BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
——————– * ———————
ĐÀO TRỌNG QUYẾT
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES
HAI CHIỀU
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2013
BỘ QUỐC PHÒNG
HỌC VIỆN KỸ THUẬT QUÂN SỰ
——————– * ———————
ĐÀO TRỌNG QUYẾT
MỘT SỐ NGHIÊN CỨU
VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES
HAI CHIỀU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 62 46 01 12
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI - 2013
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và
chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.
NCS. Đào Trọng Quyết
2
LỜI CẢM ƠN

3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . 12
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . 15
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 15
1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 17
1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . 18
1.2.1. Tập hút toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.2. Tập hút lùi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1. Không gian hàm phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . 25
1.3.2. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26
1.3.3. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 27
Chương 2. NGHIỆM YẾU CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 29
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 30
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 40
2.5. MỘT SỐ KẾT QUẢ TRONG TRƯỜNG HỢP Ô-TÔ-NÔM . . 48
2.5.1. Sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn
cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.5.2. Sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng . 48
Chương 3. NGHIỆM MẠNH CỦA HỆ g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 50
3.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM MẠNH . . . . . 51

g
(·, ·)
g
, | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H
g
((·, ·))
g
, ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V
g
∥ · ∥
∗
chuẩn trong không gian V
′
g
⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa V
g
và V
′
g
| · |
p
chuẩn trong không gian L
p
(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞
Id ánh xạ đồng nhất
A, B, C các toán tử dùng để nghiên cứu hệ g-Navier-Stokes (xin
xem chi tiết ở tr. 16)
D(A) miền xác định của toán tử A
⇀ hội tụ yếu
Y

Các phương trình và hệ phương trình trong cơ học chất lỏng xuất hiện khi
mô tả chuyển động của các chất lỏng và khí như nước, không khí, dầu mỏ, ,
dưới những điều kiện tương đối tổng quát, và chúng xuất hiện khi nghiên cứu
nhiều hiện tượng quan trọng trong khoa học hàng không, khí tượng học, công
nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma. Một trong những lớp hệ phương trình cơ bản
quan trọng trong cơ học chất lỏng, miêu tả dòng chảy của chất lỏng lí tưởng,
nhớt, không nén là hệ Navier-Stokes. Hệ phương trình Navier-Stokes được xây
dựng từ các định luật bảo toàn khối lượng, động lượng và có dạng:





∂u
∂t
− ν∆u + (u ·∇)u + ∇p = f(x, t),
∇ · u = 0.
ở đó u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng là hàm véctơ vận tốc và hàm áp suất
cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và f là ngoại lực.
Mặc dù được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1822, cho đến nay đã có rất
nhiều bài báo và sách chuyên khảo viết về hệ phương trình Navier-Stokes, tuy
nhiên những hiểu biết của chúng ta về nghiệm của hệ phương trình này còn
khá khiêm tốn. Nói riêng, cho đến nay vấn đề tồn tại nghiệm mạnh toàn cục
và tính duy nhất của nghiệm yếu trong trường hợp ba chiều vẫn là thách thức
lớn đối với các nhà toán học cũng như vật lý. Tuy nhiên, vì nhu cầu của Khoa
học và Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng
và các phương trình, hệ phương trình trong cơ học chất lỏng nói chung ngày
càng trở nên thời sự và cấp thiết. Như được đề cập đến trong các cuốn chuyên
8
khảo [58, 59] và các bài báo tổng quan gần đây [10, 61], những vấn đề cơ bản

và những bài báo gần đây [20, 28, 30, 31, 32].
• Bài toán điều khiển được và bài toán điều khiển tối ưu. Tìm điều khiển
thích hợp (trên miền con hoặc trên biên) sao cho có thể chuyển quỹ đạo
của hệ từ vị trí này sang vị trí khác mà ta mong muốn, hoặc là tìm điều
khiển thích hợp để nghiệm tương ứng làm cực đại hoặc cực tiểu một
phiếm hàm cho trước. Về hướng nghiên cứu thời sự và khó này, xin xem
các cuốn chuyên khảo [19, 23].
Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, trong những năm gần đây nhiều
lớp phương trình và hệ phương trình khác trong cơ học chất lỏng cũng thu
hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học bởi ý nghĩa và tầm
quan trọng của chúng, cũng như những khó khăn thách thức về mặt toán học
đặt ra khi nghiên cứu. Những phương trình này bao gồm một số mở rộng
hoặc biến dạng của hệ Navier-Stokes: α-mô hình [29], hệ Navier-Stokes-Voigt
[7, 8, 25, 36, 37], hệ Brinkman-Forchheimer [7, 38], hệ mô tả chuyển động của
chất lỏng không Newton [21], hệ chất lưu loại hai [49, 50], ; các hệ phương
trình cặp trong cơ học chất lỏng: hệ Bénard [6, 12], hệ từ thủy động học
[57, 60], ; và các mô hình tiệm cận trong cơ học chất lỏng [1, 3, 4, 11, 44].
Một trong những lớp hệ phương trình trong cơ học chất lỏng được nghiên
cứu nhiều trong những năm gần đây là lớp hệ phương trình g-Navier-Stokes,
được đưa ra lần đầu tiên bởi J. Roh năm 2001. Hệ phương trình g-Navier-Stokes
có dạng:





