ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

CAO THANH TÌNH

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ
LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PHIẾM HÀM
Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu
Mã số chuyên ngành: 62 46 2001

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Tp. Hồ Chí Minh, 2016


Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn tối ưu và hệ thống, Khoa Toán–Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh.

Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Phạm Hữu Anh Ngọc

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Khoa Sơn
Phản biện 2: GS. TSKH. Đỗ Công Khanh
Phản biện 3: PGS. TS. Nguyễn Đình Phư

Phản biện độc lập 1: TS. Nguyễn Anh Tú
Phản biện độc lập 2: TS. Đỗ Đức Thuận

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tại Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, vào lúc ... giờ, ngày ... tháng ... năm ....


Lewis, A.S. (2003), The mathematics of eigenvalue optimization, Mathematical Programming, 97
(1-2), 155-176.
4
Lewis, A.S. (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31,
167-177.
5
Rami, M.A. and Ghaoui, L.E. (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising
in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671.
6
Shaikhet, L. (2015), Optimal Control of Stochastic Difference Volterra Equations, Springer.
7
Sinha, A. , (2007), Linear systems: optimal and robust control, CRC Press, 2007.
8
Xia, Y., Leung, H. and Wang, J. (2002), A projection neural network and its application to constrained optimization problems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory
and Applications, 49 (4), 447-458.
9
Hinrichsen, D. and Pritchard, A. J. (1996), Stability radii of systems with stochastic uncertainty and
their optimization by output feedback, SIAM journal on control and optimization, 34 (6), 1972-1998.
10
Ngoc, P.H.A., Naito, T. and Shin, J.S. (2006), Global optimization problems in stability analysis
of linear dynamical systems, Proceeding of the second multidisciplinary international symposium on
positive systems: Theory and applications (POSTA 06), Grenoble, France, Springer.
11
Eising, R. (1984), Between controllable and uncontrollable, Syst. Control Lett., 4, 263-264.
12
Liu, X., Wang, L., Yu, W. and Zhong, S. (2008), Constrained control of positive discrete-time
systems with delays, Circuits and Systems II: Express Briefs, IEEE Transactions on, 55 (2), 193-197.
13
Rami, M.A. and Ghaoui, L.E. (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising
in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671.


H2 /H∞ control problem.
Chang, W.J. and Chung, H.Y. (1993), A study of H∞ norm and variance-constrained design using
dynamic output feedback for linear discrete systems, International Journal of Control, 57 (2), 473- 483.
18
Haddad, W.M. and Bernstein, D.S., (1990), Generalized Riccati equations for the full- and reducedorder mixed-norm H2 /H∞ standard problem, System & Control Letters, 14, 185-197.
19
Haddad, W.M., Bernstein, D.S. and Mustafa, D. (1991), Mixed norm H2 /H∞ regulation and estimation: The discrete-time case, Systems & Control Letters, 16, 235-247.
20
Muradore, R. and Picci, G. (2005), Mixed H2 /H∞ control: the discrete-time case, Systems & Control
Letters, 54 (1), 1-13.
21
Zhou, K., Doyle, J.C. and Glover, K. (1996), Robust and optimal control, Vol. 40, New Jersey:
Prentice hall.
22
Burke, J.V., Henrion, D., Lewis, A.S. and Overton, M.L. (2006), Stabilization via nonsmooth,
nonconvex optimization, IEEE Transactions on Automatic Control, 51 (11), 1760-1769.
23
Burke, J.V., Lewis, A.S. and Overton, M.L. (2002), Two numerical methods for optimizing matrix
stability, Linear Algebra and its Applications, 351, 117-145.
24
Burke, J.V., Lewis, A.S. and Overton, M.L. (2003), Optimization and pseudospectra, with applications to robust stability, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 25 (1), 80-104.
25
Lewis, A.S. (2007), Nonsmooth optimization and robust control, Annual Reviews in Control, 31,
167-177.
26
Rami, M.A. and Ghaoui, L.E. (1996), LMI optimization for nonstandard Riccati equations arising
in stochastic control, IEEE Transactions on Automatic Control, 41 (11), 1666-1671.
27
Vanbiervliet, J., Verheyden, K., Michiels, W. and Vandewalle, S. (2008), A nonsmooth optimisation

