Mục lục
Mở đầu 3
1 Các kiến thức cơ sở về tập hút toàn cục 5
1.1 Hệ động lực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sự tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Tập ω giới hạn và tập α giới hạn . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Cấu trúc của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Trường hợp hệ thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6 Xác định dáng điệu tiệm cận bởi tập hút toàn cục . . 15
1.7 Tính liên tục của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Tính nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2 Tính nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Tập hút toàn cục đối với lớp phương trình parabolic phi
tuyến 19
2.1 Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . 20
2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.1 Tập hấp thụ trong L
2
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1
2.3.2 Tập hấp thụ trong H
0
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Tính trơn của tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Tính đơn ánh trên tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . 30
3 Tập hút lùi đối với hệ phương trình Navier- Stokes 33
3.1 Tập hút lùi đối với các tập bị chặn cố định . . . . . . . 33

Xuất phát từ ý nghĩa khoa học của lí thuyết tập hút và mong muốn được
giới thiệu những vấn đề cơ sở của một hướng nghiên cứu rất thời sự hiện nay,
tôi lựa chọn nội dung Tập hút toàn cục, tập hút lùi đối với hệ động
lực vô hạn chiều để làm khóa luận tốt nghiệp đại học.
3
2. Mục tiêu
Khóa luận cần đạt được những mục tiêu sau:
- Hệ thống hóa các kiến thức cơ bản về tập hút toàn cục, tập hút lùi.
- Chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic
phi tuyến và nghiên cứu một số tính chất của tập hút toàn cục.
- Chứng minh sự tồn tại tập hút lùi đối với hệ Navier – Stokes có trễ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu nghiên cứu
- Nghiên cứu về tập hút toàn cục và tập hút lùi.
- Nghiên cứu về phương trình parabolic phi tuyến và tập hút toàn cục đối
với lớp phương trình này.
- Nghiên cứu về hệ phương trình Navier - Stokes và tập hút lùi đối với hệ
này trong trường hợp có trễ.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp chủ yếu được sử dụng trong việc chứng minh sự tồn tại và
duy nhất của nghiệm yếu là phương pháp xấp xỉ Galerkin.
Bên cạnh đó, phép nhúng compact giữa các không gian Sobolev được dùng
để nghiên cứu các tính chất của tập hấp thụ, từ đó chứng minh sự tồn tại
của tập hút toàn cục. Để chứng minh tính hội tụ mạnh của nửa nhóm sinh
bởi nghiệm, tôi sử dụng phương pháp phương trình năng lượng được đưa ra
lần đầu tiên bởi John Ball (2004).
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng: Tập hút toàn cục, tập hút lùi.
• Phạm vi: Nghiên cứu tập hút lùi đối với hệ Navier – Stokes có trễ, tập
hút toàn cục đối với lớp phương trình parabolic phi tuyến trong miền
bị chặn.

˙
x(t) = −f(x(t)), t > 0
x(0) = x
0
.
Dễ dàng kiểm tra được, với mọi x
0
∈ R, bài toán Cauchy trên giải được một
cách duy nhất và xác định một hệ động lực một chiều trên R xác định bởi
S(t)x
0
= x(t), ở đó x(t) là nghiệm duy nhất của bài toán với điều kiện ban
đầu x
0
.
Ví dụ 1.2. Giả sử f và g là những hàm khả vi liên tục trên R thỏa mãn:
F (x) =

