BỘ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU CƠ BẢN TRONG KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÁO CÁO ĐỊNH KỲ
KẾT QUẢ THỰC HIỆN CỦA ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ HỆ ĐỘNG LỰC
Differential equations and Dynamical systems Mãsố đề tài: 100106
Lónh vực: TOÁN HỌC
Chủ nhiệm đề tài: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
Cơ quan chủ trì: Đại học Khoa Học Tự nhiên Tp. Hồ Chí Minh,
Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh.

PHẦN PHỤ LỤC 09
PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng
viên chuẩn bò thi NCS trong phạm vi đề tài 09
PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc só đã bảo vệ 11
PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi
đề tài 131
BÁO CÁO KẾT QUẢ THỰC HIỆN NĂM 2006
Đề tài nghiên cứu cơ bản

I. THÔNG TIN CHUNG VỀ ĐỀ TÀI

1. Tên đề tài: Phương trình vi phân và hệ động lực.
Mãsố đề tài: 100106
Lónh vực: TOÁN HỌC Hướng: Giải tích toán học, Tối ưu và Điều khiển hệ thống.
2. Chủ nhiệm đề tài: TS. NGUYỄN THÀNH LONG
3. Đơn vò chủ trì: Bộ môn Toán Cao cấp, Khoa Toán-tin học, Đại học Khoa học Tự
nhiên Tp. Hồ Chí Minh, Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ,
Quận 5, Tp. Hồ Chí Minh.
Điện thoại: 08.8353193 Fax: 08.8350096 Website:

4. Danh sách các cán bộ tham gia chính:

STT Họ tên Học vò,
Chức danh
Đơn vò công tác Ghi chú
01 Nguyễn Thành Long TS Đại học Khoa học Tự
nhiên Tp. HCM.

11 Võ Giang Giai ThS Cộng tác viên, Bộ môn
Toán Cao cấp, Đại học
Khoa học Tự nhiên Tp.
HCM.
Chuẩn bò thi
NCS năm 2007

5. Thời gian thực hiện đã được phê duyệt: 24 tháng (Bắt đầu từ tháng 9/ 2006 đến
tháng 9/ 2008)

2

II. KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Kết quả nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu đề cập đến 2 vấn đề lớn của phương trình vi phân và các hệ
động lực. Trong các loại phương trình vi phân, nhiều nhà Toán học thường chú ý đến
những phương trình bắt nguồn từ các bài toán của Vật lý, Cơ học, v.v… và nghiên cứu
chúng ở nhiều khía cạnh khác nhau bởi các công cụ toán học thích hợp. Đề tài nghiên
cứu cũng đi vào một hướng lớn khác của lý thuyết hệ động lực tuyến tính là nghiên
cứu tính bền vững của các tính chất đònh tính (điều khiển được, quan sát được, ổn
đònh,…) của hệ động lực.

i) Hướng thứ nhất.
Phương trình vi phân. - Các bài toán liên quan đến sự tồn tại, duy nhất nghiệm và các tính chất đònh
tính khác của nghiệm của các bài toán biên có điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất và

3
2. Các sản phẩm khoa học

2.1. Các công trình đã công bố trên các tạp chí

1. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
On a fixed point theorem of
Krasnosel'skii type and application to integral equations
, Fixed Point Theory and
Applications, Vol. 2006 (2006), Article ID 30847, 24 pages.
[ ]
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions: The connectivity and compactness of weak solution set
,
Abstract and Applied Analysis, Vol. 2007 (2007), Article ID 20295, 17 pages.
[ /> ]
3. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
On a nonlinear Kirchhoff-Carrier wave
equation in the unit membrane: The quadratic convergence and asymptotic expansion
of solutions
, Demonstratio Math. 40 (2) (2007), 365-392.
4. Lê Thò Phương Ngọc,
Applying fixed point theory to the initial value problem for the
functional differential equation with finite delay
, Vietnam Journal of Mathematics, 35
(1) (2007), 43–60.
5. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
A wave equation associated with mixed
nonhomogeneous conditions

Robust stability of
Metzler operator and delay equation in

(
)
,];0,[ XhL
p
− Vietnam Journal of
Mathematics, 34 (3) (2006), 357–368.
11. Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Controllability radii and of time
invariant linear systems
, Vietnam Journal of Mathematics, 34 (4) (2006) (accepted for
publication). 4
Ngoài ra có một số công trình đã công bố trên các tạp chí chí trường Đại học
và các dạng tiền ấn phẩm.

1. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh,
Tính ổn đònh nghiệm của phương trình sóng
phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến
, Tạp chí Khoa học Đại học
Sư phạm Tp. HCM, tập 42, số 8 (2006), 33-43.
2. Nguyễn Thành Long, Lê Thò Phương Ngọc,
Bài toán hỗn hợp cho phương trình sóng
phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff
, Tạp chí Khoa học Tự nhiên, trường ĐHSP Tp. HCM,
42 Số 8 (2006), 44-61.

Phương trình sóng phi tuyến liên kết với điều
kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
:
Sự tồn tại và khai triển tiệm cận của
nghiệm,
Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
3. Lê Thò Phương Ngọc, Nguyễn Thành Long,
Đònh lý điểm bất động loại Krasnosel's-
kii và ứng dụng vào phương trình tích phân phi tuyến
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần
5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
4. Trần Ngọc Diễm,
Mô hình toán học bài toán va chạm chứa thanh đàn hồi nhớt
, Báo
cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
5. Trần Minh Thuyết, Phạm Gia Khánh,
Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một
phương trình tích phân phi tuyến
, Báo cáo Hội nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học
Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.
6. Nguyễn Thò Thảo Trúc, Nguyễn Công Tâm,
Về phương trình sóng phi tuyến

:),,,,(
txxxtt
UUUtxfUU =−
Xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận
, Báo cáo Hội
nghò Khoa học lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, 30/11/2006.


for the evaporation of a liquid fuel droplet, subject to nonlinear contraints
, (Submitted).
5. Nguyễn Thành Long, Alain Phạm Ngọc Đònh, Lê Xuân Trường,
A Linear wave
equation associated with two-points boundary conditions
, (Submitted).
6. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
A linear wave equation associated with a
nonlinear integral equation at the boundary
:
Existence and asymptotic expansion of
solutions,
(Submitted).
7. Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành,
The robustness of strong stability of the
homogeneous difference equation
, (Submitted).
8. Bùi Thế Anh, Dương Đặng Xuân Thành,
A Perron-Frobenius theorem for positive
quasi-polynomial matrices associated with homogeneous difference equation
,
(Submitted).
9. Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành,
Stability radii of delay
defference equations under affine parameter perturbations in infinite dimensional
spaces
, (Submitted).
10. Bùi Thế Anh, Đỗ Công Khanh, Dương Đặng Xuân Thành,
Controllability\
stabilizability radii of LTI systems with partially structured perturbations

Galerkin vào một số bài toán
biên phi tuyến.
Tiến só -Nguyễn Thành Long
- Alain Phạm Ngọc
Đònh
2 Bùi Tiến Dũng Sử dụng phương pháp giải
tích vào một số bài toán biên
phi tuyến.
Tiến só -Nguyễn Thành Long
- Nguyễn Hội Nghóa
3 Lê Thò Phương
Ngọc
Ứng dụng phương pháp điểm
bất động trong sự tồn tại
nghiệm của phương trình.
Tiến só Lê Hoàn Hoá
4 Huỳnh Văn Tùng Khảo sát phương trình sóng
phi tuyến trong không gian
Sobolev có trọng.
Thạc só Nguyễn Thành Long
5 Nguyễn Vũ Dzũng Khảo sát phương trình para-
bolic phi tuyến trong miền
hình cầu.
Thạc só Nguyễn Thành Long
6 Nguyễn Minh Khải Bất đẳng thức tích phân dạng
Gronwall.
Thạc só Trần Minh Thuyết
7 Dương Thanh Liêm Phương trình sóng với điều
kiện biên không thuần nhất
tích phân giá trò biên.


