bộ giáo dục & đào tạo viện hàn lâm
khoa học và công nghệ vn
viện vật lý
HÀ THANH HÙNG
hệ số đối xứng của giản đồ feynman và
ứng dụng vào mô hình 3-3-1 tiết kiệm
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã nghành: 62 44 01 01
Người hướng dẫn: GS. TS. Hoàng Ngọc Long
Luận án tiến sĩ
Hà Nội—2014
Lời cảm ơn
Trước tiên, tôi xin cảm ơn GS. TS. Hoàng Ngọc Long đã hướng dẫn
và động viên tôi rất nhiều, kể từ khi tôi tham gia khóa học thạc sĩ
và trong suốt thời gian tôi làm NCS. Tôi xin cảm ơn nhóm lý thuyết
trường của thầy Long đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi cùng làm việc,
cùng học tập và cùng nghiên cứu trong thời gian tôi làm NCS và giúp
đỡ tôi hoàn thành luận án này.
Tôi xin cảm ơn các đồng nghiệp TS. Phùng Văn Đồng, TS. Lê
Thọ Huệ và TS. Nguyễn Huy Thảo đã hợp tác và đồng ý cho tôi sử
dụng các công bố chứa các kết quả mà luận án đã sử dụng.
Tôi xin cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi tôi làm
việc đã có những hỗ trợ và động viên cần thiết trong thời gian tôi làm
NCS. Tôi xin cảm ơn phòng sau đại học-Viện Vật lý và Viện Vật lý đã
giúp đỡ tôi hoàn thành các thủ tục hành chính trong học tập nghiên
cứu và bảo vệ luận án.
Cuối cùng, tôi xin dành sự biết ơn tới gia đình đã động viên, chia
sẽ những khó khăn và ủng hộ và hỗ trợ vô điều kiện về mọi mặt để
tôi có thể yên tâm nghiên cứu và hoàn thành luận án này.
ii
Lời cam đoan

1.2.2 Hệ số đối xứng của giản đồ Feynman cho QED 32
1.2.3 Hệ số đối xứng cho QCD . . . . . . . . . . . . 37
2 Đối xứng Peccei-Quinn và khối lượng các quark trong
mô hình E331 41
2.1 Mô hình E331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.1.1 Sắp xếp các hạt trong mô hình E331 . . . . . . 41
2.1.2 Các boson chuẩn trong mô hình E331 . . . . . . 44
2.1.3 Các dòng trong mô hình E331 . . . . . . . . . . 46
2.1.4 Khối lượng các fermions trong mô hình E331 . . 48
iv
2.2 Đối xứng Peccei-Quinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.2.1 Vấn đề Strong-CP . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.2 Đóng góp từ phép biến đổi U(1) chiral vào số
hạng vi phạm CP trong QCD . . . . . . . . . . 53
2.2.3 Xây dựng lý thuyết giải thích θ nhỏ . . . . . . . 56
2.2.4 Khử số hạng vi phạm CP . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Đối xứng Peccei-Quinn trong mô hình E331 . . . . . . 61
2.4 Khối lượng các up- quark và down-quark trong mô hình
E331 ở bậc một vòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Danh sách các công bố của tác giả 73
Tài liệu tham khảo 74
Phụ lục 84
A HSĐX của các giản đồ Feynman cho trường vô hướng
tính đến bậc ba của lý thuyết nhiễu loạn 85
B Các giản đồ Feynman trong QED được tính đến bậc 4
của lý thuyết nhiễu loạn. 91
C Các giản đồ của quá trình rã : µ
−
→ ν
µ

E331. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3 Ba đối xứng chiral trong mô hình 3-3-1 tiết kiệm . . . 62
2.4 Các bổ đính ở bậc một vòng của các phần tử (M
uU
). . 67
vii
Danh sách hình vẽ
1.1 Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17 . . . . . . . . 10
1.2 Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k
0
. . . . . . . . . 16
1.3 Mối liên hệ giữa yếu tố của S ma trận và hàm Green . 19
1.4 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết
φ
4
thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết
φ
4
thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 Hàm truyền của trường vô hướng phức . . . . . . . . . 28
1.7 Các giản đồ bậc một của hàm hai điểm trong lý thuyết
ϕ
4
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.8 Các giản đồ bậc hai của hàm hai điểm trong lý thuyết
ϕ
4
phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.9 Các đỉnh tương tác trong QED . . . . . . . . . . . . . 33