nhau.
Nói riêng, được thúc đẩy bởi nhiều ứng dụng trong khoa học và kĩ thuật, các bài toán
ổn định và ổn định vững của phương trình vi phân phiếm hàm đã thu hút được nhiều sự
quan tâm của các nhà nghiên cứu trên thế giới. Lý thuyết tổng quan về ổn định của các
phương trình vi phân phiếm hàm (với chậm hữu hạn hoặc vô hạn) đã được trình bày
tương đối đầy đủ trong một số sách chuyên khảo như 35 36 37 38 39 40 . Tuy nhiên, nhiều
bài toán ổn định của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc thời gian, đặc
biệt là lớp các hệ phi tuyến phụ thuộc thời gian vẫn còn là những bài toán mở cần được
nghiên cứu sâu và hệ thống hơn. Thực tế, những bài toán loại này là khó, gai góc, đầy
thách thức và luôn mang tính thời sự.
Cách tiếp cận truyền thống đối với các bài toán ổn định của các hệ phương trình
vi phân phiếm hàm là phương pháp hàm Lyapunov và các biến dạng của nó như hàm
Lyapunov-Krasovskii, hàm Lyapunov-Razumikhin, xem 41 42 43 44 45 46 47 48 . Suốt hơn
100 năm qua, các hàm Lyapunov được sử dụng rộng rãi và được xem là công cụ chính
trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của các phương trình vi phân. Tuy nhiên,
đối với các lớp hệ phụ thuộc thời gian, đặc biệt là đối với các hệ phi tuyến, rất khó để
xây dựng được các hàm Lyapunov. Hơn thế nữa, các kết quả thu được từ phương pháp
hàm Lyapunov thường được cho dưới dạng các bất đẳng thức ma trận hoặc các bất đẳng
Life, Texts in Applied Mathematics 57, Springer, New York, Dordrecht, Heidelberg, London.
35
Haddad, W.M., Chellaboina, V.S. and Hui, Q. (2010) Nonnegative and Compartmental Dynamic
equations, Princeton University Press.
36
Hinrichsen, D. and Pritchard, A.J. (2005), Mathematical systems theory I: modelling, state space
analysis, stability and robustness, Vol. 1, Springer.
37
Hino, Y., Murakami, S., Naito, T. (1991), Functional-differential equations with infinite delay, Lecture Notes in Mathematics, 1473. Springer-Verlag, Berlin.
38
Luenberger, D.G. (1979), Introduction to dynamic equations: Theory, Models and Aplications, John
Wiley & Son, New York



Mở đầu

thức vi phân phức tạp và khó sử dụng, xem 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 .
Ngoài việc sử dụng hàm Lyapunov, trong quá khứ đã xuất hiện một vài cách tiếp cận
khác đối với các bài toán ổn định của phương trình vi phân phiếm hàm như: sử dụng
các bất đẳng thức loại Halanay, nguyên lý so sánh nghiệm, các định lý kiểu Razumikhin,
... (xem 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 và các tài liệu tham khảo trong đó). Mỗi phương pháp
tiếp cận nói trên đều có những ưu điểm và hạn chế nhất định và thường chỉ phù hợp với
một vài lớp phương trình cụ thể.
Như đã nói ở trên, các bài toán ổn định của các phương trình vi phân phiếm hàm
phụ thuộc thời gian nói chung thường khó và phức tạp. Các điều kiện ổn định tường
minh, dễ sử dụng không có nhiều và việc tìm ra những điều kiện ổn định như thế đòi
hỏi phải có những ý tưởng mới và sự đột phá về mặt kĩ thuật. Chính vì vậy, việc phát
49

Boyd, S., Ghaoui, L.E., Feron, E. and Balakrishnan, V. (1994). Linear matrix inequalities in system
and control theory, Vol. 15, Philadelphia: SIAM.
50
Dashkovskiy, S. and Naujok, L. (2010) Lyapunov-Razumikhin and Lyapunov-Krasovskii theorems
for interconnected ISS time-delay systems, Proceedings of the 19th International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) 5-9 July, 2010, Budapest, Hungary, 1180-1184.
51
Fridman, E. (2001), New Lyapunov-Krasovskii functionals for stability of linear retarded and neutral
type systems, Systems & Control Letters 43, 309-319.
52
Fridman, E. (2006), Stability of systems with uncertain delays: A new complete LyapunovKrasovskii functional, IEEE Transactions on Automatic Control 51, 885-890.
53
Hale, J. and Lunel, S. M. V. (1993), Introduction to Functional Differential Equations. New York:
Springer-Verlag.

equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713.
65
Kolmanovskii, V.B. and Nosov, V. R. (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press.
66
Wang, F. (2007), Exponential asymptotic stability for nonlinear neutral systems with multiple
delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 8, 312-322.
67
Yang, M. (2011), Exponential convergence for a class of Nicholsons blowflies model with multiple
time-varying delays, Nonlinear Analysis: Real World Applications 12, 2245-2251.
68
Zhang, B., Lam, J., Xu, S. and Shu, Z. (2010), Absolute exponential stability criteria for a class of
nonlinear time-delay systems, Nonlinear Analysis: Real World Applications 11, 1963-1976.

