ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN NGỌC DIỄM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ
GALERKIN VÀO MỘT SỐ
BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. Nguyễn Thành Long
Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh.

2. GS.TS.
Alain Phạm Ngọc Đònh

Đại học Tổng hợp Orléans, Pháp. Thành phố Hồ Chí Minh - 2005
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số
liệu, các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ một công trình nào khác.


LÔØI CAÛM ÔN
PHẦN MỞ ĐẦU 1
Chương 0: Một số công cụ chuẩn bò 15
Chương 1: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng:
),,,,(
txxxtt
uuutxfuu =−
19
1.1. Giới thiệu.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết.
1.3. Xấp xỉ tuyến tính cho phương trình sóng phi tuyến.
1.4. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên thuần nhất.
1.5. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên không thuần
nhất.
1.6. Giới thiệu.
1.7. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp 1.
1.8. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo tham số bé
ε
đến cấp N+1.
Chương 2: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến thuộc dạng:
),(),( txfuuFuu
txxtt
=+− 49
2.1. Giới thiệu.
2.2. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán.
2.3. Sự tuỳ thuộc tính trơn của nghiệm theo các dữ kiện.
2.4. Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số.
Chương 3: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier 74
3.1. Giới thiệu.

pháp khai triển tiệm cận… nhằm khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến
các vấn đề trong Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn như các phương trình sóng phi
tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán
mô tả dao độâng của một vật đàn hồi với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại
biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một
nền đàn nhớt.
Trong luận án nầy chúng tôi trình bày 3 nội dung tương ứng với 3 bài toán
và sẽ được phân bố theo 3 chương chính. Sau đây là phần giới thiệu lần lượt 3 bài
toán nói trên. 2
Bài toán thứ nhất
đề cập đến phương trình sóng phi tuyến ở một dạng
tương đối tổng quát:

),,,,,(
txxxtt
uuutxfuu =− ,0),1,0( Ttx
<
<
=
Ω
∈
(0.1)
liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất

⎩
⎨
⎧

uuutxf có các dạng khác
nhau và các dạng điều kiện biên khác nhau đã được khảo sát ở nhiều khía cạnh
khác nhau bởi nhiều tác giả. Chẳng hạn, chúng tôi có thể nêu ra như sau:
Ficken và Fleishman [16] đã thiết lập kết quả tồn tại, duy nhất và ổn đònh
nghiệm của phương trình

,2
3
21
buuuuu
txxtt
+=−+−
εαα

0>
ε
là tham số bé. (0.4)
Rabinowitz [41] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm tuần hoàn của phương
trình

),,,,,(2
1 txtxxtt
uuutxfuuu
ε
α
=
+
−
(0.5)
0>

1 t
uutff
ε
=
(0.8)
Nếu
)),0[(
2
1
IRCf
N
×∞∈
thỏa
0)0,0,(
1
=
tf

,0≥
∀
t
các tác giả trong [12] đã thu
được một khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (0.1), (0.3), (0.6), (0.7) đến cấp
1+N theo ,
ε
với
ε
đủ nhỏ. Kết quả nầy đã nới rộng kết quả từ phương trình vi
phân thường sang phương trình đạo hàm riêng (xem[6]).
Đối với bài toán giá trò biên và ban đầu (0.1)-(0.3), cũng được nhiều tác

x
(0.10)
Bài toán (0.1), (0.3), (0.9), (0.10) mô tả chuyển động của một thanh đàn hồi nhớt.
Trong [21], N.T. Long, Alain P.N. Đònh đã nới rộng nghiên cứu [2] bằng
cách xét bài toán (0.1), (0.3) tương ứng với 4

),,(
t
uuff =
(0.11)
và điều kiện biên
),(),0(),0(
00
tgtuhtu
x
=
− ,0),1(
=
tu (0.12)
mà (0.9) là một trường hợp riêng.
Alain P.N. Đònh, N.T. Long trong [13], bằng cách xét bài toán (0.1), (0.3)
với và điều kiện biên phi tuyến
),()),0((),0(
0
tgtuHtu
x
=−

0
2//
tuhtPtP
tt
=+
ω
,0 Tt
<
<
(0.15)

,)0(,)0(
1
/
0
PPPP == (0.16)
trong đó
10
,,0,0 PPh ≥>
ω
là các hằng số cho trước.[1, 23].
Trong [1] đã nghiên cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.1), (0.3),
(0.14)-(0.16) với
0
~
~
010
=
== Puu và


