CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM Copyright 2006 ©
Năm học 2001 – 2002 25 Năm học 2002 – 2003 28 Năm học 2003 – 2004 31 Năm học 2004 – 2005 34 Năm học 2005 – 2006 37 Năm học 2006 – 2007 40
Năm học 1993 – 1994
Ngày thứ nhất
Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.
Bài 4
Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.
5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
3
Bài 5
Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều
O
A
BC
. Các đường
nn
A
aa a a
−
<<< <=
và
12
}{
nn
Bbb bb
− 1
<
<< <
=
Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-b
1
|+|a
2
-b
2
|+…+|a
n
-b
n
|=n
2
A=(a
1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,…,c
32
)
với a
i
,b
i
,c
i
,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
1
= 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,
bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?
Bài 3
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1
chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.
Bài 4
a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n
số thực.
Bài 5
Cho tam giác ABC
có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
.
0
60BAC∠=
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.
Bài 3
Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m
ta có :
123
,,, 0:aaa≥ .
a
mn
= a
n
+ a
m
.
Bài 4
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của
y thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.
Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
B
EDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.
Bài 3
Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số
A
abcd
=
thỏa điều kiện :
i)
2
(2abd b d a=+−)
ii) A
+ 72 là một số chính phương
Bài 4
a) Chứng minh với mọi giá trị thực của
x ta luôn có :
242
36125109xx x x 5
1>
a) Nếu n lẻ thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n}
thành một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong
dãy không chia hết cho n.
b) Nếu n thì ta không thể sắp n số tự nhiên đầu tiên {1,2,…,n} thành
một dãy sao cho với mọi
kn
≤
, tổng của k số đầu tiên trong dãy
không chia hết cho n.
Bài 2
Giải và biện luận hệ phương trình sau :
1
2
xyz
m
xy
xyz
yz
xyz
zx
⎧
=
⎪
+Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
9
Bài 4 Cho tứ giác lồi ABCD.
a)
Chứng minh rằng nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài nhau thì ta luôn có
AB + CD ≤ AD + BC
b)
Chứng minh rằng, nếu hai đường tròn đường kính AB và CD tiếp
xúc ngoài với nhau và hai đường tròn đường kính AD và BC cũng
tiếp xúc ngoài với nhau thì tứ giác ABCD phải là hình thoi. Bài 5
a) Gọi O là một điểm tùy ý nằm trong hình vuông. Chứng minh rằng luôn
có thể tìm được hai đỉnh A và B của hình vuông sao cho :
135 180
A
OB≤∠ ≤
ooTrường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
10
Năm học 1996 – 1997
Ngày thứ nhất
Bài 1 Cho số nguyên k.
a)
Chứng minh chia hết cho 11 khi và chỉ khi với t
là số nguyên
2
5kk ++5
5
1
11 4kt=+
b)
Chứng minh không chia hết cho 121.
2
3kk ++
Bài 2
nhất, B nhì, C ba, D tư. Các nhà quan sát nhận xét rằng nếu tính theo luật cũ là
thắng 2 điểm (chứ không phải 3 điểm như hiện nay), hòa 1 điểm, thua 0 điểm
thì thứ tự trên sẽ bị đảo lộn thành B nhất, A nhì, D ba , C tư. Hãy cho biết điểm
thật sự của mỗi đội, biết rằng trong việc sắp thứ hạng, khi hai đội bằng nhau,
đội nào có hiệu số bàn thắng thua lớn hôn sẽ được xếp trên và trên thực tế cả
bốn đội bóng đều có hiệu số bàn thắng thua khác nhau.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
11
Ngày thứ hai
Bài 1 Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình
2
10xpx
+
+=; c,d là hai nghiệm
của phương trình . Chứng minh hệ thức :
2
10yqy++=
2
()( )()()(acadbcbd pq−−−−=−) Bài 2
với BC. Lấy điểm M lưu động trên d sao cho ABMC là tứ giác lồi.
Đưòng thẳng qua A chia đôi diện tích tứ giác ABMC cắt BM hoặc CM
tại N. Tìm quĩ tích điểm N. Bài 4 Chứng minh không tồn tại số tự nhiên n sao cho
1nn1
−
++
là số hữu
tỉ
Bài 5
a) Chứng minh với , luôn luôn có N số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của chúng là một số chính phương.
3N ≥
b)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên bao giờ cũng xây dựng
được một bảng chữ nhật gồm m x n số chính phương đôi một khác
nhau sao cho tổng của mỗi dòng là một số chính phương và tổng của
mỗi cột là một số chính phương.