∂u
∂t
− ν∆u + (u ·∇)u + ∇p = f(x, t),
∇ · (gu) = 0.

tục chứ không compact.
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm mạnh của hệ
g-Navier-Stokes. Phần lớn các kết quả đã biết là đối với nghiệm yếu.
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi ngoại lực f
11
phụ thuộc trễ (hữu hạn hoặc vô hạn). Tình huống này xuất hiện, chẳng
hạn, khi ta muốn điều khiển hệ (theo một nghĩa xác định nào đó) bằng
cách sử dụng một ngoại lực không chỉ phụ thuộc vào trạng thái hiện tại
mà còn phụ thuộc vào quá khứ của nghiệm. Khó khăn cơ bản cần xử lí ở
đây là số hạng chứa trễ. Lúc này phương trình đang xét là một phương
trình đạo hàm riêng có trễ, nên hệ động lực tương ứng rất phức tạp bởi
vì nó vô hạn chiều theo cả biến không gian (do toán tử đạo hàm riêng
gây ra) và biến thời gian (do số hạng chứa trễ gây ra).
• Xấp xỉ trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu tiệm cận
nghiệm của hệ phương trình g-Navier-Stokes. Đây là những vấn đề quan
trọng và có nhiều ý nghĩa trong các áp dụng thực tế. Tuy nhiên, theo
hiểu biết của chúng tôi, chưa có kết quả nào về vấn đề này đối với lớp
hệ phương trình g-Navier-Stokes.
Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn những vấn đề trên làm đề
tài nghiên cứu của luận án "Một số nghiên cứu về hệ phương trình
g-Navier-Stokes hai chiều".
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Luận án này tập trung nghiên cứu những vấn đề sau về hệ phương trình
g-Navier-Stokes hai chiều:
• Sự tồn tại và duy nhất nghiệm (nghiệm ở đây có thể là nghiệm yếu hoặc
nghiệm mạnh).
• Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian ra vô cùng thông qua sự
tồn tại tập hút và tính ổn định của nghiệm dừng.
• Xấp xỉ nghiệm mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng
điệu của nghiệm mạnh khi thời gian ra vô cùng.

ngoại lực f “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên cứu sự
tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng, tức là nghiệm của bài toán
dừng tương ứng, và chứng minh nghiệm của hệ g-Navier-Stokes dần đến
nghiệm dừng này khi thời gian t ra vô cùng.
• Để xấp xỉ nghiệm, chúng tôi sử dụng các công cụ và phương pháp của
Giải tích số và Tính toán khoa học. Cụ thể chúng tôi nghiên cứu các lược
đồ phù hợp rời rạc hóa không gian và thời gian để xây dựng dãy nghiệm
xấp xỉ của bài toán và chứng minh lược đồ này ổn định, điều này dẫn
đến dãy nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm đúng của bài toán.
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đạt được những kết quả chính sau đây:
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán (1).
Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của tập hút lùi;
sự tồn tại duy nhất và tính ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội
dung của Chương 2.
• Chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm mạnh đối với bài toán (1).
Chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục và sự tồn tại, tính ổn định
của nghiệm dừng mạnh. Chứng minh được các kết quả về xấp xỉ nghiệm
mạnh trong khoảng thời gian hữu hạn và xấp xỉ dáng điệu nghiệm mạnh.
Đây là nội dung của Chương 3.
• Chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1) trong
trường hợp ngoại lực phụ thuộc trễ vô hạn; sự tồn tại duy nhất và tính
ổn định của nghiệm dừng yếu. Đây là nội dung của Chương 4.
14
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào
việc hoàn thiện việc nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes. Nói riêng
các kết quả này, trong trường hợp đặc biệt khi g = 1, áp dụng được đối với
hệ Navier-Stokes hai chiều. Như chúng ta đã biết, các hệ phương trình trong
cơ học chất lỏng có nguồn gốc từ các bài toán thực tế khi nghiên cứu chuyển
động của chất lưu, do đó các kết quả đạt được trong luận án cũng góp phần

1.1.1. Các không gian hàm
Để nghiên cứu hệ phương trình g-Navier-Stokes, chúng ta dùng các không gian
hàm sau:
Kí hiệu L
2
(Ω, g) = (L
2
(Ω))
2
và H
1
0
(Ω, g) = (H
1
0
(Ω))
2
với tích vô hướng lần
lượt là
(u, v)
g
=