III. TÌNH HÌNH TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1. Tổ chức thực hiện

Đánh giá chung tình hình thực hiện đề tài trong thời gian vừa qua là hoàn thành
vực mức kế hoạch nghiên cứu.
Trong thời gian tới, chúng tôi tiếp tục nghiên cứu theo hai hướng chính đã đăng
ký:
- Phương trình vi phân.
- Lý thuyết hệ các hệ động lực.
Đồng thời tiếp tục viết bài gửi công bố và hoàn chỉnh lại các bản thảo đã gửi
xét công bố sau khi có ý kiến đánh giá của các phản biện.
- Dự kiến kết quả sẽ đạt được là:
- Công bố thêm 4 bài báo trên các tạp chí khoa học trong nước và Quốc tế có
uy tín cùng với nhiều báo cáo tại các hội nghò khoa học.
- Hoàn thành việc bảo vệ 01 luận án tiến só cấp Nhà Nước và 5-6 luận văn
thạc só.
- Chuẩn bò 2-3 NCS dự tuyển trong năm 2007 thực hiện nghiên cứu theo hướng
đề tài nầy.
- Tổ chức sinh hoạt học thuật đònh kỳ, trao đổi chuyên môn.

2. Sử dụng kinh phí Thứ
tự
Nội dung chi Kinh phí được
duyệt
Kinh phí thực

ngoài về việc xin các tài liệu nầy. Đề nghò các Ban, Ngành dành một khoản kinh phí
thích đáng cho các thư viện của các trường Đại học lớn, nhất là ở hai Đại học Quốc
gia, các Viện nghiên cứu để mua online các tạp chí nói trên.

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 03 tháng 05 năm 2007

Xác nhận của cơ quan chủ trì Chủ nhiệm đề tài

TS. Nguyễn Thành Long.

PHỤ LỤC A: Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng viên chuẩn bò
thi NCS trong phạm vi đề tài.
PHỤ LỤC B: Danh sách các luận văn thạc só đã bảo vệ.
PHỤ LỤC C: Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài.

PHỤ LỤC A:
Danh sách các NCS đã bảo vệ luận án tiến só và các ứng viên
chuẩn bò thi NCS trong phạm vi đề tài

1. Trần Ngọc Diễm ( Đại học Bách Khoa TP. HCM).
Đề tài:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin vào một số bài toán biên phi tuyến.
Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- GS. TS. Alain Phạm Ngọc Đònh (Đại học Orléans, Pháp).
Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 20/05/2006.
2. Bùi Tiến Dũng ( Đại học Kiến trúc TP. HCM).
Đề tài:
Sử dụng phương pháp giải tích vào một số bài toán biên phi tuyến.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: - TS. Nguyễn Thành Long.
- PGS. TS. Nguyễn Hội Nghóa (Ban Đào tạo Sau đại học, Đại học
Quốc gia TP. HCM).
Ngày bảo vệ cấp Nhà nước: 24/06/2006.
3. Lê Thò Phương Ngọc (Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang)
Đề tài:
Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương
trình.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: PGS. TS. Lê Hoà Hoá (Đại học Sư phạm TP. HCM).


Người hướng dẫn: TS. Trần Minh Thuyết.
Ngày bảo vệ: 03/11/2006.
4. Dương Thanh Liêm
Đề tài:
Phương trình sóng với điều kiện biên không thuần nhất tích phân giá trò biên.
Cơ sở đào tạo: Đại học Sư phạm TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 02/11/2006.
5. Nguyễn Văn Phong
Đề tài:
Phương trình sóng tuyến tính với điều kiện biên chứa phương trình tích phân
tuyến tính
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 29/12/2006.
6. Lê Thò Thanh Hải
Đề tài:
Các thuật giải lặp và khai triển tiệm cận nghiệm của hệ phương trình hàm phi
tuyến tính trong miền 2 chiều
.

