BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
PHẠM THỊ TRANG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG
NAVIER-STOKES
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
HÀ NỘI - 2015
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
——————– * ———————
PHẠM THỊ TRANG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA MỘT SỐ HỆ PH ƯƠNG TRÌNH DẠNG
NAVIER-STOKES
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62 46 01 03
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. Cung Thế Anh
HÀ NỘI - 2015
1
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết
chung với các tác giả khác, đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi
đưa vào luận án.
NCS. Phạm Thị Trang
2
LỜI CẢM ƠN
Luận án này được thực hiện tại Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin,

LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4. PHƯƠNG PHÁP NGHI ÊN CỨU . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC C HU ẨN BỊ 18
1.1. CÁC KHÔNG GIAN HÀM, TOÁN TỬ VÀ BẤT ĐẲNG THỨC
LIÊN QUAN ĐẾN SỐ HẠNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . 18
1.1.1. Các không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.1.2. Các toán tử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.1.3. Các bất đẳng thức liên quan đến số hạng phi tuyến . . 21
1.2. TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3. MỘT SỐ KẾT QUẢ THƯỜNG DÙNG . . . . . . . . . . . . . 26
4
1.3.1. Một số bất đẳng thức thường dùng . . . . . . . . . . . . 26
1.3.2. Một số bổ đề và định lí quan trọng . . . . . . . . . . . . 29
Chương 2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER-STOKES-VOIGT . 31
2.1. ĐẶT BÀI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2. SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT CỦA NGHIỆM YẾU . . . . . . 33
2.3. SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.4. ĐÁNH GIÁ SỐ CHIỀU FRACTAL CỦA TẬP HÚT LÙI . . . 47
2.5. MỐI QUAN HỆ GIỮA TẬP HÚT LÙI VỚI TẬP HÚT ĐỀU
VÀ TẬP HÚT TOÀN CỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.5.1. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút toàn cục . . . . 56
2.5.2. Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều . . . . . . 57
2.6. TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT LÙI . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.6.1. Tính bị chặn của tập hút lùi trong (H
2
(Ω))
2
. . . . . . 60


không gian đối ngẫu của không gian V
(·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H
((·, ·)),  ·  tích vô hướng và chuẩn trong không gian V
·
∗
chuẩn trong không gian V

·, · đối ngẫu giữa V và V

|·|
p
chuẩn trong không gian L
p
(Ω), với 1 ≤ p ≤ ∞
Id ánh xạ đồng nhất
A, A
s
, B các toán tử dùng đ ể nghiên cứu hệ Navier-Stokes,
Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer
(xin xem chi tiết ở tr. 20, 21)
D(A
s
) miền xác định của toán tử A
s
 hội tụ yếu
Y
X
bao đóng của Y trong X
P(X) họ các tập con bị chặn của X

