Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013

PHẦN I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
§1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1
)<f(x
2
).
2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x
1
, x
2
∈(a,b) mà x
1
<x
2
thì f(x
1




≤∆
>
0
0a
Giải tìm m
 Chú ý:Nếu hệ số a của y
/
có chứa tham số thì phải xét khi a = 0
• Tương tự cho hàm số giảm :
y
/
≤ 0 ∀x∈ R



≤∆
<
⇔
0
0a
2.Hàm số nhất biến :
dcx
bax
y
+
+
=

+
a) Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
b) Xác định m để đồ thi hàm số khơng cắt đường thẳng x=-1.
c) Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số ln đồng biến trên khoảng xác định của nó.
Bài 4: Chứng minh rằng
a) x > sinx ∀x ∈ (-π/2,π/2).
1
Chun đề 1 :
Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013
b)
1
2 x R
x
e x
+
≥ + ∀ ∈
.
c)
x>1
ln
x
e
x
≥ ∀
.
Bài 5 : Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :
5 3
2 1 0x x x− + − =


Định lí 1:
Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên một lân cận của điểm x
0
(có thể trừ tại x
0
)
a) Nếu f’(x
0
) > 0 trên khoảng (x
0
; x
0
); f’(x) < 0 trên khoảng (x
0
; x
0
+ δ) thì x
0
là một điểm cực đại của hàm
số f(x).
b) Nếu f’(x) <0 trên khoảng (x
0
- δ; x
0
) ; f’(x) > 0 trên khoảng (x
0
; δ+ x
0
) thì x
0

) = 0, f”(x
0
) > 0 ⇒ x
0
là điểm cực tiểu.
2) f’(x
0
) = 0, f”(x
0
) < 0 ⇒ x
0
là điểm cực đại.

• Tìm m để hàm sốá có cự

c đại , cực tiểu

 Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số có cực đại,cực tiểu khi y
/
= 0 có hai nghiệm phân biệt



>∆

* Nếu y
//
(x
0
) < 0 : hàm số đạt cực đại tại x
0
• Tìm m để hàm số đạt cực trò tại x

0
Cách 1:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:
y
/
(x
0
) = 0
y
/
đổi dấu khi x qua x
0
 Chú ý :
• Hàm số đạt cực tiểu tại x
0

sang
“
–
”
2
Tài liệu tham khảo ơn tập TNPTTH Tốn 12
Năm học: 2012-2013
Cách 2:  Tập xác đònh
 Đạo hàm y
/
 Đạo hàm y
//
 Hàm số đạt cực trò tại x
0
:




≠
=
0)(
0)(
0
//
0
/
xy
xy


=

f
/
(x)
 Hàm số đạt cực trò bằng y
0
tại x
0
khi






≠
=
=
0)(
)(
0)(
0
//
00
0
/
xf
yxf
xf

y
x k
− + +
=
−
với tham số k.
1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi k=1
2)Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A(3;0) có hệ số góc a. Biện luận theo a số giao điểm của (C) và (d).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A.
3)Chứng minh với mọi k đồ thị ln có cực đại, cực tiểu và tổng tung độ của chúng bằng 0.
Bài 5: Định m để hàm số
3 2 2
1
( 1) 1
3
y x mx m m x= − + − + +
đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 6: Cho hàm số
2
1
x x m
y
x
− +
=
+
Xác định m sao cho hàm số.
a) Có cực trị.
b) Có hai cực trị và hai giá trị cực trị trái dấu nhau.
Bài 7: Cho hàm số

+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu)
là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
3) Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
+ Tìm các điểm tới hạn x
1
,x
2
, , x
n
của f(x) trên [a,b].
+ Tính f(a), f(x
1
), f(x
2
), , f(x
n
), f(b).
+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
[ , ]
[ , ]
max ( ) ; min ( )
a b
a b
M f x m f x= =
B. CÁC BÀI TẬP:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
a)
3 2
2 3 1y x x= + −
trên [-2;-1/2] ; [1,3).

→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình x= x
0
là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2) Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình y= x
0
là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
3) Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =

2. Xác định m để đồ thị hàm số
2 2
( 4) 4 5
2
x m x m m
y
x m
− − − + − −
=
+ −
có các tiệm cận trùng với các tiệm cận của
đồ thị hàm số khảo sát trên. (TN-THPT 02-03/3đ)
Bài 2: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số
a)
2
1y x= −
b)
3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
−
c)
2
3 1

3. Đồ thị - Giá trị đặt biệt - Đồ thị
1. Tập xác định
2. Sự biến thiên
- Chiều biến thiên, cực
- Giới hạn, tiệm cận
- Bảng biến thiên
3. Đồ thị
- Giá trị đặt biệt - Đồ thị
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
 Các dạng đồ thị hàm số:
 Hàm số bậc 3: y = ax
3
+ bx
2
+ cx + d (a ≠ 0)
 Hàm số trùng phương: y = ax
4
+ bx
2
+ c (a ≠ 0)
 Hàm số nhất biến :
)bcad(
dcx
bax
y 0≠−
+
+
=
 Hàm số hữu tỷ (2/1) :
2

•
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị ⇔ ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị ⇔ ?
y
I
x
y
O
Dạng 2: h/số nghịch biếnDạng 1: h/số đồng biến
xO

Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 3 bảng sau:
Bước : Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
Ví dụ 1:
1. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
= m ( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x−
= 3m -2 ( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình
3 2
1
3
x x
−
=
3 2
1
3
m m−
( dùng bảng 3)
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.

