ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ THANH TÂM

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO

Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI- 2014


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy
1.1 Tính ổn định của các phương trình hàm cộng tính . . .
1.2 Tính ổn định của các phương trình hàm nhân tính . . .
1.3 Tính ổn định của các hàm logarit . . . . . . . . . . . .
1.4 Tính ổn định của các hàm lũy thừa . . . . . . . . . . .
2 Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp
lượng trung bình cơ bản
2.1 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại
trung bình cộng vào trung bình cộng . . . . . . . . . .
2.2 Tính ổn định của phương trình hàm chuyển tiếp đại

4
5
11
13
18

các đại
25
lượng
. . . .
lượng
. . . .
lượng
. . . .
lượng
. . . .

khác
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .

.
.
.
.
.


"một chút" giả thiết của định lý mà vẫn khẳng định được các kết quả của
định lý vẫn còn đúng hoặc "xấp xỉ" đúng.Như vậy câu hỏi đặt ra là tính ổn
định của phương trình hàm là gì, có điểm chung giống như trên không và
nếu trong phương trình hàm tìm được nghiệm thì tính ổn định nghiệm của
phương trình hàm là gì? Để lý giải một phần các vấn đề trên và giới thiệu
quá trình xây dựng các công thức, giải quyết các vấn đề tôi đã thực hiện
luận văn với đề tài "Tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặp
biến tự do".
Bố cục luận văn gồm 3 chương.
Chương 1. Tính ổn định của các phương trình hàm dạng Cauchy.
Mục đích của chương này là đưa ra các định nghĩa và điều kiện ổn định của
phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính,
phương trình hàm logarit và phương trình hàm lũy thừa cùng một số ví dụ
minh họa.
Chương 2. Tính ổn định của các phương trình hàm chuyển tiếp
các đại lượng trung bình cơ bản.
Chương này đưa ra các bài toán tìm nghiệm và xét tính ổn định nghiệm của
các phương trình chuyển tiếp các đại lượng trung bình cơ bản.
2


Chương 3. Tính ổn định của một số phương trình hàm dạng khác
Các kết quả chính trong luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham
khảo [1]-[12].
Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc
của GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy đã dành rất nhiều thời gian quý báu
của mình để hướng dẫn, giải đáp những thắc mắc của tôi. Qua đây tôi xin
gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy cùng toàn thể ban lãnh
đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa
học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến


f

x+y
1
= f (x) + f (y) , en∀x, y ∈ R.
2
2

ii) Hàm tuyến tính: f (x) = ax; a = 0 có tính chất:

f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
iii) Hàm mũ: f (x) = ax , a > 0, a = 1 có tính chất:

f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R.
iv) Hàm logarit: f (x) = loga |x| ; a > 0, a = 1 có tính chất:

f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y = 0 x, y ∈ R.
4


v) Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a có tính chất:

f (xy) = f (x)f (y) ∀x, y = 0 x, y ∈ R.
vi) Các hàm lượng giác:
+) Hàm f (x) = sin x có tính chất

f (3x) = 3f (x) − 4f 3 (x), ∀x ∈ R.
+) Hàm f (x) = cos x có tính chất:


(1.1)


Khi đó với mỗi x ∈ R, giới hạn sau tồn tại :

A(x) = lim 2−n f (2n x)
n→∞

và xác định duy nhất một hàm cộng tính A : R → R thỏa mãn điều kiện

|f (x) − A(x)| ≤ ε,

∀x ∈ R.

Chứng minh. Thay x = y vào (1.1) ta được

1
1
f (2x) − f (x) ≤
ε.
2
2

(1.2)

Sử dụng phương pháp quy nạp ta được

|2−n f (2n x) − f (x)| ≤ (1 − 2−n )ε.

(1.3)

x)
−
f
(x)
−
f
(2x)
−
f
(x)
≤
ε.
22
2
22
Nên

1
1
1
2
f
(2
x)
−
f
(x)
≤
ε
+

.
2n
2 22
2n
2n
Bây giờ ta sẽ chứng minh dãy

1
f (2n x) là dãy Cauchy với mỗi x ∈ R.
n
2

Chọn m > n khi đó

1
1
1 1
n
m
f
(2
x)
−
f
(2
x)
=
| m−n f (2m−n .2n x) − f (2n x)|
n
m


1
1
n
f
(2
x)
ε.
≤
2n
2n
Tiếp theo ta chứng minh A là hàm cộng tính.
Thay x, y bởi 2n x và 2n y ta được
A(x) −

