TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • •
KHOA TOÁN
———————* * *———————
BÙI HUYÈN TRANG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SÓ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI - 2014
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
• • • • KHOA TOÁN
BÙI HUYỀN TRANG
GIẢI GẦN ĐÚNG MỘT SỔ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG VÀ ỨNG
Khóa luận tốt nghiệp
SVTH: Bùi Huyền Trang
DỤNG MAPLE TRONG TÍNH TOÁN
KHÓA LUÂN TỐT NGHIÊP ĐAI HOC
• • • •
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS
KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI 2014 LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ và
đóng góp ý kiến cho em trong suốt thòi gian học tập và nghiên cứu tại trường. Đặc biệt, em bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Khuất Văn Ninh - người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tận tình để
em có thể hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh YỈên thưc hiên
• •
Bùi Huyền Trang

Chương 2: Các phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân thường Chương 3: ứng
dụng của Maple trong tính toán
Tuy đã có nhiều cố gắng, song do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của em
chắc chắn còn nhiều thiếu sót, rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn
để khóa luận được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Sai số
1.1.1. Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối
a, Khái niệm về số gần đúng. Sai số tuyệt đối và sai số tương đối
Trong tính toán thông thường người ta không biết số đúng <2° mà chỉ biết
Khóa luận tốt nghiệp
4 SVTH: Bùi Huyền Trang
các số gần đúng của nó là a. Sai số được gọi là gần đúng của a, độ lệch h = a°-a được gọi là
sai số thực của a. Vì không biết a° nên không biết h. Tuy nhiên, ta có thể xác định được một
số dương Aa > \h\ sao cho a—Aa<a
ữ
<a+Aa. SốAa bé nhất mà ta có thể xác định được gọi là
sai số
tuyêt đối của a. Tỷ số s = — đươc goi là sai số tương đối của« ,Aa có cùng
\a\
thứ nguyên với a, còn Sa là số không có thứ nguyên và được biểu diễn bằng
0/ 0/
/0 ’ /00 5 • • •
b, Sự thu gọn các số, sai số thu gọn.
Giả sử« được biểu diễn dưới dạng số thập phân
a = {PpW +Pp_1W
1
1(F-’)
trong đó (i = p,p-\, ,p-q) là các số nguyên dương tò 0 đến 9.

giữ lại có bậc tương ứng sai số tuyệt đối theo quy tắc làm tròn số ( ở đây không đưa ra định nghĩa
chính xác của chữ số chắc).
1.1.2. Sai số tính toán
Giả sử cần tính giá trị của một hàm y° = /Oq0,*°)trong đó chỉ biết các
giá trị gần đúng x
ỉ
,x
2
, ,x
n
vói các sai số tương ứng ầXi ( hay ỔXỊ) (i = l,n). Sai số của giá trị y =
f(x
l
,x
2
, ,xn) được gọi là sai số tính toán. Giả sử / là một hàm khả vi, liên tục theo các biến Xị. Khi
đó:
y - y ° = f { x i , x 2 ” ~ ^ n ) - f { ^ , x ị , . . , x 0 n )
Như vậy ta có thể viết:
. .*„)(*! *?) *„)K-=A>’
i=l i=\
Chẳng hạn: a = 13,52
; b = 0,0085(±0,03); c = 146(±2%)
0
(
Khóa luận tốt nghiệp
6 SVTH: Bùi Huyền Trang
^y = Ễ\fi{x
í
^

~—,
.
b+yỊb -4ac
b, Sai sổ của tích
y = XìX2 Xn
ln|j| = ln|jq|+ln|jẸ
2
|+ +ln|jc I
Theo công thức (4) ta có õy - Àln\ỵ\ - ^AlnỊx. I - ^ỔXị
i=ì i= 1
Sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của từng thành phần.
c, Sai số của thương: y = —
• Nếu a> 1 (phép lũy thừa) thì ổy>ổx , do đó độ chính xác giảm
• Nếu 0<a<ì thì ta có phép khai căn, khi đó ổy<ổx hay độ chính xác tăng.
• Nếu a = — 1 ta có phép nghịch đảo, khi đó ốy = ốx nghĩa là độ chính xác không đổi.
1.1.3. Bài toán ngược của sai số
Giả sử cần tính y = f (x
1
,x
2
, ,x
n
)vói các sai số cần có là Ay<£.
Hãy xác định sai số cần thiết phải đạt của các đối số Xị.
Nguyên lý ảnh hưởng đều: Giả sử f '
x
AXị = consí ụ = l,nj. Khi đó
Ví dụ: Một hình trụ có bán kứứi đáy r = 2m, chiều cao h = 3m. Hãy xác định Ar và Ah sao
cho thể tích V được tính chính xác đến 0.1m3
Giải

