Khóa luận tốt nghiệp

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

BÙI HUYỀN TRANG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE
TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2014

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=======***=======

BÙI HUYỀN TRANG

GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỐ LỚP PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG VÀ ỨNG DỤNG MAPLE
TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

cứu của bản thân, không trùng với khóa luận của tác giả nào.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên thực hiện

Bùi Huyền Trang

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 4
1.1. Sai số ............................................................................................................ 4
1.1.1. Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối.................................. 4
1.1.2. Sai số tính toán ...................................................................................... 5
1.1.3. Bài toán ngược của sai số...................................................................... 7
1.2. Khái quát về phương trình vi phân .............................................................. 8
1.2.1. Định nghĩa ............................................................................................. 8
1.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1 ............... 8
1.2.3. Một số định lý. ....................................................................................... 9
Chƣơng 2. CÁC PHƢƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN THƢỜNG .......................................................................... 11
2.1. Một số phương pháp giải tích .................................................................... 11
2.1.1. Phương pháp chuỗi hàm ...................................................................... 11
2.1.2. Phương pháp hệ số bất định ................................................................ 14
2.1.3. Phương pháp xấp xỉ liên tiếp ............................................................... 16
2.2. Một số phương pháp số .............................................................................. 18
2.2.1. Các phương pháp Euler ....................................................................... 19
2.2.2. Phương pháp Runge - Kutta ................................................................ 24
Chƣơng 3. ỨNG DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN.............................. 26

Tuy đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa
luận của em chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của quý thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

3

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Chƣơng 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a, Khái niệm về số gần đúng. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
Trong tính toán thông thường người ta không biết số đúng a 0 mà chỉ biết
các số gần đúng của nó là a . Sai số được gọi là gần đúng của a , độ lệch

h  a0  a được gọi là sai số thực của a . Vì không biết a 0 nên không biết h .
Tuy nhiên, ta

có thể xác định được một số dương a  h sao cho

a  a  a0  a  a . Số a bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là sai số
tuyệt đối của a . Tỷ số   a được gọi là sai số tương đối của a , a có cùng
a

thứ nguyên với a , còn  a là số không có thứ nguyên và được biểu diễn bằng
0


SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ: Thu gọn đến hai chữ số sau dấu phẩy với các số sau:
a  57,96573,
a  45,75124,
a  302,36500,
a  432,22500,

a  57,97
a  45,75
a  302,36
a  432,23

c, Cách viết các số gần đúng
Thường viết số gần đúng kèm theo sai số (tuyệt đối hay tương đối).
 0,05 
 ; b  0,0085  0,03 ; c  146  2 0 0 

0,02



Chẳng hạn: a  13,52 

Trong các bảng số thường giữ lại các chữ số chắc tức là các số mà chữ số
cuối cùng được giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số
( ở đây không đưa ra định nghĩa chính xác của chữ số chắc).
1.1.2. Sai số tính toán

0
i

i 1

'
1

1

2

n

i

 y

(1)

Ta có công thức:
n

y   f i '  x1, x2 ,..., xn  xi

(2)

n
y n fi '  x1 , x2 ,..., xn 


Theo công thức (2) ta có : y   xi
i 1

Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của các số hạng.
Nếu tổng đại số có giá trị nhỏ thì sai số tương đối   y trở nên rất lớn ( vì
y

y quá bé) nên kết quả mất hẳn tính chính xác. Vì vậy trong quá trình tính toán

các công thức đưa đến việc tính cách hiệu số của hai số rất gần nhau. Chẳng hạn
khi tính nghiệm của phương trình bậc hai ax2  bx  c  0, b  0 theo công thức

b  b2  4ac
x
mà 4ac rất nhỏ so với b2 thì ta thay bằng biểu thức tương
2a
đương x 

2c
.
b  b2  4ac

b, Sai số của tích

y  x1 x2 ....xn
ln y  ln x1  ln x2  ....  ln xn
n

n



 y   x1   x2

d, Sai số của các phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
Cho y  x , khi đó  y 
 Nếu

d
ln y ; x    x
dx

  1 (phép lũy thừa) thì  y   x , do đó độ chính xác giảm

 Nếu 0    1 thì ta có phép khai căn, khi đó  y   x hay độ chính xác
tăng.
 Nếu

  1 ta có phép nghịch đảo, khi đó  y   x nghĩa là độ chính xác

không đổi.
1.1.3. Bài toán ngược của sai số
Giả sử cần tính y  f  x1, x2 , ...., xn  với các sai số cần có là y   .
Hãy xác định sai số cần thiết phải đạt của các đối số xi .