1
1
1
1
n
n
n
f
(2
(x
+
y))
−
f
(2

1
1
≤ |f (x) − n }f (2n x)| + | n f (2n x) − A(x)|
2
2
1
1
≤ ε(1 − n ) + ε n = ε.
2
2

|f (x) − A(x)| = |[f (x) −

Cuối cùng ta cần chứng minh hàm A là duy nhất.
Thật vậy giả sử tồn tại hàm cộng tính A1 : R → R. Khi đó với mỗi x ∈ R

|A(x) − A1 (x)| =

1
2ε
|[A(nx) − f (nx)] + [A1 (nx) − f (nx)]| ≤ .
n
n

Vậy A1 = A.
Như vậy định lý này cho ta một kết quả là mọi phương trình Cauchy cộng
tính đều ổn định.
7



hay

A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R.
Vậy A là một hàm cộng tính trên R nên

f (x) = A(x) + α + β
g(x) = A(x) + β

h(x) = A(x) + α
Nhận xét 1.1. Nếu bài toán có thêm giả thiết: hàm f, g, h liên tục thì
nghiệm tìm được sẽ là

f (x) = ax + α + β
g(x) = ax + β

h(x) = ax + α
với a, α, β là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo ta xét tính ổn định của phương trình (1.5).
8


Mệnh đề 1.1. Giả sử hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện

|f (x + y) − g(x) − h(y)| ≤ ε

(1.6)

với ε là số dương tùy ý cho trước và với mọi x, y ∈ R. Khi đó tồn tại duy
nhất một hàm cộng tính A : R → R sao cho


(1.10)

Sử dụng (1.7), ta được

|f (x + y) − g(x + y) − h(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R.

(1.11)

Ta có

|f (x+y)−g(x+y)−h(0)| = |f (x+y)−g(x)−h(y)−g(x+y)+g(x)+h(y)−h(0)|.
Kết hợp (1.6) và (1.11) thu được

|g(x + y) − g(x) − h(y) + h(0)| ≤ |f (x + y) − g(x + y) − h(0)|
9


+ |f (x + y) − g(x) − h(y)|
≤ 2ε.
Mặt khác

|g(x + y) − g(x) − h(y) + h(0)| = |g(x + y) − g(x) − g(y) + g(0)
− h(y) + g(y) − g(0) + h(0)|.
Từ (1.10) có

|g(x + y) − g(x) − g(y) + g(0)| ≤ |g(x + y) − g(x) − h(y) − h(0)|
+ |h(y) − g(y) + g(0) − h(0)| ≤ 4ε.
Hay

|[g(x + y) − g(0)] − [g(x) − g(0)] − [g(y) − g(0)]| ≤ 4ε,

≤ |f (x) − g(x) − h(0)| + |g(x) − A(x) − g(0)| + |g(0) + h(0) − f (0)|
≤ ε + 4ε + ε = 6ε.
10


Từ (1.10) và (1.15) ta được

|h(x) − A(x) − h(0)| = |h(x) − g(x) − h(0) + g(0) + g(x) − A(x) − g(0)|
≤ |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| + |g(x) − A(x) − g(0)|
≤ 2ε + 4ε = 6ε.

1.2

Tính ổn định của các phương trình hàm nhân
tính

Trong phần này ta nghiên cứu phương trình

f (xy) = f (x)f (y)

(1.16)

Giả sử hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện (1.16). Khi đó f được gọi là hàm
nhân tính.
Định nghĩa 1.3. Giả sử f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với mọi ε > 0 cho
trước, tồn tại số δ > 0 sao cho

|f (xy) − f (x)f (y)| < δ, ∀x, y ∈ R
. Khi đó nếu tồn tại một hàm nhân tính M : R → R để



hay

|f (a)| = ε + ρ,
với ρ > 0 nào đó.
Từ chọn x = y = a ta được

|f (a2 ) − (f (a))2 | ≤ δ.

(1.19)

Khi đó

|f (a2 )| = |(f (a))2 − (f (a)2 − f (a2 ))|
≥ |f (a)2 | − |f (a)2 − f (a2 )| ≥ |f (a)|2 − δ
= (ε + ρ)2 − δ = (ε + ρ) + (2ε − 1) + ρ2 (do ε2 − ε = δ)
> ε + 2ρ,

với ε > 1.

Bằng phép chứng minh quy nạp ta có
n

|f (a2 )| > ε + (n + 1)ρ,

với mọi n = 1, 2, . . .

Với mọi x, y, z ∈ S

|f (xyz) − f (xy)f (z)| ≤ δ,

Tính ổn định của các hàm logarit

Trước hết ta nhắc lại hàm logarit (L)

f (xy) − f (x) − f (y) = 0, ∀x, y ∈ R+ .