∫
( )
(III)
• Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H’) giới hạn bởi (C): x = g(y), trục Oy và 2 đường
thẳng y = a, y = b ( a < b), khi (H’) quay quanh Oy.
→ Ta dùng công thức
[ ]
2
=
∫
b
a
V g y dy( )
π
(IV)
Đặc biệt hóa trong các trường hợp khi cần thiết hoặc phù hợp với một đề bài cụ thể, đồng thời nắm
được các bước cơ bản khi giải dạng toán này:
 Khi cần tính diện tích 1 hình phẳng:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (I) hay (II) (có hay không có Ox).
 Xác định được cận dưới a và cận trên b (nếu chưa có thì biết đi tìm).
 Dựa vào đồ thị (hoặc xét dấu riêng), để biết dấu của biểu thức f(x)/[a;b]. (hay dấu của f(x) – g(x) /[a;b]).
 Biết các bước trình bày bài giải và tính đúng kết quả.
 Khi cần tính thể tích vật thể tròn xoay:
 Nắm các dấu hiệu để biết sử dụng công thức (III) hay (IV) (hình sinh quay quanh Ox hay quay quanh Oy)
 Xác định các cận trên, cận dưới và tính đúng kết quả.
Ví dụ 4: (trích đáp án kì thi THPT không phân ban 2006 )
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số y = e
x
, y = 2 và đường thẳng x = 1.
Giải: (0,75 đ)

Giải:
Gọi S là diện tích hình phẳng cần tìm.
Từ đồ thị ta có:
3 3
3 2 3 2
0 0
3 ( 3 )S x x dx x x dx= − + = − +
∫ ∫

3
4
3
0
4
x
x
 
= − +
 ÷
 
= 27/4 ( đvdt)
Bài tập : (cho dạng 1 và dạng 2)
Bài 1: Cho hàm số y = x
3
– mx + m + 2. có đồ thị là (Cm)
a) Khảo sát hàm số khi m = 3.
b) Dùng đồ thị (C3), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
x
3
– 3x – k +1 = 0

2
).
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C
2
), tiệm cận ngang của nó và các đường thẳng x = 3, x = 4.
Bài 5: Cho hàm số
1
2
+
+−
=
x
xx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết PTTT của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành.
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số
4
4
2
−
+−
=
mx
mxx
y
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C
2
).

2
và y =
x
quay quanh Ox.
Dạng 3: Biện luận số giao điểm của 2 đường (C): y = f(x) và (C’): y = g(x)
PP: Ta tìm Số giao diểm của hai đường cong (C
1
) y= f(x) và (C
2
) y=g(x) là số nghiệm của phương trình hồnh độ
giao điểm f(x) = g(x) (1)
• Biện luận số giao điểm của ( C) và d

 (d): y = k(x – x
A
) + y
A
= g(x)
 Ptrình hoành độ giao điểm: f(x) = g(x) (*)
• Nếu (*) là phương trình bậc 2 :
1) Xét a= 0:kết luận số giao điểm của (C) và(d)
2) Xét a ≠ 0 : + Lập ∆ = b
2
– 4ac
+ Xét dấu ∆ và kết luận
(Chú ý: (d) cắt (C) tại hai điểm phân biệt


o
pb x
1
, x
2
khác x
0
)






≠
>∆
≠
⇔
0)(
0
0
0
)2(
xg
A
Ví dụ Cho hàm số
1
1
−
+

0 và m
≠
- 2 có hai giao điểm.
B ÀI TÂP:
Bài 1: Biện luận số giao điểm của đồ thị (C):
3 2
2
3 2
x x
y x= + −
và đường thẳng (T):
13 1
( )
12 2
y m x
− = +
.
KQ: 1 giao điểm ( m ≤
27
12
−
), 3 giao điểm ( m >
27
12
−
)
Bài 2: Định a để đường thẳng (d): y = ax + 3 khơng cắt đồ thị hàm số
3 4
1
x

8
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013

Hàm số nhất biến dạng:
ax+b
cx+d
=y

→
chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.