Ω
u.vgdx, u, v ∈ L
2
(Ω, g),
và
((u, v))
g

. Từ giả thiết của hàm
g được xét trong luận án (xin xem chi tiết ở §1 các Chương 2, 3, 4), dễ thấy
chuẩn |·| và ||·|| tương đương với chuẩn thông thường trong (L
2
(Ω))
2
và trong
(H
1
0
(Ω))
2
.
16
Đặt
V = {u ∈ (C
∞
0
(Ω))
2
: ∇ · (gu) = 0}.
Ký hiệu H
g
là bao đóng của V trong L
2
(Ω, g), và V
g
là bao đóng của V trong
H
1

g
là toán tử xác định bởi ⟨Au, v⟩ = ((u, v))
g
. Kí hiệu
D(A) = {u ∈ V
g
: Au ∈ H
g
}, thì D(A) = H
2
(Ω, g) ∩V
g
và Au = −P
g
∆u, ∀u ∈
D(A), trong đó P
g
là toán tử chiếu trực giao từ L
2
(Ω, g) xuống H
g
.
Đặt B : V
g
× V
g
→ V
′
g
là toán tử xác định bởi ⟨B(u, v), w⟩ = b(u, v, w),

g
= ((
∇g
g
· ∇)u, v)
g
= b(
∇g
g
, u, v), ∀v ∈ V
g
.
Do
−
1
g
(∇ · g∇)u = −∆u − (
∇g
g
· ∇)u,
ta có
(−∆u, v)
g
= ((u, v))
g
+((
∇g
g
·∇)u, v)
g

|u|
L
4
≤ c|u|
1/2
|∇u|
1/2
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω),
và bất đẳng thức nội suy, như trong [58, 59], ta có
Bổ đề 1.1. Nếu n = 2, thì
|b(u, v, w)| ≤













c
1
|u|

1/2
∥v∥|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ V
g
, w ∈ H
g
,
c
4
|u|∥v∥|w|
1/2
|Aw|
1/2
, ∀u ∈ H
g
, v ∈ V
g
, w ∈ D(A),
trong đó c
i
, i = 1, . . . , 4, là các hằng số xác định.
Bổ đề 1.2. ([9]) Cho u ∈ L
2
(τ, T; V
g
). Khi đó hàm Bu xác định bởi
⟨Bu(t), v⟩ = b(u(t), u(t), v), ∀u ∈ V
g
, h.k. t ∈ [τ, T ],
thuộc L
2

1/2
∥u(t)∥ ≤ c
′
3
∥u(t)∥
3/2
|Au(t)|
1/2
.
18
Do đó

T
0
|Bu(t)|
4
dt ≤ c
′
3

T
0
∥u(t)∥
6
|Au(t)|
2
dt
≤ c∥u∥
6
L

(τ, T; H
g
), và do đó cũng thuộc L
2
(τ, T; V
′
g
). Hơn nữa
|Cu(t)| ≤
|∇g|
∞
m
0
∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ).
và
∥Cu(t)∥
∗
≤
|∇g|
∞
m
0
λ
1/2
1
∥u(t)∥, với h.k. t ∈ (τ, T ).
1.2. TẬP HÚT TOÀN CỤC VÀ TẬP HÚT LÙI
Trong phần này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về tập hút toàn cục và tập
hút lùi sẽ được sử dụng trong luận án.
Trong suốt mục này, giả sử X là một không gian Banach và nửa khoảng

nếu tồn tại một tập bị chặn B
0
⊂ X sao cho với mọi tập bị chặn B ⊂ X, tồn
tại T = T(B) ≥ 0 sao cho S(t)B ⊂ B
0
, ∀t ≥ T. Tập B
0
như vậy được gọi là
một tập hấp thụ đối với nửa nhóm S(t).
Bây giờ ta định nghĩa tính compact tiệm cận.
Định nghĩa 1.3. Giả sử X là một không gian Banach. Nửa nhóm S(t) gọi là
compact tiệm cận nếu với mọi t > 0, S(t) có thể biểu diễn dưới dạng
S(t) = S
(1)
(t) + S
(2)
(t), (1.1)
ở đó S
(1)
(t) và S
(2)
(t) thỏa mãn các tính chất sau:
1) với bất kì tập bị chặn B ⊂ X
r
B
(t) = sup
y∈B
||S
(1)
(t)y||