(0.18)
trong đó

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
−+−=
.sin)(
,
sin
))0(
~
(cos))0(
~
()(
0
1010000
thtk
t
uhPtuhPtg
ωω
ω
ω
ω
(0.19)
Bằng cách khử bớt một ẩn hàm
)(tP

λ
(0.22)
trong đó
101
,,,, hhK
λ
λ
là các hằng số không âm. Trong trường hợp nầy, bài toán
mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tựa trên một nền đàn
nhớt với ràng buộc đàn hồi tuyến tính tại bề mặt, các ràng buộc liên kết với một
lực cản ma sát nhớt.
Trong [9], N.T. Long, T.N. Diễm, đã xét bài toán (0.1)-(0.3) với

,0)()(
10
=
=
tgtg (0.23)
và
).),0[]1,0([
31
IRCf ×+∞×∈ Trong trường hợp nầy, chúng tôi sử dụng một sơ đồ
xấp xỉ tuyến tính, kết hợp với phương pháp Galerkin và compact để thiết lập 6
nghiệm yếu của bài toán (0.1) - (0.3), (0.23). Nếu số hạng phi tuyến
),,,,(
tx
uuutxf trong vế phải của (0.1) được thay bởi

theo nghóa

,
2
);,0(
10
);,0(
10
21
εεε
εε
Cuuuuuu
LTLHTL
≤−−+−−
∞∞
&&&
(0.25)
với
C
là hằng số độc lập với
.
ε
Kết quả nầy đã được công bố trong [9].
Kết quả [9] cũng được nới rộng cho bài toán (0.1)-(0.3) cho trường hợp
,0
0
≡
/
g


1
0
+
=
+=
∑
N
N
i
i
i
Ouu
εε
ε
với
ε
đủ nhỏ, (0.26)
theo nghóa

,
1
);,0(
0
);,0(
0
21
+
==
≤−+−
∞∞

−−
+=
βα
λ
(0.28)
trong đó
,2,2 ≥≥
β
α
λ
,K là các hằng số không âm cho trước. Trong trường hợp 7
nầy bài toán (0.1), (0.3), (0.21), (0.22), (0.28) là mô hình toán học mô tả sự va
chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt phi tuyến tựa trên một nền đàn
hồi nhớt[1]. Chúng tôi cũng thu được sự tồn tại nghiệm toàn cục của bài toán.
Kết quả nầy đã mở rộng kết quả của Bergounioux, N.T. Long, Alain P. N. Đònh
[5] với trường hợp
.2
=
=
β
α
Mặt khác, nếu ,2
=
=
β
α
chúng tôi cũng thu được

+
≤+
∑
N
N
KOKuu
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.29)
(
)
,
1
22
,
21
21
21
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
+
≤+
∑

21
1
21
21
21
+
≤+
≤+≤+
+≤
⋅−⋅+
−+−
∑
∑∑
∞∞
N
TL
N
LTL
N
HTL
N
KC
Kuu
KuuKuu
λ
λ
λλ
γγ
γγ
γγ

KCKPP
λλ
γγ
γγ
γγ
(0.32)
với
21
, CC là hằng số độc lập với
λ
,K . Kết quả thu được ở đây cũng đã mở rộng
và chứa đựng các kết quả trong [1, 2, 5, 25] như là trường hợp riêng. Kết quả nầy
đã được công bố trong [D3]. 8

Bài toán thứ ba
mà chúng tôi muốn đề cập là phương trình sóng phi tuyến
chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

),,,,,()(
2
ttt
uuutxfuuBu ∇=Δ∇−
,0, Ttx
<
<
Ω
∈

Ω
∂
∂
=∇=∇ .),(),()(
1
2
22
N
i
i
dxtx
x
u
dxtxutu
(0.36)
Phương trình (0.33) được tổng quát hoá từ phương trình mô tả dao động phi
tuyến của một dây đàn hồi

,),(
2
0
2
0 xx
L
tt
udyty
y
u
L
Eh

Kirchhoff].
Về nguồn gốc của phương trình (0.37), chúng tôi đã tìm được một bài báo
đã công bố năm 1876 của Kirchhoff [18] thì đúng là Kirchhoff đã thiết lập
phương trình mô tả dao động phi tuyến của một dây đàn hồi có dạng (0.37).
Trong khi đó chúng tôi cũng tìm được một bài báo [7] đã công bố năm 1945 của
Carrier [7] thì phương trình không phải thuộc dạng (0.37), mà là dạng

