Header Page 1 of 258.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

TÓM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội - 2014

Footer Page 1 of 258.


Header Page 2 of 258.

Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu

Phản biện 1:


không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính
của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp
tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn
định, không ổn định). Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn
thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức
tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với
nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo
xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm
của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn
giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm
của phương trình đang xét.
Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức
là họ các toán tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam
phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả
nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học
Hadamard, Perron, Bogoliubov và Mitropolsky. Đó là những kết quả về sự tồn
tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường
hợp X = Rn và A(t) là các ma trận). Sau đó, Daleckii và Krein đã mở rộng
các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian
Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry đã phát triển các kết quả về sự tồn tại
đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới
nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết
nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã
được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát
bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Có hai phương
1
Footer Page 3 of 258.



• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái
niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không
ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
= A(t)u + f (t, u),
dt
2
Footer Page 4 of 258.

t ∈ I,


Header Page 5 of 258.

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi
t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá
(U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ , có nhị phân mũ và hàm
phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là f (t, x) − f (t, y ) ≤
ϕ(t) x − y với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp
nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự
tồn tại của đa tạp ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có
tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau
đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương
trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không
ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả
trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3].
• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định,


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không
gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ . Sử dụng một ít
thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực. Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân
mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel
trên R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại
số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu
(1) (E, · E ) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được
Borel sao cho |ψ (·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E
và ψ E ≤ ϕ E ,
(2) hàm đặc trưng χA ∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và supt≥0 χ[t,t+1]
∞, inf t≥0 χ[t,t+1] E > 0,

E

(3) E → L1,loc (R+ ), tức là với mọi đoạn compact J ⊂ R+ tồn tại βJ > 0 sao
cho J |f (t)|dt ≤ βJ f E với mọi f ∈ E.
Định nghĩa 1.1.2. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được
nếu nó thoả mãn

+
Tτ ϕ(t) =
0
nếu 0 ≤ t < τ ,
Tτ− ϕ(t) = ϕ(t + τ ) với mọi t ≥ 0.
Hơn nữa, tồn tại N1 , N2 > 0 sao cho Tτ+ ≤ N1 , Tτ− ≤ N2 với mọi
τ ∈ R+ .
Ví dụ 1.1.3. Không gian Lp (R+ ) với 1 ≤ p ≤ ∞ và không gian
t+1

M(R+ ) :=

t≥0

với chuẩn f
nhận được.

M

|f (τ )|dτ < ∞

f ∈ L1, loc (R+ ) : sup

:= supt≥0

t+1
|f (τ )|dτ
t

t

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R+ ) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 T1+ ϕ
−σ
1−e

∞

và Λσ ϕ

∞

≤

N2
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞,

(1.1)


t
t+1

Khi đó, Λσ ϕ và Λσ ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu supt∈R t ϕ(τ )dτ < ∞ (điều
này được thoả mãn nếu ϕ ∈ E ) thì Λσ ϕ và Λσ ϕ bị chặn và ta có đánh giá

Λσ ϕ

∞

≤

N1
Λ1 ϕ
1 − e−σ

∞

và Λσ ϕ

(b) Với mọi α > 0, e−α|t| ∈ E.
(c) Với mọi b > 0, eb|t| ∈
/ E.
6
Footer Page 8 of 258.

∞

≤



u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ

với t ≥ s ≥ 0.

(1.3)

s

Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 trên không gian Banach X
được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính
bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s),

t ≥ s ≥ 0,

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng
ta biểu diễn ánh xạ ngược là U (s, t)| := (U (t, s)| )−1 , 0 ≤ s ≤ t,
(c)

U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s ≥ 0,

(d)

U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.

Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên

St = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ S}.
(ii) St đồng phôi với X0 (t) với mọi t ≥ 0.
(iii) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t0 , ∞)
thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi s ≥ t0 .
Dưới đây chúng tôi nhắc lại kết quả về đa tạp ổn định của phương trình vi
phân nửa tuyến tính.
Định lý 1.3.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu P (t), t ≥ 0 và hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng ϕ ∈ E là hàm
không âm. Cho f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz sao cho k < N1+1 , trong đó

(1 + H )N (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
k :=
1 − e−ν

∞)

.

Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình
(1.3). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u1 (t), u2 (t) trên đa tạp S hút nhau cấp mũ,
tức là tồn tại các hằng số dương µ và Cµ không phụ thuộc t0 ≥ 0 sao cho
u1 (t) − u2 (t) ≤ Cµ e−µ(t−t0 ) P (t0 )u1 (t0 ) − P (t0 )u2 (t0 )

8
Footer Page 10 of 258.

với mọi t ≥ t0 .


9
Footer Page 11 of 258.


Header Page 12 of 258.

2.1

Đa tạp tâm ổn định

Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích
phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +

U (t, ξ )f (ξ, u(ξ ))dξ

với t ≥ s ≥ 0.

(2.2)

s

Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X.
Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá {U (t, s)}t≥s≥0 được gọi là tam phân mũ trên
nửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2,
3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả

nghĩa 2.1.1. Giả sử rằng f : R+ × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E là
hàm không âm và thoả mãn

(1 + H )N0 (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
k :=
1 − e−ν

∞)


0. Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, St ) ⊂
R+ × X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh
xạ Lipschitz
gt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t)
với hằng số Lipschitz không phụ thuộc t và St = graph(gt ) có các tính chất sau:
(i) Mỗi x0 ∈ St0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.2) trên [t0 , ∞)
thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ với γ = δ+2 α .
(ii) St đồng phôi với X1 (t) ⊕ X3 (t) với mọi t ≥ 0, ở đây Xj (t) = Pj (t)X,
j = 1, 3.
(iii) S là bất biến, tức là nếu u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ St0 và ess supt≥t0 e−γt u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Ss với mọi
s ≥ t0 .
(iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y (·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có

(b) ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s là đẳng cấu, ký hiệu
ánh xạ ngược của nó là (U (t, s)| )−1 = U (s, t)| ,
(c)

U (t, s)x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ ImP (s), t ≥ s,

(d)

U (s, t)| x ≤ N e−ν (t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s.

Định nghĩa 2.2.2. Cho ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ ER là hàm không âm. Hàm f : R × X → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i)

f (t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,

(ii)

f (t, x1 ) − f (t, x2 ) ≤ ϕ(t) x1 − x2 với t ∈ R và x1 , x2 ∈ X.

Trong phương trình (2.1), chúng ta thay t ∈ R+ bởi t ∈ R. Giả sử rằng họ
các toán tử tuyến tính A(t), t ∈ R, trên không gian Banach X sinh ra họ tiến
hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R và hàm phi tuyến f : R × X → X là
ϕ-Lipschitz. Khi đó, chúng tôi sẽ chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định
cho các nghiệm đủ tốt của phương trình (2.1), các nghiệm này là nghiệm của
phương trình tích phân
t

u(t) = U (t, s)u(s) +


(i) U = {(t, x + gt (x)) ∈ R × (X1 (t) ⊕ X0 (t)) | t ∈ R, x ∈ X1 (t)}, ký hiệu
Ut = {x + gt (x) : (t, x + gt (x)) ∈ U}.
(ii) Ut đồng phôi với X1 (t) với mọi t ∈ R,
(iii) mỗi x0 ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t0 ] thoả mãn u(t0 ) = x0 và ess supt≤t0 u(t) < ∞,
(iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn
u(t0 ) = x0 ∈ Ut0 và ess supt≤t0 u(t) < ∞ thì u(s) ∈ Us với mọi s ≤ t0 .
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 2.2.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
ϕ ∈ ER là hàm không âm. Cho f : R × X → X là ϕ-Lipschitz thoả mãn
k :=

(1 + H )N
(N1 Λ1 ϕ
1 − e−ν

∞

+ N2 Λ 1 ϕ

∞)

< 1.