cần tìm, ν = const > 0 là hệ số nhớt và g là hàm ngoại lực.
Hệ phương trình Navier-Stokes đưa ra lần đầu tiên năm 1822, và được bắt
đầu nghiên cứu mạnh từ nửa đầu thế kỉ XX với các công trình nền móng
của Leray (1934) và Hopf (1951). Sau gần một thế kỉ phát triển, lí thuyết hệ
phương trình Navier-Stokes đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc (xem, chẳng
8
hạn, các cuốn chuyên khảo [14, 47, 48] và cá c bài tổng quan [4, 50]). Tuy
nhiên, vẫn còn rất nhiều câu hỏi mở chưa được giải quyết, trong đó nổi bật là
tính duy nhất của nghiệm yếu và sự tồn tại toàn cục của nghiệm mạnh của hệ
Navier-Stokes ba chiều. Những nỗ lực giải quyết bài toán này đã làm phát sinh
nhiều hướng nghiên cứu mới thú vị. Một trong số đó là nghiên cứu các biến
dạng của hệ phương trình Navier-Stokes. Những hệ như vậy xuất hiện khi mô
tả chuyển động của các chất lưu trong các điều kiện vật lí nhất định, chẳng
hạn hệ Navier-Stokes-Voigt (trong một số tài liệu viết là Voight) xuất hiện khi
nghiên cứu chuyển động của chất lỏng nhớt đàn hồi [38], hệ Navier-Stokes với
số hạng tắt dần [6], hệ Brinkman-Forchheimer đối lưu xuất hiện khi nghiên
cứu các dòng chất lưu trong các tầng xốp bão hòa [33], hệ g-Navier-Stokes hai
chiều xuất hiện khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes trong miền mỏng [43], các
α-mô hình trong cơ học chất lỏng [16, 23, 25], hệ chất lưu loại hai xuất hiện
khi nghiên cứu chất lỏng không Newton [39], hệ mô tả chuyển động của chất
lưu với áp s uấ t phụ thuộ c độ nhớt [5], Đây là một hướng nghiên cứu mới
và rất thời sự, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới
trong những năm gần đây, do ý nghĩa và tầm quan trọng của chúng, cũng như
những khó khăn thách thức về mặt toán học đặt ra khi nghiên cứu. Tuy nhiên
theo hiểu biết của chúng tôi, những kết quả đạt được về sự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của các hệ trên chủ yếu mới dừng lại ở trường hợp ngoại
lực không phụ thuộc thời gian (trường hợp ôtônôm) và miền xé t phương trình
là bị chặn (xin xem thêm phần Tổng quan vấn đề nghiên cứu dưới đây). Việc
phát triển những kết quả này cho trường hợp không ôtônôm và trong miền
không bị chặn là những vấn đề lí thú, có nhiều ý nghĩa thực tiễn, nhưng khó

không ôtônôm dẫn đến sự ra đời của tập hút đều. Tuy nhiên, lí thuyết tập hút
đều chỉ giải quyết được một lớp nhỏ các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian
(thường phải giả thiết các hàm ngoại lực f là bị chặn tịnh tiến), không đảm
10
bảo tính chất bất biến của tập hút toàn cục, và nói chung tập hút đều không
thỏa mãn nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là thường có số chiều fractal
bằng vô cùng). Hơn nữa, mặc dù biến thời gian xuất hiện tường minh trong
phương trình, tập hút đều không phụ thuộc vào biến thời gian.
Để khắc phục các hạn chế trên, lí thuyết tập hút lùi ra đời. Tập hút lùi
xuất hiện khi ta cố định thời điểm cuối t và xét dáng điệu tiệm cận nghiệm
của hệ khi thời điểm đầu τ → −∞; được định nghĩa là một họ c ác tập phụ
thuộc vào thời gian, compact, bất biến, hút họ các tập trong một không gian
nhất định (ví dụ họ các tập bị chặn trong không gian pha). Các tính chất này
là sự mở rộng một cách tự nhiên các tính chất của tập hút toàn cục trong
trường hợp ôtônôm. Ta cũng thường chứng minh được t ập hút lùi thỏa mãn
nguyên lí rút gọn hữu hạn chiều (tức là có số chiều fractal hữu hạn), một tính
chất rất quan trọng khi nghiên cứu các hệ động lực vô hạn chiều. Hơn nữa, so
với các lí thuyết tập hút khác, lí thuyết tập hút lùi ra đời muộn hơn và hiện
nay vẫn đang là vấn đề rất thời sự. Lí thuyết tập hút lùi cũng giải quyết đ ư ợc
cho một lớp rộng hơn các hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian so với tập hút
đều, cho phép xử lí các phương trình đạo hàm riêng với đuôi ngẫu nhiên (với
một chút điều chỉnh nhỏ để trở thành lí thuyết tập hút ngẫu nhiên), một lớp
phương trình rất rộng lớn và quan trọng. Xin xem thêm cuốn chuyên khảo gần
đây [10] về ý nghĩa cũng như mối quan hệ giữa tập hút lùi với các loại tập hút
khác như tập hút toàn cục và tập hút đều.
Chính vì vậy, việc nghiên cứu dáng diệu tiệm cận nghiệm của những hệ
phương trình trong cơ học chất lỏng, nói riêng là những hệ phương trình dạng
Navier-Stokes, thông qua việc chứng minh sự tồn tại nghiệm, sự tồn tại và các
tính chất của tập hút lùi là một trong những vấn đề thời sự hiện nay, thu hút
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới.

