BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
LÊ THỊ THÚY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2013
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
LÊ THỊ THÚY
TẬP HÚT TOÀN CỤC
ĐỐI VỚI MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62.46.01.05
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Tập thể hướng dẫn khoa học:
1. TS. Cung Thế Anh (HD1)
2. TS. Nguyễn Đình Bình (HD2)
Hà Nội - 2013
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng
dẫn của TS. Cung Thế Anh và TS. Nguyễn Đình Bình. Các kết quả được
phát biểu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong
các công trình của các tác giả khác.
Tác giả
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của các thầy TS. Cung
Thế Anh và TS. Nguyễn Đình Bình. Các thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen
với nghiên cứu khoa học từ khi tác giả còn là học viên cao học. Ngoài

1.3.2 Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . 23
1.3.4 Số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . . 26
1.4 Tập hút đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4.1 Tập hút đều của quá trình đơn trị . . . . . . . . . . 27
1.4.2 Tập hút đều của nửa quá trình đa trị . . . . . . . . 29
1.5 Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . . 32
1.6 Một số bổ đề quan trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Chương 2. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN MIỀN BỊ CHẶN 35
2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . 37
3
2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L
2
(Ω) . . . . . . . . . . 43
2.4 Sự phụ thuộc nửa liên tục trên của tập hút toàn cục vào số
hạng phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.5 Tính trơn của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong L
2p−2
(Ω) . . . . . 49
2.5.2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong D
2
0
(Ω, σ) . . . . . 56
2.6 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục . . . . . . . 59
Chương 3. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH
PARABOLIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH TRÊN TOÀN KHÔNG
GIAN 64

4.4 Tính trơn của tập hút đều trong trường hợp duy nhất nghiệm
và p = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.1 Tập (L
2
(Ω), L
q
(Ω)) - hút đều . . . . . . . . . . . . 98
4
4.4.2 Tập (L
2
(Ω), D
1
0
(Ω, ρ) ∩L
q
(Ω)) - hút đều . . . . . . 101
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5
MỞ ĐẦU
1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài
Các phương trình đạo hàm riêng tiến hóa phi tuyến xuất hiện nhiều
trong các quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn các quá
trình truyền nhiệt và khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất
lỏng, các phản ứng hóa học, các mô hình quần thể trong sinh học,. . . Việc
nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa
học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm
của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Các vấn đề đặt ra là nghiên cứu tính

54, 85, 89] và các bài tổng quan gần đây [25, 72, 79]). Một trong những
lớp phương trình đạo hàm riêng được nghiên cứu nhiều nhất là lớp phương
trình parabolic. Lớp phương trình này mô tả nhiều quá trình trong vật
lí, hóa học và sinh học như quá trình truyền nhiệt, quá trình phản ứng -
khuếch tán, mô hình toán học trong sinh học quần thể, . . .
Sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình và hệ phương trình
parabolic nửa tuyến tính không suy biến đã được nghiên cứu bởi nhiều
tác giả, trong cả miền bị chặn và không bị chặn (xem [17, 23, 26, 33,
34, 41, 43, 48, 63, 65, 69, 77, 78, 83]). Tính liên tục của tập hút toàn
cục đối với các bài toán parabolic được nghiên cứu trong các công trình
[21, 22, 23, 24, 32, 75, 76]. Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã
7
được chứng minh cho phương trình parabolic với điều kiện biên phi tuyến
[22, 35, 80, 76, 70, 91, 93], phương trình parabolic với điều kiện biên động
lực [5, 47, 51, 92, 94, 93]. Cho đến nay, các kết quả về lí thuyết tập hút đối
với lớp phương trình parabolic không suy biến rất phong phú và đã khá
hoàn thiện. Tuy nhiên, các kết quả tương ứng trong trường hợp phương
trình suy biến vẫn còn ít. Các phương trình parabolic suy biến xuất hiện
một cách tự nhiên trong nhiều bài toán của vật lí, hóa học, sinh học, và
đang thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong
và ngoài nước.
Dưới đây, chúng tôi điểm qua một số kết quả gần đây về lí thuyết tập
hút toàn cục đối với phương trình parabolic suy biến:
• Phương trình parabolic suy biến có phần chính dạng:
−∆Φ(u) hoặc −div(Φ(u)∇u), trong đó Φ(0) = 0.
Trong những năm gần đây, sự tồn tại tập hút đã được chứng minh cho
nhiều lớp phương trình parabolic thuộc loại này, chẳng hạn phương
trình tựa tuyến tính p-Laplacian [36, 44, 52, 59, 74, 95] và một số lớp
phương trình khác [45, 49, 50].
• Phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin: Đó là lớp