Cơ sở đào tạo: Đại học Khoa học Tự nhiên TP. HCM.
Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Thành Long.
Ngày bảo vệ: 29/12/2006.
7. Lê Trùng Dương
Đề tài:
Sự không nghiệm dương của một số phương trình tích phân phi tuyến liên hệ
với bài toán Neumann
13
PHỤ LỤC C
Đính kèm toàn văn 11 bài báo đã công bố trong phạm vi đề tài


6. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai,
Existence and asymptotic expansion for a
nonlinear wave equation associated with nonlinear boundary conditions
, Nonlinear
Analysis, Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (6)
(2007), 1791-1819. [ ]
7. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion for a
viscoelastic problem with a mixed nonhomogeneous condition
, Nonlinear Analysis,
Theory, Methods & Applications, Series A: Theory and Methods, 67 (3) (2007), 842-
864.
[ ]
8. Nguyễn Thành Long, Lê Xuân Trường,
Existence and asymptotic expansion of
solutions to a nonlinear wave equation with a memory condition at the boundary
,
Electron. J. Diff. Eqns., Vol. 2007(2007), No. 48, pp. 1-19.
ISSN: 1072-6691. URL:
, .
9. Nguyễn Thành Long, Võ Giang Giai, Lê Xuân Trường,
A shock problem involving a
nonlinear viscoelastic bar associated with a nonlinear boundary condition
,
Demonstratio Math. 41 (2007) (accepted for publication).
10. Bùi Thế Anh, Nguyễn Khoa Sơn, Dương Đặng Xuân Thành,
Robust stability of
Metzler operator and delay equation in

(

application to integral
equations
Le Thi Phuong Ngoc and Nguyen Thanh
Long
Received 15 April 2006; Revised 30 June
2006; Accepted 13 August 2006
This paper presents a remark on a fixed
point theorem of Krasnosel'skii type. This
result is applied to prove the existence of
asymptotically stable solutions of nonlinear
integral equations.

Options for this article
Full-
Text
PDF
Linked
References
How to
Cite this

Article
Information Se
r
starts to

list Hind
Open Access Mat
h
Journals

Article Search
this journal
nmlkj
all journals
nmlkji
Copyright © 2006 Hindawi Publishing Corporation. All rights reserved.
Pa
g
e 1 of 1On a fixed
p
oint theorem of Krasnosel'skii t
yp
e and a
pp
lication to inte
g
ral e
q
uations
11/12/2006htt
p

t,x(t)

+

t
0
V

t,s,x(s)

ds+

t
0
G

t,s,x(s)

ds, t ∈ R
+
, (1.2)
where E is a Banach space with norm
|·|, R
+
= [0,∞), q : R
+
→ E; f : R
+
× E → E;
G,V : Δ

G

t,s,x(s)

ds, t ∈ R
+
, (1.3)
where q :
R
+
→ R
d
; f : R
+
×R
d
→ R
d
; V : Δ → M
d
(R), G : Δ ×R
d
→ R
d
are supposed
to be continuous, Δ
={(t,s) ∈ R
+
×R
+

+ λCx, λ ∈(0,1)

(1.4)
is bounded.
Then the operator C + D admits fixed points.
In [6], Hoa and Schmitt also established some fixed point theorems of Krasnosel’skii
ty pe for operators of the form U + C on a bounded closed convex subset of a locally con-
vex space, where C is completely continuous and U
n
satisfies contraction-type conditions.
Furthermore, applications to integral equations in a Banach space were presented.
On the basis of the ideas and techniques in [2, 6], we consider (1.2). The paper consists
of five sections. In Section 2, we prove a fixed point theorem of Krasnosel’skii type. Our
main results will be presented in Sections 3 and 4. Here, the existence solution and t he
asymptotically stable solutions to (1.2) are established. We end Section 4 by illustrated
examples for the results obtained when the given conditions hold. Finally, in Section 5,a
general case is given. We show the existence solution of the equation in the form
x(t)
= q(t)+ f

t,x(t),x

π(t)