được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Khi ngoại lực g không
phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại và duy nhất nghiệm được chứng minh
lần đầu tiên bởi A.P. Oskolkov trong [38]. Sau đó, V.K. Kalantarov đã chứng
minh sự tồn tại và đánh giá số chiều của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh
bởi hệ này [28, 29]. Gần đây, trong các công trình [31, 32], V.K. Kalantarov
và E.S. Titi đã phát triển kết quả trên, chứng minh đư ợc tính determining
modes và tính chính qui Gevrey của t ập hút toàn cục. Trong trường hợp ngoại
lực g phụ thuộc vào biến thời gian, sự tồn tại tập hút đều của quá trình sinh
bởi hệ (1) đượ c chứng minh gần đây trong [15, 40, 51] khi ngoại lực là hàm
bị chặn tịnh tiế n, và sự tồn tại tập hút lùi của hệ (1) được chứng minh trong
[19]. Tuy nhiên, tất cả các kết quả nhận được ở trên đối với hệ phương trình
Navier-Stokes-Voigt ba chiều là ở trong miền bị chặn. Theo hiểu biết của chúng
tôi, chỉ có công trình [11] là xét hệ Navier-Stokes-Voigt hai chiều trong miền
12
không bị chặn với ngoại lực không phụ thuộ c thời gian (trường hợp ôtônôm)
và chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh bởi hệ.
Vì vậy, còn nhiều vấn đề mở cần đượ c nghiên cứu liên quan đến hệ Navier-
Stokes-Voigt ba chiều, nói riêng những vấn đề chúng tôi quan tâm nghiên cứu
trong luận án này là:
• Nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận của nghiệm (thông qua
sự tồn tại tập hút lùi) trong trường hợp ba chiều khi ngoại lực g phụ
thuộc vào biến thời gian t (trường hợp không ôtônôm), và miền xét
phương trình không nhất thiết bị chặn (nhưng t hỏa mãn bất đẳng thức
Poincaré).
• Nghiên cứu tính trơn của tập hút lùi.
• Nghiên cứu tính nửa liê n tục trên tại α = 0 của tập hút lùi trong trường
hợp hai chiều, tứ c là so sánh tập hút của hệ Navier-Stokes-Voigt với tập
hút của hệ Navier-Stokes giới hạn tương ứng. Ở đây chỉ xét được trường
hợp hai chiều vì tính đặt đúng toàn cục của hệ Navier-Stokes ba chiều
vẫn là vấn đề mở rất lớn.

nghiệm và dáng điệu tiệm cận nghiệm của lớp phương trình này, nói riêng là
sự tồn tại tập hút toàn cục hoặc tập hút đều, xin xem các công trình gần đây
[6, 7, 26, 33, 45, 46, 52].
Hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer nhận được khi cả hai
số hạng −α
2
∆u
t
và số hạng tắt dần f(x, u), chẳng hạn f(x, u) = |u|
r−1
u, cùng
xuất hiện trong hệ Navier-Stokes cổ điển, mô tả chuyển động của các chất lỏng
loại Kelvin-Voigt, nhớt, đàn hồi, không nén được trong môi trường có lực cản.
Mô hình này được đề cập đến lần đầu tiên trong một báo cáo hội nghị của
V.K. Kalantarov năm 2010 (xem [30]) và có dạng như sau
















