ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Trịnh Viết Dược

ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu

Hà Nội - 2014


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong
luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án

Trịnh Viết Dược

i

1.3.1

Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá . . . . . . . . . . . .

13

1.3.2

Nhị phân mũ của họ tiến hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.4

Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định

. . . . . . . .

19

2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

NỬA TUYẾN TÍNH
2.1

22
Đa tạp tâm ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2


72

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN
ĐẾN LUẬN ÁN
73

TÀI LIỆU THAM KHẢO

74

1


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

N = {1, 2, . . . } là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thực
không âm.
Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu

Lp (I) =



{u : I → R : u

p


{u : I → R : u



X là không gian Banach.
E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+ .
ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R.
Cb (R+ , X) không gian các hàm liên tục, bị chặn, nhận giá trị trong X , xác định trên
R+ với chuẩn u ∞ = supt∈R+ u(t) .
Với r > 0, ký hiệu C = C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0],
nhận giá trị trong X với chuẩn u

C

= supt∈[−r,0] u(t) .

2


MỞ ĐẦU

Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính

du
= A(t)u + f (t, u),
dt

t ∈ I,

trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không
gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến.
Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của
nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân

khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó
liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron
tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên
hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.
Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc
nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp
này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với
các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Chúng ta có thể
xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn
đề này.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích
phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với
hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ C với q là hằng số đủ
nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các
quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số
Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem
[41, 42, 49]). Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp
nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến
khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của
phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận
được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết
quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là
[2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại
của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng. Đó là nội dung chính của luận án này.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án
bao gồm 3 chương


• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp
không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng

du
= A(t)u(t) + f (t, ut ),
dt

t ∈ I,

trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố
định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố định, chúng
ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được
trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))t∈I sinh ra họ tiến hoá có nhị phân
mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f để phương trình trên có
đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ nhỏ, tức là f (t, φ) − f (t, ψ) ≤ q φ − ψ

C

với q đủ nhỏ (xem [1, 40, 48] và tài liệu tham khảo trong đó). Tuy nhiên, đối với
các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, hàm f
biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hằng số Lipschitz có thể phụ
thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]).
Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có
thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Vì vậy, khi nghiên
5


cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm

Hà Nội, năm 2014
Nghiên cứu sinh

Trịnh Viết Dược

6


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian
hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng R+ (xem [25, 27, 36]). Sử dụng
một ít thay đổi, chúng ta thu được khái niệm và tính chất của không gian hàm Banach
chấp nhận được trên đường thẳng thực (xem [3] trong Danh mục công trình khoa học
của tác giả). Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn
định của phương trình vi phân nửa tuyến tính.

1.1

Không gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng

Định nghĩa 1.1.1. Một không gian vectơ E gồm các hàm thực đo được Borel trên

R+ được gọi là không gian hàm Banach trên (R+ , B, λ), trong đó B là đại số Borel và
λ là độ đo Lebesgue trên R+ , nếu
(1) (E, ·

E)

với mọi f ∈ E .

Bổ đề sau đây cho ta một tiêu chuẩn để kiểm tra xem một hàm liệu có thuộc không
gian hàm Banach E hay không.

7


Bổ đề 1.1.2. Cho không gian hàm Banach E, ϕ và ψ là các hàm thực đo được Borel
trên R+ sao cho hai hàm trùng nhau bên ngoài một đoạn compact và bị chặn cốt yếu
trong đoạn này. Khi đó, ϕ ∈ E khi và chỉ khi ψ ∈ E .
Chứng minh. Giả sử ϕ ∈ E và ϕ = ψ trên J = [a, b]. Do ψ bị chặn cốt yếu trên J
nên tồn tại M > 0 sao cho

λ({t ∈ J : |ψ(t)| > M }) = 0
Đặt A = {t ∈ J : |ψ(t)| > M } và B = J \ A. Do E là không gian hàm Banach nên

|ϕ| ∈ E và χB ∈ E . Bởi vậy, |ϕ|+χB ∈ E . Ngoài ra ta có, |ψ| ≤ |ϕ|+M χB (λ-h.k.n),
suy ra ψ ∈ E .
Định nghĩa 1.1.3. Không gian hàm Banach E được gọi là chấp nhận được nếu nó
thoả mãn
(i) Tồn tại hằng số M ≥ 1 sao cho
b

|ϕ(t)|dt ≤
a

M (b − a)
ϕ
χ[a,b] E

t+1

với chuẩn f M := supt≥0 t |f (τ )|dτ là các không gian hàm Banach chấp nhận
được. Ngoài ra, một số các không gian hàm trong lý thuyết nội suy như không gian
Lorentz Lp, q với 1 < p < ∞, 1 < q < ∞ cũng là không gian hàm Banach chấp nhận
được.
8


TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Anh
[1] B. Aulbach, N.V. Minh (1996), "Nonlinear semigroups and the existence and stability of semilinear nonautonomous evolution equations", Abstr. Appl. Anal., 1,
pp. 351 - 380.
[2] C.T. Anh, L.V. Hieu, N.T. Huy (2013), "Inertial manifolds for a class of nonautonomous semilinear parabolic equations with finite delay", Discrete and continuous Dyn. Systems, 33, pp. 483-503.
[3] L. Barreira, C. Valls (2005), "Center manifolds for nonuniformly partially hyperbolic diffeomorphisms", J. Math. Pures Appl., 84, pp. 1693-1715.
[4] L. Barreira, C. Valls (2005), "Smoothness of invariant manifolds for nonautonomous equations", Comm. Math. Phys., 259, pp. 639-677.
[5] L. Barreira, C. Valls (2005), "Higher regularity of invariant manifolds for nonautonomous equations", Nonlinearity, 18, pp. 2373-2390.
[6] L. Barreira, C. Valls (2006), "Stable manifolds for nonautonomous equations without exponential dichotomy", J. Differential Equations, 221, pp. 58-90.
[7] L. Barreira, C. Valls (2006), "Smooth invariant manifolds in Banach spaces with
nonuniform exponential dichotomy", J. Funct. Anal., 238, pp. 118-148.
[8] L. Barreira, C. Valls (2007), "Smooth center manifolds for nonuniformly partially
hyperbolic trajectories", J. Differential Equations, 237, pp. 307-342.
[9] P. Bates, C. Jones (1989), "Invariant manifolds for semilinear partial differential
equations", Dyn. Rep., 2, pp. 1 - 38.
[10] A. Ben-Artzi, I. Gohberg (1992), "Dichotomies of systems and invertibility of
linear ordinary differential operators", Oper. Theory Adv. Appl., 56, pp. 90-119.
74



[26] N.T. Huy (2009), "Invariant manifolds of admissible classes for semi-linear evolution equations", J. Differential Equations, 246, pp. 1820-1844.
[27] N.T. Huy (2006), "Exponential dichotomy of evolution equations and admissibility
of function spaces on a half-line", J. Funct. Anal., 235, pp. 330 - 354.
[28] N.T. Huy (2004), "Exponentially dichotomous operators and exponential dichotomy of evolution equations on the half-line", Integral Equations and Operator
Theory, 48, pp. 497-510.
[29] N.T. Huy (2004), "Resolvents of operators and partial functional differential equations with non-autonomous past", J. Math. Anal. Appl., 289, pp. 301-316.
[30] N.T. Huy, P.V. Bang (2012), "Hyperbolicity of solution semigroups for linear
neutral differential equations", Semigroup Forum, 84, pp. 216–228.
[31] N.T. Huy, N.V. Minh (2001), "Exponential dichotomy of difference equations and
application to evolution equations on the half-line", Computer and Mathematics
with Appl., 42, pp. 301-311.
[32] N.T. Huy, R. Nagel (2012), "Exponentially dichotomous generators of evolution
bisemigroups on admissible function spaces", Houston J. Math., 2, pp. 549-569.
[33] B.M. Levitan, V.V. Zhikov (1978), Almost Periodic Functions and Differential
Equations, Moscow Univ. Publ. House, English tranl. by Cambrige University
Press, 1982.
[34] J. Mallet-Paret, G.R. Sell (1988), "Inertial manifolds for reaction–diffusion equations in higher space dimensions", J. Amer. Math. Soc., 1, pp. 805-866.
[35] R. Martin (1976), Nonlinear Operators and Differential Equations in Banach
Spaces, Wiley Interscience, New York.
[36] J.J. Massera, J.J. Sch¨affer (1966), Linear Differential Equations and Function
Spaces, Academic Press, New York.
[37] M. Miklavcic (1991), "A sharp condition for existence of an inertial manifold", J.
Dyn. Diff. Eq., 3, pp. 437-456.

76


[38] N.V. Minh, N.T. Huy (2001), "Characterizations of dichotomies of evolution equations on the half-line", J. Math. Anal. Appl., 261, pp. 28-44.
[39] N.V. Minh, F. R¨abiger, R. Schnaubelt (1998), "Exponential stability, exponential
expansiveness and exponential dichotomy of evolution equations on the half line",

[52] J. Hadamard (1923), "Sur l’intération et les solutions asymptotiques des equations
différentielles", Bull. Soc. Math. France, 29, pp. 224-228.

78