+

t
0
V


echet space and let U, C : X → X be two operators.
Assume that
(i) U is a k-contraction operator, k
∈ [0,1) (depending on n), with respect to a family
of seminorms
·
n
equivalent with the family |·|
n
;
(ii) C is completely continuous;
(iii) lim
|x|
n
→∞
(|Cx|
n
/|x|
n
) = 0,foralln ∈N
∗
.
Then U + C has a fixed point.
Proof of Theorem 2.1. At first, we note that from the hypothesis (i), the existence and the
continuity of the operator (I
−U)
−1
follow. And, since a family of seminorms ·
n
is

∗
;
(b) for each sequence (x
m
)inX,foralln ∈N
∗
, since
lim
m→∞


x
m
−x


n
= 0 ⇐⇒ lim
m→∞


x
m
−x


n
= 0, (2.2)
(x
m

Cx|
n
|x|
n
≤ K
2n
Cx
n
|x|
n
≤
K
2n
K
1n
Cx
n
x
n
, ∀x ∈X, ∀n ∈N
∗
.
(2.3)
Hence, lim
|x|
n
→∞
(|Cx|
n
/|x|


φ(a)

+ a =φ(a) ⇐⇒ φ(a) =(I −U)
−1
(a). (2.4)
Let u
0
be a fixed point of U.Foreachx ∈ X, consider U
m
C(x)
(u
0
), m ∈N
∗
,where
U
m
C(x)
(y) = U
C(x)

U
m−1
C(x)
(y)

=
U



U
C(x)

U
m−1
C(x)

u
0

−
U

u
0



n
≤


U
C(x)

U
m−1
C(x)



u
0



n
≤


C(x)


n
+ k


U
m−1
C(x)

u
0

−
u
0


n


n
≤ α


C(x)


n
, (2.7)
where α
= 1/1 −k>1. By the condition (iii) satisfied with respect to ·
n
as above, for
1/4α>0, there exists

M>0(wechoose

M>u
0

n
)suchthat
x
n
>

M =⇒ Cx
n
<


n
>r
1n
>

M + u
0

n
⇒x
n
>

M,
we have
Cx
n
<
1
4α
x
n
≤
1
4α



x −u


n

=
1
2α


x −u
0


n
.
(2.9)
Case 2 (
x −u
0

n
≤ r
1n
). By (ii) satisfied with respect to ·
n
, there is a positive constant
β such that
Cx
n
≤ β. (2.10)
Choose r

≤ r
1n
,thenby(2.7), (2.10),


U
m
C(x)

u
0

−
u
0


n
≤ α


C(x)


n
≤ αβ < r
2n
. (2.12)
L.T.P.NgocandN.T.Long 5
If r


n
≤ α
1
2α
r
2n
=
1
2
r
2n
<r
2n
. (2.13)
We obta in U
m
C(x)
(u
0
) ∈ D for all x ∈D.
On the other hand, by U
C(x)
being a contraction mapping, the sequence U
m
C(x)
(u
0
)
converges to the unique fixed point φ(C(x)) of U

, n ≥ 1. (3.1)
Then (X,
|x|
n
)iscompleteinthemetric
d(x, y)
=
∞

n=1
2
−n
|x − y|
n
1+|x − y|
n
(3.2)
and X is the Fr
´
echet space. Consider in X the other family of seminorms
x
n
defined as
follows:
x
n
=|x|
γ
n
+ |x|

n
, since
e
−h
n
(n−γ
n
)
|x|
n
≤x
n
≤ 2|x|
n
, ∀x ∈X, ∀n ≥1. (3.5)
We make the following assumptions.
(A
1
) There exists a constant L ∈[0,1) such that


f (t,x) − f (t, y)