Hàm số hữu tỷ (2/1)dạng:
2
ax bx c
y
a 'x b'
+ +
=
+

→
không có cực trị hoặc có 2 cưc trị.

Tóm tắt: Cho hàm số y = f(x) xác định / (a;b) và x
0

∈
(a;b)
• Nếu f’(x

) = 0 và f’’(x) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x
0
.
• Nếu f’(x
0
) = 0 và f’’(x) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x
0
.
Bài tập:1 Định tham số m để:
i) Hàm số y =
3 2
1
( 6) 1
3
x mx m x
+ + + −
có cực đại và cực tiểu.Kết quả: m < - 2 hay m > 3
2i)Hsố y =
2
2
1
x mx
mx
+ −
−
có cực trị. Kết quả: - 1 < m < 1
3i) Hàm số y = 2x
3
– 3(2m + 1)x
2

) là 2 điểm cực trị của
đồ thị hàm số. Chứng minh rằng :
1 2
1 2 1 2
( )( 1)
y y
x x x x
−
− −
= 2.Kết quả : m < 1
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?
Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M
0
(x
0
;y
0
) ∈ (C).
 Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y
0
= f’(x
0
)
( )
0
x x−
hay y – y
0
= k(x – x


 Bước 3: Giải tìm k và thay vào (1). Ta có kết quả.
Bài toán 3: Viết pttt của (C): y = f(x) biết hệ số góc k của tiếp tuyến.
(hay: biết tiếp tuyến song song, vuông góc với 1 đường thẳng (D) )
C1:  Bước 1: Lập phương trình f’(x) = k ⇒ ⇒ x = x
0
( hoành độ tiếp điểm)
 Bước 2: Tìm y
0
và thay vào dạng y = k(x – x
0
) + y
0
. ta có kết quả
C2: Bước 1: Viết pt đường thẳng (d): y = kx + m (**) (trong đó m là tham số chưa biết)
 Bước 2: Lập và giải hệ pt:
( )
'( )
f x kx m
f x k
= +


=

⇒ k = ? thay vào (**). Ta có kết quả
Bài tập về PTTT của đồ thị (C ):
Bài 1: Cho hàm số y = x
2
– 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0

2
x
x
+
−
. Lập PTTT của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm
với trục tung và trục hoành.
Bài 6: Cho hàm số y =
2
2
x
x
+
−
. Viết PTTT Của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 7: Viết PTTT của đồ thị hàm số y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
đi qua B(1;0)
Bài 8: Cho hàm số y = x
3
– 3x. Lập các PTTT kẻ từ điểm A(-1;2) tới đồ thị hàm số
Bài 9: Cho hàm số y = 2x
3
– 3x

+−
=
x
mmxx
y
, có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số m để trên đồ thị (Cm) của hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua O.
B ài 3 ) Cho các đường: y = x
2
– 2x + 2, y = x
2
+ 4x + 5 và y = 1.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường trên.
B ài 4) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =
)1x(2
3x4x2
2
−
−−
2. Định m để ptrình : 2x
2
– 4x – 3 + 2m|x - 1| = 0 có 2 nghiêm phân biệt.
Bài 5 : Cho hàm số
1
3
+
+
=
x

−++−=
a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m=1 chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C)
b) Xác định m để hàm số có cực trị tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm
cực trị đó
c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;∞)
Bài 8 : Cho hàm số
3 2
5
- 2
3
= + +y x x x
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x
3
-6x
2
-5x+m=0.
c) Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
d) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
f) Chứng minh rằng đồ thị có tâm đối xứng.§1. NGUYÊN HÀM:
Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ
( )
a,b R a 0∈ & ≠
:
dx x C
= +

∫
1
ax ax
e dx e C
a
= +
∫
cos sinxdx x C
= +
∫
1
sin cosaxdx ax C
a
= − +
∫
2
2
π
π
= + ≠ +
∫
tan ,
cos
dx
x C x k
x
1
cos sinaxdx ax C
a
= +

1
π
= − + ≠
∫
cot ,
sin
dx
ax C x k
ax a
Bài tập:
Ghi nhớ:
− Nguyên hàm của một tổng (hiệu) của nhiều hàm số chính là tổng (hiệu) của các nguyên hàm của những
hàm số thành phần.
− Nguyên hàm của một tích (thương) của nhiều hàm số không bao giờ bằng tích (thương) của các
nguyên hàm của những hàm số thành phần.
− Muốn tìm nguyên hàm của một hàm số ta phải biến đổi hàm số này thành một tổng hoặc hiệu của
những hàm số tìm được nguyên hàm.
Áp Dụng: Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau bằng cách biến đổi và sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản
11
Chuyên đề 2 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
1.
4
x dx
∫
2.
(3 1)x dx−
∫
3.

