Bài 2
PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO
I/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC PHÉP TÍNH SỐ HỌC
Trong I/ này, ta giải các bai toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học
đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia) của đối số sang các phép tính đối với các giá trị hàm
tương ứng.
Ta sẽ giải quyết các bài toán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàn trục
thực.
Bài toán 1. ( Phương trình hàm Cauchy). Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa
mãn điều kiện sau
󽜩 󽜪
),()( yfxfyxf 󽜬󽜾󽜬
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (1)
Giải. Từ (1) suy ra
)()(,0)0( xfxff 󽜮󽜾󽜮󽜾
và với
xy 󽜾
thì
),(2)2( xfxf 󽜾
.Rx 󽟏󽜣
(2)
Giả sử với
k
nguyên dương,
)()( xkfkxf 󽜾
,
.Rx 󽟏󽜣
Khi đó

󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾
n
n
x
f
x
f
x
fxf
Từ đó suy ra
)(
2
1
2
xf
x
f
nn
󽜾

)(xf
, suy ra
,)( axxf 󽜾
,Rx 󽟏󽜣
).1(fa 󽜾
Thử lại, ta thấy hàm
axxf 󽜾)(
thỏa mãn phương trình (1).
Kết luận :
axxf 󽜾)(
với
Ra 󽟏
tùy ý.
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
1
Nhận xét.
1/ Từ điều kiện (1), ta thấy chỉ cần giả thiết
)(xf
là hàm liên tục tại một điểm
Rx 󽟏
0
cho trước là đủ. Khi đó, hàm
)(xf
thỏa mãn (1) sẽ liên tục trên R.
Thật vậy, theo giả thiết thì
)(
0
)(lim
0

󽜪
󽞦󽜬,α
hoặc
󽜩
󽝞
β,󽞦󽜮
tùy ý.
Bài toán 2. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
)()( yfxfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (5)
Giải. Nhận xét rằng
0)( 󽞻xf
là một nghiệm của (5). Xét trường hợp
)(xf
0󽞻
󽜰
.
Khi đó tồn tại
Rx 󽟏
0
sao cho
0)(
0
󽞺xf
. Theo (5) thì

󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜬󽜾
x
f
xx
fxf
,
Rx 󽟏󽜣
.
Đặt
))(()()(ln
)(xg
exfxgxf 󽜾󽜾
. Khi đó
)(xg
liên tục trên R và
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
yxfyxg 󽜬󽜾󽜬 ln
󽝜 󽝞
)()(ln yfxf󽜾
=
)()()(ln)(ln ygxgyfxf 󽜬󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
.

󽟮
󽟭
󽟏󽜣󽞺
󽟏󽜣󽜾󽜮
Rxxf
Ryx
yf
xf
yxf
,0)(
,,
)(
)(
(6)
Giải. Đặt
zyx 󽜾󽜮
thì
yzx 󽜬󽜾
và
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
2
(6)
󽜩 󽜪
Ryz
yf
yxf
xf 󽟏󽜣
󽜮
󽜾󽟜 ,,

󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều kiện
󽝼 󽝾
0\,),()()( Ryxyfxfxyf 󽟏󽜣󽜾
(7)
Giải.
Thay
1󽜾y
vào (7) ta được
󽜩 󽜪
0)1(1)( 󽜾󽜮 fxf
,
Rx 󽟏󽜣
. (8)
Nếu
1)1( 󽞺f
thì từ (8) suy ra
0)( 󽞻xf
và nghiệm này thỏa mãn (7).
Xét
1)1( 󽜾f
. Khi đó
󽟸
󽟹
󽟷
󽟨
󽟩
󽟧
󽜾

󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
a) Xét
󽜬
󽟏 Ryx,
Đặt
vu
eyex 󽜾󽜾 ,
và
)()( tgef
t
󽜾
. Khi đó ta có
󽜩 󽜪
Rvuvgugvug 󽟏󽜣󽜾󽜬 ,),()(
(9)
Theo Bài toán 2 thì (9)
Rtatg
t
󽟏󽜣󽜾󽟜 ,)(
(
0󽜿a
tùy ý) và do đó
󽜩 󽜪
󽜬
󽟏󽜣󽜾󽜾󽜾󽜾󽜾󽜾 Rxxxeaaefxf
a
x
axuu
,)()(

