ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LÊ TRUNG HIẾU

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số chuyên ngành: 62 46 2001
Phản biện 1: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện 2: GS.TSKH. Đỗ Công Khanh
Phản biện 3: TS. Nguyễn Đình Tuấn
Phản biện độc lập 1: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát
Phản biện độc lập 2: TS. Tạ Quang Sơn

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS.TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
2. PGS.TS. NGUYỄN NGỌC HẢI

trong cuộc sống. Làm việc với Thầy, tác giả còn học được một tinh thần
trách nhiệm trong công việc, niềm say mê nghiên cứu và một phong
cách làm việc khoa học, trung thực và nghiêm túc. Tác giả cũng xin bày
tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS. Nguyễn Ngọc Hải, người Thầy
hướng dẫn thứ hai của tác giả, đã giúp đỡ và luôn luôn động viên tác giả
trong suốt quá trình học tập.
Tác giả xin được nói lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Đại học
Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán-Tin học, Bộ môn Tối ưu và Hệ
thống đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập,
nghiên cứu và hoàn thành Luận án. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ
lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH. Phan Quốc Khánh (Trưởng Bộ
môn Tối ưu và Hệ thống), PGS.TSKH. Nguyễn Định, những người Thầy
đã giảng dạy cho tác giả những kiến thức chuyên ngành bổ ích và tạo
điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành Luận án. Tác giả cũng xin gửi
lời cảm ơn chân thành đến GS.TSKH. Đỗ Công Khanh và PGS.TSKH. Vũ
Hoàng Linh đã dành nhiều thời gian đọc bản thảo Luận án khi bảo vệ
cấp đơn vị chuyên môn và đã có những ý kiến bổ ích giúp tác giả cập
nhật và cải thiện chất lượng Luận án. Xin gửi lời cám ơn chân thành
đến GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, TS. Tạ Quang Sơn đã dành nhiều thời
gian đọc phản biện độc lập cho Luận án này và cho nhiều lời khen ngợi
động viên tác giả. Xin chân thành cám ơn GS.TSKH. Nguyễn Khoa Sơn,
GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát, GS.TS. Đặng Đức Trọng, PGS.TS. Nguyễn Đình
3


Phư, PGS.TS. Nguyễn Đình Huy, PGS.TS. Trần Thị Huệ Nương đã có
những lời khuyên, góp ý cho tác giả trong các lần báo cáo học thuật
hoặc tại các hội nghị khoa học. Xin cám ơn Cô Trần Thị Phượng Giang
(Phòng Đào tạo Sau đại học) đã luôn nhiệt tình giúp đỡ tác giả về các

MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA .............................................................................

1

LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................

2

LỜI CẢM ƠN ...................................................................................

3

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU ........................................

7

MỞ ĐẦU ..........................................................................................

9

CHƯƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Một số kí hiệu và qui ước . . . . . . . . . . . .
1.2. Chuẩn của véctơ và chuẩn của ma trận . . . .
1.3. Định lý Perron-Frobenius . . . . . . . . . . . . .
1.4. Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ
CHƯƠNG 2. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH
THƯỜNG
2.1. Ổn định của các hệ phi tuyến . . . . . . . . . .
2.2. Phỏng đoán loại Aizerman . . . . . . . . . . . .

.

SAI PHÂN
23
. . . . . . 23
. . . . . . 36
. . . . . . 38

CHƯƠNG 3. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
CÓ CHẬM
3.1. Điều kiện ổn định mũ tường minh cho các hệ phụ thuộc
thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Ổn định mũ của các hệ chịu nhiễu . . . . . . . . . . . . .
3.3. Thảo luận về các kết quả thu được . . . . . . . . . . . . .
3.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CHƯƠNG 4. ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN
VOLTERRA
4.1. Sơ lược về các bài toán ổn định của các hệ phương trình
sai phân Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra tuyến
tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra phi
tuyến với chậm hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. Ổn định mũ của các hệ phương trình sai phân Volterra phi
tuyến với chậm vô hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

16
16
17

Ý nghĩa

AS

Asymptotically stable: ổn định tiệm cận

ES

Exponentially stable: ổn định mũ

GES

Globally exponentially stable: ổn định mũ toàn cục

UAS

Uniformly asymptotically stable: ổn định tiệm cận đều

Z

Vành các số nguyên

Z+

Tập hợp các số nguyên không âm

Z[k1 ,k2 ]

Tập hợp các số nguyên thuộc đoạn [k1 , k2 ], k1 , k2 ∈ Z


K = R hoặc K = C

JF (x)