Nguyên lý ảnh hưởng đều: Giả sử f x' xi  const i  1, n . Khi đó
i

3.12

7

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp

V
0,1
  r 2  12,6  h 
 0,001;
h
3.12,6
1.2. Khái quát về phƣơng trình vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo
hàm của nó.
 Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình
vi phân thường.
 Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương
trình đạo hàm riêng.
 Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình biểu diễn dưới dạng

dx
 f  t , x  hay F  x, y, y '  0.
dt
Sau này trong các phương pháp giải tích ta chỉ cần nghiên cứu các phương
trình vi phân thường cấp 1 với bài toán Cauchy.

thiếu điều kiện duy nhất thì ta không xác định được đâu là nghiệm cần tìm.
1.2.3. Một số định lý
Xét bài toán (1-2)
 dx
 f t, x 

 dt
 x(0)  x
0


(1)

 t , x    0,T    x0  r; x0  r 

(2)

a, Định lý 1( định lý tồn tại nghiệm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f (t , x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R ( r  0 cố định) thì tồn tại
ít nhất một nghiệm x(t ) của phương trình (1) thỏa mãn điều kiện (2) tức là x(t )
là nghiệm của bài toán (1-2).
b, Định lý 2 ( định lý duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1-2)
Nếu f (t , x) là hàm liên tục trên hình chữ nhật R ( r  0 cố định) và f (t , x)
thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến x trên hình chữ nhật R, tức là

f  t, x   f  t , y   N x  y trong đó N là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm
của bài toán (1  2) xác định là duy nhất.
 Từ hai định lý trên ta có định lý sau:

PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG
2.1. Một số phƣơng pháp giải tích
Là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức, tức là ta đi xây dựng
dãy hàm yn ( x) , x   a.b sao cho yn ( x)  y* ( x) ,

*
x   a, b . Trong đó, y ( x)

là nghiệm của phương trình.
2.1.1. Phương pháp chuỗi hàm
a, Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2):
 y '  f ( x, y)

 y( x0 )  y0

( x, y)  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử y  y( x) là nghiệm của bài toán (1  2) và y( x) phân tích được thành
chuỗi Taylor.

y( x)  y( x0 )  y '( x0 )( x  x0 ) 

y ''( x0 )
( x  x0 )2  ...
2!

(3)

*) Xác định các đạo hàm y k ( x0 ).


yn ( x)  y( x0 )  y '( x0 )( x  x0 ) 

Khi đó ta có y n ( x)  y* ( x) , y* ( x) là nghiệm chính xác của phương trình
y  n1 ( x0 )
yn ( x)  y ( x) 
( x  x0 )n1 
n 1
*

Giả sử các đạo hàm riêng của f  x, y  các cấp (n  1) bị chặn

f x n.1y
k

n1k

( x0 , y0 )  M ; n

thì

yn ( x)  y* ( x) 

M
x  x0
(n  1)!

n 1



 0)

cM
 n 1  0
(
n

1)!
n
lim



 n1

Thật vậy, xét chuỗi  (n  1)!
n 1
 n1
 n2
, un1 
Đặt un 
(n  1)!