E.4 Các bổ đính cho phần tử (M
uU
)
22
. . . . . . . . . . . . . 102
viii
Mở đầu
Lý do chọn đề tài
Trong vật lý hạt cơ bản, việc xác định đặc tính của các hạt mới
đã và đang là công việc rất quan trọng. Cùng với sự phát triển của
khoa học và kỹ thuật các máy gia tốc đang dần hoạt động ở mức năng
lượng cao hơn, nhiều mô hình vật lý tiếp tục được phát triển và mở
rộng để kiểm chứng các dự đoán. Một sự kiện mới gần đây, máy gia
tốc năng lượng cao LHC (Large Hadron Colidder) tại CERN-Thuỵ Sĩ
đã phát hiện ra một loại hạt vô hướng tương tự - Higgs với khối lượng
khoảng 125-126 GeV. Đây là hạt đã được dự đoán bởi SM, và cũng là
phần cuối cùng được tiến hành kiểm chứng. Việc xác định hạt Higgs
thuộc mô hình nào sẽ đóng vai trò là kim chỉ nam cho sự phát triển
của khoa học.
Việc kiểm chứng hạt vô hướng Higgs cũng như các quá trình vật
lý khác đòi hỏi rất nhiều về kỹ thuật thực nghiệm cũng như phương
pháp tính toán. ở mức cây, hầu hết các lý thuyết còn nhiều sai lệch
với thực nghiệm. Vì vậy, để có sự phù hợp lớn hơn giữa thực nghiệm
và lý thuyết, đòi hỏi tất yếu là phải tính toán các bổ đính bậc cao.
Đặc biệt, một số quá trình vật lý chỉ xuất hiện ở khai triển bậc cao
như: moment từ của neutrino, rã Higgs thành hai photon Đây là vấn
đề đã nhận được nhiều sự quan tâm và hiện nay vẫn đang tiếp tục
được phát triển. Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường cho chúng
ta xác định các bổ đính bậc cao, một phần rất quan trọng trong các
quá trình vật lý, nhưng không được kể đến ở mức cây (tree-level). Đặc

hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman. Một số công bố sử dụng
phương pháp đạo hàm phiếm hàm (functional derivative method) để
tính HSĐX của các giản đồ [6, 7, 8, 9]. Còn các tác giả trong [10] lại
đưa ra cách tính HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn cao hơn dựa
trên HSĐX của các giản đồ ở bậc nhiễu loạn thấp hơn. Một số công bố
khác sử dụng cách khai triển bậc cao trong lý thuyết trường để đưa ra
cách tính hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman [11, 12, 13, 14, 15].
Cách tiếp cận này rất đơn giản và trực quan, bằng cách khai triển T -
tích của các hàm Green, HSĐX của các giản đồ được đưa ra một cách
tự nhiên.
Thực tế, các quá trình vật lý xảy ra rất phong phú với sự xuất
hiện của nhiều trường khác nhau. Do vậy, việc xây dựng công thức xác
định hệ số đối xứng cho giản đồ Feynman có các trường khác nhau
là rất quan trọng. Phải nhấn mạnh rằng, chúng ta có kết quả vật lý
2
đúng chỉ khi có HSĐX của giản đồ chính xác. Trong luận án này, với
việc sử dụng kết quả từ [19] và [20], chúng tôi đã xây dựng công thức
xác định hệ số đối xứng tổng quát cho các giản đồ Feynman. Một
trong những kết quả rất ý nghĩa là định lý về HSĐX trong điện động
lực học lượng tử (QED). Đó là, HSĐX của các giản đồ liên kết trong
QED luôn bằng 1, kết quả này thực sự rất bổ ích khi áp dụng cho các
lý thuyết thống nhất các tương tác.
Một vấn đề mang tính thời sự bậc nhất trong khoa học hiện nay
là sự hoạt động trở lại của máy gia tốc LHC, với năng lượng các hạt
được gia tốc cỡ 14 TeV, và điều này cho chúng ta kỳ vọng vào các
hiện tượng vật lý mới. Mô hình chuẩn với nhiều thành công và những
tiên đoán chính xác tiếp tục định hướng cho sự phát triển của vật
lý hạt cơ bản. Tuy nhiên, các tồn tại của mô hình chuẩn như: giải
thích khối lượng và sự dao động của neutrino, giải thích nguồn gốc tự
nhiên của khối lượng các hạt, vì sao phải cần cơ chế Higss để sinh khối

bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [99], trong đó, ta đưa
lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của
nhóm SU(3)
L
. Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến
vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng
cho các fermions. Phiên bản thứ hai, được các tác giả Foot, Long và
Tuan đề xuất năm 1994, trong đó, thành phần thứ ba của các tam
tuyến lepton của nhóm SU(3)
L
là các neutrinos phân cực phải [17]. Mô
hình 3-3-1 tiết kiệm (E331) với hai tam tuyến Higgs [34], có số trường
3
vô hướng đưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được
hầu hết các vấn đề quan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phân
cực phải (331RH) như các kết quả đã thể hiện ở tài liệu tham khảo
[18]. Tuy nhiên, mô hình E331 có một hạn chế là khối lượng up-quark
và down-quark bằng không ở mức cây (tree-level), điều này do nguyên
nhân rất đơn giản là số trường vô hướng chúng ta đưa vào mô hình
là ít nhất. Một nhận định mới đây của nhóm tác giả J.C. Montero và
B.L.Sanchez-Vega [32], cho rằng tồn tại một đối xứng toàn cục U(1)
P Q
kiểu đối xứng Peccei-Quinn [33]. Đối xứng này là nguyên nhân làm
cho khối lượng các quark u và quark d bằng không ở mọi bậc của lý
thuyết nhiễu loạn. Khi đó, mô hình E331 đưa ra như ở tài liệu tham
khảo [17] là không đúng. Các kết quả có được từ mô hình E331, cần
phải được xem xét lại.
Bằng cách xem xét đối xứng kiểu Peccei-Quinn trong mô hình E331,
chúng tôi đã chỉ ra là sau khi phá vỡ đối xứng tự phát bằng trung bình
chân không của các vô hướng, đối xứng còn dư không phải là đối xứng

• Các phương pháp tính bằng phần mềm Mathematica 7.0
5
Chương 1
Hệ số đối xứng của giản đồ
Feynman
1.1 Khai triển bậc cao trong lý thuyết trường
Một quá trình vật lý hoàn toàn có thể được mô tả đầy đủ bằng ma
trận tán xạ hoặc hàm Green toàn phần. Nếu ma trận tán xạ được thể
hiện dưới ngôn ngữ toán học là các toán tử thì hàm Green lại thường
được biểu thị ở dạng hàm vector, tenxor Mỗi một phần tử của ma
trận tán xạ tương ứng với hàm Green ở cùng bậc nhiễu loạn và cũng
chính là một hoặc nhiều giản đồ Feynman cụ thể. Với lý do như vậy,
khai triển bậc cao trong lý thuyết trường là việc làm tất yếu để thu
được thông tin đầy đủ của một quá trình vật lý.
1.1.1 Ma trận tán xạ
Ma trận tán xạ còn có tên gọi khác: S ma trận (scattering matrix)
là trường hợp giới hạn của toán tử tiến triển thời gian khi thời gian
tiến tới vô cùng
S = lim
t→∞
t
0
→−∞
U(t, t
0
), (1.1)
trong đó, U(t, t
0
) là toán tử tiến triển thời gian và hàm φ trong
U(t, t


δS(g)
δg(y)
S
+
(g)