Ma trận Jacobi của hàm F tại x

det(M )

Định thức của ma trận vuông M

M −1

Nghịch đảo của ma trận vuông M

|x|

|x| := (|x1 |, |x2 |, ..., |xm |), x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Rm

|M |

|M | := (|mij |) với M = (mij ) ∈ Rl×q

x

Chuẩn của vectơ x

M

Chuẩn của ma trận M


B

aij > bij (∀i ∈ l, j ∈ q), với A = (aij ) ∈ Rl×q và
B = (bij ) ∈ Rl×q

σ(M )

σ(M ) = {λ ∈ C : det(λIm − M ) = 0}, phổ của ma
trận vuông M

ρ(M )

ρ(M ) = max{|λ| : λ ∈ σ(M )}, bán kính phổ của ma
trận vuông M

lγ (Km×m )

lγ (Km×m ) := (C(n))n ⊂ Km×m :

+∞
n=0

C(n) γ n

+∞
n=0

C(n)

< +∞ , với γ ≥ 1 cho trước

lực là một phần tất yếu trong một số bài toán điều khiển tối ưu, chẳng
hạn như các “bài toán điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”1 của các hệ động lực
(xem [CC93], [HB90], [HBM91], [MP05], [MZH12], [ZDG96]). Chính
vì vậy, việc giải các bài toán ổn định nghiệm của các hệ động lực là bước
đầu tiên và bắt buộc trong một số bài toán điều khiển tối ưu.
Như một tác động ngược, một số kết quả, phương pháp từ lý thuyết
1

H2 /H∞ control problem.

9


Mở đầu

tối ưu ngày nay được dùng khá thường xuyên để giải nhiều lớp các bài
toán ổn định, các bài toán điều khiển các hệ động lực (xem [BHL06],
[BLO02], [BLO03], [Lew07], [Pa06], [RG96]), [VVMV08]). Ranh giới
giữa các ngành Tối ưu và Điều khiển ngày càng bị xóa nhòa.
Đồng hành với những thành tựu, sự phát triển của lý thuyết tối ưu
và lý thuyết điều khiển, lý thuyết ổn định của các hệ động lực nói chung
và của các hệ phương trình sai phân nói riêng cũng đã phát triển không
ngừng. Phương trình sai phân là kết quả tự nhiên thu được từ việc rời rạc
hóa các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng. Lý thuyết
phương trình sai phân và lý thuyết phương trình vi phân do vậy có mối
liên quan rất chặt chẽ với nhau. Các phương pháp số nhằm tính toán
gần đúng các nghiệm của phương trình vi phân hoặc nghiên cứu các
tính chất nghiệm của chúng dẫn đến việc nghiên cứu nghiệm của các
phương trình sai phân.
Phương trình sai phân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học khác

là các hệ phi tuyến, rất khó để xây dựng được các hàm Lyapunov. Hơn
thế nữa, các kết quả thu được từ phương pháp hàm Lyapunov thường
được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận phức tạp và khó sử dụng
(xem [BGFB94], [KLHLFL05], [WZFL13], [WSSC12], [YZF10]).
Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, trong quá khứ đã xuất hiện nhiều
cách tiếp cận khác đối với các bài toán ổn định của phương trình sai
phân như: Đa thức đặc trưng, các nguyên lý ánh xạ co và các định lý
điểm bất động, các dạng bất đẳng thức Halanay rời rạc, các định lý
kiểu Bohl-Perron, phép biến đổi phức (Z-transform), phương pháp tôpô,
so sánh nghiệm, định lý Paley-Wiener dạng rời rạc, các định lý kiểu
Razumikhin, ... (xem [Aga08], [BrKa12], [Che11], [E05], [Hien14],
[KCT03], [LM07], [Liz11], [SB04], [UN09]). Tuy nhiên, mỗi phương
pháp tiếp cận nói trên đều có những hạn chế nhất định và thường chỉ
phù hợp với một số lớp phương trình cụ thể.
Khác với các bài toán ổn định của các phương trình sai phân dừng,
các bài toán ổn định của các phương trình sai phân phụ thuộc thời
gian nói chung thường khó và phức tạp ngay cả đối với loại phương

11


Mở đầu

trình tuyến tính phụ thuộc thời gian dạng đơn giản nhất: x(n + 1) =
A(n)x(n), x(n) ∈ Rm , n ∈ Z+ . Như đã nói ở trên, mỗi cách tiếp cận đã
đề cập đều có những hạn chế nhất định, các điều kiện ổn định thu được
cho các phương trình sai phân phụ thuộc thời gian thường được cho bởi
các điều kiện phức tạp và khó sử dụng. Các điều kiện ổn định tường
minh, dễ sử dụng không có nhiều và việc tìm ra những điều kiện ổn
định như thế đòi hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt

- Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
- Chương 2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường.
- Chương 3. Ổn định của các hệ phương trình sai phân có chậm.
- Chương 4. Ổn định của các hệ phương trình sai phân Volterra.
Chương 1 được dành để trình bày một số kiến thức cơ sở được sử
dụng trong các chương sau. Chương 2 nghiên cứu bài toán ổn định mũ
của các hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian chịu
nhiễu. Kết quả chính của chương này là Định lý 2.1.7, cho biên ổn định
của các hệ ổn định chịu nhiễu phi tuyến. Kết quả của Định lý 2.1.7 mở
rộng một số kết quả cổ điển trong [HP05], [SCK97], [HS98] ra cho lớp
nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian. Xa hơn thế, nó cho câu trả lời cho
một Phỏng đoán loại Aizerman đối với các hệ phương trình sai phân.
Chương 3 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ tường minh cho
các hệ phương trình sai phân có chậm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ
thuộc thời gian (Định lý 3.1.2, Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.6). Các kết quả
thu được trong chương này là mới ngay cả khi chúng được đặc biệt hóa
cho các hệ tuyến tính (Định lý 3.1.6). Ngoài ra các Định lý 3.2.1, Định
lý 3.2.4 cung cấp các kết quả mới về biên ổn định của các hệ chịu nhiễu.
Các bình luận sâu hơn và chi tiết hơn về các kết quả của chương này
được trình bày trong các mục Nhận xét và trong phần thảo luận về các
kết quả thu được (Mục 3.3).
13


Mở đầu

Chương 4 trình bày một số tiêu chuẩn ổn định mũ của các hệ phương
trình sai phân Volterra (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian
với chậm hữu hạn và cả chậm vô hạn. Các kết quả của chương này là
nguyên bản (original) và lần đầu tiên được công bố trong thời gian gần

khiển tối ưu loại H2 /H∞ ”3 của các hệ sai phân.
Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại các xê-mi-na của Nhóm
Lý thuyết điều khiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố
Hồ Chí Minh); Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8 (Thành phố Nha
Trang, tháng 8 năm 2013); Hội nghị Khoa học Trường Đại học Khoa học
Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng 11 năm
2014); Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất (Thành
phố Quy Nhơn, tháng 8 năm 2015); ...

3

H2 /H∞ control problem.

15


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ
sở được sử dụng trong các chương sau.

1.1

Một số kí hiệu và qui ước

Gọi Z, R, và C lần lượt là vành các số nguyên, trường các số thực và

đoạn [a, b] được định nghĩa như sau:
b

b

mij (t)dt) ∈ Rl×q ;

M (t)dt := (
a

a

b

b

F (t)dt := (
a

1.2

b

F1 (t)dt,
a

b

Fm (t)dt)T ∈ Rm .



và

i=1

x

∞

= max

1≤i≤m

|xi | ,

với x = (x1 , x2 , ..., xm )T ∈ Km và 1 ≤ p < ∞.
Một chuẩn

·

trên Km được gọi là đơn điệu nếu |x| ≤ |y| thì x ≤

y với x, y ∈ Km . Từ định nghĩa, dễ dàng thấy rằng,
17

·

là một chuẩn




tồn tại các số dương α, β sao cho α x

1

≤ x

2

≤ β x 1 , với mọi x ∈ X.

Chú ý rằng, mọi chuẩn trên Km đều tương đương.
Định nghĩa 1.2.2. (Chuẩn toán tử của ma trận) Cho ma trận M ∈ Kl×q ,
chuẩn của toán tử tuyến tính M : Kq → Kl , x → M x :
M := max
x=0

Mx
= max
x
x =1

Mx

,

được gọi là chuẩn toán tử của ma trận M.
Chẳng hạn như nếu Km được trang bị bởi chuẩn ·
tử của ma trận M = (mij ) ∈ Km×m được cho bởi M


chuẩn toán tử của M được cho bởi M

2

=

2

thì

ρ(M T M ), xem [E05].