(n  2)!

u



n 1

Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp chuỗi hàm, tìm nghiệm xấp xỉ của
bài toán dưới dạng tổng riêng gồm 4 số hạng đầu tiên của chuỗi hàm

y ''  xy '  e x

, y(0)  1, y '(0)  0

2

Giải
Giả sử y( x) là nghiệm của bài toán trên. Khai triển y( x) thành chuỗi
Taylor ta được

y( x)  y(0) 

y '(0) x
y ''(0) 2 y '''(0) 3

x 
x 
1!
2!
3!



y ( n ) (0) n
x 
n!



y(0)  1 ; y '(0)  0

 y ''(0)  1; y '''(0)  0 ; y 4 (0)   4
y (5) (0)  0 ; y  6 (0)  28 ; y 7 (0)  0 ; y 8 (0)   288 ;

Vậy nghiệm xấp xỉ của bài toán có dạng
y ( x)  1 

x2
x4 7 x6
x8




2!
6 180 140

13

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
2.1.2. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp hệ số bất định áp dụng để giải phương trình tuyến tính với hàm số
biến thiên. Cụ thể như sau:
a,Nội dung phương pháp
Xét bài toán Cauchy đối với phương trình tuyến tính cấp 2


trong đó an cần phải xác định.
Lấy đạo hàm y ', y '' theo (9) ta có


y '   n.an xn1
n 1





y ''   n(n 1).an x n2
n2

Sau đó thay các chuỗi biểu diễn p( x), q( x), r ( x), y ', y '' vào (1) ta được


 n(n 1)a x
n2

n

n2





  pn x . n.an x

2a2  a1 p0  a0 q0  r0 ;
3.2a3  2a2 p0  a1 p1  a0 q1  a1q0  r1 ;

4.3a4  3a3 p0  2a2 p1  a1 p1  a2 q0  a0 q1  a0 q2  r2 ;

14

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
Ta có a0 , a1 được xác định từ điều kiện y(0)  y0 ; y '(0)  y0
Cụ thể từ (9): y( x)
y '( x)

x 0

x 0

 a0  a1 x  a2 x 2 

 a1  2a2 x  3a3 x 2 

x 0

x 0



y0  a0


y( x)   an x n  a0  a1 x  a2 x 2 
n 0

 an x n 

Lấy đạo hàm cấp một và cấp hai hai vế của biểu thức trên ta được

15

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
y '( x)  a1  2a2 x  3a3 x 2  4a4 x 3 
y ''( x)  2a2  6a3 x  12a4 x 2 

Thay vào phương trình (11) ta được
a1  (2a2  2a2  a0 ) x  (6a3  3a3  a3 ) x 2 
 a1  (4a2  a0 ) x  (9a3  a1 ) x 2 

0
0

Từ điều kiện ban đầu ta xác định được

a0  1, a1  0
 4a  a  0
 2
0

x

theo công thức yn ( x)  y0   f  x, yn1 ( x)  d ( x)

(13)

x0

Giả sử lim
yn ( x)  y* ( x) thì y* ( x) là nghiệm của bài toán (1)
n 
Trong lí thuyết phương trình vi phân thường đã chứng minh rằng: nếu
hàm f ( x, y) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y
f ( x, y1 )  f ( x, y2 )

 N y1  y2 , N  const

16

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
trong hình chữ nhật D với D  ( x, y)  R2 : x  x0  a , y  y0  b thì hàm
yn ( x) hội tụ tới nghiệm y* ( x) của phương trình (1) trên đoạn  x, x  h , h  0 là

một số dương nào đó và hàm y0 ( x) tùy ý cho trước.
Sai số giữa yn ( x) và y* ( x) được đánh giá bởi công thức sau :

 n  yn ( x)  y* ( x)  M .N


(15)

(n  1)!

n 1

Áp dụng dấu hiệu Dalambe với un 

N n ( x  x0 )n 1
(n  1)!

un  0 .
Chuỗi (9) hội tụ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ thì lim
n 

( x  x0 )n1
MN
 0
Do đó lim
n 
(n  1)!
n

b, Ví dụ
Tìm ba nghiệm xấp xỉ liên tiếp của phương trình sau
y '  ysin x  x , y(0)  0