x
0
f(ξ)dξ ≥ −c, g(x) ≥ −c, (c > 0).
Xét bài toán Cauchy

¨x + g(x) ˙x + f(x) = 0, t > 0,
x(0) = x
0
, ˙x(0) = x
1
.
Với mỗi (x

γ
+
(E) =

t≥0
S(t)E =

z∈E
γ
+
(z),
6
Tổng quát hơn, với τ ≥ 0 ta định nghĩa quỹ đạo sau thời điểm τ của E bởi
γ
+
τ
(E) = γ
+
(S(τ)E).
b) Quỹ đạo của S(t) trên khoảng I ⊂ R là một ánh xạ u : I → X thỏa mãn
u(t + s) = S(t)u(s) với mọi s ∈ I, t ≥ 0 sao cho t + s ∈ I.
Đặc biệt, nếu I = (−∞, 0] và u(0) = z ∈ X, thì u được gọi là quỹ đạo âm
xuyên qua z và kí hiệu là γ
−
(z).
Nếu I = R và u(0) = z thì u được gọi là quỹ đạo đầy đủ xuyên qua z và kí
hiệu là γ(z).
c) Quỹ đạo đầy đủ γ = {u(t) : t ∈ R} gọi là quỹ đạo tuần hoàn nếu có số
τ > 0 sao cho:
u(t + τ) = u(t), ∀t ∈ R.

2) Nếu H = R
n
thì tán xạ bị chặn khi và chỉ khi tán xạ điểm.
B thoả mãn điều kiện trong định nghĩa tán xạ bị chặn thì được gọi là một
tập hấp thụ.
Một tập Y ⊂ H
• Gọi là bất biến dương khi và chỉ khi S(t)Y ⊂ Y, ∀t ≥ 0.
• Gọi là bất biến âm khi và chỉ khi S(t)Y ⊃ Y, ∀t ≥ 0.
• Gọi là bất biến khi và chỉ khi S(t)Y = Y, ∀t ≥ 0.
Định nghĩa 1.2.2. Nửa nhóm S(t) gọi là tán xạ khi và chỉ khi S(t) có một
tập hấp thụ bị chặn, tức là ∃B ⊂ H , B bị chặn và với mọi X bị chặn trong
H, tồn tại t
1
(X) : S(t)X ⊂ B, ∀t ≥ t
1
.
1.3 Tập ω giới hạn và tập α giới hạn
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử A ⊂ X.
a) Tập ω giới hạn của A được xác định bởi
ω(A) =

s≥0
[

t≥s
S(t)A]
X
,
ở đó S(t)A = {v = S(t)u : u ∈ A} và [Y ]
X

n→∞
−→ y}.
8
α(A) = {y ∈ X|∃t
n
≥ 0, x
n
∈ X, z
n
∈ A sao cho t
n
→ +∞, x
n
→ y},
với x
n
= u
n
(−t
n
) và u
n
là một quỹ đạo xuyên qua z
n
.
Chứng minh:
Ta chứng minh cho trường hợp ω(A), còn trường hợp α(A) được chứng
minh tương tự.
Giả sử các dãy y
n

X
.
Từ đây với mỗi ntồn tại một phần tử z
n
sao cho
z
n
∈

t≥τ
S(t)A, d(y, z
n
) ≤
1
n
.
Do đó z
n
= S(t
n
)y
n
∈ A, t
n
≥ n. Điều này chứng minh bổ đề.
Mệnh đề 1.3.2. Cho X ⊂ H. Nếu với mỗi số t
0
> 0, tập

t≥t

Ta tìm được một dãy các phần tử {t
n
} và dãy {x
n
} với t
n
→ +∞ và
x
n
∈ X thỏa mãn S(t
n
)x
n
→ x và do đó
S(t)S(t
n
)x
n
= S(t + t
n
)x
n
→ S(t)x.
9
Nhưng S(t) liên tục nên S(t)ω(X) ⊂ ω(X). Vì t
n
≥ t+t
0
, dãy S(t
n