(L)

Giả sử hàm

f : R+ → R
thỏa mãn điều kiện (L). Khi đó f được gọi là hàm logarit.
Định lý 1.3. Giả sử f : R+ → R, với ε > 0 cho trước thỏa mãn

|f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε

(1.20)

với mọi x, y > 0. Khi đó tồn tại một hàm logarit L : R+ → R sao cho

|f (x) − L(x)| ≤ ε

(1.21)

với mọi x > 0.
Để chứng minh định lý này, ta dựa trên bổ đề sau
Bổ đề 1.1. Cho ε, d > 0, k, s ∈ R, với k = 0 và s = 0. Giả sử rằng hàm
f : R+ → B thỏa mãn điều kiện

|f (xy) − f (x) − f (y)| ≤ ε

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤ 4ε

(1.25)

với mọi x ∈ R+ .

1
1
Chứng minh. Thay x bởi x p và y bởi y q trong (1.24) ta được
 
 
1
1
 
 
f (xy) − P f x p  − Qf y q  ≤ ε,
k

(1.26)

s

với mọi x, y > 0, với x p y q ≥ d.
Cho x, y ∈ R+ , chọn z > 0 sao cho

s k
−
s
k
x p y q z q p ≥ d,

−1
p

−1
p

−1
p

1

− Qf (yz) q
1

+ Qf z q

1

+ Qf (yz) q
1

− Qf z q

≤ 4ε.
Theo Định lý 1.2, tồn tại duy nhất một hàm logarit L : R+ → B sao cho

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤ 4ε
Định lý được chứng minh.
14


với mọi u, v ∈ R, với uk v s ≥ ed . Mà

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤ 4ε,
với mọi x ∈ R+ , hay

|g(x) − L(ex ) − g(0)le4ε,
với mọi x ∈ R.
Đặt A(x) = L(ex ) ta được

|g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε,
với mọi x ∈ R. Hệ quả được chứng minh.
Định lý 1.5. Giả sử ε, d > 0, k, s, p, q, P, Q ∈ R với k = 0 hoặc s = 0. Giả
sử rằng f : R+ → B thỏa mãn điều kiện

|f (xp y q ) − P f (x) − Qf (y)| ≤ ε,

(1.30)

với mọi x, y > 0 và với xk y s ≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất một hàm logarit
L : R+ → B sao cho

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤

4ε
|P |

với mọi x ∈ R nếu s = 0 và

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤
15

p

+ − f (xp z q ) + P f (1) + Qf y q z
≤ 4ε.
Chia bất đẳng thức trên cho |P | và áp dụng Định lý 1.2, ta sẽ thấy rằng tồn
tại duy nhất một hàm logarit L : R+ → B sao cho

|f (x) − L(x) − f (1)| ≤

4ε
,
|P |

với mọi x ∈ R+ .

+ Trường hợp k = 0. Với x, y ∈ R+ , chọn một số z > 0 sao cho

xs y s z k ≥ d,

qk

x p y s z k ≥ d,

xs z k ≥ d,

qk

x p z k ≥ d.

q

với mọi x, y ∈ R, với kx + sy ≥ d. Khi đó tồn tại duy nhất hàm cộng tính
A : R → B sao cho
4ε
|g(x) − A(x) − g(0)| ≤
|P |
với mọi x ∈ R nếu s = 0, và

|g(x) − A(x) − g(0)| ≤

4ε
|Q|

với mọi x ∈ R nếu k = 0.
Ví dụ 1.2. Xác định tất cả các hàm f, g, h liên tục trên R+ thỏa mãn điều
kiện
f (xy) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R+ .
(1.31)
Giải. Cho x = 1, ta có

f (y) = g(1) + h(y)
⇔ h(y) = f (y) − a với a = g(1).
Cho y = 1, ta có

f (x) = g(x) + h(1)
⇔ g(x) = f (x) − b với b = h(1).
Khi đó phương trình (1.31) trở thành

f (xy) = f (x) + f (y) − a − b, ∀x, y ∈ R.
Đặt



f (x) = m ln x + a + b
g(x) = m ln x + a

h(x) = m ln x + b.