= 0 với x ≤ y (1.4)
• Điều kiện unita (unitarity condition)
trong đó:
S
+
(g)S(g) = 1. (1.5)
Từ ba điều kiện trên, người ta đã thu được S ma trận
S = T exp

i

dxL
int
(x)

≡ T e
iS
int
. (1.6)
Như chúng ta đã biết H
int
(x) = −L

= e
iH
0
t
e
−iHt
φ(t, x)e
iHt
e
−iH
0
t
= U(t, 0)φ(t, x)U
−1
(t, 0),
|a, t
I
= e
iH
0
t
|a, t
S
= U(t, 0)|a, (1.7)
trong đó
U(t, 0) = e
iH
0
t
e

)
Ngoài ra, toán tử tiến triển thời gian còn thoả mãn tính chất nhóm,
nghĩa là có nghịch đảo
U
−1
(t, t

) = U(t

, t) = U
†
(t, t

). (1.9)
Trong biểu diễn tương tác, các hàm sóng thoả mãn phương trình
tự do
∂
0
φ
I
(t, x) = i[H
0
, φ
I
(t, x)]. (1.10)
Trạng thái cuối ở thời điểm t liên hệ với trạng thái ban đầu ở thời
điểm t
0
qua toán tử tiến triển thời gian
|a, t

int
= e
iH
0
t
H
int
e
−iH
0
t
là Hamiltonian trong biểu diễn tương tác
H

int
= H
int
(φ
I
). (1.13)
Dễ dàng nhận ra, trong (1.13) hàm sóng φ
I
thực chất là hàm tự do.
8
Tiếp theo, chúng ta tìm biểu thức cho toán tử tiến triển thời
gian. Mặc dù có lời giải tường minh một cách hình thức của U(t, t
0
),
nhưng sẽ thuận lợi hơn, nếu chúng ta tìm lời giải của phương trình
tích phân tương đương với điều kiện biên U(t


t
t
0
dt
1
H(t
1
)U(t
1
, t
0
)
= 1 −i

t
t
0
dt
1
H(t
1
)

1 −i

t
1
t
0

t
0
dt
2
H(t
1
)H(t
2
) + · · ·
+(−i)
n

t
t
0
dt
1

t
1
t
0
dt
2
· · ·

t
n−1
t
0

2
H(t
1
)H(t
2
) (1.16)
mà có thể tách hai tích phân và đổi thứ tự lấy tích phân ở số hạng
thứ hai
1
2

t
t
0
dt
1

t
1
t
0
dt
2
H(t
1
)H(t
2
) +
1
2

dt
1
H(t
1
)H(t
2
) =
1
2

t
t
0
dt
1

t
t
1
dt
2
H(t
2
)H(t
1
).
Cùng với số hạng đầu tiên, biểu thức trong (1.16) có thể viết trong
dạng

t

1
)H(t
2
)θ(t
1
− t
2
)
+H(t
2
)H(t
1
)θ(t
2
− t
1
)] (1.17)
9
t
1
t
2
t
t
0
t
t
0
Hình 1.1: Ý nghĩa hình học của phương trình 1.17
Một cách hình tượng, chúng ta có thể minh hoạ phương trình trên

Như vậy, biểu thức cho toán tử tiến triển thời gian lúc này được đưa
ra
U(t, t
0
) = T exp

−i

t
t
0
dt

H
int
(t

)

≡ T exp

−i

t
t
0
dt


d

t
t
0
dt

H
int
(t

)

. (1.20)
Tất nhiên, ở đây H
int
được viết trong biểu diễn tương tác.
Trường hợp tổng quát, toán tử tiến triển thời gian là nghiệm của
phương trình (1.12) và được viết dưới dạng:
U(t, t
0
) = T exp

−i

t
t
0
dt
1
H


t
t
0
d
4
x
p
T [H

int
(x
1
)H

int
(x
2
)
H

int
(x
p
)] . (1.21)
10
Các quá trình vật lý đều được nhận biết thông qua ma trận tán xạ.
Để xác định S ma trận, ngoài toán tử tiến triển theo thời gian chúng
ta cần thêm các định lý Wick để khai triển T-tích.
1.1.3 Các định lý Wick
Như chúng ta đã biết ở trên, ma trận tán xạ là trường hợp giới hạn