inf
b∈F
d(a, b) là nửa khoảng
cách Hausdorff giữa hai tập con E và F của X.
Mệnh đề 1.4.1. Giả sử hệ động lực(X, S(t)) có tập hút toàn cục A. Khi
đó:
a) Nếu B là một tập con bị chặn, bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực
đại).
b) Nếu B là một tập con đóng hút tất cả các tập bị chặn của X thì A ⊂ B
(tính cực tiểu).
c) A là duy nhất.
Định nghĩa 1.4.2. Hệ động lực (X, S(t)) gọi là tiêu hao điểm ( tương ứng,
tiêu hao bị chặn) nếu tồn tại một tập bị chặn B
0
⊂ X hút các điểm (tương
10
ứng hút các tập bị chặn) của X.
Nếu hệ động lực X, S(t) là tiêu hao bị chặn thì tồn tại tập B
0
⊂ X sao
cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn tại T = T(B) ≥ 0 sao cho
S(t)B ⊂ B
0
, ∀t ≥ T. Tập B
0
như vậy được gọi là tập hấp thụ đối với hệ
động lực (X, S(t)).
Dễ thấy một hệ động lực tiêu hao bị chặn thì tiêu hao điểm. Điều ngược
lại nói chung không đúng, nhưng nó đúng với trường hợp hệ động lực hữu
hạn chiều.

n
∈ X (X bị chặn) với dist(S(t
n
)x
n
, A) ≥
δ
2
, S(t
n
)x
n
∈ B với n
đủ lớn.
Vì B compact , nên có một dãy con thỏa mãn
S(t
n
j
)x
n
j
→ β ∈ B
và
dist(β, A) ≥
δ
2
,
nhưng do
β = lim
j→∞

Điều này mâu thuẫn với dist(β, A) ≥
δ
2
.
A tuyến tính và là tập nhỏ nhất có tính chất này, nên nó hút chính nó và
S(t)A = A, ∀t ≥ 0.
Giả sử A không liên thông, khi đó tồn tại hai tập mở O
1
và O
2
thỏa mãn
ω(B) ⊂ O
1

O
2
, ω(B)

O
1
= ∅ và O
1

O
2
= ∅.
Vì vậy B được chứa trong hình cầu U mà là tập liên thông, và ω(U) là
tuyến tính đến ω(B). Từ đó S(t) liên tục và S(t)U liên thông.
Do O
i

O
2
.
Nhưng ta đã biết A hút tất cả các tập, cho nên dist(x
n
, A) → 0 khi
n → ∞, từ đó dẫn đến mâu thuẫn.
Định lí 1.4.3. Nếu nửa nhóm nội xạ trên A, thỏa mãn S(t)u
0
= S(t)v
0
∈ A
với t > 0, suy ra u
0
= v
0
thì mỗi quỹ đạo trên A xác định với ∀t ∈ R và
S(t)A = A, ∀t ≥ 0. Khi đó (A, {S(t)}
t∈R
)là một hệ động lực.
Chứng minh:
Với mỗi u ∈ ω(B) mà chúng ta đã biết u ∈ S(t)ω(B) do đó tồn tại một
phần tử v ∈ ω(B) với S(t)v = u.
Ta định nghĩa S(−t)u = v cho nên S(t) cho bởi với mọi t ∈ R cho nên
S(t)A = A, ∀t < 0.
Từ A = ω(B) là tập compact, nên S(−t) xác định là liên tục trên A. Do
đó S(t) liên tục từ A vào chính nó với ∀t ∈ R.
Cuối cùng S(t) hạn chế trên A thỏa mãn tính chất
S(t)S(s) = S(t + s), ∀t, s ∈ R.
12

W
s
(z) = u
0
∈ X : S(t)u
0
→ z khi t → +∞.
Giả sử Y là một tập bất biến của hệ động lực (X, S(t)). Ta định nghĩa:
13
• Đa tạp không ổn định của Y là tập
W
u
(Y ) = u
0
∈ X : S(t)u
0
xác định với mọi t, dist(S(−t)u
0
, Y ) → 0
khi t → +∞.
Định lí 1.5.2. Nếu Y là một tập compact bất biến của hệ động lực(X, S(t))
thì W
u
(Y ) ⊂ A.
Chứng minh:
Giả sử u ∈ W
u
(Y ). Khi đó bởi định nghĩa, u nằm trên một quỹ đạo đầy
đủ


