Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy 4
1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính . . . . . . 5
1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính . . . . . . 11
1.3 Tính ổn định của các hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp các đại
lượng trung bình cơ bản 25
2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng
trung bình cộng vào trung bình cộng . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng
trung bình cộng vào trung bình nhân . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng
trung bình cộng vào trung bình điều hòa . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng
trung bình cộng vào trung bình bậc hai . . . . . . . . . . . . 31
3 Tính ổn định của một số dạng phương trình hàm khác 33
3.1 Tính ổn định của phương trình sóng . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Tính ổn định của phương trình đa thức . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Tính ổn định của phương trình dạng toàn phương . . . . . . 40
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những chủ đề lâu đời nhất của
toán học phân tích. Nó được ra đời từ rất sớm và có mặt ở hầu hết mọi nơi
và có ứng dụng trong mọi lĩnh vực của đời sống và kỹ thuật. Đã có rất nhiều
nhà toán học lớn nghiên cứu lĩnh vực này như: Cauchy, D’Alembert, Banach,
Gauss, . . .và họ đã có rất nhiều đóng góp to lớn. Trong một bài giảng nổi
tiếng của S.M.Ulam tại câu lạc bộ toán của trường đại học Wisconsin vào

gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy cùng toàn thể ban lãnh
đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến
thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy
cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành
các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong
seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn
này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá
ấy.
Cuối cùng do bản thân kiến thức còn có nhiều hạn chế nên luận văn không
tránh khỏi những thiếu sót.Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của
quý thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2014
Nguyễn Thị Thanh Tâm
3
Chương 1
Tính ổn định của các phương trình
hàm dạng Cauchy
Định nghĩa 1.1. Phương trình hàm là các phương trình mà hai vế của
phương trình là các biểu thức được xây dựng từ một số hữu hạn các hàm
chưa biết và từ một số hữu hạn các biến độc lập.
Thông thường một phương trình hàm tổng quát đã cho thường không kèm
theo các giả thiết có đặc trưng giải tích lên các hàm như tính đo được, tính
bị chặn, khả tích, khả vi, liên tục,. . .
Như ta đã biết, phương trình hàm là một phương trình thông thường mà
nghiệm của nó là các hàm. Để giải quyết tốt vấn đề này, cần phân biệt tính
chất hàm với đặc trưng hàm. Sau đây là đặc trưng hàm của một số hàm sơ
cấp.
i) Hàm bậc nhất f(x) = ax + b; a = 0; b = 0 có tính chất

3
(x), ∀x ∈ R.
+) Hàm f(x) = cos x có tính chất:
f(2x) = 2f
2
(x) − 1, ∀x ∈ R.
Tiếp theo, ta đề cập đến tính ổn định của phương trình hàm Cauchy cộng
tính và một số phương trình hàm dạng Cauchy.
1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính
Trước hết ta nhắc lại phương trình hàm Cauchy cộng tính:
Giả sử hàm f : R → R là hàm thỏa mãn tính chất
f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x, y ∈ R, (∗)
thì f được gọi là hàm cộng tính.
Định nghĩa 1.2. Giả sử f : R → R sao cho với mọi ε > 0 cho trước nếu
tồn tại số δ > 0 sao cho
|f(x + y) − f(x) −f(y)| < δ, ∀x, y ∈ R
và một hàm cộng tính M : R → R để
|f(x) − M(x)| < ε, ∀x ∈ R.
thì phương trình hàm Cauchy (*) được gọi là ổn định.
Định lý 1.1. Giả sử hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0
cho trước ta có
|f(x + y) − f(x) −f(y)| ≤ ε với ∀x, y ∈ R. (1.1)
5
Khi đó với mỗi x ∈ R, giới hạn sau tồn tại :
A(x) = lim
n→∞
2
−n
f(2
n




1
2
f(2
2
x) − f(2x)



≤
1
2
ε.
Khi đó




1
2
f(2
2
x) − 2f(x)

−

f(2x) − 2f(x)




−



1
2
f(2x) − f(x)



≤
1
2
2
ε.
Nên



1
2
2
f(2
2
x) − f(x)




2
+ ··· +
1
2
n

= ε

1 −
1
2
n

.
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy
1
2
n
f(2
n
x) là dãy Cauchy với mỗi x ∈ R.
Chọn m > n khi đó



1
2
n
f(2
n


1 −
1
2
m−n

6
= ε

1
2
n
−
1
2
m
).
Do đó dãy {
1
2
n
f(2
n
x)} là dãy Cauchy với mỗi x ∈ R và do R là không gian
Banach nên tồn tại A : R → R sao cho
A(x) = lim
n→∞
2
−n
f(2

1
2
n
f(2
n
(x + y)) −
1
2
n
f(2
n
x) −
1
2
n
f(2
n
y)



≤
1
2
n
ε
với mỗi n ∈ Z
∗
+
, x, y ∈ R.