tuyến là Lipschitz địa phương và thỏa mãn điều kiện tăng trưởng kiểu
Sobolev; và được chứng minh trong [14] khi số hạng phi tuyến tăng
trưởng và tiêu hao kiểu đa thức. Trong trường hợp không ôtônôm, tức
là khi ngoại lực phụ thuộc vào cả biến thời gian t và biến không gian
x, sự tồn tại tập hút đều và tập hút lùi đối với lớp phương trình này
đã được chứng minh trong [6, 19, 28]. Gần đây, một số kết quả trên
đây đã được mở rộng sang hệ parabolic có chứa toán tử Grushin, xem
[20].
• Phương trình parabolic kì dị hoặc suy biến liên quan đến bất đẳng
thức Caffarelli-Kohn-Nirenberg: Đây là lớp phương trình chứa toán tử
A = −div(|x|
−pγ
|∇u|
p−2
∇u). Mặc dù đã có một số kết quả về sự tồn
tại nghiệm của lớp phương trình này (xem, chẳng hạn, [1, 2, 3, 4, 40]),
nhưng theo hiểu biết của chúng tôi kết quả trong bài báo [29] là kết
quả đầu tiên về dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này.
• Phương trình parabolic suy biến kiểu Caldiroli - Musina: Đây là lớp
phương trình parabolic chứa toán tử −div(σ(x)∇u), ở đó hệ số khuếch
tán σ là hàm không âm, đo được và có thể bằng không tại hữu hạn
điểm. Cụ thể, ta giả sử σ thỏa mãn các điều kiện do Caldiroli và
Musina (xem [31]) đưa ra năm 2000: khi miền Ω bị chặn,
(H
α
) σ ∈ L
1
loc
(Ω) và với α ∈ (0, 2), lim inf
x→z

(Ω, σ) được định nghĩa là bổ sung đủ của
C
∞
0
(Ω) đối với chuẩn
u
D
1
0
(Ω,σ)
:=


Ω
σ(x)|∇u|
2
dx

1/2
và chứng minh một số định lí nhúng tương ứng. Dựa trên kết quả này,
trong những năm gần đây, sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận nghiệm
của một số lớp phương trình parabolic có dạng
u
t
− div(σ∇u) + f(u) + g(x) = 0
đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Phương trình này có thể xem là
mô hình đơn giản của quá trình khuếch tán nơtron (điều khiển phản
hồi của phản ứng hạt nhân) (xem [42]). Trong trường hợp này u và σ
tương ứng chỉ sự chảy nơtron và sự khuếch tán nơtron.
Các tác giả N.I. Karachalios và N.B. Zographopoulos (xem [55, 56])

∇u) và phương trình parabolic liên quan
đến bất đẳng thức Caffarelli-Kohn-Nirenberg (xem [29]). Để làm điều
đó, các tác giả C.T. Anh và T.Đ. Kế đã xây dựng các không gian
Sobolev có trọng tương thích với bài toán và chứng minh các định lí
nhúng tương ứng. Các kết quả này mở rộng các kết quả tương ứng khi
p = 2 của Caldiroli và Musina [31]. Tuy nhiên, một điểm đáng chú
ý (và là một thuận lợi) trong các công trình này là phần chính của
phương trình là một toán tử đơn điệu.
Từ những kết quả ở trên, chúng ta thấy rằng đối với lớp phương trình
parabolic suy biến, mặc dù đã có một số kết quả gần đây về tập hút toàn
cục, tuy nhiên các kết quả thu được vẫn còn ít và còn nhiều vấn đề mở.
Nói riêng, những vấn đề mở mà chúng tôi quan tâm trong luận án này (xin
xem thêm phần Kết luận về những vấn đề mở khác) bao gồm:
• Nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút đối với lớp phương
trình suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền bị chặn khi số hạng
phi tuyến f thỏa mãn điều kiện tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức
với bậc tùy ý.
11
• Nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với phương trình
suy biến kiểu Caldiroli-Musina trong miền không bị chặn, chẳng hạn
trong toàn không gian. Lúc này khó khăn cơ bản xuất hiện là do tính
compact của các phép nhúng kiểu Sobolev không còn đúng nữa. Để
khắc phục điều này, chúng tôi sử dụng kĩ thuật hàm cắt và kĩ thuật
ước lượng đuôi của nghiệm (xem [88]).
• Nghiên cứu sự tồn tại tập hút của phương trình tựa tuyến tính suy
biến không ôtônôm trong trường hợp nghiệm có thể không duy nhất
và phần chính của phương trình có thể là toán tử không đơn điệu.
Khi đó để xử lí tính không duy nhất nghiệm của bài toán, chúng tôi
sử dụng lí thuyết hệ động lực đa trị của Melnik và Valero [66, 67, 68].
Việc nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút đối với những lớp

