 25-31.
F. A. Grünbaum (1982). "The eigenvectors of the discrete Fourier transform". J. Math. Anal. Appl. 88 (2):
355-363.
Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). "Fractional Fourier-Kravchuk transform". J. Opt.
Soc. Am. A 14 (7): 1467-1477.
C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). "The discrete fractional Fourier transform". IEEE
Trans. On Signal Processing 48 (5): 1329-1337.
Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). "Hermite-
Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value
decomposition of its orthogonal projection matrices". IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245-2254.
Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). "On the multiangle centered discrete fractional Fourier
transform". IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273-276.
J. Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). "The finite Fourier transform". IEEE Trans. Audio
Electroacoustics 17 (2): 77-85.
Liên kết ngoài
Mathematics of the Discrete Fourier Transform by Julius O. Smith III
( />Fast implementation of the DFT - coded in C and under General Public License (GPL) ()
Xử lý tín hiệu số