Giới thiệu
Trong những năm gần đây, các ứng dụng máy tính cho quản lý ngày càng nhiều.
Cách mạng về máy vi tính đã tạo điều kiện để máy tính hỗ trợ tích cực các nhà quản lý, họ
có thể truy cập đến hàng ngàn cơ sở dữ liệu ở nhiều vị trí khác nhau để thu thập các thông
tin cần thiết. Hầu hết các tổ chức, các công ty đều dùng phân tích có tính toán trong quyết
định của mình. Hệ trợ giúp quyết định ngày càng đóng một vai trò quan trọng trong quá
trình ra quyết định của các nhà quản lý. Hiện nay mô hình dữ liệu được sử dụng trong các
hệ trợ giúp quyết định phổ biến vẫn là mô hình cơ sở dữ liệu quan hệ (CSDLQH) truyền
thống.
Trong mô hình CSDLQH truyền thống các dữ liệu được lưu trữ đều là dữ liệu rõ.
Các phép toán trên CSDL đều được xây dựng dựa trên cơ sở các phép so sánh đơn giản
như =, >, ≥, ≤, <, ≠. Trong đó các phép so sánh dùng để so sánh giữa hai biến là hai thuộc
tính hoặc giữa một biến là một thuộc tính và một hằng, kết quả cho giá trị “TRUE” hoặc
“FALSE” tùy theo mối quan hệ của chúng. Như vậy miền giá trị của biến được so sánh là
miền các giá trị rõ và việc so sánh là so sánh chính xác. Tuy nhiên thông tin về thế giới
thực cần lưu trữ hay xử lý thường có thể là thông tin không đầy đủ, chúng có thể có nhiều
dạng chẳng hạn như: không biết một số thông tin về một đối tượng, thông tin lưu trữ có thể
không chính xác, thông tin lưu trữ có thể không chắc chắn hay mờ. Do đó, các nhà quản lý
thường phải đối mặt với vấn đề thiếu thông tin trong quá trình ra quyết định, họ phải dùng
đến những thông tin không hoàn toàn đầy đủ để rút ra các tri thức tổng hợp, hỗ trợ cho việc
ra quyết định.
Việc cần thiết phải có một mô hình cơ sở dữ liệu thích hợp để cho phép lưu trữ và xử
lý cả những thông tin đầy đủ và không đầy đủ đã được nhiều nhà khoa học quan tâm
nghiên cứu. Hiện tại đã có nhiều cách tiếp cận mở rộng đưa dữ liệu mờ vào lý thuyết quan
hệ với mong muốn tìm được những mô hình chấp nhận thông tin không đầy đủ, cho phép
biểu diễn và khai thác thông tin một cách tốt hơn, tiện lợi hơn trong những lớp bài toán
thực tế nào đó.
1
Với mục đích tìm hiểu các mô hình đã được sử dụng để mở rộng CSDLQH, đồ án
này sẽ đề cập đến một số cách tiếp cận mờ để mở rộng CSDLQH trong Chương I, trong đó
nhấn mạnh vào mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự của hai tác giả P.Buckles và

2
× ×D
n
→[0,1].
2
Như vậy, mỗi bộ của R có dạng t=(u
1
,u
2
, ,u
n
,µ
R
(u
1
,u
2
, ,u
n
)), trong đó u
i
∈D
i
với
i=1,2, ,n, µ
R
(u
1
,u
2

), π
Ai
∈Π(D
i
). Ngoài ra còn có thêm phần tử đặc
biệt e để chỉ những giá trị không thể áp dụng. Như vậy π
Ai
được

định nghĩa là một hàm xác
định từ (D
i
∪e) lên [0,1].
Theo mô hình này các giá trị thuộc tính được làm mờ hóa bằng việc cho phép các
phân phối khả năng xuất hiện như một giá trị thuộc tính.
Vào năm 1989 và 1991, Rundensteiner, Hawkes, Bandler và Chen đã mở rộng mô
hình này bằng cách thêm vào một quan hệ c
i
xác định trên mỗi miền D
i
thể hiện mối quan
hệ “gần nhau” giữa các phần tử của miền, c
i
: D
i
×D
i
→[0,1] là một quan hệ mờ hai ngôi trên
D
i