,),(
0
2
10 xx
L
tt
udytyuPPu
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+=
∫
,0,0 TtLx
<
<
<
<
(0.38)

α
δ
−== trong đó
,0>
δ
0≥
α
là các hằng số dương cho trước;
+ Dmitriyeva[10] nghiên cứu bài toán hai chiều

⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
==
Ω∂=
∂
∂
=
<<×∈
=+Δ∇−Δ+
∑
=
),(
~

ν
là pháp tuyến đơn vò trên biên
Ω
∂
hướng ra ngoài, ),,cos(
ii
ox
ν
ν
=
,6/
22
h
πλ
= với
ε
,h là các hằng số dương. Trong trường hợp nầy, bài toán mô tả
dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tónh.
+ N.T. Long và các tác giả [22] đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất
nghiệm của bài toán 10

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨

10,0,0
<
<>>
α
ε
λ
là các hằng số cho trước.
+ Bằng sự tổng quát hoá của [22], N.T. Long và T.M. Thuyết [24] đã
nghiên cứu bài toán

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
==
Ω∂=
∂
∂
=
×Ω∈=+Δ∇−Δ+
),(
~
)0,(),(
~
)0,(
,,0
),,0(),(),,(),()(

)0,(
,0),1(),0(
,0),1,0(),,,,,()(
10
2
xuxuxuxu
tutu
TtxuuutxfuuBu
t
txxxxtt
(0.42)
trong đó
),1,0(
~
),1,0(
~
1
1
2
0
HuHu ∈∈ ,0),(
0
1
>≥∈
+
bBIRCB ),),0[]1,0([
30
IRCf ×∞×∈
thỏa điều kiện
)),0[]1,0([,,,

2
0
++
∈∈ IRCBIRCB
,0,0
100
≥>≥ BbB
),),0[]1,0[(
32
0
IRCf ×∞×∈

1
1
Cf ∈
),),0[]1,0([
3
IR×∞× và một số điều kiện phụ cho ,,
10
ff chúng tôi thu được từ bài
toán bò nhiễu 11

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪

(0.43)
một nghiệm yếu
),( txu
ε
có khai triển tiệm cận đến cấp 2 theo ,
ε
với
ε
đủ nhỏ,
theo nghóa
,
2
);,0(
10
);,0(
10
21
εεε
εε
Cuuuuuu
LTLHTL
≤−−+−−
∞∞
&&&
với
C
là hằng số độc
lập với
.
ε

00
tgtuhtu
x
=
− ),(),1(),1(
11
tgtuhtu
x
=
+
(0.45)
và điều kiện đầu 12

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
=
(0.46)
với
10
, hh là các hằng số không âm cho trước, số hạng phi tuyến f cũng là hàm

x
=
− ),(),1(),1(
11
tgtuhtu
x
=
+
(0.48)

),(
~
)0,(),(
~
)0,(
10
xuxuxuxu
t
=
= (0.49)

),,,,,(),,,,(),,,,(
10 txtxtx
uuutxfuuutxfuuutxF
ε
ε
+
=
(0.50)
Nếu

N
N
i
i
i
Ouu
εε
ε

theo nghóa

.
1
);,0(
0
);,0(
0
21
+
==
≤−+−
∞∞
∑∑
N
LTL
N
i
i
i
HTL

∫
−−+=
t
x
dssustktgthutu
(0.52)

,0),1(),1(),1(
11
=
+
+ tutuKtu
tx
λ
(0.53)
và điều kiện đầu

),()0,(),()0,(
10
xuxuxuxu
t
=
=
(0.54)

,),(
22
ttt
uuuuKuuF
−−

,,,, uugkf cũng được khảo sát. Phần cuối
của chương nầy chúng tôi vẫn với
,2
=
=
β
α
chúng tôi chứng minh rằng
nghiệm
),( Pu của bài toán (0.51)- (0.55) có một khai triển tiệm cận đến cấp 1
+
N
theo theo hai tham số
λ
,K và có các đánh giá như (0.31), (0.32). Một phần kết
quả chương nầy đã mở rộng kết quả trong [5] và được công bố trong [D3].
Chương 4: Khảo sát phương trình sóng phi tuyến chứa toán tử Kirchhoff-Carrier