4


Mở đầu

triển các kĩ thuật mới để tìm ra các điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ tường minh cho
tính ổn định, ổn định vững của các lớp hệ phương trình vi phân phiếm hàm phụ thuộc
thời gian, đặc biệt là lớp các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc
thời gian là nhu cầu cấp thiết và có ý nghĩa khoa học cao. Thực tế, đây là một đề tài
khó và thời sự, nó đòi hỏi người nghiên cứu phải làm việc nghiêm túc và nỗ lực trong
công việc suốt một thời gian dài. Đây cũng là lí do chính thúc đẩy tôi chọn đề tài “Về
tính ổn định của một số lớp phương trình vi phân phiếm hàm” để nghiên cứu và viết
Luận án Tiến sĩ cho mình.
Mục tiêu chính của Luận án này là:
- Trình bày một tiếp cận mới đối với các bài toán ổn định của các hệ phương trình
vi phân phiếm hàm (với thời gian chậm hữu hạn hoặc vô hạn).
- Nghiên cứu các điều kiện đủ mới cho tính ổn định mũ của các lớp hệ sau:

chương sau. Chương 2 nghiên cứu các bài toán ổn định mũ của các hệ phương trình vi
phân phiếm hàm với chậm hữu hạn. Cụ thể, chúng tôi trình bày một loạt các điều kiện
đủ mới, tường minh cho tính ổn định mũ của các lớp hệ sau đây:
- Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát (Định lý 2.1.6, Định
lý 2.1.7, Hệ quả 2.2.7).
- Các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm (Định lý
2.2.1, Hệ quả 2.2.2).
- Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý
2.2.5, Hệ quả 2.2.6).
Ngoài ra, chúng tôi thu được các biên ổn định mới cho các hệ tuyến tính (dừng hoặc
phụ thuộc thời gian) chịu nhiễu có cấu trúc hoặc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian
(Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9). Một số ví dụ được cho để minh họa cho các
kết quả đạt được (Ví dụ 2.1.1, Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.3, Ví dụ
2.2.5, Ví dụ 2.2.6). Hơn thế nữa, chúng tôi áp dụng các kết quả thu được (Định lý 2.2.5)
vào việc nghiên cứu tính ổn định của các điểm cân bằng của các mạng nơ ron nhân tạo
(Ví dụ 2.2.4). Các kết quả thu được là tổng quát hơn và cải tiến các kết quả đã có trong
69 70 71
.
Chương 3 trình bày một số điều kiện ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân
phiếm hàm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn. Nói một
cách khái quát, kết quả chính của chương này (Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1) khẳng định
rằng nếu một hệ phương trình vi phân (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian
với chậm vô hạn bị “chặn trên” bởi một hệ tuyến tính dừng, dương, ổn định mũ, thì hệ
được xét cũng ổn định mũ.
Xa hơn nữa, chúng tôi cũng thu được một kết quả mới về biên ổn định của các hệ
tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời
gian (Định lý 3.1.5). Các kết quả của Định lý 3.1.5 là sự mở rộng các kết quả về biên
ổn định của các hệ phương trình vi phân thường tuyến tính dừng chịu nhiễu có cấu trúc
hằng (xem 72 ) cho các hệ tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn chịu nhiễu có
cấu trúc phụ thuộc thời gian. Cuối cùng, Định lý 3.2.1 cung cấp các tiêu chuẩn mới về

toán điều khiển tối ưu, chẳng hạn như các bài toán “điều khiển tối ưu loại H2 /H∞ ” của
các hệ vi phân. Chúng tôi sẽ nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu này trong thời gian
tới.
Các kết quả của Luận án đã được báo cáo tại các xê-mi-na của nhóm Lý thuyết điều
khiển (Đại học Quốc tế, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh); Đại hội Toán học
toàn quốc lần thứ 8 (Thành phố Nha Trang, tháng 8 năm 2013); Hội nghị Khoa học
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh (tháng
11 năm 2014); Hội nghị Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 13 (Ba Vì, Hà Nội, tháng
4 năm 2015); Hội nghị ứng dụng Toán học - Vật lý trong khoa học công nghệ trường Đại
học Công Nghệ Thực Phẩm Tp. Hồ Chí Minh (tháng 06 năm 2015); Hội nghị Toán học
Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ nhất (Thành phố Quy Nhơn, tháng 8 năm 2015); Hội
nghị khoa học và công nghệ lần thứ XIV, Đại học Bách Khoa Tp. Hồ Chí Minh (tháng
10 năm 2015).