1
) ≥ SP(f
1
, f
2
),
Tác giả đưa ra tiêu chuẩn để xây dựng hàm đo xấp xỉ ngữ nghĩa trên số mờ dạng
khoảng:
Cho f
1
=[a
1
,b
1
], f
2
=[a
2
,b
2
], g
1
=[c
1
,d
1
], g
2
=[c
2

1
=b
2
, c
1
=c
2
, d
1
=d
2
và |d
1
-c
1
|>|b
1
-a
1
| thì SP(f
1
,f
2
)≥SP(g
1
,g
2
).
Đối với mô hình này, khi so sánh hai bộ thì phải so sánh về mặt ngữ nghĩa. Nói cách
khác, hai bộ được gọi là bằng nhau nếu độ xấp xỉ ngữ nghĩa của chúng vượt quá một

một bộ cũng có thể là một giá trị vô hướng (đơn) hay một dãy gồm nhiều giá trị vô hướng.
Quan hệ bằng nhau ở đây được thay thế bởi một quan hệ tương tự được mô tả tường minh
4
mà quan hệ bằng nhau trong mô hình CSDLQH truyền thống chỉ là một trường hợp riêng
của nó.
2.1. Những định nghĩa cơ sở
Định nghĩa 1.1. Một quan hệ tương tự S
D
(x, y), trên một miền D, là một ánh xạ mọi cặp
phần tử của miền vào khoảng đóng [0, 1] thoả ba tính chất sau với mọi x, y, z∈D:
1.Phản xạ S
D
(x, x)=1
2.Đối xứng S
D
(x, y) =S
D
(y, x)
3.Bắc cầu S
D
(x, z)
≥
Max
y
(Min[S
D
(x, y), S
D
(y, z)])
Một giá trị thuộc tính d

), d
ij
⊆D
j
.
Định nghĩa 1.4. Một thể hiện ℑ={a
1
, a
2,
…, a
m
} của một bộ t
i
=(d
i1
, d
i2
…, d
im
) là bất cứ một
phép gán nào sao cho a
j
∈d
ij
∀j=1, 2,…, m.
Không gian thể hiện là D
1
× D
2
× × D

i2
,…, d
im
) và t
k
=(d
k1
, d
k2
,…, d
km
), i≠k
được coi là thừa đối với nhau nếu ∀j=1, 2,…,m:
Thres(D
j
)≤min[s
j
(x,y)]
x,y∈d
ij
∪d
kj
trong đó: Thres(D
j
)≤min{min[s
j
(x,y)]}, i=1, 2,… là chỉ số của bộ.
i x,y∈d
ij
Như vậy, mỗi bộ có thể tương ứng với một số lớn các thể hiện. Tuy nhiên, với quan

[D
k
(t
i
,t
j
)]=Min(s
k
(p,q))
p,q
∈
d
ik
∪d
jk

Ở đây d
ik
và d
jk
là giá trị của bộ t
i
và bộ t
j
trên thuộc tính thứ k của quan hệ r, có
nghĩa là d
ik
và d
jk
đều là tập con của D

[A(t
i
,t
j
)]≤T
s
[B(t
i
,t
j
)].
Định nghĩa 1.9. Nếu X và Y là hai thuộc tính của một quan hệ r thì ta nói r thoả phụ thuộc
hàm X→Y nếu với mọi bộ t
i
, t
j
:
Min{T
s
[A(t
i
,t
j
)]}≤Min{T
s
[B(t
i
,t
j
)]}