2
∆u
t
và miền được
xét là không bị chặn như khi nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, sự xuất hiện
của số hạng tắt dần f(x, u) cũng làm việc nghiên cứu hệ (2) trở nên phức tạp
hơn. Lúc này, trong hệ phương trình xuất hiện cùng lúc hai số hạng phi tuyến
(u · ∇)u và f(x, u) cần xử lí, đòi hỏi chúng ta phải kết hợp khéo léo các kĩ
thuật đánh giá, cũng như phải lựa chọn các dạng bổ đề compact phù hợp.
Đối với lớp hệ này, mục đích của chúng tôi là nghiên cứu s ự tồn tại và dáng
điệu tiệm cận nghiệm của hệ với một lớp số hạng phi tuyến f(x, u) khá rộng
và hàm ngoại lực phụ thuộc thời gian, trong miền không nhất thiết bị chặn
mà chỉ cần thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré; đưa ra lời giải cho vấn đề mở
được đặt ra bởi V.K. Kalantarov trong [30].
Từ những phân tích ở trên, chúng tôi chọn vấn đề nghiên cứu sự tồn tại và
dáng điệu tiệm cận nghiệm (thông qua sự tồn tại tập hút lùi) của hệ Navier-
Stokes-Voigt và hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Fo rchheimer trong trường hợp miền
xét phương trình (không nhất thiết bị chặn) thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré
và ngoại lực có thể phụ thuộc thời gian (trường hợp không ôtônôm), làm đề
tài nghiên cứu của luận án "Dáng điệu tiệm cận nghiệm của một số hệ
phương trình dạng Navier-Stokes".
3. MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU CỦA LUẬN
ÁN
• Mục đích của luận án là nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận
nghiệm (thông qua sự tồn tại của tập hút lùi, tính ổn định của nghiệm
dừng) của một số hệ phương trình dạng Navier-Stokes xuất hiện trong cơ
học chất lỏng trong trường hợp không ôtônôm và miền xét phương trình
thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, cụ thể là hệ phương trình Navier-
Stokes-Voigt và hệ phương trình Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer.
15

của quá trình, một điều kiện cần thiết cho sự tồn tại tập hút, chúng tôi sử
dụng phương pháp phương trình năng lượng của J.M. Ball (cho nghiệm
yếu), phương trình enstrophy (cho nghiệm mạnh). Để chứng minh tập
hút lùi có số chiều fractal hữu hạn, chúng tôi phát triển phương pháp
chứng minh được đưa ra bởi O.A. Ladyzhenskaya. Để chứng minh tính
trơn của tập hút, chúng tôi sử dụng phương pháp được phát triển bởi O.
Goubet và R. Rosa [21, 22], cụ thể là phương pháp phân tách nghiệm và
sử dụng phương trình năng lượng cho u
t
.
Khi ngoại lực g “nhỏ” và không phụ thuộc thời gian, chúng tôi nghiên
cứu sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm dừng và chứng minh nghiệm
của hệ dần đến nghiệm dừng duy nhất này khi thời gian t ra vô cùng.
5. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN
Luận án đã đ ạt được những kết quả chính sau đây:
• Đối với hệ Navier-Stokes-Voigt không ôtônôm: Chứng minh được sự tồn
tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Navier-Stokes-Voigt không
ôtônôm. Chứng minh được sự tồn tại và đánh giá số chiều fractal của
tập hút lùi; tính trơn của tập hút lùi, tính nửa liên tục trên của tập hút
lùi trong trường hợp 2 chiều. Đây là nội dung của Chương 2.
• Đối với hệ Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm: Chứ ng
minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu đối với bài toán Kelvin-
Voigt-Brinkman-Forchheimer không ôtônôm. Chứng minh được sự tồn
17
tại của tập hút lùi và sự tồn tại, tính ổn định của nghiệm dừng. Đây là
nội dung của Chương 3.
Các kết quả của luận án là mới, có ý nghĩa khoa học, và góp phần vào
việc hoàn thiện việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ phương
trình dạng Navier-Stokes trong cơ học chất lỏng.
Các kết quả chính của luận án đã được công bố trong 02 bài báo trên các

∞
(Ω) là tập các hàm đo được sao cho esssup
Ω
|u(x)| < +∞. Chúng là các
không gian Banach với chuẩn
u
L
p
=


Ω
|u(x)|
p
dx

1/p
;
u
L
∞
= esssup
Ω
|u(x)|.
Đặc biệt, khi p = 2, L
2
(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng
(u, v) =