3nm ≥Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm
phân biệt x
1
,x
2
. Khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp
hai lần nghiệm kia. Bài 3 Hai thị trấn A và B cùng nằm trên một dòng sông, cách nhau D km. Thị
trấn B có địa thế cao hơn nên dòng nước luôn chảy từ B đến A với vận tốc d
(km/h) không đổi. Nếu nước không chảy, tàu Hi vọng có vận tốc x
(km/h)
không đổi, tàu Tương lai có vận tốc y
(km/h) không đổi. Vào lúc 8 giờ sáng, tàu
Hi vọng xuất phát từ A đi về hướng B và tàu Tương lai xuất phát từ B đi về
hướng A. Vào lúc 12 giờ trưa hai tàu gặp nhau lần đầu tiên tại một điểm cách A
một khoảng cách là
1
3
D
. Khi đến A tàu Tương lai nghỉ nửa giờ rồi quay về B;
tương tự khi đến B tàu Hi vọng cũng nghỉ nửa giờ rồi quay về A. Hai tàu gặp
nhau lần thứ hai tại một điểm cách B một khoảng cách là
5
27
D
b)
Hãy chỉ ra cách xóa 100 chữ số của A sao cho số A
2
tạo bởi các
chữ số còn lại là lớn nhất.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Tìm tất cả các số dương x, y thỏa :
14
3
3
xy
xy
⎧
+
≤
⎪
⎨
⎪
+
=
⎩
b)
Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa :
149
3
Một nhóm 21 người đã đi du lịch đến các nước Anh, Pháp và Ý, trong đó
mỗi người đã đi ít nhất một nước và không có người nào đã đi cả ba nước. Biết
rằng :
i)
Số người đã đi được cả hai nước Ý và Anh gâp đôi số người đã
đi được cả hai nước Pháp và Ý. Còn số người đã đi được cả hai
nước Pháp và Ý lại gấp đôi số người đã đi được cả hai nước
Anh và Pháp.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
14
ii) Số người đi Ý (mà không đi Anh, Pháp) hơn số người chỉ đi
Anh (mà không đi Pháp, Ý) là một người và bằng với số người
đã đi Pháp.
a)
Hãy tìm số người chỉ đi đúng một nước.
b)
Hãy tìm số người đi ít nhất một trong hai nước Anh, Pháp. Bài 4
a)
Chứng minh rằng trong hình thang cân ABCD với hai đáy AB//CD ,
ta có :
AC
2
(trong đó các số ai chỉ có thể nhận các giá trị 0
hoặc 1) thỏa :
(*) Bất kỳ hai bộ 5 số liên tiếp nào lấy từ dãy đã cho đều không trùng
nhau.
a) Chứng minh n ≤ 36
b) Biết rằng nếu thêm vào cuối dãy một số a
n+1
tùy ý (0 hay 1) thì
tính chất (*) sẽ không còn đúng nữa. Chứng minh rằng 2 bộ 4 số liên tiếp a
1
, a
2
,
a
3
, a
4
và a
n-3
, a
n-2
, a
n-1
, a
n
trùng nhau.
5
+
−=
⎧
⎨
+=
⎩
Bài 2
a) Chứng minh hằng đẳng thức :
222 2
(1)44(mm m mmm+− + + = ++
2
1)
0
.
b)
Cho phương trình
22
(1)1mx m m x m
−
+− ++= (1). Tìm điều kiện
của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác – 1. Bài 3
Bài 4 Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3. Lấy điểm M trên cạnh BC. Đường
thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài tại P. Đường thẳng DM cắt cạnh AB kéo dài tại
Q. BP cắt CQ tại I.
a)
Cho CM = 1, hãy tính BI, CI.
b)
Khi M di động trên đoạn BC, hãy tìm qũy tích điểm I. Bài 5 Một giải bóng đá có n đội tham dự. Các đội thi đấu vòng tròn một lượt.
Trong mỗi trận, đội thắng được 2 điểm, đội hòa được 1 điểm và đội thua được 0
điểm. Các đội có cùng số điểm sẽ được xếp hạng theo các chỉ số phụ nào đó.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
16
Khi kết thúc giải, đội vô địch được 8 điểm, đội xếp thứ nhì được 6 điểm và đội
xếp thứ 3 được 5 điểm. Các đội còn lại có số điểm khác nhau. Hãy cho biết số
đội đã tham dự giải và số điểm của các đội còn lại (có giải thích rõ).
Ngày thứ hai Bài 1
giữa chúng không lớn hơn
2
2
.
b)
Trong hình vuông cạnh bằng 1 cho 33 điểm bất kỳ. Chứng minh rằng
trong các điểm đã cho có thể tìm được 3 điểm lập thành tam giác có
diện tích không lớn hơn
1
32
. Bài 4 Cho x, y, z, p, q, r là các số thực dương thỏa mãn điều kiện :
x + y + z = p + q + r = 1 và pqr ≤
1
2
.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
17
a) Chứng minh rằng nếu :
x ≤ y ≤ z thì px + qy + rz ≥
2
x
y
Hãy chứng minh rằng với N số nguyên dương đầu tiên
1
luôn
tìm được cách sắp thành dãy a
,2, , N
1
, a
2
,…, a
N
sao cho dãy thỏa mãn điều
kiện như câu a).
11xyyx−+ −=1
(1)
Chứng minh rằng (2)
22
1xy+=
b) Từ đẳng thức (2) có suy ra đẳng thức (1) được hay không ? Giải thích
rõ câu trả lời. Bài 3
a) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện
3
x
yz
+
+=,
1111
3xyz
+
+=
.