Giả sử Kl và Kq được trang bị các chuẩn đơn điệu. Khi đó, chuẩn
toán tử tương ứng

·

của ma trận trên Kl×q có tính chất sau:

P ∈ Kl×q , Q ∈ Rl×q
+ ,

|P | ≤ Q

⇒

P ≤ |P | ≤ Q ,

(1.1)



Định lý 1.2.5 ([E05]). Cho ma trận M ∈ Km×m . Khi đó ρ(M ) ≤ M .
Tính chất sau đây được suy ra từ Nhận xét 1.2.4 và Định lý 1.2.5.
Hệ quả 1.2.6 ([HJ90]). Cho ma trận M ∈ Km×m . Khi đó ρ(M ) =
lim

n→+∞

1.3

Mn

1
n

.

Định lý Perron-Frobenius

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của
các ma trận không âm, được sử dụng trong suốt Luận án. Các ma trận
19


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

không âm được nghiên cứu từ những năm 1910 với những công trình
tiên phong của Perron và Frobenius. Những tính chất này là tiền đề cho
việc xây dựng Lý thuyết hệ động lực dương (xem [Lu79]).
Định lý Perron-Frobenius được chứng minh bởi Perron (năm 1907)

suy ra trực tiếp từ Định lý 1.3.1.
Định lý 1.3.2. Cho M ∈ Rm×m
. Những điều kiện sau đây là tương đương:
+
20


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

(i)

ρ(M ) < 1;

(ii)

(Im − M )−1 ≥ 0;

(iii)

∃p ∈ Rm , p

0 : Mp

p.

Chứng minh. .
“(i) ⇒ (ii)”: M ∈ Rm×m
và ρ(M ) < 1 nên rõ ràng (Im − M )−1 ≥ 0, theo
+
Định lý 1.3.1 (iii). Vậy ta có (i) suy ra (ii).

21


Chương 1. Kiến thức chuẩn bị

1.4

Định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ

Định nghĩa 1.4.1. Cho F (·, ·, ..., ·) : Rl → Rm là hàm khả vi tại x =
(x1 , x2 , ..., xl )T ∈ Rl . Ma trận Jacobi của hàm F (·, ·, ..., ·) tại x là ma trận
cỡ m × l trong Rm×l , kí hiệu JF (x), được xác định như sau







JF (x) := 







trong đó

∂Fi


···
···
···
···

∂F1




∂xl 


∂F2 

∂xl 
,

··· 


∂Fm 
∂xl

với i ∈ m, j ∈ l.

Sau đây là định lý giá trị trung bình cho hàm giá trị véctơ.
Định lý 1.4.2 ([Di88]). Cho U là một tập mở trong Rm , F (·, ·, ..., ·) :
U → Rm là hàm khả vi liên tục trên U và các véctơ x ∈ U, h ∈ Rm sao cho

cho một vài kết quả mới về các biên ổn định của các hệ phương trình
sai phân thường chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian. Cuối cùng,
chúng tôi áp dụng kết quả thu được vào một Phỏng đoán loại Aizerman
cho các hệ rời rạc. Nội dung chính của chương này được trích từ bài
báo [NH12].

2.1

Ổn định của các hệ phi tuyến

Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến (2.1). Giả sử f (·; ·) : Z+ × Rm →
Rm là hàm cho trước sao cho f (n, 0) = 0 với mọi n ∈ Z+ . Cho trước
n0 ∈ Z+ và x0 ∈ Rm , xét cho hệ (2.1) một điều kiện đầu
x(n0 ) = x0 .

(2.2)

Ta gọi nghiệm của hệ phương trình sai phân (2.1) với điều kiện đầu
(2.2), kí hiệu bởi x(·, n0 , x0 ), là dãy véctơ {x(n, n0 , x0 )} trong Rm thỏa
mãn đồng thời (2.1) và (2.2). Hiển nhiên, {x(n, n0 , x0 )} tồn tại duy nhất
và được xác định bằng phép truy hồi (2.1)-(2.2). Véctơ x∗ ∈ Rm được
23


Chương 2. Ổn định của các hệ phương trình sai phân thường

gọi là điểm cân bằng của hệ (2.1) nếu f (n, x∗ ) = x∗ , với mọi n ∈ Z+ .
Trong suốt nội dung chương này, chúng tôi giả thiết rằng véctơ ξ = 0
luôn là điểm cân bằng của hệ (2.1), giả thiết này không làm mất tính
tổng quát, bởi vì nếu x∗ = 0 là một điểm cân bằng của (2.1) thì 0 là

mãn thì ta gọi x∗ là ổn định tiệm cận đều (viết tắt là UAS).
(iii) ổn định mũ (viết tắt là ES) nếu tồn tại µ > 0, M > 0 và β ∈ (0, 1)
sao cho
x0 − x∗ < µ

⇒

x(n, n0 , x0 ) − x∗ ≤ M β n−n0 x0 − x∗ ,

24