1.4

Tính ổn định của các hàm lũy thừa

Giả sử (S, +) là nửa nhóm giao hoán, E là không gian Banach phức, X
là đại số phức với phần tử đơn vị là 1X và C là trường số phức.
Cho f : S → X và g : S → C.
Trong phần này ta xét hàm lũy thừa

f (x + y) = g(x)f (y).
Định nghĩa 1.4. Giả sử f : S → C, khi đó ta định nghĩa tập hợp Nf như
sau
Nf = {a ∈ S : f (a) ∈ S \ {0, 1}; |f (a)| > 1}.
18


Định nghĩa 1.5. Giả sử f : S → X , khi đó ta định nghĩa tập hợp Mf như
sau
Mf = {a ∈ S : f (a) ∈ C \ {0, 1} × {1X }}.
Định nghĩa 1.6. Xét hàm Scf : Mf → C với f (a) = Scf (a)×1X , ∀a ∈ Mf .
Ta định nghĩa hàm số Mf = {a ∈ Mf : |Scf (a)| > 1}.
Ta có các định lý sau.
Định lý 1.6. Giả sử hai hàm số f : S → E , g : S → C thỏa mãn bất đẳng
thức sau:

.
ψ(a, y)

Suy ra (A, d) là một không gian metric đủ.
Tiếp theo, ta định nghĩa hàm Ja : A → A với

Ja (h)(y) =

1
h(y + a)
g(a)
19

(1.34)


với mọi h ∈ A và y ∈ S . Vì vậy

|u(y + a) − h(y + a)|
|g(a)|ψ(a, y)
y∈S
1
|u(y + a) − h(y + a)|
≤ sup
=
d(u, h)
|g(a)|ψ(a, y + a)
g(a)
y∈S


n→∞
g(a)n

Ta (y) = lim
với mọi x ∈ S .
3. d(f, Ta ) ≤

1
d(J(f ), f ), có nghĩa là
1−L
d(f, Ta ) ≤

1
.
|g(a)| − 1

Từ (1.34) ta suy ra
n−1
n

ψ(a, y + ia)|g(a)|n−1−i

|f (y + na) − g(a) f (y)| ≤
i=0

20

(1.36)



Trong (1.38) ta thay y bởi y + nb, trong (1.39) ta thay y bởi y + na ta được

|g(a)n | − 1
|f (y + n(a + b)) − g(a) f (y + nb)| ≤ ψ(a, y)
|g(a)| − 1
|g(b)n | − 1
|f (y + n(a + b)) − g(b)n f (y + na)| ≤ ψ(b, y)
|g(b)| − 1
n

Do đó

|g(a)n | − 1
|g(b)n | − 1
|g(a) f (y + nb) − g(b) f (y + na)| ≤ ψ(a, y)
+ ψ(b, y)
.
|g(a)| − 1
|g(b)| − 1
n

n

Ta chia cho |g(a)n g(b)n | ta được

ψ(a, y)
f (y + na) f (y + nb)
1
−
≤


ψ(a, y)
|g(a)| − 1

với mọi y ∈ S .
Ta có x, y ∈ S và a ∈ Ng là ba phần tử cố định tùy ý nên từ (1.33) ta suy ra

|f (x + y + na) − g(x)f (y + na)| ≤ ψ(x, y + na).
Ta chia bất đẳng thức này cho |g(a)n | được

f (x + na)
f (x + y + na)
ψ(x, y + na) ψ(x, y)
− g(y)
≤
.
≤
n
n
g(a)
g(a)
|g(a)n |
|g(a)n |
Cho n → ∞ được T (x + y) = g(x)T (y).
Vì x, y, z ∈ S tùy ý nên

T (x + y + z) = g(x + y)T (z)
và

T (x + y + z) = g(x)T (y + z) = g(x)g(y)T (z),

Cho x = 0, ta có

f (y) = ah(y) với a = g(0).
Cho y = 0, ta có

f (x) = bg(x) với b = h(0).
Nếu g(0) = 0, h(0) = 0, phương trình (1.40) trở thành

f (x)f (y)
ab
f (x + y) f (x) f (y)
⇔
=
·
, ∀x, y ∈ R.
ab
ab
ab
f (x + y) =

f (x)
= ϕ(x), với x ∈ R, ta có f liên tục trên R.
ab
Phương trình (1.41) trở thành

Đặt

ϕ(x + y) = ϕ(x)ϕ(y), ∀x, y ∈ R.
Phương trình này có nghiệm


Nếu h(0) = b = 0 thì ta có f (x) = 0 với mọi x ∈ R.
Nếu h(x) ≡ 0 thì g(x) là hàm số tùy ý.
Nếu tồn tại x0 ∈ R sao cho h(x0 ) = 0 thì

0 = f (x0 + y) = h(x0 )g(y) ⇔ g(y) = 0, ∀y ∈ R.
Thử lại, các hàm trên cũng thỏa mãn phương trình đã cho.
Vậy nghiệm của phương trình là

f (x) = abec x
g(x) = aec x

h(x) = bec x.
Hoặc

f (x) ≡ 0
g(x) ≡ 0

h(x) là hàm tùy ý liên tục trên R.
Hoặc

f (x) ≡ 0
h(x) ≡ 0

g(x) là hàm tùy ý liên tục trên R.

24