tương tự giữa các phần tử của miền. Trong mô hình này, tuy giá trị của mỗi bộ tại mỗi
thuộc tính có thể chứa một hay nhiều phần tử của miền tương ứng, nhưng có một ràng buộc
là các phần tử trong cùng một giá trị thuộc tính (của cùng một đối tượng) phải đủ tương tự
với nhau nghĩa là cấp độ tương tự của một cặp bất kỳ các phần tử trong cùng giá trị thuộc
tính không nhỏ hơn ngưỡng tương tự đã xác định. Cách mở rộng mô hình CSDL của hai
tác giả này thuộc khuynh hướng thứ nhất trong hai khuynh hướng cơ bản đã nêu ở trên,
nhằm mục đích có được khả năng biểu diễn thông tin không chính xác. Mặc dù giá trị của
8
mỗi bộ tại mỗi thuộc tính là một tập nhưng các phần tử trong tập này đều được coi là
những thể hiện (có thể không chính xác) của một giá trị đơn.
Chương II. Mở rộng mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự
Chương này sẽ dành để trình bày mô hình CSDLQH dựa trên tính tương tự do TS.
Hồ Cẩm Hà đề xuất. Nội dung của chương được chia thành năm phần. Phần thứ nhất sẽ
nêu lên các khái niệm cơ sở của mô hình, dựa trên các khái niệm đó trong phần hai sẽ trình
bày các phép toán đại số quan hệ. Phần ba sẽ nêu lên các quy tắc cập nhật dữ liệu, phần
tiếp theo sẽ đề xuất một ngôn ngữ hỏi cho mô hình này và phần cuối cùng sẽ trình bày về
các phụ thuộc dữ liệu.
1. Mở rộng mô hình CSDLQH của P.Buckles và E.Petry
Như đã nêu trong phần nhận xét của Chương I, trong mô hình CSDLQH dựa trên
tính tương tự của P.Buckles và E.Petry mặc dù giá trị của mỗi bộ tại mỗi thuộc tính là một
tập nhưng các phần tử trong tập này đều được coi là những thể hiện của một giá trị đơn.
Trong công trình nghiên cứu của mình TS. Hồ Cẩm Hà đã đưa ra một mô hình CSDLQH
kế thừa ý tưởng của hai tác giả trên, nhưng cho phép các phần tử của mỗi bộ tại mỗi giá trị
thuộc tính không bị đòi hỏi đủ tương tự theo ngưỡng. Điều này cho phép mỗi giá trị thuộc
tính chứa các phần tử biểu diễn những khả năng rất khác xa nhau có thể xảy ra bởi những
giá trị không hề tương tự.
9
Khi mô hình hoá một CSDLQH theo cách này sẽ không chỉ cho phép nắm bắt những
thông tin không chính xác mà cả những thông tin không chắc chắn. Sự phân tách thành các
khả năng thực chất là nhờ vào độ đo tương tự trên mỗi miền và ngưỡng đặt ra. Bởi vậy

j
. Trên mỗi miền trị D
j
có một quan hệ tương tự (với tính chất bắc
cầu) s
j
. Dùng kí hiệu 2
Dj
để chỉ tập tất cả các tập con khác rỗng của D
j
. Một quan hệ mờ r,
là một tập con của tập tích Đề-các 2
D1
×…×2
Dm
. Một bộ t của một quan hệ mờ là một phần
10
tử của tập 2
D1
×…×2
Dm
. Một cách tổng quát, một bộ t ∈ r có dạng: t = (d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D

tin đúng về O trên A
j
.
2. Một tập khác rỗng các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
(nhưng chưa
biết được chính xác là tập con nào) và không có tập con nào của (D
j
-d
j
) là thông
tin đúng về O trên A
j
.
3. Thông tin đúng về O trên A
j
chỉ có thể là một phần tử của D
j
và có thể một trong
số các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
.
4. Có thể một tập khác rỗng các phần tử của d
j
là thông tin đúng về O trên A
j

là một quan hệ tương đương trên D
j
.
Khi đã có một ngưỡng α
j
xác định trên miền D
j
và không sợ nhầm lẫn có thể viết
x∼y thay vì viết đầy đủ x∼
α
j
y.
Chứng minh:
∀x∈D
j
, s(x,x)=1
≥
α
j
nên x∼x. Từ x∼y ta có y∼x do tính đối xứng của quan hệ s. Cuối
cùng, nếu có x∼y và có y∼z sẽ có x∼z do s có tính bắc cầu T1.
Như vậy quan hệ ∼ phân hoạch D
j
thành các lớp tương đương, mỗi lớp tương đương
gồm các phần tử đủ tương tự với nhau hay còn nói rằng những phần tử này xấp xỉ nhau
(theo ngưỡng). Gọi mỗi lớp tương đương là một khả năng. Các lớp tương đương phân biệt
cho các khả năng khác nhau. Khi ngưỡng thay đổi số khả năng xuất hiện ở d
j
có thể thay
đổi, dễ thấy khi lấy ngưỡng giảm đi số khả năng sẽ không tăng và có thể giảm, khi lấy