7


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số qui ước và kiến thức cơ sở được sử
dụng trong các chương sau.

8


Chương 2
ỔN ĐỊNH MŨ CỦA CÁC HỆ
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VỚI
CHẬM HỮU HẠN
Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một tiếp cận mới hữu hiệu đối với các bài

= A0 x(t) + L0 xt , t ≥ 0,
trong đó, L0 ϕ :=

0
−h

(2.4)

d[η0 (θ)]ϕ(θ), ϕ ∈ C, được gọi là bị chặn trên bởi hệ (2.3) nếu
A0 ≤ A

và L0 ϕ ≤ Lϕ, ∀ϕ ∈ C+ .

(2.5)

Định lý 2.1.6. (Điều kiện ổn định so sánh đối với hệ phương trình vi phân phiếm hàm
tuyến tính dương)
Giả sử (2.3) và (2.4) là các hệ dương và (2.4) bị chặn trên bởi (2.3). Khi đó,
9


Chương 2. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

(i) Nếu (2.3) là ổn định mũ thì (2.4) là ổn định mũ.
(ii) Nếu (2.4) không ổn định mũ thì (2.3) không ổn định mũ.
Định lý 2.1.7. (Điều kiện ổn định so sánh đối với hệ phương trình vi phân phiếm hàm
tuyến tính)
Cho trước A0 ∈ Rn×n và η0 (·) ∈ NBV 0 ([−h, 0], Rn×n ). Giả sử L : C → Rn , Lϕ :=
0
d[η(θ)]ϕ(θ), với η(·) ∈ NBV 0 ([−h, 0], Rn×n ), là toán tử dương. Nếu |L0 ϕ| ≤ L|ϕ|, với

k=1

chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian
Ak

Ak + Dk (t)∆k (t)Ek (t),

Trong phần tiếp theo chúng tôi trình bày một số kết quả mới về bài toán này.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính dừng có chậm (2.8), trong đó, hk > 0 (k ∈ m)
và Ak ∈ Rn×n (k ∈ m0 ) cho trước. Giả sử hệ (2.8) là ổn định mũ. Xét hệ chịu nhiễu
x(t)
˙
= (A0 + D0 (t)∆0 (t)E0 (t))x(t)+
m

Ak x(t − hk ) + Dk (t)∆k (t)Ek (t)x(t − τk (t)) , t ≥ σ,

(2.10)

k=1

Bài toán được đặt ra ở đây là tìm số thực dương γ > 0, sao cho các hệ chịu nhiễu
(2.10) vẫn còn ổn định mũ (Định nghĩa 2.1.2) một khi “tổng độ lớn” của các hàm nhiễu
∆k (·), k ∈ m0 nhỏ hơn γ.
Định lý 2.1.8. Giả sử (2.8) là hệ dương và ổn định mũ. Giả sử tồn tại các ma trận
lk ×qk
n×lk
Dk ∈ R+
, Ek ∈ Rq+k ×n và ∆k ∈ R+
với k ∈ m0 sao cho |Dk (t)| ≤ Dk , |Ek (t)| ≤ Ek

cho bởi
m

0

Ak (t)x(t − hk (t)) +

x(t)
˙
= A0 (t)x(t) +

B(t, s)x(t + s)ds,

t ≥ σ,

(2.18)

−h(t)

k=1

Định nghĩa 2.2.1. Hệ (2.18) được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số thực K ≥ 1 và
β > 0 sao cho
x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ , ∀t ≥ σ, ∀ϕ ∈ C.
Định lý 2.2.1. Hệ (2.18) là ổn định mũ nếu một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Tồn tại β1 > 0 và p ∈ Rn+ , p

0 sao cho

m

|Ak (t)|eβ2 hk (t) +

M (A0 (t)) +

−h(t)

k=1

(iii) Tồn tại A0 ∈ Rn×n và B0 ∈ Rn×n
sao cho
+
M (A0 (t)) ≤ A0 ,
m

∀t ∈ R,

(2.21)