≤
L|x − y|, ∀x, y ∈ E, ∀t ∈ R
+
. (3.6)
(A
2

|x|→∞


G(t,s,x)


−
ω
2
(t,s)
|x|
=
0, (3.8)
uniformly in (t, s) in any bounded subsets of Δ.
Theorem 3.1. Let (A
1
)–(A
4
)hold.Then(1.2)hasasolutionon[0,∞).
Proof of Theorem 3.1. The proof consists of Steps 1–4.
Step 1. In X, we consider the equation
x(t) = q(t)+ f

t,x(t)

, t ∈R
+
. (3.9)
We have the following lemma.
Lemma 3.2. Let (A

t, y(t)+ξ(t)

−
ξ(t),
By(t)
=

t
0
V

t,s, y(s)+ξ(s)

ds,
Cy(t)
=

t
0
G

t,s, y(s)+ξ(s)

ds.
(3.12)
Step 2. Put U
= A + B. It follows from the assumptions (A
1
), (A
2

Therefore, by a similar proof to the proof in [2, Lemma 3.1(2)], we have U a k
n
-contraction
operator, k
n
∈ [0,1) (depending on n), with respect to a family of seminorms ·
n
.In-
deed, fix an arbitrary positive integer n
∈ N
∗
.
L.T.P.NgocandN.T.Long 7
For all t
∈ [0,γ
n
]withγ
n
∈ (0,n) chosen later, we have


Uy(t) −U y(t)


≤
L


y(t) − y(t)


= sup

ω
1
(t,s):(t,s) ∈Δ
n

,
Δ
n
=

(t,s) ∈[0,n] ×[0,n], s ≤ t

.
(3.15)
This implies that
|Uy−U y|
γ
n
≤

L + ω
1n
γ
n

|
y − y|
γ

1n

t
γ
n


y(s) − y(s)


ds.
(3.17)
It follows from (3.17) and the inequalities
0 <e
−h
n
(t−γ
n
)
< 1, ∀t ∈[γ
n
,n], h
n
> 0, (3.18)
(h
n
> 0 is also chosen later) that


Uy(t) −U y(t)

t
γ
n


y(s) − y(s)


e
−h
n
(t−γ
n
)
ds
≤ L|y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+ ω
1n

t
γ

h
n

t
γ
n
e
h
n
(s−t)
ds
≤ L|y − y|
h
n
+ ω
1n
γ
n
|y − y|
γ
n
+
ω
1n
h
n
|y − y|
h
n
.


L +2γ
n
ω
1n

|
y − y|
γ
n
+

L +
ω
1n
h
n

|
y − y|
h
n
≤ k
n
y − y
n
, (3.21)
where k
n
= max{L +2γ

·
n
.
Step 3. We show that C : X
→ X is completely continuous. We first show that C is contin-
uous. For any y
0
∈ X,let(y
m
)
m
be a sequence in X such that lim
m→∞
y
m
= y
0
.
Let n
∈ N
∗
be fixed. Put K ={(y
m
+ ξ)(s):s ∈ [0,n], m ∈ N}.ThenK is compact in
E. Indeed, let ((y
m
i
+ ξ)(s
i
))

0
+ξ

s
0



≤



y
m
i
+ξ

s
i

−

y
0
+ξ

s
i



0


n
+



y
0
+ ξ

s
i

−

y
0
+ ξ

s
0



,
(3.23)
which shows that lim
i→∞

, there exists m
0
such that for m>m
0
,



y
m
+ ξ

(s) −

y
0
+ ξ

(s)


=


y
m
(s) −y
0
(s)



−
G

t,s,

y
0
+ ξ

(s)



ds < , (3.26)
so
|Cy
m
−Cy
0
|
n
< ,forallm>m
0
, and the continuity of C is proved.
It remains to show that C maps bounded sets into relatively compact sets. Let us recall
the following condition for the relative compactness of a subset in X.
Lemma 3.3 (see [7, Proposition 1]). Let X
= C(R
+

n
} is relatively compact in E.