Do (γ
τ
)
−
⊂ A, bao đóng [(γ
τ
)
−
] là một tập compact trong X.
Từ đây suy ra tập α giới hạn α(y) =

τ<0
[(γ
τ
)
−
] của quỹ đạo γ là một tập
khác ∅.
Dễ thấy α(γ) là tập bất biến, tức là S(t)α(γ) = α(γ), ∀t ≥ 0.
Ta sẽ chứng minh hàm Lyapunov Φ(y) là hằng số trên α(γ).
Thật vậy nếu u ∈ α(γ) thì tồn tại dãy t
n
→ −∞ sao cho lim
t
n
→−∞
u(t
n
) = u.
Từ đây Φ(u) = lim

Chứng minh:
Do quỹ đạo phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu với , T > 0 cho trước
tồn tại δ(, T ) sao cho u
0
∈ A và
||u
0
− v
0
|| ≤ δ(, T ) → ||u(t) − v(t)|| ≤ , t ∈ [0, T ].
Ta xét quỹ đạo v(t) trên A với v(0) = v
0
. Khi đó u(t) (coi như quỹ đạo
xuất phát từ u(τ)) và v(t) = S(t)v
0
thỏa mãn trên, và
||u(τ + t) − S(t)v
0
|| ≤ .
Để xấp xỉ quỹ đạo đã chọn u(t) trong một khoảng thời gian dài hơn, ta
phải dùng nhiều quỹ đạo trên tập hút toàn cục A.
Mệnh đề sau đây là hệ quả trực tiếp từ định lí 1.6.1.
Hệ quả 1.6.2. Cho trước một quỹ đạo u(t), tồn tại một dãy các sai số
{
n
}
∞
n=1
với  → 0 một dãy tăng các thời điểm {t
n

n+1
− t
n
)v
n
|| dần tới 0 khi n → +∞
1.7 Tính liên tục của tập hút toàn cục
1.7.1 Tính nửa liên tục trên
Định lí 1.7.1. Giả sử với mỗi số η ∈ [0, η
0
), hệ động lực (X, S
η
(t)) có tập
hút toàn cục A
η
và tồn tại một tập bị chặn K sao cho

0≤η<η
0
A
η
⊂ K.
Khi đó nếu nửa nhóm S
n
hội tụ tới S
0
theo nghĩa với bất kì t > 0 ,
S
η
(t)x → S

, ) với t > 0 nào đó và với mọi
η ≤ η().
Bây giờ , do A
0
hút K, tồn tại thời điểm t sao cho
S(t)K ⊂ N(A
0
,

2
).
Khi đó với η đủ nhỏ (và ≤ η()), ta có
sup
x∈K
||S
η
(t)x − S
0
(t)x|| ≤

2
.
Bởi vậy, với η ≤ η(), do A
η
⊂ K, A
η
= S
η
(t)A
η

liên tục theo η ở gần η = 0 trong một lân cận ở mỗi điểm dừng, thì tập hút
toàn cục A
0
là nửa liên tục dưới η = 0, tức là dist(A
0
, A
η
) → 0 khi η → 0
+
.
Từ đây suy ra tập hút toàn cục là liên tục đối với khoảng cách Hausdorff tức
là
Hdist (A
η
, A
0
) → 0 khi η → 0
+
.
Chứng minh:
Ta cần chứng minh dist(A
0
, A
η
) → 0, tức trong lân cận  lân cận của bất
kì điểm nào trong A
0
, tồn tại một điểm của A
η
với mọi η ≤ η

k
|| ≤

2
.
Ta viết y
k
= S
0
(t
k
)z
k
, với z
k
nằm trong lân cận đủ nhỏ của các điểm
dừng. Bây giờ chọn δ > 0 sao cho
||z
k
− u|| ≤ δ → ||S
0
(t
k
)z
k
− S
0
(t
k
)u|| ≤

trong đa tạp không ổn định
nằm trong A
η
thỏa mãn: z
η
k
− z
k
 < δ
Từ đây suy ra:
S
η
(t
k
)z
η
k
− y
k
 = S
η
(t
k
)z
η
k
− S
0
(t
k