chỉ có thể là một khả năng trong D
j
và có thể một
trong số các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng về O trên A
j
.
8. Có thể một tập khác rỗng các khả năng xuất hiện ở d
j
là thông tin đúng về O trên
A
j
.
Dễ dàng nhận thấy rằng, nếu lấy ngưỡng α
j
=1.0 thì sẽ có các cách hiểu 1. và 5. trùng
nhau, 2. và 6. trùng nhau.
Ở đây chỉ xem xét mô hình mở rộng, giới hạn trong cách hiểu 6. đối với kí pháp tập
hợp và phần tử trong tập hợp {a
1
, a
2
,…, a
k
}, kí pháp đã được dùng để biểu thị giá trị d
j
của
bộ t trên thuộc tính A
j

).
Định nghĩa 2.1. Với ngưỡng α=(α
1
, α
2
,…, α
m
). Một thể hiện khả năng theo α, T
α
=(v
1
, v
2
,
…, v
m
) của một bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) là bất cứ phép gán nào sao cho ∀i=1, 2,…, m: ∅≠v
i
⊆
i
d
.
12
Định nghĩa 2.2. Ngữ nghĩa theo ngưỡng α của một bộ t, kí hiệu là S

1
≠
b
2
. Khi đó sẽ có
d
A
={
a
1
,
a
2
}={
a
3
,
a
2
},
d
B
={
b
1
,
b
2
}.
Các thể hiện khả năng theo α có thể có của bộ t là:

b
2
})
4. ({
a
1
,
a
2
},{
b
1
})
5. ({
a
1,
a
2
},{
b
2
})
6. ({
a
1
},{
b
1
})
7. ({

nó có chung một thể hiện với một bộ khác. Trong mô hình đang xem xét ở đây, hai bộ
được coi là thừa với nhau nếu chúng có cùng một tập các khả năng trên mỗi thuộc tính. Có
thể hình thức hoá điều này như sau:
Định nghĩa 2.3. Trong quan hệ mờ r, hai bộ t
i
=(d
i1
, d
i2
,…, d
im
) và t
k
=(d
k1
, d
k2
,…, d
km
), i≠k
được gọi là thừa đối với nhau nếu ∀j=1, 2,…, m, ∀x∈d
ij
∃x’∈d
kj
: x∼
α
j
x’ và ngược lại,
nghĩa là ∀j=1, 2,…, m, ∀x∈d
kj

để nói rằng giá trị tương ứng của
hai bộ t
i
, t
k
trên thuộc tính A
j
là d
ij
và d
kj
tương đương (hay thừa) với nhau. Nếu không sợ
nhầm lẫn có thể viết d
ij
≈d
kj
thay cho viết d
ij
≈
α
j
d
kj
.
Bổ đề 2.2. ≈
α
là quan hệ tương đương trên một quan hệ mờ r.
Việc chứng minh tính đúng đắn của bổ đề này rất đơn giản.
Như vậy quan hệ ≈
α

xanh đậm, xanh nhạt, hồng
xanh đen, tím đỏ
trắng, hồng
hồng, kem
xanh đen, đỏ
nhà văn, giáo sư
đạo diễn, giáo viên
nhà thơ
nhà thơ
phi công
Hình 2.1. Một quan hệ mờ.
xanh
đậm
xanh
nhạt
xanh
đen
hồng đỏ tím đỏ trắng kem
xanh đậm 1.0 0.6 0.8 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
xanh nhạt 0.6 1.0 0.6 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
14
xanh đen 0.8 0.6 1.0 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1
hồng 0.0 0.0 0.0 1.0 0.6 0.6 0.0 0.0
đỏ 0.0 0.0 0.0 0.6 1.0 0.9 0.0 0.0
tím đỏ 0.0 0.0 0.0 0.6 0.9 1.0 0.0 0.0
trắng 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 1.0 0.7
kem 0.1 0.1 0.1 0.0 0.0 0.0 0.7 1.0
Hình 2.2. Quan hệ tương tự trên Dom(Màu xe).
nhà văn nhà thơ đạo diễn giáo viên giáo sư phi công
nhà văn 1.0 1.0 0.9 0.5 0.5 0.2