1
2
n
) + ε
1
2
n
= ε.
Cuối cùng ta cần chứng minh hàm A là duy nhất.
Thật vậy giả sử tồn tại hàm cộng tính A
1
: R → R. Khi đó với mỗi x ∈ R
|A(x) − A
1
(x)| =
1
n
|[A(nx) − f(nx)] + [A
1
(nx) − f(nx)]| ≤
2ε
n
.
Vậy A
1
= A.
Như vậy định lý này cho ta một kết quả là mọi phương trình Cauchy cộng
tính đều ổn định.
7
Ví dụ 1.1. Tìm tất cả các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau

h(x) = ax + α
với a, α, β là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo ta xét tính ổn định của phương trình (1.5).
8
Mệnh đề 1.1. Giả sử hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện
|f(x + y) − g(x) − h(y)| ≤ ε (1.6)
với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y ∈ R. Khi đó tồn tại duy
nhất một hàm cộng tính A : R → R sao cho



|f(x) − A(x) −f(0)| ≤ 6ε
|g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε
|h(x) − A(x) −h(0)| ≤ 6ε
với mọi x ∈ R.
Chứng minh. Thay y = 0 vào (1.6), ta được
|f(x) − g(x) − h(0)| ≤ ε, ∀x ∈ R, (1.7)
suy ra
|f(0) − g(0) −h(0)| ≤ ε. (1.8)
Thay y = 0 vào (1.6), ta được
|f(y) − h(y) − g(0)| ≤ ε, ∀t ∈ R. (1.9)
Từ (1.7) và (1.9)
|h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| = |f(x) − g(x) − h(0) + h(x) + g(0) − f(x)|
≤ |f(x) −g(x) − h(0)| + |f(x) −h(x) −h(0)|
hay
|h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| ≤ 2ε, ∀x ∈ R. (1.10)
Sử dụng (1.7), ta được
|f(x + y) − g(x + y) − h(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R. (1.11)
Ta có
|f(x+y)−g(x+y)−h(0)| = |f(x+y)−g(x)−h(y)−g(x+y)+g(x)+h(y)−h(0)|.

|h(x) − A(x) −h(0)| = |h(x) − g(x) − h(0) + g(0) + g(x) −A(x) −g(0)|
≤ |h(x) −g(x) − h(0) + g(0)| + |g(x) − A(x) − g(0)|
≤ 2ε + 4ε = 6ε.
1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân
tính
Trong phần này ta nghiên cứu phương trình
f(xy) = f(x)f(y) (1.16)
Giả sử hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện (1.16). Khi đó f được gọi là hàm
nhân tính.
Định nghĩa 1.3. Giả sử f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0 cho
trước, tồn tại số δ > 0 sao cho
|f(xy) − f(x)f(y)| < δ, ∀x, y ∈ R
. Khi đó nếu tồn tại một hàm nhân tính M : R → R để
|f(x) − M(x)| < ε, ∀x ∈ R.
thì phương trình hàm Cauchy (1.16) được gọi là ổn định.
Định lý 1.2. Giả sử δ > 0, và f : R → C sao cho
|f(xy) − f(x)f(y)| ≤ δ x, y ∈ R. (1.17)
Khi đó
Hoặc
|f(x)| ≤
1 +
√
1 + 4δ
2
:= ε, ∀x ∈ R. (1.18)
Hoặc f là hàm nhân tính với mọi x, y ∈ R.
Chứng minh. Trong ta có
1 +
√
1 + 4δ