≤

4
+

4
=

2
.
Do đó S
η
(t
k
)z
η
k
− x
k
 ≤ , và do S
η
(t
k
)z
η
k
∈ A
η
ta nhận được tính nửa

trong đó u
0
∈ L
2
(Ω) cho trước, số hạng phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn
các điều kiện sau: (F )f : R → R là hàm thuộc lớp C
1
thỏa mãn
C
1
|u|
p
− C
0
≤ f(u)u ≤ C
2
|u|
p
+ C
0
, p ≥ 2 (2.2)
f

(u ≥ −C
3
), ∀u ∈ R (2.3)
19
Trong đó C
0
, C

V
∗
= L
2
(0, T ; H
0
−1
(Ω)) + L
p

(Ω
T
),
ở đó p

là số mũ liên hợp của p, tức là
1
p
+
1
p

= 1.
Định nghĩa 2.2.1. Hàm u(x, t) được gọi là nghiệm yếu của (2.1) trên (0, T)
nếu và chỉ nếu u ∈ V,
∂u
∂t
∈ V
∗
, u|


L
p
(Ω)) sao cho
u
n
→ u trong V và
du
n
dt
→
du
dt
trong V
∗
.
Khi đó với mọi t, t
0
∈ [0, T ], ta có
||u
n
(t)−u
m
(t)||
2
L
2
(Ω)
= ||u
n

sao cho
||u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)||
2
L
2
(Ω)
=
1
T
T

0
||u
n
(t
0
) − u
m
(t
0
)||
2

)|
2
dxdt+2
t

t
0

Ω
(u

n
(s) − u

m
(s))(u
n
(s) − u
m
(s))dxds
≥
1
T
T

0

Ω
|u
n

} hội tụ
trong C([0, T ]; L
2
(Ω)), tới một hàm v ∈ C([0, T]; L
2
(Ω)).
Mặt khác, từ u
n
→ u trong V, u
n
(t) → u(t) trong L
2
(Ω) hầu khắp t ∈
[0, T ]. Do đó thu được u = v hầu khắp nơi.
Điều đó chứng tỏ u ∈ C[0, T ]; L
2
(Ω)( nếu cần ta có thể chỉnh sửa giá trị
trên một tập có độ đo 0)
Định lí 2.2.2. Nếu các điều kiện (F)-(G) được thỏa mãn thì bài toán (2.1)
có duy nhất một nghiệm yếu toàn cục u(t) thỏa mãn
u ∈ C([0, ∞); L
2
(Ω)

L
2
loc
(0, ∞; H
0
1

(i) Sự tồn tại.
Ta xây dựng nghiệm xấp xỉ u
n
(t) trong không gian hữu hạn chiều sinh
bởi n vectơ riêng đầu tiên {e
1
, , e
n
} của toán tử A:
U
n
(t) =

n
j=1
u
nj
(t)e
j
sao cho u
n
thỏa mãn bài toán sau:

∂u
∂t
, e
j
 + Au
n
, e

||
2
L
2
(Ω)
+ ||u
n
||
2
H
1
0
(Ω)
+

Ω
f(u
n
)u
n
dx +

Ω
gu
n
dx = 0.
Sử dụng điều kiện (2.2) và bất đẳng thức Cauchy ta có:
1
2
d

||g||
2
L
2
(Ω)
+
λ
1
2
||u
n
||
2
L
2
(Ω)
.
(2.7)
Trong đó λ
1
là giá trị riêng đầu tiên của A trên Ω với điều kiện biên
Dirichlet thuần nhất ( chú ý rằng ||u
n
||
2
H
0
2
(Ω)
≥ λ

