Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LƯU THỊ MINH TÂM
NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN PHỨC
L
L
U
U

T
T
O
O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C Thái Nguyên - năm 2010
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

V
V
Ă
Ă
N
NT
T
H
H
Ạ
Ạ
C
CS
S
Ĩ
ĨT
T
O
O

Thái Nguyên - Năm 2010
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

1
Mở Đầu

Lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna đ-ợc đánh giá là một trong
những thành tựu sâu sắc của toán học trong thế kỷ hai m-ơi. Đ-ợc hình thành từ
những năm đầu của thế kỷ, lý thuyết Nevanlinna có nguồn gốc từ những công
trình của Hadamard, Borel và ngày càng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học.
Vào năm 1925, Nevanlinna đã phát triển lý thuyết phân phối giá trị với xuất
phát điểm là công thức nổi tiếng Jensen. Lý thuyết có nội dung chủ yếu là định lý
cơ bản thứ nhất, định lý cơ bản thứ 2 và quan hệ số khuyết.
Nội dung luận văn gồm hai ch-ơng:
Ch-ơng I: Trình bày cơ sở lý thuyết phân phối giá trị của Nevanlinna.
Ch-ơng II: Trình bày một số kết quả về nghiệm toàn cục của ph-ơng trình
vi phân phức dựa trên bài báo nghiệm toàn cục của một số lớp ph-ơng trình vi
phân phức của tác giả Ping Li.
Kết quả của luận văn:
Cho P(f) là đa thức vi phân đối với f và nó có đạo hàm ( với hàm nhỏ của f
coi nh- là hệ số) có bậc không lớn hơn n - 1 , p
1
, p
2
là 2 hàm nhỏ của
z
e
và
12


Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010
Học viên
L-u Thị Minh Tâm
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

3
Ch-ơng I
Cơ sở lý thuyết Nevanlinna

1.1. Hàm phân hình
1.1.1.Định nghĩa: Điểm a đ-ợc gọi là điểm bất th-ờng cô lập của hàm f(z)
nếu hàm f(z) chỉnh hình trong một lân cận nào đó của a, trừ ra tại chính điểm đó.
1.1.2. Định nghĩa: Điểm bất th-ờng cô lập z = a của hàm f(z) đ-ợc gọi là
cực điểm của f(z) nếu

lim
za
0
1
m
f z h z
zz


, trong đó h(z) là hàm chỉnh hình trong
lân cận của z
0
và

0
0hz
.
1.1.6. Tính chất: Nếu f(z) là hàm phân hình trên D thì f(z) cũng là hàm
phân hình trên D. Hàm f(z) và f(z) cũng có các cực điểm tại những điểm nh-
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

4
nhau. Đồng thời, nếu z
0
là cực điểm cấp m>0 của hàm f(z) thì z
0
là cực điểm cấp
m+1 của hàm f(z).
*Nhận xét: Hàm f(z) không có quá đếm đ-ợc các cực điểm trên D.
1.1.7. Tính chất: Cho hàm f(z) chỉnh hình trong

thì: 2
22
22
0
22
11
1
log log Re
22
log log .
i
MN
v
v
v
Rr
f z f d
R Rrcos r
R z a
R z b
R a z R b z




22
i
Rr
f z f d
R Rrcos r








(1.1a)
+ Tr-ớc hết ta chứng minh công thức đúng tại z = 0, nghĩa là cần chứng
minh:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

5
2
0
1
log 0 log Re .
2
i
f f d


2
0
1
log 0 log Re .
2
i
f f d







+ Với z tùy ý, chúng ta xét ánh xạ bảo giác biến
R


thành
1


và biến
z


thành 2
2
log log log log log .
Rz
R z R z
Rz







Nên
2
2
2
2
.
R z d
d d zd
z
Rz



(2*)
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

6
Mặt khác


2
2
11
log log .
22
RR
zd d
ff
R
ii
Rz
z










là hàm chỉnh hình. Nh- vậy tích phân trong
vế phải của (3*) bằng 0. Kết hợp với (1*) và (2*) ta có:


2
2
2
1
log log .
2
R
R z d
f z f
i
R z z










(1.2)
Hơn nữa, trên








Kết hợp với (1.2) ta thu đ-ợc: 22
2
22
0
1
log log Re .
22
i
R r d
f z f
R Rrcos r







Đây là điều cần phải chứng minh.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

7
* Tr-ờng hợp 2: Hàm f(z) không có không điểm và cực điểm bên trong zR
, nh-ng có hữu hạn không điểm và cực điểm c
j
trên biên
R


. Với
0


nhỏ tùy ý, ta đặt:
.
jj
D z R U c



Gọi
D

zD
. Khi đó:

2
2
2
1
log log
2
D
R z d
f z f
i
R z z









(1.2a)
Giả sử z
0
là một không điểm hay cực điểm của f(z) trên

1
log logf z O





khi
0


.
Nh- vậy:

11
log . . ,
2
OM











trong đó M là một đại l-ợng bị chặn. Ta thấy
2
1
2
1
1
..
N
v
M
v
v
Rb
f
R a R b
Ra





















và


2
1,
vv
v
v
R b R b
Rb
b








nên

f


f
R Rrcos r

















(1.5)
Mặt khác:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

9













Thay

log z

vào (1.5) ta thu đ-ợc kết quả.
*ý nghĩa: Công thức Poisson-Jensen chỉ ra rằng, nếu biết giá trị của
modulus f(z) trên biên, các cực điểm, không điểm của hàm f(z) trong
zR
, thì
ta có thể tìm đ-ợc giá trị của modulus f(z) bên trong đĩa
zR
.
Khi z = 0 ta đ-ợc hệ quả quan trọng hay đ-ợc sử dụng về sau:
* Hệ quả: Trong những giả thiết của định lý, đồng thời nếu

0,fz

thì khi z = 0 trong định lý (1.2.1) ta thu đ-ợc công thức Jensen.

0,fz
công thức trên đây chỉ cần thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu

0,fz
hàm f(z) có khai triển tại lân cận z = 0 dạng:


...,
x
f z c z Z




Xét hàm R f z
z
z




ta thấy

0 0,


, đồng thời khi






S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

10
Nhận xét:
Giả sử f(z) là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi cấp của
hàm f(z) tại điểm
0
zG
, ký hiệu
0
z
ord f
, là số nguyên m sao cho hàm
0
m
fz
gz
zz


chỉnh hình và khác 0 tại z
0

Rz
f z f d ord f
Rz
z















,
trong đó tổng lấy theo mọi

trong hình tròn

R


.
1.2.2. Hàm đặc tr-ng
1.2.2.1. Một số khái niệm



ta đặt:
2
0
1
, log Re .
2
i
m R f f d







(1.7)
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

11
Hàm m(R,f) đ-ợc gọi là hàm xấp xỉ.
Gọi r
1
,r
2
,.,r

, cực điểm bậc q
đ-ợc đếm q lần.
Thật vậy, tr-ớc hết bằng ph-ơng pháp tích phân từng phần ta có:


0
0 0 0
log , log . , , log ,
R
R R R
R R R dt
dn t f n t f n t f d n t f
t t t t


, (a)
mặt khác không mất tính tổng quát ta giả sử
12
0 ...
N
r r r R
.
Khi đó:

12
1
00
, , , ... , ,
N
rr









nên
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

12

12
1
12
1
23
12
00
0
2 1 3 2
12
1
, , , ... ,
0. 1. ... .
log 2log ... log






2
1
og log ... log log
log ;
N
N
v
v
R r R r
R
r




(b)
từ (a) và (b) ta đ-ợc (1.8).
Bây giờ ta định nghĩa hàm đếm N(R,f). Giả sử n(t,f) là số cực điểm của hàm
f(z) trong hình tròn
zt
; r
1
,r
2
, r

0
, log , .
R
N
v
v
R dt
N R f n t f
bt




(1.9)

1
0
11
, log , .
R
N
R dt
N R n t
f a f t








, , , .T R f m R f N R f
(1.11)
Khi đó công thức Jensen đ-ợc viết lại một cách rất đơn giản là:


1
, , log 0 .T R f T R f
f




(1.12)
Giá trị

,m R f
là hàm xấp xỉ độ lớn trung bình của

log fz
trên
zR

trong đó
f
là lớn. Giá trị

,N R f
có quan hệ với cực điểm. Hàm





và

1,...,
11
log log log log .
pp
v v v
vp
vv
a p max a a p






áp dụng các bất đẳng thức trên cho hàm phân hình

1
,...,
p
f z f z
và sử
dụng (1.7) chúng ta thu đ-ợc các bất đẳng thức sau:
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

14








3)


11
, , .
pp
vv
vv
N r f z N r f z







4)


1
1
, , .
p


6)


1
1
, , .
p
p
vv
v
v
T r f z T r f z









Trong tr-ờng hợp đặc biệt khi

12
2, ,p f z f z f z a
= constant, ta
suy ra

, , log log2T r f a T r f a

, log log2.a R a




Ta th-ờng dùng định lý cơ bản thứ nhất d-ới dạng:


11
, , , 1 ,m R N R T R f O
f a f a






trong đó O(1) là đại l-ợng giới nội khi
r
.
Chứng minh:
Theo (1.11) và (1.12) ta có:

1 1 1
, , , , log 0 .m R N R T R T R f a f a
f a f a f a







. Định lý đ-ợc chứng minh xong.
*ý nghĩa:
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna, ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ bản thứ
nhất. Hàm đếm
1
,NR
fa




đ-ợc cho bởi công thức:

1
1
, log
M
R
NR
fa
a


















Nh- vậy, nếu f nhận cng nhiều giá trị gần a ( tức l

Re
i
fa


nhỏ, thì
hàm m càng lớn. Có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất là hàm
đo độ lớn của tập nghiệm phương trình

f z a
v độ lớn tập hợp tại đó f(z)
nhận giá trị gần bằng a. Trong khi đó, vế phải của đẳng thức trong định lý cơ bản
có thể xem là không phụ thuộc a ( sai khác một đại l-ợng giới nội). Vì thế, định
lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng, hàm phân hình f(z) nhận mỗi giá trị a ( và giá
trị gần a ) một số lần như nhau. Đây l một tương tự của định lý cơ bn của
đại số. Hàm đặc tr-ng Nevanlinna, về ý nghĩa nào đó, có thể xem nh- đặc tr-ng
cho cấp tăng của một hm phân hình.
Nhận xét:


f z a
trong
zR
. Với mỗi giá trị của a, tổng của
hai số hạng này có thể xem là không phụ thuộc vào a.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

17
1.2.3.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét hàm hữu tỷ ...
...
p
p
q
q
za
f z c
zb



, trong đó
0c
.
Giả sử p > q. Khi đó


và

, log 1 ,N r a p r O


, 1 ,m r a O
với
a
.
Nếu p < q,

, log 1 ,T r f q r O
, log 1 ,N r a q r O


, 1 ,m r a O
với
0a
.
Nếu p = q,

, log 1 ,N r f q r O


, log 1 ,N r a q r O




tại

với
0 d


, thì


, log 1 ,m r a r O




, log 1 .N r a d a r O

Ví dụ 2: Xét hàm cos sin
,
ri
z
f z e e



với
i


,

cos
log ,
22
3
0,
22
r
e















,
=
cos ,
22

m f a f re d r d











Do hàm
z
e
không có không điểm trong
zr
nên N(r, f) = 0,
nh- vậy,

, , , .
r
T r f m r N r


Do đó

,
r
T r f

Nh- vËy:
 
   
, , ... , . , log
pp
pp
aa
az az
T r f T r e T r e pT r e e


   



,
=
 
 
. , 1
p
az
pT r e O
.
TÝnh
 
,
p
az
T r e

p
a re p
az
m r e e d








=
   
 
2
cos sin
0
1
log
2
p
ar p i p
ed







a r p d






,
=
 
2
2
11
. . sin
2
p
p
p
p
ar
a r p
pp






.
Nh- vËy

2
0
1
, , log 0
2
i
T r f N r e d f







, với ( 0 < r <R).
Chứng minh:

Ta áp dụng công thức Jensen (1.6) cho hàm f(z) = a z với R = 1 và thu
đ-ợc:

2
0
log , 1
1
log .
2
log log 0, 1
i
aa
a e d

(*)
Lại áp dụng (1.6) cho hàm số

i
f z e


và có:

2
0
1
log 0 log . , , .
2
i i i i
f e f r e e d N r N r e







Lấy tích phân hai vế theo biến

và thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân
vế phải ta có:


























áp dụng công thức (*) ta có:


0
1
, log , log 0 ,
2
1
, , , log 0 ,
2
1
, , log 0 .
2
ii
i
i
N r f re d N r e d f
N r f m r f N r e d f
T r f N r e d f















1
, , .
2
i
d
r T r f n r e d
dr







1.2.4.3. Hệ quả 2: Trong mọi tr-ờng hợp chúng ta đều có 2
0
1
, log2.
2
i
m r e d







, , ,
2 2 2
ii
T r f d m r e d N r e d







+

22
00
11
log 0 .
22
i
f e d G d







Sử dụng định lý (1.2.4.1), công thức (*) ta sẽ thu đ-ợc:



Hệ quả 2 đ-ợc chứng minh.
* Nhận xét:
Định lý Cartan v hệ qu chỉ ra rng trung bình của các giá trị của hàm
m(r,a) lấy trên một vòng tròn l khá nhỏ, hm T(r,f) hầu nh- chỉ phụ thuộc
trung bình của giá trị N(r,a) trên vòng tròn.
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn

23
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Giới thiệu
Trong mục tr-ớc chúng ta đã định nghĩa hàm đặc tr-ng Nevanlinna và có
đ-ợc định lý: với mỗi số phức a,

, , 1m R a N R a T R O
. Từ đó
chúng ta cũng thấy rằng tổng m + N có thể xem là độc lập với a. Đó chính là kết
quả của định lý thứ nhất. Định lý cơ bản thứ hai sẽ cho ta thấy rằng trong tr-ờng
hợp tổng quát số hạng N(R,a) chiếm -u thế trong tổng m + N và thêm nữa trong
N(R,a) chúng ta không thể làm giảm tổng đó nhiều nếu các nghiệm bội đ-ợc tính
một lần. Từ kết quả này cũng suy ra định lý Picard, nói rằng hàm phân hình nhận
mọi giá trị, trừ ra cùng lắm là hai giá trị.
Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna đ-ợc suy từ định lý sau,đ-ợc gọi là
bất đẳng thức cơ bản.
1.3.2. Bất đẳng thức cơ bản
Để đơn giản, chúng ta sẽ viết m(r,a) thay cho m(r,1 / f a) và

,mr

q
v
v
m r m r a T r f N r S r




Trong đó N
1
(r) d-ơng và đ-ợc định nghĩa:


1
1
, 2 , , ' .
'
N r N r N r f N f
f