− f(a
2
)| ≥ |f(a)|
2
− δ
= (ε + ρ)
2
− δ = (ε + ρ) + (2ε −1) + ρ
2
(do ε
2
− ε = δ)
> ε + 2ρ, với ε > 1.
Bằng phép chứng minh quy nạp ta có
|f(a
2
n
)| > ε + (n + 1)ρ, với mọi n = 1, 2, . . .
Với mọi x, y, z ∈ S
|f(xyz) − f(xy)f(z)| ≤ δ,
|f(xyz) − f(x)f(yz)| ≤ δ.
Ta có
|f(xy)f(z) − f(x)f(yz)| ≤ |f(xyz) − f(xy)f(z)|
+ |f(xyz) − f(x)f(yz)| ≤ 2δ.
Và
|f(xy)f(z) − f(x)f(y)f(z)| ≤ |f(xy)f(z) − f(x)f(yz)|
+ |f(x)f(yz) − f(x)f(y)f(z)|
≤ 2δ + |f(x)|δ
Suy ra
|f(xy) − f(x)f(y)| ·|f(z)| ≤ 2δ + |f(x)|δ.

→ R sao cho
|f(x) − L(x)| ≤ ε (1.21)
với mọi x > 0.
Để chứng minh định lý này, ta dựa trên bổ đề sau
Bổ đề 1.1. Cho ε, d > 0, k, s ∈ R, với k = 0 và s = 0. Giả sử rằng hàm
f : R
+
→ B thỏa mãn điều kiện
|f(xy) − f(x) −f(y)| ≤ ε (1.22)
với mọi x, y > 0 và x
k
y
s
≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất hàm logarit L : R
+
→
B thỏa mãn điều kiện
|f(x) − L(x)| ≤ 3ε (1.23)
với mọi x ∈ R
+
.
Chứng minh. Từ tính đối xứng của bất đẳng thức, ta đã có s = 0.
Với x, y ∈ R
+
, chọn z > 0 sao cho x
k
y
k
z
s

s
≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm logarit
L : R
+
→ B sao cho
|f(x) − L(x) −f(1)| ≤ 4ε (1.25)
với mọi x ∈ R
+
.
Chứng minh. Thay x bởi x
1
p
và y bởi y
1
q
trong (1.24) ta được



f(xy) − Pf



x
1
p



− Qf

s
q
−
k
p
≥ d, x
k
p
z
s
q
−
k
p
≥ d,
y
s
q
z
s
q
−
k
p
≥ d, z
s
q
−
k
p




+



− f(x) + Pf

x
1
p
z
−1
p

+ Qf

z
1
q




+



− f(y) + Pf




≤ 4ε.
Theo Định lý 1.2, tồn tại duy nhất một hàm logarit L : R
+
→ B sao cho
|f(x) − L(x) −f(1)| ≤ 4ε ∀x ∈ R
+
. (1.27)
Định lý được chứng minh.
14
Hệ quả 1.1. Giả sử ε > 0, d, k, s, p, q, P, Q ∈ R với
k
p
=
s
q
, pqP Q = 0. Giả
sử rằng g : R → B thỏa mãn điều kiện
|g(px + qy) −Pg(x) −Qg(y)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R, với kx + sy ≥ d. (1.28)
Khi đó tồn tại duy nhất hàm cộng tính A : R → B sao cho
|g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε ∀x ∈ R. (1.29)
Chứng minh. Thay x bởi ln u, y bởi ln v vào (1.28) và đặt f(x) = g(ln x)
ta được
|f(u
p
v
q
) − P f(u) −Qf(v)| ≤ ε,

k
y
s
≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm logarit
L : R
+
→ B sao cho
|f(x) − L(x) −f(1)| ≤
4ε
|P |
với mọi x ∈ R nếu s = 0 và
|f(x) − L(x) −f(1)| ≤
4ε
|Q|
15
với mọi x ∈ R nếu k = 0.
Chứng minh. + Trường hợp s = 0.
Với x, y ∈ R, chọn một số z > 0 sao cho
x
k
y
k
z
s
≥ d; x
k
y
ps
q
z

y
p
q
z




+ |f(y
p
z
q
) − P f(y) − Qf(z)|
+



− f(x
p
z
q
) + P f(1) + Qf

y
p
q
z




z
k
≥ d, x
q k
p
z
k
≥ d.
Thay y bởi xy, x bởi z; y bởi y, x bởi x
q
p
z; y bởi x, x bởi z; y bởi 1, x bởi
x
q
p
z vào (1.30) ta được
|Qf(xy) − Qf(x) −Qf(y) + Qf(1)| ≤ | − f((xy)
q
z
p
) + Qf(xy) + P f(z)|
+