(2.4)

Khi đó, mỗi v1 ∈ X1 (t0 ) có duy nhất nghiệm x(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t0 ] thoả mãn (I − P (t0 ))x(t0 ) = v1 và ess supt≤t0 x(t) < ∞. Hơn nữa,

Footer Page 15 of 258.


Header Page 16 of 258.

Để chỉ ra tính chất hút của đa tạp không ổn định chúng tôi đưa ra khái
niệm ( , ω )-phù hợp (suitable) của một hàm như sau.
Định nghĩa 2.2.6. Cho trước , ω > 0, một hàm g (·) được gọi là ( , ω )-phù
hợp (suitable) nếu tồn tại các hằng số dương µ, η sao cho ηeµ < và
t

g (τ )e

τ
s

g (u)du

dτ ≤ ηe(µ−ω)(t−s) .

s

Định lý 2.2.7. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ ER là hàm không âm thoả mãn
k < N1+1 , ở đây k được xác định bởi (2.4) và hàm N ϕ(·) là ( N , ω )-suitable với
ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá (U (t, s))t≥s . Khi đó, tồn tại đa tạp
không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa,
đa tạp này hút cấp mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3), tức
là nếu x(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (2.3) thì tồn tại các hằng số

tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup, với φ ∈ C thì φ C = supθ∈[−r,0] φ(θ) .
Cho hàm liên tục u : [−r, ∞) → X, với t ≥ 0, chúng ta có hàm trễ ut ∈ C được
xác định bởi ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0]. Khi họ toán tử (A(t))t≥0 sinh ra
họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f
để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến nhất của phần
phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến
hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ
bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ ) ≤ q φ − ψ C với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các
phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, trong đó
f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời
gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng
các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình
tương tác-khuyếch tán như vậy.

15
Footer Page 17 of 258.


Header Page 18 of 258.

3.1

Đa tạp ổn định của phương trình vi phân
hàm đạo hàm riêng

Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t) sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 . Để chứng
minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (3.1) chúng ta xét phương trình
tích phân




với mọi t ∈ R+ và φ1 , φ2 ∈ C.

Sau đây, chúng ta đưa ra định nghĩa đa tạp ổn định cho các nghiệm của
phương trình (3.2).
Định nghĩa 3.1.2. Tập S ⊂ R+ × C được gọi là đa tạp ổn định bất biến cho
các nghiệm của phương trình (3.2) nếu với mỗi t ∈ R+ không gian pha C được

16
Footer Page 18 of 258.


Header Page 19 of 258.

phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với các toán tử
chiếu P (t) (tức là X0 (t) = ImP (t) và X1 (t) = KerP (t)) sao cho

sup P (t) < ∞
t≥0

và tồn tại họ ánh xạ Lipschitz

Φt : X0 (t) → X1 (t),

t ∈ R+

với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) S = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R+ × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu
St := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ S},
(ii) St đồng phôi X0 (t) với mọi t ≥ 0,

.

(3.5)

Khi đó, nếu k < 1, với mỗi hàm φ ∈ ImP (s) có duy nhất nghiệm u(t) của
phương trình (3.2) trên [s − r, ∞) thoả mãn P (s)us = φ và supt≥s ut C < ∞.
17
Footer Page 19 of 258.


Header Page 20 of 258.

Hơn nữa, với hai nghiệm u(t), v (t) ứng với hai hàm ban đầu φ1 , φ2 ∈ ImP (s)
ta có ước lượng sau:
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t−s) φ1 (0) − φ2 (0)

với mọi t ≥ s ≥ 0,

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln 1 − N (1 + H )eνr (N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ
N eνr
.
Cµ :=
(1+H )eνr
+

3.2

Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng

Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá
(U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ trên R+ và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz.
Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định
cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Giả sử họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1,
Chương 2) với ba họ các toán tử chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và
các hằng số tam phân N, α, β > 0. Khi đó, chúng ta xây dựng các họ toán tử
chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau:

(Pj (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] và φ ∈ C.

(3.6)

Sau đây là kết quả chính của mục này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm
ổn định cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Định lý 3.2.1. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với các họ toán
tử chiếu tam phân (Pj (t))t≥0 , j = 1, 2, 3 và các hằng số tam phân N, α, β > 0.
18
Footer Page 20 of 258.