Ω

L
p


1/p
.
Ta thường viết tắt W
m,2
(Ω) = H
m
(Ω), đây là không g ian Hilbert với tích vô
hướng
((u, v))
H
m
=

|j|≤m
(D
j
u, D
j
v).
H
m
0
(Ω) là bao đóng của không gian C
∞
0
(Ω) trong H

Khi Ω là miền thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré, ta xét tích vô hướng và
chuẩn tương ứng trong H
1
0
(Ω) = (H
1
0
(Ω))
n
như sau
((u, v)) =

Ω
n

j=1
∇u
j
· ∇v
j
dx, u = (u
1
, . . . , u
n
), v = (v
1
, . . . , v
n
) ∈ H
1

. Các không gian trên đều là không gian Hilbert.
Bây giờ ta định nghĩa các không gian hàm phụ thuộc thời gian.
Giả sử X là không gian Banach thực với chuẩn  · 
X
và không gian đối
ngẫu của nó được kí hiệu là X

.
Định nghĩa 1.1. Không gian L
p
(0, T ; X), 1 ≤ p ≤ +∞, gồm tất cả các hàm
20
đo được ϕ : [0, T ] → X với chuẩn
i)ϕ
L
p
(0,T ;X)
:=


T
0
ϕ(s)
p
X
ds

1/p
< +∞ với 1 ≤ p < ∞,
ii)ϕ

loc
(R; X) là không gian các hàm ϕ(s), s ∈ R với giá trị
trong X, khả tích địa phươ ng bậc p (theo nghĩa Bochner), tức là,

t
2
t
1
ϕ(s)
p
X
ds < +∞, với mọi t
1
, t
2
∈ R, t
1
≤ t
2
.
1.1.2. Các toán tử
Ta định nghĩa các toán tử liên quan đến các hệ phương trình được xét trong
luận án như sau.
Giả sử Ω là một miền trong R
n
thỏa mãn bất đẳng thức Poincaré với biên
trơn.
Đặt A : V → V

là toán tử xác định bởi Au, v = ((u, v)). Tập xác định

:= D(A
s/2
) với tích vô hướng (u, v)
s
= (A
s/2
u, A
s/2
v) và chuẩn tương ứng
là u
s
= |A
s/2
u|. Khi đó, V
s
⊂ (H
s
(Ω))
n
và V
1
= V , V
0
= H.
Đặt B : V ×V → V

là toán tử xác định bởi B(u, v), w = b(u, v, w), trong
đó
b(u, v, w) =
n

u
L
4
≤





c|u|
1/2
|∇u|
1/2
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω), nếu n = 2,
c|u|
1/4
|∇u|
3/4
, ∀u ∈ H
1
0
(Ω), nếu n = 3.
Bất đẳng thức Sobolev (khi n = 2) (xem, chẳng hạn [47]):
u
L
q
≤ Cu ∀u ∈ V ; 1 ≤ q < +∞.






c|u|
1/2
u
1/2
v|w|
1/2
w
1/2
, ∀u, v, w ∈ V,
c|u|
1/2
u
1/2
v
1/2
|Av|
1/2
|w|, ∀u ∈ V, v ∈ D(A), w ∈ H,
c|u|
1/2
|Au|
1/2
v|w|, ∀u ∈ D(A), v ∈ V, w ∈ H,
c|u|v|w|
1/2

1/4
w
3/4
,
c|u|
1/2
u
1/2
vw,
cuv|w|
1/2
w
1/2
,
cuvw,
∀u, v, w ∈ V. (1.6)
Đặc biệt,
|b(u, v, u)| ≤



√
2|u|uv nếu n = 2,
2
−1
|u|
1/2
u
3/2
v nếu n = 3,

ˆ
D ∈ D, bất kì dãy τ
n
→ −∞, và bất kì dãy x
n
∈ D(τ
n
),
dãy {U (t, τ
n
)x
n
} là compact tương đối trong X.
Định nghĩa 1.7. Họ các tập bị chặn
ˆ
B ∈ D gọi là D-hấp thụ lùi đối với quá
trình U (t, τ) nếu với bất kì t ∈ R, bất kì
ˆ
D ∈ D, tồn tại τ
0
= τ
0
(
ˆ
D, t) ≤ t s ao
cho

τ≤τ
0
U(t, τ)D(τ) ⊂ B(t).