f((xy)
q
z
p
) − Qf(y) − P f



≤ 4ε.
Chia bất đẳng thức này cho |Q| và áp dụng Định lý 1.2, ta sẽ thấy rằng tồn
tại duy nhất một hàm logarit L : R
+
→ B sao cho
|f(x) − L(x) −f(1)| ≤
4ε
|Q|
16
với mọi x ∈ R
+
.
Định lý được chứng minh.
Hệ quả 1.2. Giả sử ε, d, k, s ∈ R với k = 0 hoặc s = 0. Giả sử rằng
g : R → B thỏa mãn điều kiện
|g(px + qy) −Pg(x) −Qg(y)| ≤ ε
với mọi x, y ∈ R, với kx + sy ≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất hàm cộng tính
A : R → B sao cho
|g(x) − A(x) − g(0)| ≤
4ε
|P |
với mọi x ∈ R nếu s = 0, và
|g(x) − A(x) − g(0)| ≤
4ε
|Q|
với mọi x ∈ R nếu k = 0.
Ví dụ 1.2. Xác định tất cả các hàm f, g, h liên tục trên R
+

Ta có
ϕ(e
u+v
) = ϕ(e
u
) + ϕ(e
v
), ∀u, v ∈ R
⇔ ψ(u + v) = ψ(u) + ψ(v) với ψ(u) = ϕ(e
u
).
Đây là phương trình hàm Cauchy nên có nghiệm
ψ(u) = mu
⇔ ϕ(x) = m ln x
⇔ f(x) = m ln x + a + b
g(x) = m ln x + a
h(x) = m ln x + b.
Thử lại ta thấy các hàm số f, g, h thỏa mãn bài toán.
Vậy nghiệm của phương trình là



f(x) = m ln x + a + b
g(x) = m ln x + a
h(x) = m ln x + b.
1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa
Giả sử (S, +) là nửa nhóm giao hoán, E là không gian Banach phức, X
là đại số phức với phần tử đơn vị là 1
X
và C là trường số phức.

f
= {a ∈ M
f
: |Scf(a)| > 1}.
Ta có các định lý sau.
Định lý 1.6. Giả sử hai hàm số f : S → E, g : S → C thỏa mãn bất đẳng
thức sau:
|f(x + y) − g(x)f(y)| ≤ ψ(x, y), ∀x, y ∈ S. (1.33)
Nếu N
g
= ∅ và ψ(x, y + a) ≤ ϕ(x, y) với mọi x, y ∈ S và a ∈ N
g
, khi đó tồn
tại duy nhất một hàm T : S → E mà
T (x + y) = g(x)T (y),
(g(x + y) − g(x)g(y))T (z) = 0
và
|f(y) − T(y)| ≤ inf
a∈N
g
ψ(a, y)
|g(a)| − 1
với mọi x, y, z ∈ S.
Chứng minh. Ta có a ∈ N
g
và trong (1.33) thay x = a ta được
|f(a + y) − g(a)f(y)| ≤ ψ(a, y), (1.34)
với mọi y ∈ S.
Ta gọi tập hợp
A = {g : S → E},

=
1
g(a)
d(u, h)
với mọi u, h ∈ A.
Do đó h là ánh xạ co của A với hằng số L =
1
|g(a)|
.
Từ (1.34) ta được



f(y + a)
g(a)
− f(y)



≤
ψ(a, y)
|g(y)|
với mọi y ∈ S, vậy ta được d(J(f), f) ≤ L < ∞.
Suy ra tồn tại một ánh xạ T
a
: S → C sao cho
1. T
a
là điểm cố định của J, nghĩa là
T

a
) ≤
1
|g(a)| − 1
.
Từ (1.34) ta suy ra
|f(y + na) − g(a)
n
f(y)| ≤
n−1

i=0
ψ(a, y + ia)|g(a)|
n−1−i
(1.36)
20
với mọi y ∈ S và n ∈ N.
Từ ψ(a, y + a) ≤ ψ(a, y) với mọi y ∈ S ta suy ra
ψ(a, y + ma) ≤ ψ(a, y)
với mọi x ∈ S và m ∈ N, vì vậy từ (1.36) ta thu được
|f(y + na) − g(a)
n
f(y)| ≤ ψ(a, y)
|g(a)
n
| − 1
|g(a)| − 1
(1.37)
với mọi y ∈ S.
Từ (1.37), với mỗi a, b ∈ N