,d
i2
,…,d
im
) và t
k
=(d
k1
,d
k2
,
…,d
km
). Kết quả của việc trộn hai bộ t
i
, t
k
là mộ bộ t sao cho t=(d
1
,d
2
,…,d
m
) và d
j
=d
ij
∪
d
kj

, t
k
là
một bộ t thì t tương đương với t
i
và t
k
. Nghĩa là:
M
α
(t{t
i
, t
k
})=t thì ((t
i
≈
α
t) và t
k
≈
α
t)).
Chứng minh:
Điều kiện để t
i
và t
k
được trộn với nhau theo α là t
i

2
,…, d
m
) với ∀j∈{1, 2,…, m}: d
j
=d
ij
∪d
kj
. Dễ thấy d
j
≈d
ij
và d
j
≈d
kj
, suy ra điều cần
chứng minh.
Định lý 2.1. Cho một quan hệ mờ trên lược đồ R(U), nếu kết quả của phép trộn M
α

trên tập
T gồm các bộ tương đương nhau theo α là một bộ t thì t ttương đương theo α với bất kỳ bộ
nào trong T.
Như vậy, nếu có T={t
1
, t
2
, t

Cho r
3
trong Hình 2.5, r
2
trong Hình 2.4. Với α=(0.0,0.6,0.8), thì r
3
≅
α
r
2
.
TÊN MÀU XE NGHỀ NGHIỆP
{An, Bình} {xanh đậm, xanh nhạt,
hồng, tím đỏ}
{giáo sư, đạo diễn,
giáo viên}
{Phúc} {trắng, hồng, tím đỏ} {nhà thơ, đạo diễn}
16
{Thọ, Lộc} {xanh đen, đỏ} {phi công}
Hình 2.5. Quan hệ r
3
.
1.2. Các giá trị NULL
Trong nghiên cứu về CSDL theo mô hình quan hệ, thông tin không đầy đủ được biểu
diễn bằng các giá trị null. Nhiều người sử dụng thuật ngữ này với những ý nghĩa khác
nhau. Nói chung có các trường hợp như sau:
1) Những giá trị không tồn tại, thường kí hiệu là ⊥. Nếu ⊥ xuất hiện ở bộ t ứng với
một thuộc tính A thì điều đó được thể hiểu là bất cứ một phần tử nào ở Dom(A)
cũng không thể là giá trị của bộ t trên thuộc tính A. Nói cách khác, bộ t là thông
tin về một đối tượng mà đối tượng này không thể xét thuộc tính A. Ví dụ, không

Nhìn vào quan hệ r
null
, có thể thấy rõ được ý nghĩa của các kí hiệu null đã sử dụng.
Cụ thể, những thông tin trong bảng trên cho biết Bắc có thể không có xe mô tô và cũng có
thể có, nếu có thì xe của anh ta phải có màu xanh đậm hoặc xanh nhạt. Không biết Bắc có
nghề nghiệp hay không (thất nghiệp). Yến có xe nhưng không biết một chút gì về màu xe
của cô ấy, Yến không có nghề nghiệp.
Ở đây, giới hạn rằng các kí hiệu null không được xuất hiện trong các giá trị của
thuộc tính là khoá. Và khi cho phép sử dụng kí hiệu null trong các giá trị thuộc tính, cần
thiết phải xác định lại qui tắc cú pháp viết giá trị của một bộ trên một thuộc tính cùng với
ngữ nghĩa tương ứng.
Định nghĩa 2.6 (Biểu thức trị của một bộ trên một thuộc tính A
j
)
. ∀a∈D
j
, {a} là một biểu thức tập hợp của D
j
,
. Nếu M là một biểu thức tập hợp của D
j
thì ∀a∈D
j
, M∪{a} là một biểu thức tập hợp
của D
j
,
.M ọi biểu thức tập hợp của D
j
đều là biêu thức trị trên A