0

|Ak (t)| +

|B(t, s)|ds ≤ B0 ,

∀t ∈ R,

(2.22)

−h(t)



Nhận xét 2.2.1. Trong cuốn sách kinh điển về phương trình vi phân phiếm hàm 1 ,
bằng cách xây dựng một phiếm hàm loại Razumikhin, người ta chỉ ra rằng phương trình
vi phân tuyến tính có chậm
m

x(t)
˙
= −a(t)x(t) −

bk (t)x(t − hk (t)),
k=1

là ổn định mũ cho tất cả các hàm liên tục bị chặn a(·), bk (·), hk (·) ∈ C(R, R), k ∈ m, nếu
a(t) ≥ δ > 0, m
k=1 |bk (t)| ≤ θδ, 0 < θ < 1, 0 ≤ hk (t) ≤ h, với mọi t ∈ R. Kết quả này
được suy ra ngay từ Hệ quả 2.2.2.
Một kết quả tương tự được tìm thấy trong 2 . Các tác giả đã chỉ ra rằng:
x(t)
˙
= −ax(t) + b(t)x(t − h),
trong đó, a, h > 0 và b(·) ∈ C(R, R), là ổn định mũ nếu supt≥t0 |b(t)| < a. Một lần nữa,
khẳng định này là hiển nhiên bởi Hệ quả 2.2.2.
Mặt khác, sử dụng một bất đẳng thức loại Hallanay, các tác giả 3 đã chỉ ra rằng
phương trình
t

x(t)
˙
= −a(t)x(t) − b(t)


Vì vậy, điều kiện (i) của Định lý 2.2.1 thỏa mãn và do đó (2.27) là ổn định mũ.
Trong phần tiếp theo của mục này, chúng tôi xét bài toán ổn định của hệ (2.18) chịu
nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian. Các kết quả của mục này mở rộng các kết quả
đã được trình bày trong mục 2.1.2.
Giả sử tất cả các giả thiết của Hệ quả 2.2.2 được thỏa mãn, khi đó (2.18) là ổn định
1

Hale, J. and Lunel, S. M. V. (1993), Introduction to Functional Differential Equations. New York:
Springer-Verlag.
2
Kolmanovskii, V.B. and Nosov, V. R. (1986), Stability of Functional Differential Equations, Academic Press.
3
Jiang, M., Shen, Y., Liao, X. (2005), On the global exponential stability for functional differential
equations, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 10, 705-713.

12


Chương 2. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

mũ. Xét hệ chịu nhiễu có dạng
m

Ak (t)x(t − hk (t))+

x(t)
˙
= (A0 (t) + D0 (t)∆0 (t)E0 (t))x(t) +
k=1

(2.30)

và
|D(t, s)| ≤ Dm+1 , |E(t, s)| ≤ Em+1 , |δ(t, s)| ≤ δm+1 (s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0].

(2.31)

Khi đó, hệ chịu nhiễu (2.29) vẫn còn ổn định mũ nếu
m

0

δm+1 (s) ds

∆k +
−h

k=0



nếu tồn tại Ak ∈ Rn×n
+ , k ∈ m0 và C(·) ∈ C([−h, 0], R+ ) sao cho
|Ak (t)| ≤ Ak , ∀t ∈ R, k ∈ m0 ;
và

m

0

Ak +
k=0

|B(t, s)| ≤ C(s), ∀t ∈ R, ∀s ∈ [−h, 0],

C(s) ds

Định nghĩa 2.2.2. (i) Nghiệm không của (2.40) được gọi là ổn định mũ (viết tắt là
ES) nếu tồn tại các số thực dương r, K, β sao cho với mỗi σ ∈ R và mỗi ϕ ∈ Cr , nghiệm
x(·; σ, ϕ) của (2.40)-(2.41) xác định trên [σ − h, +∞) và hơn nữa thỏa mãn
x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ,

∀t ≥ σ.

(ii) Nghiệm không của (2.40) được gọi là ổn định mũ toàn cục (viết tắt là GES) nếu
tồn tại các số thực dương K, β sao cho với mỗi σ ∈ R và mỗi ϕ ∈ C, nghiệm x(·; σ, ϕ)
của (2.40)-(2.41) xác định trên [σ − h, +∞) và hơn nữa thỏa mãn
x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ ,

∀t ≥ σ.