1
) φ(x
n
), nếu x
0
1
≥ x
0
2
≥ ≥ x
0
n
. (1.22)
Trong (1.22), khi thời gian bằng nhau (x
0
1
= x
0
2
= ) xảy ra, chúng
ta phải tiền định nghĩa (predefinition), một trong những khả năng đó
là
T [φ
1
(x, t
0
), φ
2
(y, t
0

)] =



φ(x
1
)φ(x
2
) nếu x
0
1
> x
0
2
,
φ(x
2
)φ(x
1
) nếu x
0
2
> x
0
1
.
(1.24)
Còn với ψ là trường Dirac
T [ψ
α

α
(x
1
) nếu x
0
2
> x
0
1
.
(1.25)
11
Định nghĩa: Tích chuẩn hay N - tích (Normal product, normal
ordering : : hoặc N ) là tích mà trong đó toán tử sinh đứng trước (bên
trái), toán tử hủy đứng sau (bên phải).
Định nghĩa N-tích cho chúng ta các hệ quả sau.
• Trung bình chân không của N-tích bằng không. Điều này suy ra
từ tác động của toán tử huỷ cho chân không triệt tiêu: a(

k) |
0 = 0.
• Để giảm bớt những giản đồ chân không (giản đồ không có đường
ngoài) không cần thiết người ta thường quy ước rằng: các trường
trong Lagrangian hoặc Hamiltonian đã được viết trong dạng N-
tích.
• Tuy nhiên khi tính các giản đồ chân không, người ta phải bỏ N-
tích đi.
Để tính các yếu tố ma trận chúng ta sử dụng hai định lý Wick .
Định lý Wick 1: T -tích của các toán tử bằng tổng các N -tích của
chúng với mọi cặp đôi (pairing, construction) khả dĩ, kể cả N -tích

|0 >, (1.27)
trong đó giao hoán tử (-) ứng với trường boson, phản giao hoán tử
(+) ứng với trường fermion.
Ngoài ra, chúng ta còn gặp N-tích với các cặp đôi. Khi tính
trung bình chân không, sử dụng (1.27) chúng ta sẽ chuyển từ tích
12
bình thường thành N-tích với tất cả kết cặp khả dĩ. Ví dụ:
< 0|[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y))]|0 > → < 0|N[φ(y)φ(y)φ(y)φ(y)]
+6 φ(y)φ(y) N[φ(y)φ(y)] + 3 φ(y)φ(y) φ(y)φ(y) |0 > . (1.28)
Định lý Wick 1 còn có thể viết ở dạng tiện lợi sau đây [3].
T [ ˆϕ(x
1
) ·· · ˆϕ(x
n
)] = N

exp

1
2
δ
δϕ
∆
δ
δϕ

ϕ(x
1
) ·· · ϕ(x
n

F
(x −y)γ
ν
(−)iS
F
(y − x)
= γ
µ
S
F
(x −y)γ
ν
S
F
(y − x)(1.30)
Trong (1.30) chúng ta đã không lấy kết cặp giữa ψ(x) với
¯
ψ(x) vì
chúng ở trong cùng một N-tích. Dấu trừ trong đó là do chúng ta phải
đổi chỗ một lần hai hàm spinor.
Các định lý Wick sẽ là công cụ quan trọng cho chúng ta xây
dựng công thức xác định hệ số đối xứng của các giản đồ Feynman,
đặc biệt trong việc xác định các liên kết khả dĩ giữa các trường trong
các Lagrangian tương tác ở nhiễu loạn bậc cao.
1.1.4 Hàm Green trong lý thuyết trường
Hàm Green có vai trò rất quan trọng trong vật lý nói chung và lý
thuyết trường nói riêng. Hàm Green giúp chúng ta tìm nghiệm của
phương trình Klein-Gordon cho cả trường tự do và trường tương tác,
ở mức cây hàm Green chính là hàm truyền Feynman, ở các bậc nhiễu
13