của tập hút toàn cục (tính trơn, sự phụ thuộc nửa liên tục trên theo số
hạng phi tuyến, đánh giá số chiều fractal) đối với một lớp phương trình
parabolic suy biến nửa tuyến tính ôtônôm trên miền bị chặn Ω ⊂ R
N
với
số hạng phi tuyến tiêu hao và tăng trưởng kiểu đa thức với độ tăng tùy ý.
– Chương 3 trình bày các kết quả về sự tồn tại và tính trơn của tập
13
hút toàn cục đối với một lớp phương trình parabolic suy biến nửa tuyến
tính ôtônôm trên toàn không gian R
N
. Do các phép nhúng kiểu Sobolev
không còn compact trong trường hợp này (và điều này gây ra những khó
khăn lớn cho việc nghiên cứu), tính chất của toán tử tuyến tính phần chính
thay đổi (không còn có nghịch đảo compact như trong Chương 2) và nhiều
kĩ thuật sử dụng trong trường hợp miền bị chặn ở Chương 2 không còn
áp dụng được nữa. Để vượt qua các khó khăn này, chúng tôi sử dụng Bổ
đề compact của Temam (thay cho Bổ đề compact Aubin-Lions) để chứng
minh sự tồn tại nghiệm và kĩ thuật đánh giá phần đuôi của nghiệm do
Wang đề xuất năm 1999 trong [88] để chứng minh tính compact tiệm cận
của nửa nhóm sinh bởi bài toán.
– Chương 4 trình bày kết quả về sự tồn tại tập hút đều đối với một
lớp phương trình parabolic suy biến tựa tuyến tính không ôtônôm trên
miền bị chặn Ω ⊂ R
N
, trong trường hợp nghiệm của phương trình có thể
không duy nhất. Chương này cũng trình bày các kết quả về tính trơn của
tập hút đều nhận được ở trên trong một trường hợp đặc biệt, đó là trường
hợp nửa tuyến tính và duy nhất nghiệm.
5. Ý nghĩa của các kết quả của Luận án

tích Lebesgue bậc p trên Ω với chuẩn được định nghĩa như sau:
u
L
p
(Ω)
:=


Ω
|u|
p
dx

1/p
.
Chú ý rằng L
p
(Ω) là không gian Banach phản xạ khi 1 < p < +∞.
• L
∞
(Ω) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm đo được và bị
chặn hầu khắp trên Ω với chuẩn
u
L
∞
(Ω)
:= ess sup
x∈Ω
|u(x)|.
• Giả sử σ : Ω → R là hàm đo được Lebesgue, không âm và thỏa mãn

∞
0
(Ω) đối với chuẩn
u
D
1
0
(Ω,σ)
:=


Ω
σ(x)|∇u|
2
dx

1
2
.
D
1
0
(Ω, σ) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) :=

Ω
σ(x)∇u∇vdx.
Kí hiệu D
−1
(Ω, σ) là không gian đối ngẫu của D

1
0
(Ω, σ).
Các bổ đề dưới đây là các kết quả từ [31, Mệnh đề 3.3-3.5].
Bổ đề 1.1.1. Giả sử rằng Ω là miền bị chặn trên R
N
, N ≥ 2, và σ
thỏa mãn điều kiện (H
α
). Khi đó:
(i) Phép nhúng D
1
0
(Ω, σ) → L
2
∗
α
(Ω) là liên tục;
(ii) Phép nhúng D
1
0
(Ω, σ) → L
p
(Ω) là compact nếu p ∈ [1, 2
∗
α
).
Bổ đề 1.1.2. Giả sử rằng Ω là miền không bị chặn trên R
N
, N ≥ 2,

2
0
(Ω, σ) là bao đóng của
không gian C
∞
0
(Ω) với chuẩn
u
D
2
0
(Ω,σ)
:=


Ω
|div(σ(x)∇u)|
2
dx

1
2
.
Đó là một không gian Hilbert với tích vô hướng tương ứng là
(u, v)
D
2
0
: =