(0)

n×n
) và η(·, ·) :
Định lý 2.2.5. Giả sử A0 (·) := (aij (·)) ∈ C(R, Rn×n ), A1 (·) ∈ C(R, R+
R × [−h, 0] → Rn×n sao cho

η(t, ·) := (ηij (t, ·)) ∈ N BV0 ([−h, 0], Rn×n ),
với mỗi t ∈ R và L(t; ϕ) : R × C → Rn
0

L(t; ϕ) :=

dθ [η(t, θ)]ϕ(θ),
−h


Đặt
B(t) := (V ar[−h,0] ηij (t, ·)) ∈ Rn×n , t ∈ R.

(2.45)

Khi đó, nghiệm không của (2.40) là ES nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) Tồn tại β1 > 0 và p ∈ Rn+ , p

0 sao cho

A0 (t) + A1 (t) + eβ1 h B(t) p

−β1 p,

∀t ∈ R;

(2.46)

(ii) Tồn tại β2 > 0 và ma trận B0 ∈ Rn×n ổn định Hurwitz sao cho
A0 (t) + A1 (t) + eβ2 h B(t) ≤ B0 ,

∀t ∈ R;

(2.47)

(iii) Tồn tại A0 ∈ Rn×n và B0 ∈ Rn×n
sao cho
+
A0 (t) ≤ A0 ;


+ ) được cho như trong Định lý 2.2.5 và (2.43)-(2.44) thỏa mãn. Khi
đó, nghiệm không của (2.40) là GES nếu một trong các điều kiện sau đây thỏa mãn:
(i) Tồn tại β1 > 0 và p ∈ Rn+ , p

0 sao cho

m

A0 (t) + A1 (t) + e

β1 h

0

|Ak (t)| + e

β1 h

|B(t, s)|ds p
−h

k=2

15

−β1 p, ∀t ∈ R; (2.51)


Chương 2. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn


A0 (t) ≤ A0 ;

|Ak (t)| +

|B(t, s)|ds ≤ B0 ,

∀t ∈ R,

(2.53)

−h

k=1

và A0 + B0 là ổn định Hurwitz.
Hai ví dụ minh họa cho kết quả đạt được (Ví dụ 2.2.3, Ví dụ 2.2.4).
Trong phần tiếp theo của mục này, chúng tôi xét bài toán ổn định vững của hệ (2.8)
chịu nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian.
Giả sử (2.8) là GES. Xét hệ chịu nhiễu
m

Ak x(t − hk ) + F t; x(t − τ1 (t)), ..., x(t − τm (t)) , (2.76)

x(t)
˙
= A0 x(t) + f (t, x(t)) +
k=1

k
Định lý 2.2.9. Giả sử (2.8) là hệ dương và GES. Giả sử rằng tồn tại Dk ∈ Rn×l

nghiệm. Từ đó, chúng tôi thu được một loạt các điều kiện đủ mới, tường minh cho tính
ổn định mũ của các lớp hệ sau đây:
- Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm tuyến tính tổng quát (Định lý 2.1.6, Định
lý 2.1.7, Hệ quả 2.2.7).
- Các hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian có chậm (Định lý
2.2.1, Hệ quả 2.2.2).
- Các hệ phương trình vi phân phiếm hàm phi tuyến phụ thuộc thời gian (Định lý
2.2.5, Hệ quả 2.2.6).

16


Chương 2. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm hữu hạn

Ngoài ra, chúng tôi thu được các biên ổn định mới cho các hệ tuyến tính (dừng hoặc
phụ thuộc thời gian) chịu nhiễu có cấu trúc hoặc nhiễu phi tuyến phụ thuộc thời gian
(Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9). Một số ví dụ được cho để minh họa cho các
kết quả đạt được (Ví dụ 2.1.1, Ví dụ 2.1.2, Ví dụ 2.2.1, Ví dụ 2.2.2, Ví dụ 2.2.3, Ví dụ
2.2.5, Ví dụ 2.2.6). Hơn thế nữa, chúng tôi đã áp dụng các kết quả thu được (Định lý
2.2.5) vào việc nghiên cứu các bài toán ổn định của các điểm cân bằng của các mạng nơ
ron nhân tạo (Ví dụ 2.2.4). Các kết quả thu được là tổng quát hơn và cải tiến các kết
quả đã có trong 4 5 6 .

4

Cao, J. and Wang, L. (2002), Exponential stability and periodic oscillatory solution in BAM networks with delays, IEEE Transactions on Neural Networks 13, 457-463.
5
Driessche, P. and Zou, X.(1998) , Global attractivity in delayed Hopfield neural network models,
Siam Journal on Applied Mathematics 58, 1878-1890.
6


(Định lý 3.1.1). Sau đó, chúng tôi trình bày một vài kết quả mới về các biên ổn định
của hệ (3.1) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian. Cuối cùng chúng tôi mở rộng
các kết quả đã phát biểu cho các hệ tuyến tính cho các hệ phi tuyến (Định lý 3.2.1).