i=\
K Ay
í
,
\
II
ì
4
\
y
< £
n n K n Á
< 0,003;
^- = nr
1
= \2fi =>AA = -ậi- < 0,001; dh 3.12,6
1.2. Khái quát về phương trình vi phân
1.2.1. Định nghĩa
Phương trình vi phân là phương trình chứa một hàm cần tìm và các đạo hàm của nó.
• Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập ta có phương trình vi phân thường.
• Nếu hàm cần tìm phụ thuộc vào hai hay nhiều biến độc lập ta có phương trình đạo hàm riêng.
• Phương trình vi phân thường cấp 1 là phương trình biểu diễn dưới dạng
Sau này trong các phương pháp giải tích ta chỉ cần nghiên cứu các phương trình vi phân
thường cấp 1 với bài toán Cauchy.
1.2.2. Bài toán Cauchy đối với phương trình vi phân thường cấp 1
* Xét bài toán (1-2)
= (1) (
ÍjJC
)
gR

kiện Lipsit theo biến X trên hình chữ nhật R, tức là ịf (t,x )—f (t, y)ị<N\x—y\ trong đó N
là hằng số (gọi là hằng Lipsit) thì nghiệm
của bài toán (1 - 2) xác định là duy nhất.
> Từ hai định lý trên ta có định lý sau:
c, Định lỷ 3 (định lý tồn tại và duy nhất nghiệm)
Xét bài toán (1-2).
Hàm /(í,x) xác định trong R (r > 0 cố định) thỏa mãn hai điều kiện:
(1): / (í, x) liên tục trên R và do R đóng và bị chặn nên:
|/(í,jc)|< M với M = max|/(í,x)|
(2): / ịt, X) thỏa mãn điều kiện Lipsit:
ịf(t,x) — f( t, y)ị<N \x—ỵ\

(vói N làhằngsố)
Thì tồn tại duy nhất nghiệm X( t) của bài toán (1-2) xác định trên [0,r].
Chương 2. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI GẦN ĐÚNG
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG
2.1. Một số phương pháp giải tích
Là phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức, tức là ta đi xây dựng
dãy hàm y
n
{x ),x&[ ab\ sao cho Jn(;c) 4/0), x&[a,b] . Trong đó, J*(X)
là nghiệm của phương trình.
2.1.1. Phương pháp chuỗi hàm
a, Nội dung phương pháp Xét
bài toán (1-2):
Giả sử y = y( x) là nghiệm của bài toán (1-2) và ;y(jt) phân tích được thành chuỗi Taylor.
y(■*) = y( x

.0) + y


0
)-f (*0>y0)
Từ đó ta xác định được ỵ "( x

0

).
Tương tự, ta xác định được yOo), y4)O0), y5)(x0), Giả sử trong công thức
(3)ta xác định được tất cả các đạo hàm thì khi đó nghiệm gần đúng của phương trình có dạng
y
n
w =
y (
x
o ) + y
'COC*
-
*o
) +

Khi đó ta có >>"(*)» y\x), y*(x) là nghiệm chính xác của phương trình
( X - X
0
T
+1
+
Giả sử các đạo hàm riêng của f( x, y) các cấp (n +1)bị chặn
f^+1-k(x0ìỵ0)
thì
C.M