R
, nên
󽟫
󽟫
󽟬
󽟪
󽟏󽜣󽜮
󽟏󽜣
󽜾
󽜮
󽜮
Rxx
Rxx
xf
,
,
)(
β
β
Kết hợp a) và b) và thử lại các kết quả, ta có
Kết luận
Nghiệm của (7) là một trong các hàm sau
1)
0)( 󽞻xf
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
,
2)
α

󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều kiện
)()()( yfxfxyf 󽜬󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
\
󽝼 󽝾
0
. (11)
Giải.
a) Trước hết xét
󽜬
󽟏 Ryx,
.
Đặt
vu
eyex 󽜾󽜾 ,
và
)()( tgef
t
󽜾
. Khi đó (11) có dạng
󽜩 󽜪
),()( vgugvug 󽜬󽜾󽜬
., Rvu 󽟏󽜣
(12)
Theo Bài toán 1 thì (12)
bttg 󽜾󽟜 )(
và do đó

với
Rb 󽟏
tùy ý, thỏa mãn các điều kiện của bài
toán đặt ra.
Kết luận :
xbxf ln)( 󽜾
,
󽝼 󽝾
0\Rx 󽟏󽜣
,với
Rb 󽟏
tùy ý.
Bài toán 6. Xác định các hàm
)(xf
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
)()()( yfxfxyf 󽜮󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (13)
Giải. Từ (13) với
0󽜾󽜾 yx
, ta có
0)0()0()0( 󽜾󽜮󽜾 fff
Và với mọi
Rx 󽟏
và
0󽜾y
ta được
)0()()0( fxff 󽜮󽜾
Hay

x
󽜾
. Khi đó
ytx 󽜾
và
(14)
)()()( yftyftf 󽜮󽜾󽟜
󽜬
󽟏󽜣󽜬󽜾󽟜 Rytyftftf ,),()()(
.
Theo kết quả của Bài toán 5, thì
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
4
xbxf ln)( 󽜾
,
󽜬
󽟏󽜣 Rx
,
Rb 󽟏
tùy ý.
Kết luận :
xbxf ln)( 󽜾
,
󽜬
󽟏󽜣 Rx
,
Rb 󽟏
tùy ý.
Nhận xét.

, hay
baxxf 󽜬󽜾)(
. Thế vào (15), ta được
axxf 󽜾)(
với
Ra 󽟏
tùy ý
󽜩 󽜪
0󽜾b
.
Kết luận
axxf 󽜾)(
,
Rx 󽟏󽜣
,
Ra 󽟏
tùy ý.
Bài toán 9. Tìm các hàm
)(xf
xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
)()( yfxfyxf 󽜾󽜬
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
. (18)
Giải. Nhận xét rằng
0)( 󽞻xf
là một nghiệm của (18). Xét trường hợp
0)( 󽞻
󽜰

' ( ) '( )f x y f x f y󽜬 󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
(20)
Các đẳng thức (19) – (20) cho ta
'( ) '( )
( ) ( )
f x f y
f x f y
󽜾
,
Ryx 󽟏󽜣 ,
hay
󽜩 󽜪
a + b
ln ( ) ' ( )
x
f x a f x e󽞻 󽟜 󽜾
.
Thế vào (18), ta được
󽜩 󽜪
a
( ) , 0
x
f x e b󽜾 󽜾
.
Kết luận
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
5