3.1
3.1.1

Ổn định mũ của các hệ tuyến tính phụ thuộc
thời gian với chậm vô hạn
Điều kiện ổn định mũ

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (3.1).
Với γ > 0 cho trước
Cγ := {ϕ ∈ C(R− , Rn ) : lim eγθ ϕ(θ) ∈ Rn }.
θ→−∞

Để ý rằng, Cγ là không gian Banach với chuẩn ϕ := supθ∈R− eγθ ϕ(θ) và Cγ bao hàm
các hàm liên tục bị chặn trên R− nhận giá trị trong Rn .
Với σ ∈ R cho trước, chúng ta xét cho (3.1) điều kiện đầu:
x(σ + s) = ϕ(s), s ∈ R− .

18

(3.2)


Chương 3. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn

Định nghĩa 3.1.1. Hàm liên tục x(·) : R → Rn được gọi là một nghiệm của bài toán

x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ ,

∀t ≥ σ.
(0)

Định lý 3.1.1. Giả sử các giả thiết (H1 ) và (H2 ) được thỏa mãn và A0 (t) := (aij (t)),
(0)
t ∈ R. Giả sử tồn tại A0 := (aij ) ∈ Rn×n sao cho
(0)

(0)

(0)

(0)

∞

0

aii (t) ≤ aii , ∀t ∈ R, i ∈ n và |aij (t)| ≤ aij , ∀t ∈ R, ∀i = j, i, j ∈ n.

(3.4)

Nếu ma trận
M := A0 +

Ak +
k=1


∀t ∈ R; (3.12)

−∞

1

Kato, J. (1978), Stability problem in functional differential equations with infinite delay, Funkcial.
Ekvac. 21, 63-80.

19


Chương 3. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn

(ii) Tồn tại β > 0 và B ∈ Rn×n , µ(B) < 0 sao cho
0

∞

e−βs |B(t, s)|ds ≤ B,

eβhk (t) |Ak (t)| +

M (A0 (t)) +
k=1

∀t ∈ R.

(3.13)


C(s)x(t + s)ds, ổn định
−∞

k=1

0

∞

mũ trong Cγ0 với một γ0 ∈ (0, γ] nếu và chỉ nếu µ A0 +

Ak +
k=1

3.1.2

(3.16)

−∞

k=1

C(s)ds

< 0.

−∞

Ổn định của các hệ chịu nhiễu


tồn tại Dk ∈ Rn×l
, Ek ∈ Rq+k ×n , ∆k ∈ Rl+k ×qk với k ∈ N0 và D ∈ R+
, E ∈ Rq×n
+ ,
+
δ0 (·) : R− → Rl×q
sao
cho
+
(H3 ) |Dk (t)| ≤ Dk , |Ek (t)| ≤ Ek , |∆k (t)| ≤ ∆k ,

∀t ∈ R, ∀k ∈ N0 ;

(H4 ) |D(t, s)| ≤ D, |E(t, s)| ≤ E, |δ(t, s)| ≤ δ0 (s),
(H5 ) supk∈N Dk < ∞, supk∈N Ek < ∞;

20

∀t ∈ R, ∀s ∈ R− ;


Chương 3. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn

0

∞

e−γ1 s δ0 (s) ds < ∞.

eγ1 τk ∆k < ∞ và


Ak +

0
−∞

C(s)ds)−1 Q

,

(3.18)

ở đây, γ0 được cho trong kết luận của Định lý 3.1.1 và các tập hợp Ξ, Θ được xác định
bởi
Ξ := {E, Ek : k ∈ N0 };
Θ := {D, Dk : k ∈ N0 }.
(3.19)
Chúng ta sẽ minh họa các kết quả thu được bởi hai ví dụ (Ví dụ 3.1.1, Ví dụ 3.1.2).