∫
9.
(3sinx-5cos 1)x dx−
∫
10.
2
7
(3sinx+2cos )
os
x dx
c x
−
∫
11.
2
(2 )
os
x
x
e
e dx
c x
−
+
∫
12.
2 5x dx+
∫
13.
3 8x

sin 3xdx
∫
20.
2
cos (1 7 )x dx−
∫
21.
sinx sin5xdx
∫
22.
sinxcos3xdx
∫
23.
cos2xcos3xdx
∫
24.
7
sin .cosx xdx
∫
25.
tan5xdx
∫
26.
2
tan xdx
∫
27.
1
( 1)
dx

32.
sin
1 5cos
x
dx
x+
∫
33.
sin
cos
x
e xdx
∫
Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp đổi biến số:
1.
7
(2 )x x dx−
∫
(đặt t= 2-x) 2.
3 4x xdx−
∫
(đặt
3 4t x= −
) 3.
2
1 1
sin dx
x x
∫
(đặt

)
7.
2 2
(1 )
x
dx
x+
∫
(đặt t=1+x
2
) 8.
3 2
2x x dx+
∫
(đặt t=2+x
2
) 9.
sin(ln )x
dx
x
∫
(đặt t=lnx)
Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau bằng phương pháp nguyên hàm từng phần:
i)
(3 1)sinx xdx+
∫
2i)
(2 3)cosx xdx+
∫
3i)

x
e xdx
∫
(2 3)
x
x e dx−
∫
9i)
2
( 4 1)
x
x x e dx− +
∫
10i)
(2 1)
x
x e dx
−
+
∫
11i)
sin
x
e xdx
∫
12i)
3
ln x
dx
x

( )
F x
là nguyên hàm của
( )
f x
.
b. Tìm nguyên hàm
( )
G x
biết rằng
0
4
G
π
 
=
 ÷
 
.
Bài 5: Cho hàm số
( )
4 4
2 3cos cos cos
cos sin
x x x
f x
x x
+ +
=
−

biết rằng đồ thị của hàm số
( )
F x
đi qua điểm
0
8
;M
π
 
−
 ÷
 
.
Bài 7: Biết rằng hàm số
( )
1
sin
cos
x
F x
x
=
+
là nguyên hàm của
( )
f x
. Hãy tìm các giá trị của
x
sao cho
( ) ( )

f x e x=
. Chứng minh rằng hàm số
( ) ( )
f x f x
′ ′′
−
là nguyên hàm của hàm số
( )
2 f x
.
Bài 10: Tìm nguyên hàm
( )
F x
của hàm số
( )
3 2
2
3 3 1
2 1
x x x
f x
x x
+ + −
=
+ +
,biết rằng
( )
1
1
3

b.
4
cos sinx x dx
π
π
+
∫
c.
21
1
2 3
2
x x
dx
x
−
+ +
+
∫
d.
2
2
1
lnx x
e
dx
x
+
∫
Bài 2: Cho hàm số

Bài 3: Cho hàm số
( )
2
2ln lnf x x x x x
= −
. a. Tính
( )
f x
′
. b. Áp dụng câu a. tính
2
1
ln
e
xdx
∫
.
Bài 4: Biết hàm số
( )
cos sin
cos sin
x x
F x
x x
−
=
+
là một nguyên hàm của
( )
f x

∫
−
−
π
π
dxxx ).cos3sin2(
4.
∫
2
4
2
.
sin
1
π
π
dx
x
. 5.
4
4 4
0
(cos sin )x x dx
π
−
∫
6.
∫
6
0

3
2
0
tan xdx
π
∫
12.
2
0
1
3 7
dx
x +
∫
13.
2
1
1
( 4)
dx
x x −
∫
14.
0
2
1
1
2 5 3
dx
x x

0
2 5 1
3
x x
dx
x
+ −
−
∫
18.
0
sin
6
x
dx
π
∫
19.
3
0
2x dx−
∫
20.
4
2
0
4 3x x dx− +
∫
21.
2

Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Công thức trên, tích phân cần tính là tích phân ở vế trái. Hàm số dưới dấu tích phân có dạng tích của
( )
f x
ϕ
 
 
(hàm số theo biến là
( )
x
ϕ
) với đạo hàm của hàm
( )
x
ϕ
. Áp dụng công thức trên vào các trường
hợp thường gặp, ta có cách đặt cụ thể như sau:
a). TH1:
( )
sin .cosf x xdx
β
α
∫
.
→ Đặt
sint x=

→ hoặc
sint p x q= +

cos
n
t p x q= +
nếu như biểu thức
cosp x q+
nằm trong
n
.
c). TH3:
( )
1
ln .f x dx
x
β
α
∫
.
→ Đặt
lnt x=

→ hoặc
lnt p x q= +

( )
,p q∈¡

→ hoặc
ln
n
t p x q= +

t p x q
nếu như biểu thức
ptgx q+
nằm trong dấu
n
.
e). TH5:
( )
2
1
β
α
∫
.
sin
f cotx dx
x
.
→ Đặt
=t cotx