j
là một biểu thức tập hợp M của D
j
, thì ∀v, ∅≠v⊆
M
, v là một thể hiện khả
năng của t trên A
j
theo α
j
, với
M
=M/∼
α
j
,
18
. Nếu d
j
=<M, ⊥>, trong đó M là biểu thức tập hợp của D
i
thì ∀v, ∅≠v⊆M, v là một
thể hiện khả năng của t trên A
j
và {∅} cũng là một thể hiện khả năng của t trên A
j
,
. Nếu d
j
=<D> thì ∀v∈2

). Một thể hiện khả năng theo α, T
α
=(v
1
, v
2
,…, v
m
) của
một bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) là bất cứ phép gán nào sao cho ∀i=1, 2,…, m: v
i
là một thể hiện
khả năng của bộ t trên A
i
(theo α
i
).
Định nghĩa 2.9. Ngữ nghĩa theo ngưỡng α của một bộ t, kí hiệu là S
p
(t)
α
, là tập tất cả các
thể hiện khả năng theo α của bộ t.
Ví dụ 2.5:

}, {b
1
})
3) ({a
1
}, {b
2
})
4) ({a
1
}, ∅).
Như vậy ngữ nghĩa S
p
(t)
α
là tập gồm 4 thể hiện khả năng kể trên.
Nếu cho phép kí hiệu null xuất hiện trong biểu thức trị của một bộ trên một thuộc
tính thì khái niệm hai bộ thừa (hay tương đương) với nhau trước đây cần được mở rộng.
Định nghĩa 2.10. (Hai bộ tương đương với nhau trên một thuộc tính)
Trong quan hệ mờ r, hai bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
) và t’=(d
1
’, d
2
’,…, d

. d
j
và d
j
’ đều chỉ chứa kí hiệu null và cùng chứa các kí hiệu null như nhau. Cụ thể là:
d
j
=d
j
’=<D> hoặc d
j
=d
j
’=<⊥> hoặc d
j
=d
j
’=<D, ⊥>.
. d
j
=<M, ⊥> và d
j
’=<M’, ⊥> trong đó M và M’ đều là biểu thức tập hợp trên D
j
và
M∼
α
j
M’ (theo(1)).
Dùng kí hiệu d

với nhau theo ngưỡng α=(α
1
, α
2
,…, α
m
) nếu ∀j=1, 2,…, m, d
j
≈
α
j
d
j
’. Dùng kí hiệu t≈
α
t’ để
nói rằng t thừa đối với t’.
Theo các định nghĩa 2.9 và 2.11 có thể dễ dàng chứng minh được phát biểu của bổ
đề 2.3 vẫn đúng trong trường hợp cho phép kí hiệu null xuất hiện.
Bổ đề 2.6. Cần và đủ để hai bộ là thừa đối với nhau (theo α) là ngữ nghĩa (theo α) của
chúng là bằng nhau.
Nội dung của Định lý 2.1 phát biểu cho trường hợp không có kí hiệu null, rằng việc
trộn các bộ tương đương với nhau sẽ cho kết quả là một bộ tương đương với một bộ bất kỳ
đã tham gia vào phép trộn, vẫn đúng trong trường hợp có kí hiệu null.
2. Mở rộng các phép toán quan hệ
2.1. Mở rộng phép hợp
Cho r
1
và r
2

α
s=s∪
α
r
(r
1
∪
α
r
2
)∪
α
r
3
=r
1
∪
α
(r
2
∪
α
r
3
).
2.2. Mở rộng phép giao
Cho r
1
và r
2

α
t’)}).
Tính chất của phép giao:
Tương tự như phép hợp, phép giao cũng có tính chất giao hoán và kết hợp:
r∩
α
s=s∩
α
r
(r
1
∩
α
r
2
)∩
α
r
3
=r
1
∩
α
(r
2
∩
α
r
3
).