Header Page 21 of 258.

Giả sử rằng f : R+ × C → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ là hàm không âm và
thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥


C

≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) (P (s)φ1 )(0) − (P (s)φ2 )(0) với t ≥ s, (3.8)

trong đó µ và Cµ là các hằng số dương độc lập với s, u(·) và v (·).
(iii) S là bất biến với phương trình (3.2), tức là nếu u(t), t ≥ s − r, là nghiệm
của phương trình (3.2) thoả mãn các điều kiện sau: hàm e−γ (s+·) us (·) ∈ Ss
và supt≥s e−γ (t+·) ut (·) C < ∞ thì hàm e−γ (t+·) ut (·) ∈ St với mọi t ≥ s.

3.3

Đa tạp không ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng

Trong phần này, chúng ta xét phương trình (3.2) trên toàn đường thẳng, giả sử
các toán tử A(t), t ∈ R sinh ra họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ trên R.

19
Footer Page 21 of 258.


Header Page 22 of 258.

Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của đa
tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương trình


u(t) = U (t, s)u(s) + t U (t, ξ )f (ξ, uξ )dξ với t ≥ s,
s


t∈R

với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) U = {(t, ψ + Φt (ψ )) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t)) | t ∈ R, ψ ∈ X0 (t)}, ký hiệu
Ut := {ψ + Φt (ψ ) : (t, ψ + Φt (ψ )) ∈ U},
(ii) Ut đồng phôi với X0 (t) với mọi t ∈ R,

20
Footer Page 22 of 258.


Header Page 23 of 258.

(iii) mỗi t0 ∈ R và φ ∈ Ut0 có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.9)
trên (−∞, t0 ] thoả mãn ut0 = φ và supt≤t0 ut C < ∞. Hơn nữa, nếu u(t),
v (t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) tương ứng với các hàm ban đầu
φ1 , φ2 ∈ Ut0 thì các nghiệm này hút nhau cấp mũ, tức là tồn tại các hằng
số µ và Cµ độc lập với t0 sao cho
ut − vt

C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) (P (t0 )φ1 )(0) − (P (t0 )φ2 )(0) với t ≤ t0 ,

(iv) U là bất biến với phương trình (3.9), tức là nếu u(t), t ∈ R là nghiệm của
phương trình (3.9) thoả mãn ut0 ∈ Ut0 và supt≤t0 ut C < ∞ với t0 ∈ R
thì ut ∈ Ut với mọi t ∈ R.
Từ họ các toán tử chiếu nhị phân (P (t))t∈R ứng với họ tiến hoá nhị phân
mũ (U (t, s))t≥s , chúng ta xây dựng các toán tử (P (t))t∈R trên C như sau. Với


C

≤ Cµ e−µ(t0 −t) φ1 (0) − φ2 (0)
21

Footer Page 23 of 258.

với mọi t ≤ t0 ,


Header Page 24 of 258.

trong đó µ là hằng số dương thoả mãn

0 < µ < ν + ln (1 − N (1 + H )eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ
N eνr
.
Cµ :=
N (1+H )eνr (N1 +N2 ) Λ1 ϕ ∞
1−
1−e−(ν−µ)

∞)

và

Định lý 3.3.4. Cho họ tiến hoá (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được ER . Cho

Header Page 25 of 258.

KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng. Những kết quả chính luận
án đạt được là:
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp không ổn định có tính chất hút cấp
mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng, các nghiệm trên đa tạp hút nhau cấp mũ.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân hàm đạo hàm riêng.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của
phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng, đa tạp không ổn định có tính
chất hút cấp mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân hàm đạo
hàm riêng.
Luận án mở ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu:
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, tâm
ổn định, không ổn định cho phương trình vi phân hàm trung tính.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp quán tính cho phương trình vi phân
nửa tuyến tính với các toán tử tuyến tính không autonomous.
• Nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân thuộc lớp E cho phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng.

23
Footer Page 25 of 258.