→ hoặc
= +t pcotx q

( )
,p q∈¡

→ hoặc
= +
n

( )
1
3 2ln
e
dx
x x
+
∫
d.
19
2
3
0
8
xdx
x +
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
1
2
0
2
4 5
x dx
x x
−
− +
∫

+
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau đây:
14
Ti liu tham kho ụn tp TNPTTH Toỏn 12
Nm hc: 2012-2013
a.
3
3
0
cos
tgxdx
x


b.
2
2 3
6
sin cosx xdx



c.
6
4 4
0
2sin
cos sin
xdx

2 3
0
1x x dx
+

c.
6
0
2
2 1
sin
sin
xdx
x

+

d.
4
3
6
dx
tgx tg x


+

Bi 5: Tớnh cỏc tớch phõn sau õy: ( Tng hp)
1
dx

(HD:
x=sint)
4.
4
2
2
16 x dx

( HD: x=4sint) 5.
dxxx


2
1
22
4
(HD: x=2sint) 6.
dx
xx


++
0
1
2
22
1
(HD:t x+1=tant)
7.
3

0
2009
)1( dxxx
(t=1-x) 2.

+
1
0
32 dxxx

( 2 3)t x= +
3.

+
1
0
2
1dxxx
2
( 1)t x= +
4.
dxxx
2
1
0
3
1


2

8.
dxx
x
x
e

+
1
ln
ln31

( 1 3ln )t x= +
9.
dx
x
x

+
1
0
15

( 5 1)t x= +
10.
dx
x
x

+
+


( 1)
x
t e= +
` 13.
dx
x
e
x

+
4
1
2
2tan
cos

(t=tanx+2)
Đ4. TNH TCH PHN BNG PHNG PHP TNG PHN:
1). Cụng thc tng quỏt :
( )
b b
b
a
a a
uv dx uv vu dx

=

hay

v suy ngh tỡm cỏch tớnh tip
b
a
vdu


(tớch phõn ny cú th tớnh bng nh ngha hoc i bin s hoc tớch phõn tng phn tựy tng bi toỏn c th m ta
phi xem xột).
3). Cỏc dng tớch phõn tớnh bng phng phỏp tng phn:
15
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Tích phân từng phần thường được áp dụng để tính các tích phân có dạng như sau:
a). Dạng 1:
( ) ( )
.
b
a
p x q x dx
∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm
sin ( )x
α
hoặc

∫
Trong đó
( )
p x
là hàm số đa thức, còn
( )
q x
là hàm logarit.
→ Trong trường hợp này ta đặt:
( )
( )
u q x
dv p x dx
 =

=

Ghi nhớ: Trong trường hợp này nếu đặt ngược lại thì ta gặp khó khăn khi suy ra
v
từ
dv
.
4). Bài tập:
Bài 1: Tính các tích phân sau đây:
a.
( )
0
2 1 sinx xdx
π
+

0
1
x
x e dx
+
∫
f.
1
0
3 2
x
x
dx
e
−
∫
g.
1
0
3 2( )
x
x dx
−
∫
h.
( )
1
2
0
x

1lnx x dx
+
∫
Bài 3. Tính các tích phân sau bằng phương pháp tích phân từng phần:
1.
xdxx sin)2(
2
0
∫
+
π
2.
xdxx cos)1(
2
0
∫
−
π
3.
xdxx 3sin
2
0
∫
π
4.
dx
x
x
2
cos)1(

x2
0
sin
∫
π
9.
∫
e
xdx
1
ln
10.
∫
+
1
0
)3ln( dxx

11.
∫
e
xdx
1
ln
12.
∫
−
−
0
1

x
2sin
2
sin
2
4
∫
π
π
17.
∫
e
dxxx
1
23
)(ln
18.
dxxcos
4
0
∫
19.
∫
+
e
e
dx
x
x
1

ln
x
x x e dx
x
+
∫
c.
( )
2
2
2
6
2cot sin
sin
g x x dx
x
π
π
+
∫
d.
2
0
2
3 1
sin
cos
x xdx
x
π

 
−
 ÷
+
 
∫
g.
0
2
2 2
2 3
cos cos
sin
x xdx
x
π
 
+
 ÷
+
 
∫
h.
1
2
0
3 1lnx x dx+
∫
§6. DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG:
1). Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi :

• Bước 2: Áp dụng công thức (2).
• Bước 3: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
f x g x−
, sau đó xét dấu của hiệu này.
• Bước 4: Dùng phép phân đoạn tích phân và áp dụng định nghĩa GTTĐ để khử dấu GTTĐ.
c). Chú ý: Nếu bài toán này được cho chung trong bài khảo sát hàm số thì ta dùng hình vẽ để khử dấu GTTĐ
sẽ dễ dàng hơn. Có nghĩa là, nếu trên một đoạn tích phân nào đó mà trên hình vẽ,
( )
1
C
nằm trên
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≥
, và
( )
1
C
nằm dưới
( )
2
C
thì hiệu
( ) ( )
0f x g x− ≤
.