3.2

Ổn định mũ của các hệ phi tuyến với chậm
vô hạn

Xét hệ phương trình vi phân phi tuyến với chậm vô hạn được xác định bởi
∞

0

Ak (t)x(t − hk (t)),


(3.30)

−∞

Giả sử rằng, f (·, ·) : R × Rn → Rn , f (t, 0) = 0, ∀t ∈ R, và g(·, ·, ·, ·) : R × Rn ×
Rn × Rn → Rn , g(t, 0, 0, 0) = 0, ∀t ∈ R, là các hàm liên tục. Hơn nữa, f là liên tục
Lipschitz (địa phương) theo biến thứ hai trên mỗi tập con compact của R × Rn và g
là liên tục Lipschitz (địa phương) theo ba biến sau cùng trên mỗi tập con compact của
R × Rn × Rn × Rn .
Với σ ∈ R cố định và ϕ ∈ Cγ cho trước, tồn tại duy nhất nghiệm (địa phương) của
(3.28) thỏa mãn điều kiện đầu
xσ (s) = ϕ(s), s ∈ R− .

21

(3.32)


Chương 3. Ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân với chậm vô hạn

Định nghĩa 3.2.1 (2 ). Nghiệm không của (3.28) được gọi là ổn định mũ toàn cục trong
Cγ0 , với γ0 ∈ (0, γ], nếu tồn tại các số thực dương K, β sao cho với mỗi σ ∈ R và với mỗi
ϕ ∈ Cγ0 , nghiệm x(·; σ, ϕ) của (3.28) và (3.32) tồn tại trên R và hơn nữa thỏa mãn
x(t; σ, ϕ) ≤ Ke−β(t−σ) ϕ ,

∀t ≥ σ.

(3.33)


Nếu ma trận M := M0 + M1 + M2 ∞
k=1 Ak + M3 −∞ C(s)ds ổn định Hurwitz thì (3.28)
là ổn định mũ toàn cục trong Cγ0 với một γ0 ∈ (0, γ].
Một ứng dụng vào các mạng nơ ron Cohen-Grossberg (Ví dụ 3.2.1).

3.3

Kết luận

Bằng một tiếp cận mới, chúng tôi đã nghiên cứu thành công bài toán ổn định mũ
toàn cục của các hệ phương trình vi phân phiếm hàm (tuyến tính hoặc phi tuyến) phụ
thuộc thời gian với chậm vô hạn. Một cách khái quát, kết quả chính của chương này
(Định lý 3.1.1, Định lý 3.2.1) nói rằng nếu một hệ phương trình vi phân (tuyến tính
hoặc phi tuyến) phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn bị “chặn trên” bởi một hệ tuyến
tính dừng, dương, ổn định mũ, thì nó cũng ổn định mũ.
Xa hơn nữa, chúng tôi thu được các kết quả mới về các biên ổn định của (3.1) chịu
nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời gian (Định lý 3.1.5). Các kết quả của Định lý 3.1.5 là
sự mở rộng các kết quả về biên ổn định của các hệ phương trình vi phân thường tuyến
tính dừng chịu nhiễu có cấu trúc hằng (xem 3 ) cho các hệ phương trình vi phân tuyến
tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (3.1) chịu nhiễu có cấu trúc phụ thuộc thời
gian. Cuối cùng, Định lý 3.2.1 cung cấp các điều kiện ổn định mũ tường minh cho các
hệ phương trình vi phân phi tuyến tổng quát với chậm vô hạn. Các kết quả thu được
đã được dùng để nghiên cứu tính ổn định mũ của các điểm cân bằng của các mạng nơ
ron nhân tạo.

2

Kato, J. (1978), Stability problem in functional differential equations with infinite delay, Funkcial.
Ekvac. 21, 63-80.
3

- Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn (Định lý 2.2.1).
- Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân
phi tuyến phụ thuộc thời gian với chậm hữu hạn (Định lý 2.2.5, Hệ quả 2.2.6, Hệ
quả 2.2.7, Hệ quả 2.2.8).
- Các biên ổn định mới cho các hệ phương trình vi phân tuyến tính (dừng hoặc phụ
thuộc thời gian) với chậm hữu hạn chịu nhiễu có cấu trúc hoặc nhiễu phi tuyến phụ
thuộc thời gian (Định lý 2.1.8, Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9).
- Áp dụng kết quả thu được vào việc nghiên cứu tính ổn định của các điểm cân bằng
của các mạng nơ ron nhân tạo (Ví dụ 2.2.4).
b2 ) Đối với lớp các hệ phương trình vi phân phiếm hàm với chậm vô hạn:
- Các điều kiện đủ tường minh cho tính ổn định mũ của các hệ phương trình vi phân
tuyến tính phụ thuộc thời gian với chậm vô hạn (Định lý 3.1.1, Định lý 3.1.2, Nhận
xét 3.1.4, Hệ quả 3.1.3, Hệ quả 3.1.4).

23