),,,,,()(
2
ttt
uuutxfuuBu ∇=Δ∇−
,0),1,0( Ttx <
<
=
Ω
∈
(0.56)

,0),1(),0(

=∇=∇ .),(),()(
1
2
22
N
i
i
dxtx
x
u
dxtxutu
(0.59)

Trong chương này, bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương
pháp Galerkin và phương pháp compact yếu, chúng tôi thu được đònh lý tồn tại
và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (0.56)–(0.59), sau đó, nếu
),(
2
0 +
∈ IRCB ),(
1
1
+
∈ IRCB
,0
00
>≥ bB
,0
1
≥B ),),0[]1,0[(

- Hội nghò Khoa học lần 3, ĐHKH Tự Nhiên Tp. HCM, 24/10/2002
- Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp. HCM,
22/12/2000.
- Hội Nghò Khoa học, Khoa Toán-Tin học, Đại học Sư Phạm Tp. HCM,
21-22/ 12/2002. 15
Chương 0

MỘT SỐ CÔNG CỤ CHUẨN BỊ0.1. Các ký hiệu về không gian hàm

Chúng ta bỏ qua đònh nghóa các không gian hàm thông dụng (xem [4]) và sử
dụng các ký hiệu gọn lại như sau:
),(
,,
Ω=
pmpm
WW )(
2,
Ω==
mmm
HHW
),( ),(),(
00
,0
Ω=Ω=Ω==

.X

Ta ký hiệu
∞≤≤ pXTL
p
1),;,0(
là không gian Banach các hàm ,),0(: XTu →
đo được sao cho

,)(
/1
0
);,0(
+∞<
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
∫
p
T
p
XXTL
dttuu
p

=
=
=
&&&
lần lượt thay cho
),,( txu
),,( tx
t
u
∂
∂
),,(),,(),,(
2
2
2
2
tx
x
u
tx
x
u
tx
t
u
∂
∂
∂
∂
∂

∈=∈=
trong đó
.1,0,1,0
=
∞≤≤∞<< ipT
i

Trang bò trên
W một chuẩn như sau:

.
);,0(
/
);,0(
1
1
0
0
BTL
BTLW
p
p
vvv +=
Khi đó
W

là không gian Banach. Hiển nhiên .);,0(
0
BTLW
p

m
1),(,
thỏa

(i)

,
)(
Cg
QL
m
q
≤
với mọi
,m(ii)

gg
m
→
hầu hết trong
.Q

Khi đó
gg
m
→
trong

a là một dạng song tuyến tính:
(j) Nếu
),( vuau a tuyến tính từ V vào
I
R với mọi ,Vv∈ và ),( vuav a
tuyến tính từ
V vào
I
R với mọi .Vu
∈

(jj) Đối xứng nếu .,),(),( Vvuuvavua
∈
∀
=

(jjj) Liên tục nếu
:0≥∃M
.,),( VvuvuMvua
VV
∈∀≤
(4j) Cưỡng bức nếu
.),(:0
2
Vvvvva
V
∈∀≥>∃
αα

Khi đó ta có kết quả sau:

≤
≤≤≤<
∞→
j
j
j
λ
λ
λ
λ
(5)

2,1,,
~
),
~
(
=
∀
∈
∀
〉〈= jVvvwvwa
jjj
λ
(6)
Hơn nữa
,
dãy
}/
~

,0
1
δ
η
σ
η
+
≤≤
−mm
, ,2,1
=
m
(7)
trong đó
0 ,10 ≥<≤
δ
σ

là các hằng số cho trước. Khi đó,
1
σ
δ
η
−
≤
m



1.1. Giới thiệu
Trong chương này, chúng tôi xét bài toán giá trò biên và giá trò ban đầu sau
đây

,0, ,),,,,( Ttxuuutxfuu
txxxtt
<
<
Ω
∈
=−
(1.1.1)

),(),1(),1( (t),),0(),0(
1100
tgtuhtugtuhtu
xx
=
+
=−
,0 Tt
<
<
(1.1.2)

),(
~
)0,( (x),
~

tham số bé
ε
mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương nầy.
1.2. Các ký hiệu và giả thiết
Ta thành lập các giả thiết sau