=
(PTHĐGĐ của
( )
C
và trục Ox) để tìm.
• Bước 2: Áp dụng công thức (3).
4). Bài tập:
ÁP Dụng 01:
Bài i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
1.
1, 0, 0, 3y x y x x= − = = =
2.
2
3 4, 0, 1, 3y x x y x x= + − = = − =
3.
3 2
5 4 , 0, 1, 3y x x x y x x= − + = = − =
4.
3
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
5.
x
os , 0, ,
2 2
y c y x x
π

10.
2
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
Bài 2i. Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường sau:
17
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
1.
2
, 4 4 , 0, 3y x x y x x x= − = − = =
2.
2
, 2 0y x x y= − + + =
3.
2 2
5, 3 7y x x y x x= + − = − + +
4.
( 1)( 2)( 3), 0y x x x y= − + − =
5.
, 1, 2
x
y e y x= = =
6. (C):
2
2 2y x x= − +
và các tiếp tuyến của (C) đi qua
3
( , 1)
2
A −

và trục Ox.
Bài 4: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đường cong
( )
3
3 1:C y x x
= − +
và đường thẳng
3:d y =
.
Bài 5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
2
2 2
1
:
x x
C y
x
+ +
=
+
; đường tiệm cận xiên của
( )
C
; Ox;
1x e= −
.
Bài 6: Cho đường cong
( )
3 2

và các tiếp tuyến nói ở câu a.
Bài 8: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
:C y x
=
;
2:d y x
= −
và trục Ox.
Bài 9: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol
( )
2
4:P y x
=
và đường thẳng
2 4:d y x= −
.
Bài 10: Cho parabol
( )
2
4:P y x=
.
a. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
P
tại điểm tung độ bằng 4.
b. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:
( )
P
, trục Ox và tiếp tuyến nói ở câu a.

2
, 3y x y x= =
3.
3
1, 0, 0, 1y x y x x= + = = =
4.
4
5 ,y x y
x
= − =
5.
sin , 0, 0,
2
y x y x x
π
= = = =
6.
, 0, 0, 1
x
y xe y x x= = = =
7.
ln , 0, 1,y x x y x x e= = = =
8.
4 4
cos sin , 0, 0,
2
y x x y x x
π
= + = = =


−

.
1

1
0

n
n
n
m
n
m
nmmnnm
n
n
n
nnn
aa
aa
aaa
b
a
baba
=•
=•
==•
=


⇔=
)()(
)()(
1
)()(
10
xgxf
xgxf
DD
a
xgxf
a
aa

[ ]



>−−
>
⇔>
0)()().1(
0
)()(
xgxfa
a
aa
xgxf
)()( thì1a0
)()( ì th1a

a
log
a
NkNN
k
N
a
N
NNa
a
N
N
NN
N
N
NNNN
a
k
aa
N
a
ba
b
b
a
aa
aa
log.log log
1
log

<<⇔><<•
>>⇔>>•





=
>>
≠<
⇔=
g(x)f(x)
) 0g(x) ( 0)(
10
)(log)(log xf
a
xgxf
aa







>
>
>
≠<
⇔>

1
3
6
4
1
0,0001 64
125
B
−
−
−
 
= + +
 ÷
 
2.Rút gọn biểu thức
( )
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
( ) 2x y x y x y y
A
x y
x y x y
+ − +
= +
 
+
− +

− +
 ÷ ÷
  
= −
−

2
3 3 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
.
a b a b
D ab
a b
a b
   
− −
 ÷
 
= +
 ÷
 
−
 ÷
−
 
   
3.Rút gọn biểu thức
4

 
− −
 
 ÷
= +
 ÷
 ÷
−
 
−
 
1 7 1 5
3 3 3 3
1 4 2 1
3 3 3 3
a a a a
C
a a a a
−
−
− −
= −
− −

1
1 1 1 1 1 1
3 3 3 3 3 3
6 6
3 2 3 2
. . . .a b a b a b b a




−
+
=
a
a
aa
a
E
4.Tính giá trị biểu thức
7 4 3 7 4 3A = − + +

3 3
10 6 3 10 6 3B = + + −
3 3
9 80 9 80C = + + −

3
3 2 2 7 5 2D = + + −
Bài 2 Lũy thừa với số mũ thực
1.Tính giá trị các biểu thức
a)
3 2 1 2 2
2 .8A
− − +
=
b)
2

 