󽜣 󽟏
(23)
Các đẳng thức (22)-(23) cho ta : xf’(x) = yf’(y),
,x y R
󽜬
󽜣 󽟏
Do đó, xf’(x)
,c x R
󽜬
󽞻 󽜣 󽟏
Vì vậy, f(x) =
lnc x d󽜬
Thế vào (21) ta được: f(x) =
ln , 0.c x x󽜣 󽜿
Kết luận:
f(x) =
ln , 0c x x󽜣 󽜿
, với x tùy ý.
Nhận xét.
Ngoài các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàm cần
tìm, trong phương trình hàm còn có rất nhiều giả thiết dạng khác như tìm
nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tùy ý của R và chỉ đòi hỏi
hàm số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các
tập đó,…
Bài toán 11. Tìm các hàm f(x) xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều
kiện
( ) ( ) ( ), ,f x y f x f y x y R󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
(24)
Giải.
Lần lượt thay y = 0 và y = x vào (24) ta được f(0) = 0 và f(2x) = 2f(x)

󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
Suy ra
󽜩 󽜪
1 1 1 1
1 ( ) (1)f f x f x
n n n n
󽜮 󽜽 󽜽 󽟜 󽜮 󽜽 󽜽
Do đó
0
lim f ( ) 0 (0).
x
x f
󽞯
󽜾 󽜾
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
6
Tóm lại f(x) là hàm liên tục tại x = 0 và
x R󽜣 󽟏
󽝜 󽝞
0 0
lim ( ) ( ) lim ( ) 0,
y y
f x y f x f y
󽞯 󽞯
󽜬 󽜮 󽜾 󽜾
do đó f(x) liên tục tại mọi điểm
x R󽟏
. Theo Bài toán 1,
( ) ax, 0f x a󽜾 󽜿

󽜾 󽜣 󽟏 󽜿
Kết luận
( ) ln , , 0f x b x x R b
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏 󽜿
tùy ý.
Bài toán 13. Cho c > 0. Xác định các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện
󽝜 󽝞
( ) ( ) ( ), ,
( ) , 1,1
f x y f x f y x y R
f x c x
󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟭
󽟰
󽟮
󽞤 󽜣 󽟏 󽜮
󽟰
󽟯
(28)
Giải.
Từ (28) suy ra
( ) ( ), ,f qx qf x q Q x R󽜾 󽜣 󽟏 󽟏
Giả sử
󽝼 󽝾
n
x
là dãy số thực và
󽝼 󽝾
n

󽜽 󽜽
Trong đó
( ) , .
n n
f q x M n Z
󽜬
󽞤 󽜣 󽟏
Khi đó
1 1
( ) ( ) , .
n n n n n
n n
f x f q x f q x n N
q q
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Do đó
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
7
lim ( ) 0 (0).
n
n
f x f
󽞯󽞦
󽜾 󽜾
Vậy f(x) liên tục tại x = 0 và
󽝜 󽝞

0
( ) 0f x 󽞺
thì
0 0
( ) ( ) ( ), .f x f x f x x x R󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
Từ (29) suy ra f(x) > p) với mọi
x R󽟏
.
Đặt
ln ( ) ( )f x g x󽜾
( )
( ( ) )
g x
f x e󽜾
. Khi đó (29) có dạng
g(x+y) = g(x) + g(y),
, .x y R󽜣 󽟏
(30)
Vì f(x) giới nội trong
󽝜 󽝞
1,1󽜮
. Tương tự như Bài toán 13, từ (30) suy rằng
g(x) liên tục trong R và
( ) xg x α󽜾
, với
Rα 󽟏
tùy ý sao cho
ln cα 󽞤
Vậy
ax

( ) ( ) ( ), , , 0,1f x y f x f y x y x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽜬 󽟏
.
2. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên
󽝜 󽝞
0,1
thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞
( ) ( ) ( ), , , 0,1f xy f x f y x y x y󽜾 󽜬 󽜣 󽜬 󽟏
.
3. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
(2 ) 2 ( ) ( ), , .f x y f x f y x y R󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏
4. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) , , .f x f y f x y xy x y R󽜬 󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
5. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) sinx.sin , , .f x f y f x y y x y R󽜮 󽜬 󽜾 󽜣 󽟏
6. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn các điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
8
( ) ( ) ( ) ( ), , , .f xyz f x f y f z x y z R󽜾 󽜣 󽟏
7. Cho hàm số f:
R R󽞯
thỏa mãn các điều kiện
( ) , ( ) ( ) ( ), ,f x x f x y f x f y x y R󽞤 󽜬 󽞤 󽜬 󽜣 󽟏
Chứng minh rằng
( ) , .f x x x R󽞻 󽟏
8. Tồn tại hay không tồn tại một hàm f:
R R󽞯
thỏa mãn bất đẳng thức
2