Chứng minh. Với bất kì hàm u ∈ C
∞
0
(Ω), ta có
u
2
D
1
0
(Ω,σ)
=

Ω
σ|∇u|
2
dx = −

Ω
div(σ∇u)udx
≤


Ω
|div(σ∇u)|
2
dx

1/2



Giả sử X là một không gian Banach.
18
• C([a, b]; X) là không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u : [a, b] →
X liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn
u
C([a,b];X)
= sup
t∈[0,T ]
u(t)
X
.
• L
p
(a, b; X) không gian Banach bao gồm tất cả các hàm u : (a, b) → X
sao cho
u
L
p
(a,b;X)
:=


b
a
u(t)
p
X
dt

1/p

Tập B
0
như vậy gọi là một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).
Dễ thấy một nửa nhóm tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược
lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng đối với các nửa nhóm trong
không gian hữu hạn chiều.
Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận.
Định nghĩa 1.3.4. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm S(t)
gọi là compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng
S(t) = S
(1)
(t) + S
(2)
(t), (1.1)
ở đó S
(1)
(t) và S
(2)
(t) thỏa mãn các tính chất sau:
1. với bất kì tập bị chặn B ⊂ X
r
B
(t) = sup
y∈B
||S
(1)
(t)y||
X
→ 0 khi t → +∞;
2. với bất kì tập bị chặn B trong X tồn tại t

(B). Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact
20
nếu nó có một tập hấp thụ compact.
Bổ đề sau đây rất hữu ích khi chứng minh tính compact tiệm cận.
Bổ đề 1.3.5. Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận nếu tồn tại một tập
compact K sao cho
lim
t→+∞
dist(S(t)B, K) = 0,
với mọi tập B bị chặn trong X.
Chứng minh. Vì K là tập compact nên với mọi t > 0 và u ∈ X, tồn tại
phần tử v := S
(2)
(t)u ∈ K sao cho
dist(S(t)u, K) = ||S(t)u −S
(2)
(t)u||.
Do đó nếu đặt S
(1)
(t)u = S(t)u −S
(2)
(t)u, dễ thấy sự phân tích (1.1) thỏa
mãn tất cả các yêu cầu trong định nghĩa của tính compact tiệm cận.
Chú ý. [85] Nếu X là một không gian Banach lồi đều và nửa nhóm S(t)
có một tập hấp thụ bị chặn B, thì ba điều kiện sau là tương đương:
i) Nửa nhóm S(t) là compact tiệm cận;
ii) Nửa nhóm S(t) thuộc lớp AK, tức là với mọi dãy bị chặn {x
k
} trong
X và mọi dãy t

nghĩa.
Mệnh đề 1.3.7. Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó:
1. Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực
đại);
2. Nếu B là một tập con đóng hút các tập bị chặn của X thì A ⊂ B
(tính cực tiểu);
3. A là duy nhất.
Kết quả sau đây nói về cấu trúc của tập hút toàn cục.
Định lí 1.3.8. [82] Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó
mọi quĩ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo
tuần hoàn, nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A
thì A là hợp của tất cả các quĩ đạo đầy đủ bị chặn.
22
Các kết quả dưới đây chỉ ra rằng các hệ động lực "trên tập hút toàn
cục" sẽ quyết định các dáng điệu tiệm cận có thể có của các quĩ đạo riêng
lẻ, nghĩa là sau một khoảng thời gian đủ lớn, bất kì một quĩ đạo nào của
phương trình gốc trông sẽ giống như một quĩ đạo nào đó trên tập hút trong
một khoảng thời gian đủ dài.
Định lí 1.3.9. [82] Giả sử hệ động lực (X, S(t)) có tập hút toàn cục A.
Cho trước một quĩ đạo u(t) = S(t)u
0
, một sai số  > 0 và một khoảng thời
gian T > 0. Khi đó tồn tại một thời điểm τ = τ(, T ) và một điểm v
0
∈ A
sao cho
u(τ + t) −S(t)v
0
 ≤  với mọi 0 ≤ t ≤ T.
Để xấp xỉ quĩ đạo đã chọn u(t) trong một khoảng thời gian dài hơn, ta

∈ A sao cho
u(t) −S(t −t
n
)v
n
 ≤ 
n
với mọi t
n
≤ t ≤ t
n+1
.
Hơn nữa, bước nhảy v
n+1
− S(t
n+1
− t
n
)v
n
 dần tới 0 khi n → ∞.
1.3.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục
Kết quả sau đây là định lí cơ bản về sự tồn tại tập hút toàn cục.
23