≈
/
t’}.
Tính chất của phép hiệu:
Cũng như trường hợp CSDL truyền thống, phép giao có thể được biểu thị qua phép
hiệu, nghĩa là (r
1
∩
α
r
2
)≅
α
r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
).
Chứng minh:
a) Với t∈r
1
∩
α
r

∈(r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
)) bằng cách chứng tỏ rằng ∀t’∈(r-
α
r
2
): t
1
≈
α
t’. Thật vậy, giả sử có t’∈(r
1
-
α
r
2
) sao cho t
1
≈
α
t’, khi đó do tính bắc cầu của ≈
α

α

t
1
.
b) Với t
∈
(r
1
-
α
(r
1
-
α
r
2
)) thì:
21
t
∈
r
1
(1) và
∀
t’
∈
(r
1
-

t*
∈
r
2
: t
≈
/
α
t*, từ đó thấy được t
∈
(r
1
-
α
r
2
), và theo (2) suy ra t
≈
/
α
t, đây là một điều vô lý. Vậy
∀
t
∈
(r
1
-
α
(r
1

-
α
(r
1
-
α
r
2
).
2.4. Mở rộng phép chiếu
Cho r là quan hệ trên cùng một lược đồ R(U), U={A
1
, A
2
,…, A
m
}, ∀i=1, 2,…, m,
miền trị của A
i
là D
i
, X⊆U. Chiếu theo ngưỡng α của r trên X là một quan hệ trên lược đồ
R(X) kí hiệu là r
α
[X] được xác định như sau:
r
α
[X]=M
α
(r[X]).

b
2
b
3
b
4
b
1
1.0 0.1 0.6 0.1
b
2
0.1 1.0 0.1 0.9
b
3
0.6 0.1 1.0 0.1
b
4
0.1 0.9 0.1 1.0
Hình 2.8. Quan hệ tương tự trên Dom(B).
22
c
1
c
2
c
3
c
1
1.0 0.0 0.8
c

2
, a
5
b
4
c
3
a
1
, a
3
b
2
c
2
Hình 2.11. Quan hệ r
2
.
23
Với α=(0.7, 0.6, 0.8) sẽ có:
r
1
∪
α
r
2
A B C
a
1
b

α
r
2
.
r
1
∩
α
r
2
A B C
a
2
, a
3
, a
5
b
2
, b
4
c
3
Hình 2.13. r
1
∩
α
r
2
.

Hình 2.15. r
2
,
α
[B].
2.5. Mở rộng phép tích Đề-các
Cho r và s là hai quan hệ tương ứng trên các lược đồ R(A
1
, A
2
,…, A
m
) và S(A’
1
, A’
2
,
…, A’
n
). Tích Đề-các theo ngưỡng
α
của r và s là một quan hệ trên lược đồ (A
1
, A
2
,…,
A
m
, A’
1

i
∩
P
α
i
d
i
’, được xác định như
sau:
d
i
∩
P
α
i
d
i
’={a∈d
i
/∃a’∈d
i
’: a∼
α
i
a’}∪{a’∈d
i
: a ∼
α
i
a’}.

∈[0, 1], A
i
là tên một
thuộc tính, D
i
là miền tương ứng của thuộc tính A
i
, d⊆D
i
.
2) Một phát biểu f
i
có dạng NOT(α
i
.A
i
: d) là một biểu thức với α
i
∈
[0, 1], A
i
là tên
một thuộc tính, D
i
là miền tương ứng của thuộc tính A
i
, d⊆D
i
.
3) Nếu P, Q là hai biểu thức thì P AND Q là biểu thức, P OR Q là biểu thức.

2) Nếu F có dạng NOT(α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=( d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D
j
sao cho d
i
≈
/
α
i
d.
3) Nếu F có dạng (P AND Q) thì σ
F
(r)= σ
P
(r)∩σ
Q
(r).

cho d
i
∩
P
α
i
d≠∅.
2) Nếu F có dạng NOT(α
i
.A
i
: d). Quan hệ σ
F
sẽ gồm các bộ t=(d
1
, d
2
,…, d
m
), d
j
⊆D
j
sao cho d
i
∩
P
α
i
d=∅.