Giải
x





x2
x2
x2 
x2
sin xdx 
 x sin x  1   cos x  1
2
2
2
0 2

x

sin x  x  dx  





x2 
x2 
y3 ( x)    x sin x  1   cos x  1 sin x  x  dx
2
2 
0


x2 x
cos2 x
 x cos2 x 
dx 
 sin 2 x 
1
+) Tính I1   x sin xdx    

2 
4 4
8
0
0 2
x

x

2

x

 x2
 cos2 x
x2  sin 2 x
xcos2 x
1
dx   1
 
dx 
+) Tính I 2   1  

4
8
2
16
16

Vậy ba nghiệm xấp xỉ cần tìm là:

y1 ( x) 

x2
2

;


y2 ( x)  x sin x  1 


y3 ( x) 

x2 
x2
cos
x

1 ;
2 
2



i  1, n

2.2.1. Các phương pháp Euler
a,. Phương pháp Euler
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử f ( x, y) xác định trong hình chữ nhật D ,

D  ( x, y)  R2 : x  x0  a , y  y0  b thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y :

f ( x, y)  f ( x, y)  L y  y , ( x, y), ( x, y)  D
Giả sử M  max f ( x, y) thì bài toán (1-2) có nghiệm duy nhất yn ( x)  y* ( x)
x , y D




b
trong đó x   x0   , x0    ,   min(a, )
M
+) Xét đoạn  x0   , x0   
Chia đoạn


(18)

19

SVTH: Bùi Huyền Trang


Khóa luận tốt nghiệp
y0 đã biết từ điều kiện (2).

Phương pháp tìm nghiệm dưới dạng bảng số theo công thức (18) được gọi là
phương pháp Euler.
(*) Ý nghĩa hình học
Kí hiệu M i  ( xi , yi ) trong đó yi được xác định theo công thức (18)
- Nối các điểm M 0 với M 1 , M 1 với M 2 ,..., Mn1 với M n thì ta được đường
gấp khúc, kí hiệu G  M 0 , M1,....., M n .
- Đường gấp khúc G được gọi là đường gấp khúc Euler
Giả sử V là nghiệm của bài toán (1-2) và có đồ thị là đường cong (C ) thì dáng
điệu của đường gấp khúc G gần đúng với dáng điệu của đường cong (C )
Khi h càng nhỏ thì đường gấp khúc Euler càng gần với đồ thị của nghiệm.
 Ví dụ
Giải phương trình sau bằng phương pháp Euler
y' 

1
1
  0,5 y 2
2
x
x


y

0
1
2
3
4
5

1,0
1,1
1, 2
1,3
1, 4
1,5

2,0
1,7
1,4836
1,31396
1,19001
1,08522

3
2,16401
1,64242
1, 29354
1,04786
0,86789


0,07318
0,06263
0,05426
0,04752

b, Phương pháp Euler cải tiến thứ 1
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

Giả sử hàm f ( x, y) xác định trong hình chữ nhật D ,
D  ( x, y)  R 2 : x  x0  a , y  y0  b thỏa mãn điều kiện Lipsit theo biến y :

f ( x, y)  f ( x, y)

 L y  y , ( x, y), ( x, y)  D

*
Giả sử M  max f ( x, y) thì bài toán (1-2) có nghiệm duy nhất yn ( x)  y ( x)

 x , y D

trong đó x   x0   , x0    ,   min(a, b )
M


1
2

phần bằng nhau, h 

 yi 

h
f
2 i

;

f

i

1
2


n

, h  0.

 f (x

i

1

yi

0
1
2
3
4
5

0
0, 04
0, 08
0,12
0,16
0, 2

0
0, 040792
0, 083114
0,126883
0,172005
0, 218375

x

h
fi
2

i


i

1
2

0, 040792
0, 042322
0, 043769
0, 045122
0, 046370

c, Phương pháp Euler cải tiến thứ 2
 Nội dung phương pháp
Xét bài toán (1-2)
 y '  f ( x, y )

 y( x0 )  y0

( x, y )  D, ( x0 , y0 )  D

22

SVTH: Bùi Huyền Trang