Khi I*—*b| <<?thì
<
cM
(/1
= 0 < 1
Đăt
’ K
+
1
• " (n+1)!
(n +
khi đó ta có "
+1 —
, o
n-*» u B-*° n + 2
00 §n+^
Cho nên chuỗi số s , IN, hôi tu . Suy ra lim
u
n =0
n=ìựi + \)\
v
J
b, Ví dụ
Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp chuỗi hàm, tìm nghiêm xấp xỉ của bài toán
dưới dạng tổng riêng gồm 4 số hạng đầu tiên của chuỗi hàm
y" + xy' = e-*2 , y( 0) = 1, y'( 0) = 0
Giải
Giả sử y(*) là nghiệm của bài toán trên. Khai triển yO) thành chuỗi Taylor ta được
Từ phương trình y” + xy' =e~
ỵ2

+ì 6x

4
)e

x 2
-x y

{ 5 )
-4 y

( 4 )
;
y(7)(x) = (-120X + 160x
3

;
Ta có a
0
, ữj được xác định từ điều kiện y(0) = y
0
; y(0) = y
0
Cụ thê từ (9):
3>(jc) I
x=0
—a
0
+ a^x + a
2
X
2
+ y
0
—
a
0
y'(
x
) x=0
= a
i+


tụ bằng R. Và công thức (9) sau khi xác định a
n
thì nó là nghiệm của bài toán
(1-2).
b, Ví dụ
Giải xấp xỉ bài toán sau bằng phương pháp hệ sổ bất định
xy" + y' + xy = 0 (11)
y(0) = l ; /(0) =0 (12)
Giải
Ta tìm nghiệm của bài toán dưói dạng
y(x) — ẳ anxH — a0+ a\x + a2
x2
+ • • •
n=0
Lấy đạo hàm cấp một và cấp hai hai vế của biểu thức trên ta được
y '(*) = a
x
+ 2 a
2
x + 3 a
3
x
2
+ 4 a
4
x
3
+
y "(*) = 2 a
2

y)
,

(x,y )GD,

(X

0

,y

0

)G D
y(x0) = y0
Phương pháp xấp xỉ liên tiếp là phương pháp xây dựng dãy
nghiệm xấp xỉ ỵ
n
(x )
theo công thức ?„(*) =

y
0
+ Ị f {x ,y

n l

(x ))d(x )
*0
Giả sử lim;ynO:) = /00 thì 3>*0) là nghiệm của bài toán (1)

n—>00
Trong lí thuyết phương trình vi phân thường đã
chứng minh rằng: nếu hàm /(X, y ) thỏa mãn điều kiện
Lipsit theo biến y
\f(x,y

ỉ

)- f(x,y

2

)\ <

N
= consí
trong hình chữ nhật D với JD = |(jc,y)e/?2:|A:-jc0|<ữ,|j-j0|<Z7| thì hàm
y (je) hội tụ tói nghiệm y(jc) của phương trình (1) trên đoạn [x,x+ h\,h> 0 là một số dương nào
đó và hàm y0(jc) tùy ý cho trước.
Sai số giữa y
n
(x ) và /(jc)được đánh giá bỏi công thức sau :
(*-*o)”+1
yM -y\x)
(n+1)!
trong đó M = max \f(x , y)|, h = min
(x,y)eD (x,y)^D
n+1
Chuỗi (9) hội tụ theo điều kiện cần của chuỗi hội tụ thì lim u
n

Ta chứng minh công thức lim MN

n

= 0
(n+1)
!
^
N
'
Thật vậy, xét chuỗi / ị
n=1
(15
(71
n
N
cx -
x

0

)
Áp dụng dấu hiệu Dalambe với u

n

-
=
-—sinx + x
v2
f
X
2A
*2
V ^ y
^
y
2
(
x
)

=

jr !
COSJÍ: + -^—
1 2
,
x
1
cos X +
sin X +
d
y
djt+ C0SJC-
x
X
2

COS
2JC
5
4
8 16
1
6
íữ =
f
X ^cos2x íxcos2x, 1
-1 - —dx+^
4 ị 4 4
/ 2 \
T-1
V ^
Suy ra y
3
(x) = + X sin X—^ X sin 2x+(1—^-) cos X + ^ cos2x+
4 8 2 16 16
^_jc
2
^sin 2x
+)Tính/
2
=ĩ
0
jiW=y ; y

2