(B) sao
cho S
(2)
(t)B ⊂ K, ∀t ≥ t
0
(B). Nói riêng, một hệ tiêu hao là compact nếu nó
có một tập hấp thụ compact.
20
Tập hút toàn cục
Tập hút toàn cục là đối tượng trung tâm của lí thuyết các hệ động lực tiêu
hao vô hạn chiều, được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.4. Một tập con khác rỗng A của X gọi là một tập hút toàn
cục đối với nửa nhóm S(t) nếu:
1) A là một tập đóng và bị chặn;
2) A là bất biến, tức là S(t)A = A với mọi t ≥ 0;
3) A hút mọi tập con bị chặn B của X, tức là
lim
t→+∞
dist(S(t)B, A) = 0.
Các tính chất sau đây của tập hút toàn cục là hệ quả trực tiếp của định
nghĩa.
Mệnh đề 1.1. Giả sử S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó:
1) Nếu B là một tập con bị chặn bất biến của X thì B ⊂ A (tính cực đại);
2) Nếu B là một tập con đóng hút mọi tập bị chặn của X thì A ⊂ B (tính
cực tiểu);
3) A là duy nhất.
Kết quả sau đây nói về cấu trúc của tập hút toàn cục.
Định lí 1.1. ([53]) Giả sử nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Khi đó mọi
quỹ đạo đầy đủ bị chặn (nói riêng là các điểm dừng và các quĩ đạo tuần hoàn,
nếu có) đều nằm trên A. Hơn nữa, nếu S(t) là đơn ánh trên A thì A là hợp

Hệ quả 1.1. Giả sử S(t) là nửa nhóm liên tục trên không gian Banach X.
Nếu S(t) có một tập hấp thụ compact B thì A =

s≥0

t≥s
S(t)B là một tập
compact khác rỗng và là tập hút toàn cục đối với S(t). Hơn nữa, tập hút toàn
cục A là liên thông trong X.
1.2.2. Tập hút lùi
Một quá trình trên không gian Banach X là một họ các ánh xạ phụ thuộc hai
tham biến {U(t, τ)} trong X có các tính chất sau:
U(t, r)U(r, τ) = U (t, τ) với mọi t ≥ r ≥ τ,
U(τ, τ) = Id với mọi τ ∈ R.
Giả sử B(X) là họ các tập con bị chặn khác rỗng của X, và D là một lớp
khác rỗng các tập được tham số hóa
ˆ
D = {D(t) : t ∈ R} ⊂ B(X).
Định nghĩa 1.1. Quá trình {U(t, τ)} được gọi là D-compact tiệm cận lùi nếu
với bất kì t ∈ R, bất kì
ˆ
D ∈ D, bất kì dãy τ
n
→ −∞, và bất kì dãy x
n
∈ D(τ
n
),
dãy {U (t, τ
n

(3)
ˆ
A là D-hút lùi, tức là
lim
τ→−∞
dist(U(t, τ)D(τ ), A(t)) = 0, với mọi
ˆ
D ∈ D, và mọi t ∈ R;
(4) Nếu {C(t) : t ∈ R} là một họ các tập hút đóng khác thì A(t) ⊂ C(t), với
mọi t ∈ R.
Định lí 1.1. ([13]) Giả sử {U(t, τ)} là quá trình liên tục sao cho {U (t, τ)} là
D-compact tiệm cận lùi. Nếu tồn tại một họ các tập D-hấp thụ lùi
ˆ
B = {B(t) :
t ∈ R} ∈ D, thì {U(t, τ)} có một tập D-hút lùi duy nhất
ˆ
A = {A(t) : t ∈ R} và
A(t) =

s≤t

τ≤s
U(t, τ)B(τ).
Sau đây chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong [43] được sử dụng để đánh
giá số chiều fractal của tập hút lùi.
Cho H là không gian Hilbert thực khả li, tập compact K ⊂ H và ε > 0. Kí
hiệu N
ε
(K) là số nhỏ nhất các hình cầu mở trong H với bán kính ε cần thiết
phủ K.

mọi u
0
∈ H, tồn tại duy nhất hàm u(t) = u(t; τ, u
0
) thỏa mãn









u ∈ L
2
(τ, T; V ) ∩C([τ, T ]; H), F (u(t), t) ∈ L
1
(τ, T; V
′
), với mọi T > τ,
du
dt
= F (u(t), t), t > τ,
u(τ) = u
0
.
(1.3)
Tiếp theo ta xác định
U(t, τ)u

0
−u
0
)| ≤ γ(t −τ, |u
0
−u
0
|)|u
0
−u
0
| (1.4)
với mọi u
0
∈ A(τ), trong đó γ : R
+
× R
+
→ R
+
là hàm sao cho γ(s, .) không
giảm với mọi s ≥ 0, và
lim
r→0
γ(s, r) = 0, với mọi s ≥ 0. (1.5)
Ta giả sử rằng, với mọi t ≤ T
∗
, ánh xạ F (., t) khả vi Gateaux trong V ,
nghĩa là, với mọi u ∈ V tồn tại toán tử tuyến tính liên tục F
′