0
(x) là nghiệm thoả mãn phương trình Klein-Gordon với vế
phải bằng không.
Trong phương trình (1.33) dạng của hàm Green phụ thuộc vào từng
trường hợp cụ thể. Để rõ ràng hơn, sau đây chúng ta xét một trường
hợp đơn giản cho trường vô hướng với Lagrangian toàn phần gồm
phần tự do và phần tương tác. Với các trường khác chúng ta có cách
làm hoàn toàn tương tự [4].
Thực hiện biến đổi Fourie (1.33) với ϕ(x) là trường vô hướng, ta có
G(x) =
1
(2π)
4

e
−ikx
m
2
− k
2
dk;
˜
G(k) =
1
m
2
− k
2
, (1.34)
trong đó, G(x) là hàm Green trong không gian tọa độ còn

D
ret
(x) = 0, với x
0
< 0 (1.35)
Khi biểu diễn D
ret
trong dạng gần đúng với (1.34), ta thấy nếu
nhân hàm này với exp(−εx
0
), trong đó ε > 0, thì từ (1.35), nó
không có thêm một kỳ dị mới nào
D
ret
(x)e
−εx
0
= G
ε
(x). (1.36)
Như vậy ta có thể biểu diễn nó như giới hạn
D
ret
(x) = lim
ε→0
G
ε
(x). (1.37)
Theo định nghĩa (1.36), hàm G
ε

2
→
1
m
2
− k
2
− 2iεk
0
. (1.39)
Như vậy, theo (1.37) hàm Green trễ có thể biểu diễn trong dạng
D
ret
(x) =
1
(2π)
4

e
−ikx
m
2
− k
2
− 2iεk
0
dk. (1.40)
Dễ dàng chỉ ra rằng biểu thức (1.40) thoả mãn điều kiện (1.35)
bằng cách lấy tích phân theo k
0

2
+ m
2
q
+


k
2
+ m
2
Hình 1.2: Quỹ đạo tích phân trong mặt phẳng k
0
Sử dụng công thức Cauchy
f(z
0
) =
1
2πi

G
f(z)
z − z
0
dz, (1.41)
cho (1.40) với
f =
e
−ik
0



e
−ik
0
x
0
2k
0
−
e
ik
0
x
0
2k
0


e
−i

kx
d

k
=
1
(2π)
3

(x) = θ(x
0
)D
−
(x). (1.44)
Tương tự, có thể chỉ ra rằng, hàm Green sớm (advanced) xác
định bởi điều kiện biên
D
adv
(x) = 0, với x
0
> 0. (1.45)
có dạng
D
adv
(x) =
1
(2π)
4

e
−ikx
m
2
− k
2
+ 2iεk
0
dk = −θ(−x
0

. Nếu ngược lại, hạt sinh ra tại điểm
y và huỷ tại x, có biểu thức tương ứng
< 0|ϕ
−
(x)ϕ
+
(y)|0 >=
1
i
D
−
(x −y). (1.48)
Như vậy hàm nhân quả D
c
(x − y) phải tỷ lệ với D
−
(x − y) khi
x
0
> y
0
và khi x
0
< y
0
phải tỷ lệ với hàm D
+
(x − y). Để xác lập
dạng của hàm này, ta có nhận xét rằng, bất kỳ lời giải nào của
(1.32) có thể biểu diễn trong dạng tổ hợp tuyến tính của lời giải

c
.
Để có biểu thức trong biểu diễn xung lượng của hàm nhân quả
D
c
(x) = θ(x
0
)D
−
(x) − θ(−x
0
)D
+
(x). (1.51)
Khi sử dụng công thức Sokhovski,
1
x±i0
= P
1
x
∓ iπδ(x), trong đó
P là giá trị chính, ta đưa ra tính chất sau: hiệu của D
ret
−D
+
có
thể biểu diễn trong dạng.
1
m
2