3 1 2 3
3 1
2 3
3 1
.
1
.
a a
B
a
a
+ −
+
−
− −
=
 
 ÷
 

( )
2 1
2 3 4
3 1
3 1
2 1
3 2 3
6

3 4 0x x− − =
c)
4
2x x− =
d)
4
14 1 0x x− + =
e)
6
3 2 0x x− + =
4.Giải các bất phương trình
a)
4
5x <
b)
5
6x <
c)
10
3x >
d)
9
3x ≤
Bài 3 lôgarit
1.Tính các lôgarít
a)
3
log 27
b)
1

a
a
b)
3
2
1
log
a
a
c)
3
2
1
1
log
a
a
d)
log 5
a
a
e)
1
log 2
3
1
a
a
−
 

C
a
+ − −
 
=
 ÷
 
4.Cho
2
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
2
log 45

5.Cho
3
log 5a =
,
2
log 3b =
.Tính
3
log 100

6.Cho
1
2

c
= +

c)
log .log .log
log .log log .log log .log
log
a b c
a b b c c a
abc
d d d
d d d d d d
d
+ + =
d)
2
1 1 1 ( 1)

log log log 2log
k
a a
a a
k k
x x x x
+
+ + + =

Bài 4 lôgarit thập phân và logarit tự nhiên
1.Tính
a)

b)
1
4
x
y
π
+
 
=
 ÷
 
c)
x
y e=
d)
2
logy x=
e)
1
log
e
y x=
f)
logy x=

2.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3
3 2.3
x x

y e e e
−
= + − −
b)
x x
x x
e e
y
e e
−
−
−
=
+
4.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 3 5
log 2log (2 ) logy x x x= + −
b)
log 2
x
y =
c)
logx-3log(2x-3)y =
5.Tính đạo hàm các hàm số
a)
2 2
ln ln 2ln 2y x x x= + − −
b)
1

1
x
e x− ≥
Bài 6 Phương trình mũ và logarit
1.Giải các phương trình
a)
3
1
.4 0,25
64
x
x
−
=
b)
2
3
1
.0,2 25
0,04
x x
x
−
=
c)
2
2
1 1
.
x

1
5 .8 500
x
x
x
−
=
g)
1
3 .8 36
x
x
x+
=
h)
1
5 .8 100
x
x
x+
=
2.Giải các phương trình
21
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
a)
2
3 2.3 15 0
x x
− − =

− + + =
3.Giải các phương trình
a)
3
3( 1)
1 12
2 6.2 1
2 2
x x
x x−
− − + =
b)
( )
2
7
6. 0,7 7
100
x
x
x
= +
c)
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
d)
2 2 2
2 2 2

5 6 1 7 5
2 2 2 1
x x x x− + − −
+ = +
c)
2 2
log log2
6 2.9
x x
x + =
d)
5 5
log log
2
2.15 3.9
x x
x + =

5.Giải các phương trình
a)
5 12 13
x x x
+ =
b)
2 2
log log 52
3
x
x x+ =
c)

x
+
− =
c)
9 2.( 2).3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
d)
3.4 (3 10).2 3 0
x x
x x+ − + − =
7.Giải các phương trình logarit
a)
[ ]
{ }
4 3 2 2
log 2log 1 log (1 3log ) 1x+ + =
b)
3 4 12
log log logx x x+ =
c)
2 3 6
log log logx x x+ =
d)
log ( 6) 3
x
x + =
e)
1
log (3 5) 3

2
x x x+ − = − + +
d)
2 3
4 8
2
log ( 1) 2 log 4 log ( 4)x x x+ + = − + +
e)
3 2
1
log( 8) log( 4 4) log(58 )
2
x x x x+ − + + = +
f)
2 2
2 2 2
log ( 3 2) log ( 7 12) 3 log 3x x x x+ + + + + = +

g)
( )
( )
( )
2
log 4 1 3
1 8. 1
x
x x
 − 
 
− = −

6 2
2log (4 )
1
1
log (3 ) log (3 )
x
x x
−
+ =
+ +
f)
2
log (9 2 ) 3
x
x + − =
g)
log(1 2 ) log5 6
x
x x+ + = +
h)
3
2
log 2
log
3 6
x
x+ =
i)
4 2 2 4
log log log log 2x x+ =

Bài 7 Hệ phương trình mũ và logarit
A/. Giải các hệ phương trình
a)
3 2 65
2 3 36
118
x y x y
xy x y
− −

   
− =

 ÷  ÷

   

− + =

b)
2
7 12
1
6
0
x x
y
x y
y
+ +

x y+ =


+ =

22
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
B/. Giải các hệ phương trình
a)
3 1 2 3
2
2 2 3.2
3 1 1
x y y x
x xy x
+ − +