| − 1
|g(a)| − 1
|f(y + n(a + b)) −g(b)
n
f(y + na)| ≤ ψ(b, y)
|g(b)
n
| − 1
|g(b)| − 1
Do đó
|g(a)
n
f(y + nb) −g(b)
n
f(y + na)| ≤ ψ(a, y)
|g(a)
n
| − 1
|g(a)| − 1
+ ψ(b, y)
|g(b)
n
| − 1
|g(b)| − 1
.
Ta chia cho |g(a)
n
g(b)
n
| ta được

1
|g(a)
n
|
)
Cho n → ∞ ta được T
a
(y) = T (y) với mọi y ∈ S.
Vì vậy mà tồn tại duy nhất mọi hàm T sao cho T = T
a
, với mọi a ∈ N
g
và
|f(y) − T(y)| ≤
ψ(a, y)
|g(a)| − 1
21
với mọi y ∈ S và a ∈ N
g
. Vì a ∈ N
a
là phần tử tùy ý nên
|f(y) − T(y)| ≤ inf
a∈N
g
ψ(a, y)
|g(a)| − 1
với mọi y ∈ S.
Ta có x, y ∈ S và a ∈ N
g

Vì x, y, z ∈ S tùy ý nên
T (x + y + z) = g(x + y)T (z)
và
T (x + y + z) = g(x)T (y + z) = g(x)g(y)T (z),
hoặc
(g(x + y) − g(x)g(y))T (z) = 0
với mọi x, y, z ∈ S. Định lý được chứng minh.
Từ định lý ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 1.3. Giả sử f : S → C thỏa mãn điều kiện
|f(x + y) − f(x)f(y)| ≤ ψ(x, y)
với mọi x, y ∈ S.
Nếu ψ(a, y + a) ≤ ψ(x, y) với mọi x, y ∈ S và a ∈ N
f
, khi đó f hoặc là bị
chặn, hoặc là hàm lũy thừa.
Hệ quả 1.4. Giả sử f, g : S → C, S có phần từ đơn vị, f là hàm khác không
và thỏa mãn điều kiện
|f(x + y) − g(x)f(y)| ≤ ψ(x, y)
22
với mọi x, y ∈ S.
Nếu ψ(x, y + a) ≤ ψ(x, y) với mọi x, y ∈ S và a ∈ N
g
thì g hoặc là bị chặn,
hoặc là hàm lũy thừa và
|f(x + y) − g(x)f(y)| ≤ ψ(x, y)
với mọi x ∈ G.
Ví dụ 1.3. Tìm tất cả các hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện
f(x + y) = g(x).h(y), ∀x, y ∈ R. (1.40)
Cho x = 0, ta có
f(y) = ah(y) với a = g(0).

f(x) ≡ 0
g(x) ≡ 0
h(x) là hàm tùy ý liên tục trên R.
Hoặc



f(x) ≡ 0
h(x) ≡ 0
g(x) là hàm tùy ý liên tục trênR.
23
Với ϕ(x) = e
c
x, ta có



f(x) = abe
c
x
g(x) = ae
c
x
h(x) = be
c
x.
Nếu g(0) = a = 0 thì f(x) = 0 với mọi x ∈ R.
Nếu g(x) ≡ 0 thì h(x) là hàm số tùy ý.
Nếu tồn tại x
0

c
x
h(x) = be
c
x.
Hoặc



f(x) ≡ 0
g(x) ≡ 0
h(x) là hàm tùy ý liên tục trên R.
Hoặc



f(x) ≡ 0
h(x) ≡ 0
g(x) là hàm tùy ý liên tục trênR.
24
Chương 2
Tính ổn định của các phương trình
hàm chuyển tiếp các đại lượng trung
bình cơ bản
2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp
đại lượng trung bình cộng vào trung bình cộng
Bài toán 2.1. Tìm hàm f : R → R thỏa mãn phương trình
f

x + y

ta có
A(x) + A(y) = A(x + y) ∀x, y ∈ R.
Vậy A là một hàm cộng tính trên R nên f(x) = A(x)+ α trong đó α = f(0).
Tiếp theo ta xét tính ổn định nghiệm của phương trình (2.1).
25