.
Trong đó C
4
=
1
λ
1
||g||
2
+ 2C
0
|Ω|. Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta
được
||u
n
(t)||
2
L
2
(Ω)
≤ e
−λ
1
t
||u
n
(0)||
2
L
2

1
0
(Ω)
+ 2C
1

Ω
|u
n
(t)|
p
dx ≤ C
4
.
Với T là một số dương bất kì, lấy tích phân hai về từ 0 tới t, 0 ≤ t ≤ T ,
bất đẳng thức trên ta có
||u
n
(t)||
2
L
2
(Ω)
+

t
0
||u
n
(s)||

(0, T ; L
2
(Ω));
• {u
n
} bị chặn trong L
2
(0, T ; H
2
0
(Ω));
• {u
n
} bị chặn trong L
p
(Ω
T
).
Trước tiên chúng ta dùng tính bị chặn của {u
n
} trong L
p
(Ω
T
) để chứng
minh tính bị chặn của {f(u
n
)} trong L
p


)
p

dxdt
≤ C

T
0

Ω
(1 + |u
n
|
p
)dxdt.
Vì vậy {f(u
n
)} bị chặn trong L
p

(Ω
T
).
Tiếp theo chúng ta chứng minh rằng dãy {
du
n
dt
} bị chặn trong không gian
L
p

) nhúng liên tục vào
L
p

(0, T ; H
−1
(Ω) + L
p

(Ω)), ta thu được kết quả cần chứng minh.
Từ các kết quả trên ta có
• u
n
 u trong L
2
(0, T ; H
1
0
(Ω));
• u
n
 u trong L
p
(Ω
T
);
• f(u
n
)  χ trong L
p

1
0
(Ω)) và {
du
n
dt
} bị chặn trong L
p

(0, T ; H
−1
(Ω) + L
p

(Ω)).
Vậy nên u
n
→ u trong L
2
(0, T ; L
2
(Ω)).
Do đó có thể lấy một dãy con {u
n
k
} sao cho u
n
k
→ u hầu khắp nơi trong
Ω

1
([0, T ]; H
1
0
(Ω)

L
p
(Ω))
với ϕ(T ) = 0, và lấy tích phân theo t ở phương trình xấp xỉ nghiệm, ta có

T
0
−u
n
, ϕ

dt +

Ω
T
(∇u
n
∇ϕ + f(u
n
)φ + gϕ)dxdt = (u
n
(0), ϕ(0)).
Qua giới hạn khi n → ∞ ta thu được


Nghiệm u tồn tại toàn cục do bất đẳng thức sau
||u
n
(t)||
2
L
2
(Ω)
≤ e
−λ
1
t
||u
n
(0)||
2
L
2
(Ω)
+
C
4
λ
1
(1 − e
−λ
1
t
) (2.11)
(ii) Tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục.

1
0
(Ω)
+

Ω
(u − v)(f(u) − f(v))dx = 0.
Sử dụng điều kiện (2.3) ta có
d
dt
||w||
2
L
2
(Ω)
+ 2||w||
2
H
1
0
(Ω)
≤ 2C
3
||w||
2
L
2
(Ω)
.
Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có

- Đánh giá số chiều của A.
Giả sử f ∈ C
1
(R) thỏa mãn :





−k − α
1
|s|
p
≥ f(s)s ≥ k − α
2
|s|
p
f

(s) ≤ l
f(0) = 0
2.3.1 Tập hấp thụ trong L
2
(Ω)
Mệnh đề 2.3.1. S(t) là một tập hấp thụ trong L
2
(Ω), tức là tồn tại
ρ
H
> 0, ∃t

|u(t)|
2
+ ||u(t)||
2
=

Ω
f(u(t))u(t) ≤

Ω
(k − α
2
|u(t)|
p
).(2.12)
Do |u| ≤ λ
−
1
2
1
||u|| ,λ
1
≥ 0 là giá trị riêng đầu tiên nên
d
dt
|u|
2
+ 2λ
1
|u|