Chứng minh rằng ít nhất một trong ba số x, y, z bằng 3.
b) Áp dụng câu a), giải hệ phương trình :
2
3
1111
3
21
xyz
(),()CC
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
19
Bài 5
a) Có n đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt (n ≥ 3). Chứng minh rằng dù
lịch thi đấu thế nào sắp xếp ra sao thì tại bất kỳ thời điểm nào ta cũng
tìm ra được hai đội bóng có số trận đã đấu là bằng nhau.
b)
Giả sử n = 3 và ba đội bóng thi đấu vòng tròn hai lượt. Điều khẳng
định của câu a) còn đúng khônng ? Giải thích rõ câu trả lời.
Ngày thứ hai
Bài 1
a)
Biết rằng x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0.
Viết phương trình bậc hai nhận
33
12
a)
Gọi S
1
, S
2
, S
3
lần lượt là diện tích của tam giác PBC, PCA và PAB.
Hãy xác định giá trị nhỏ nhất của
22
12
SSS
2
3
+
+ .
b)
Gọi P
1
, P
2
, P
3
lần lượt là các điểm đối xứng của P qua BC, CA và
AB. Đường thẳng đi qua P
1
và song song BC cắt AB và AC tại BB
1
và C
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
20
Bài 4 Người ta lát nền nhà hình vuông kích thước n x n ô bằng các viên gạch
dạng như hình vẽ bên dưới sao cho còn chừa lại một ô không lát.
a)
Hãy chỉ ra một cách lát như trên với nền nhà kích
thước 4 x 4 và 8 x 8 và ô trống nằm tại một góc
nhà.
b)
Hãy chứng minh rằng,. luôn luôn tồn tại cách lát
nền nhà có kích thước 2
k
x 2
k
(k nguyên dương) với
ô trống còn lại nằm ở vị trí (i, j) bất kỳ. Bài 5
a) Chứng minh đẳng thức
||2max{,},
xTrường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
21
Năm học 2000 – 2001
Ngày thứ nhất Bài 1 Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình: x2 – 7x + 3 =0
a)
Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x
1
– x
2
và 2x
2
– x
1
.
x
yz
xy z
⎧
+=
⎪
=
+
⎨
⎪
=
+
⎩
Bài 3
a) Giải phương trình
1
1xx
x
++=
.
b)
Gọi
,
α
β
là số đo mỗi góc trong của hai đa giác đều có số cạnh lần lượt
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
22
a) Gọi A là đội bóng tham dự giải, hỏi đội bóng A có thể đạt được
những điểm số nào.
b)
Giả sử đội bóng A được xếp thứ nhì khi kết thúc giải. Tìm số
điểm tối đa, số điểm tối thiểu mà đội bóng A có thể đạt được.
Ngày thứ hai
Bài 1
a) Cho số nguyên không âm A. Hãy xác định A biết rằng trong 3 mệnh đề
P, Q, R dưới đây có 2 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai :
P : “A + 51 là số chíng phương”
Q : “Chữ số tận cùng của A là 1”
R : “A – 38 là số chính phương”
b) Có thể xếp hay không các số 0, 1, 2,…, 9 lên các đỉnh của một đa giác
đều 10 đỉnh sao cho hiệu số trên 2 đỉnh kề nhau bất kỳ nhận một trong các giá
trị hoặc 5.
3, 4, 5,3, 4−−−Bài 2 Giải các hệ phương trình :
a) b)
3
⎧
++ =
⎪
++ =
⎪
⎨
++ =
⎪
⎪
++ =
⎩
Bài 3
a) Cho bốn số nguyên dương a
1
, a
2
, a
3
, a
4
sao cho
1
với mọi
và tổng S = a
k
ak≤≤
,…, a
1000
sao cho
1
với mọi
và tổng S = a
k
ak≤≤
1,2, ,1000k =
1
+ a
2
+…+ a
1000
là một số chẵn. Hỏi
trong các số dạng a
±
1
,
±
a
2
, …,
±
a
1000
có số nào bằng 0 hay không ?
Giải thích vì sao.
b) Cho a, b, c là 3 số không âm thỏa điều kiện (1) và p, q, r là các số thực
thỏa điều kiện p + q + r = 0. Chứng minh apq + bqr + crp ≤ 0.
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
24
Năm học 2001 – 2002
Ngày thứ nhất
Bài 1
Bài 2 Cho a, b, c là các số thực phân biệt sao cho các phương trình
2
10
x
ax++= và
2
0
x
bx c++= có nghiệm chung, đồng thời các phương trình
2
0
x
xa++= và
2
0
x
cx b++= cũng có nghiệm chung. Hãy tìm tổng a + b +
c.
Bài 3
a) Trên các cạnh AB và CD của hình vuông ABCD lần lượt lấy các điểm
M, N sao cho
3
A
B
Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM
diendantoanhoc.net
25
Copyright: Tài liệu đại học ©