+ =


+ + = +


b)
5( )
4
3
3 1
x

sin
9 3
9 81 2
tgx y
y tgx
+

=


− =



e)
( )
3
3
log 2
log ( )
2 2
4 2
3 3 12
xy
xy
x y x y

= +



=


− =


c)
2
2log 3
3log 1
x y
x y

+ =


− =


d)
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
log ( 1) log (4 2 2 4) log 1
x y x x y
x
xy y y x
y


− = − +


+ =


Bài 8 Bất phương trình mũ và logarit
1.Giải các bất phương trình
a)
2 1
25 0,2 .625
x x x−
>
b)
2
4 2 2 2 3
0,1 0,1
x x x− − −
≤
c)
2 2
3.7 37.140 26.20
x x x
+ ≤
d)
7 1 1 7
10 6.10 5 0
x x− −
+ − <

4
5 5.5
x
x
≥
c)
( ) ( )
3 1
1 3
10 3 10 3
x x
x x
− +
− −
− < +
d)
2 4 4
3 8.3 9.9 0
x x x x+ + +
− − >
e)
2.2 3.3 6 1
x x x
+ > −
f)
2
3 3 2
0
4 2
x

x
 
− < −
 ÷
 
d)
2
0,5 6
log log 0
4
x x
x
+
<
+
e)
2 3 2 3
log log 1 log .logx x x x+ < +
f)
4.Giải các bất phương trình
a)
2
log 3logx+3
1
log 1
x
x
−
<
−

 ÷  ÷
   
5.Giải các bất phương trình
a)
2
log ( 2) 1
x
x + <
b)
2
2
5
log 0
5 5
x
x
x
+
>
−
c)
x+1 x+1
log 2 log 2
x−
≤
*Một số đề thi đại học về phương trình, bất phương trình,hệ phương trình mũ và logarit trong thời gian gần
đây
1.(Đề dự bị 1 khối D năm 2007) Giải bất phương trình:
( )
2

2x 1
1 1
log (x 1) log x 2
log 4 2
+
− + = + +
4.(Đề dự bị 2 khối D năm 2007) Giải phương trình:
022.72.72
xx21x3
=−+−
+
.
5.(Đề dự bị 1 khối B năm 2007) Giải phương trình :
( ) ( )
21x2log1xlog
3
2
3
=−+−
6. (Đề dự bị 1 khối B năm 2007) Giải phương trình:
( )
1
xlog1
4
3logxlog2
3
x93
=
−
−−

2
log 3x =
10.(Đề dự bị 1 khối A năm 2006) Giải bất phương trình :
( )
x 1
log 2x 2
+
− >
Đs :
2 3 0x− + < <
11.(Đề dự bị 2 khối A năm 2006) Giải phương trình:
x 2x
2x
log 2 2log 4 log 8+ =
Đs :
2x =
12.(Đề dự bị 1 khối B năm 2006) Giải phương trình:

( ) ( )
3
1 8
2
2
log x 1 log 3 x log x 1 0+ − − − − =
Đs :
1 17
2
x
±
=

4
x x= =
16.( Khối A năm 2008) Giải bất phương trình
( )
( )
2
2
2 1 1
log 2 1 log 2 1 4
x x
x x x
− +
+ − + − =
ĐS :
5
, 2
4
x x= =
17.(Đề khối B năm 2008) Giải bất phương trình :
2
0,7 6
log log 0
4
x x
x
 
+
<
 ÷
+


24
Chuyên đề 4 :
Tài liệu tham khảo ôn tập TNPTTH Toán 12
Năm học: 2012-2013
Vấn đề 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN SỐ PHỨC
*
1
2
−=i

*
2
1
z
z
z
=
*
22
. baibaz +=+=
*
ibazibaz −=⇒+=
*
22
bazz +==


1
2
1
2121
;
z
z
z
z
zzzz =








=
1).
iba .
+=
α
.Gọi
β
là căn
bậc 2 của
α
, ta có:
b ≥ 0 :

−
++
±=
2
.
2
2222
baa
i
baa
β
2).









=
=
+=
+=
r
b
r
a
bar

6).
[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
ninrir
n
n
+=+

[ ]
)sin.(cos)sin.(cos
ϕϕϕϕ
nini
n
+=+
CÁC BÀI TẬP PHẦN SỐ PHỨC
Bài 1: Biểu diễn các số phức sau và các số phức của chúng trên mặt phẳng phức
2+3i ; -4+2i ; -1-3i ; -5 ; 2i
Bài 2: Tìm các số phức liên hợp với các số phức trên rồi biểu diễn chúng trên mặt phẳng phức
Bài 3: Cho 2 số phức : z = a+bi ; z
'
= a
'
+b
'
i Với điều kiện nào giữa a,b,a
'
,b' thì
a/ Tổng , hiệu của z và z' là số thực ; là số thuần ảo
b/ Tích , thương của z và z' là số thực ; là số thuần ảo