Giải.
Đặt
( ) (0) ( )f x f g x󽜮 󽜾
, ta có g(x) liên tục trên R với g(0) = 0 và
( ) ( )
,
2 2
x y g x g y
g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Lần lượt cho y = 0 và x = 0, thì
( )
,
2 2
x g x
g
󽟧 󽟷
󽜾
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
( )
, ,
2 2
y g y
g x y R
󽟧 󽟷

x y
f f x f y x y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
. (2)
Giải.
Từ điều kiện (2) suy ra
( ) 0,f x x R󽞴 󽜣 󽟏
. Nếu tồn tại
0
x
để f(
0
x
) = 0 thì
0
0
( ) ( ) 0, ,
2
x y
f f x f y y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Tức là

b
f x e a b R
󽜬
󽜾 󽟏
tùy ý.
Kết luận:
ax
( ) 0
( )
b
f x
f x e
󽜬
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾
󽟬
a,b tùy ý thuộc R.
Bài toán 3.
Tìm hàm f:
R R
󽜬
󽞯
xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
2 ( ) ( )
, ,
2 ( ) ( )
x y f x f y
f x y R

g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó
1
( )
( )
g x
f x
󽜾
. Theo bài toán 1 thì g(x) = ax +b.
Vì g(x) > 0 với mọi
x R󽟏
nên a = 0 và g(x) = b (b > 0) và f(x) =
1
b
,b > 0.
Kết luận:
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
10
1
( ) , 0f x b
b
󽞻 󽜿
tùy ý.
Bài toán 4. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟫 󽟻
󽟬 󽟼
hay
( ) ( )
, , ,
2 2
x y g x g y
g x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
với
󽝜 󽝞
2
( ) ( ) 0
g x f x󽜾 󽞴
Theo kết quả của Bài toán 1 thì g(x) = ax + b. Vì
( ) 0,g x x R󽞴 󽜣 󽟏
nên a =
0 và
0b 󽞴
. Suy ra
( ) , 0f x b b󽜾 󽞴
.
Kết luận:
( ) , 0f x b b󽜾 󽞴
tùy ý.

x R
󽜬
󽜣 󽟏
thì đặt
, , ( ) ( ).
u v u
x e y e f e g u󽜾 󽜾 󽜾
Khi đó g(u) liên tục trên R và (5) có dạng:
( ) ( ), ,
2
u v
g g u g v u v R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo kết quả của bài toán 2, thì
( ) 0
,
( )
au b
g u
a b R
g u e
󽜬
󽞻
󽟪
󽟏
󽟫

11
Bài toán 6. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên
R
󽜬
thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
( ) ( )
, ,
2
f x f y
f xy x y R
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
(6)
Giải.
Vì x > 0,y > 0 nên có thể đặt
,
u v
x e y e󽜾 󽜾
và
( ) ( )
u
f e g u󽜾
. Khi đó g(u) liên tục
trên R và (6) có dạng
( ) ( )
, ,
2 2
u v g u g v

1
( ) ( )
, ,
2
f x f y
x y R
f xy
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
hay
󽜩 󽜪
( ) ( )
, ,
2
g x g y
g xy x y R
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
Trong đó
1
( )
( )
g x
f x
󽜾
. Theo kết quả của Bài toán 6 thì g(x) = a lnx + b.
Để f(x) liên tục trong
R

(8)
Giải. Từ giả thiết suy ra
( ) 0,f x x R
󽜬
󽞴 󽜣 󽟏
Đặt
,
u v
x e y e󽜾 󽜾
.
2
( ) ( )
u
f e g u
󽟪 󽟺
󽜾
󽟬 󽟼
Khi đó
( ) 0,g u u R󽞴 󽜣 󽟏
và (8) có dạng
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
12
( ) ( )
, ,
2 2
u v g u g v
g u v R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷

(9)
Giải.
Đặt
1 1
, ,
1
( ).
1
u v
x y
g u
f
u
󽜾 󽜾
󽜾
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Khi đó
( ) 0g u 󽞺
với mọi
0u 󽞺
và (9) có dạng
( ) ( )
, , , 0.
2 2
u v g u g v
g u v u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷

󽟫
󽟬
Thử lại ta thấy các hàm f(x) thỏa mãn các điều kiện của bài toán đã cho.
Kết luận:
( ) , 0
1
( ) , 0
x
f x a
a
f x b
b
󽟪
󽜾 󽞺
󽟫
󽟫
󽟫
󽜾 󽞺
󽟫
󽟬
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
13
Bài toán 10. Tìm các hàm f(x) xác định liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
và thỏa mãn điều
kiện
2 ( ) ( )
, , , 0

u v g u g v
g u v u v
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo Bài toán 1, thì g(u) = au + b. do đó
( )
a
f x b
x
󽜾 󽜬
.
Kết luận:
( ) ; ,
a
f x b a b R
x
󽜾 󽜬 󽟏
tùy ý.
Bài toán 11. Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
thỏa mãn điều
kiện
2
( ) ( ), , ; 0
1 1
f f x f y x y x y

󽜾 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Suy ra
( ) 0.f x 󽞻
Nếu f(x) > 0,
0x󽜣 󽞺
thì
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
14
(11)
2 ln ( ) ln ( )
ln , , ; 0
1 1
2
f x f y
f x y x y
x y
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟜 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

󽜬
󽜾
Kết luận:
/
( ) 0,
( ) ; , .
a x b
f x
f x e a b R
󽜬
󽞻
󽟪
󽟫
󽜾 󽟏
󽟬
Bài toán 12. Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R\
󽝼 󽝾
0
và thỏa mãn
điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
( ) ( )
2
, , ; 0.
1 1
2
f x f y
f x y x y
x y

󽜬
󽟫 󽟻
󽟨 󽟸
󽟜 󽜾 󽜣 󽜬 󽞺
󽟫 󽟻
󽟨 󽟸
󽜬
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Hay
2 2
2
1 1
2
, , ; 0.
2
f f
u v
f u v u v
u v
󽟪 󽟺 󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻 󽟫 󽟻
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹

󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Theo Bài toán 1 thì g(u) = au + b và để
( ) 0g u 󽞴
với mọi
0u 󽞺
thì a = 0
và
0.b 󽞴
Vậy
( ) , 0.f x c c󽞻 󽞴
Kết luận:
( ) , 0f x c c󽞻 󽞴
tùy ý.
Bài toán 13. Tìm các hàm f(x)
󽞴
0 xác định, liên tục trên
R
󽜬
và thỏa mãn
điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2
( ) ( )
, ,
2 2
f x f y
x y

󽜬
󽜬
󽟫 󽟻
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Hay
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
, , 0,
2 2
g u g v
u v
g u v
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽜿
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Trong đó
󽝜 󽝞
2
( ) ( ) 0, 0g u f u u󽜾 󽞴 󽜣 󽜿
Từ đó suy ra
( ) ( )
, , 0,

( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(14)
Giải.
Từ giả thiết, ta có
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
16
󽜩 󽜪
( ) , .f x f x x R󽜾 󽜣 󽟏
Đặt
,x u y v󽜾 󽜾
(u,v
󽞴
0). Khi đó
(14)
( ) ( )
, , 0.
2 2
u v f u f v
f u v

2
( ) ax , , .f x f x b a b R󽜾 󽜾 󽜬 󽟏
Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra khi
a
󽞴
0, b
󽞴
0.
Kết luận:
2
( ) ax ; ,f x b a b R󽜾 󽜬 󽟏
tùy ý.
Bài toán 15.
Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn các điều kiện
2 2
( ) ( ), , .
2
x y
f f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(15)
Giải.
Từ giả thiết suy ra
( ) 0, 0.f x x󽞴 󽜣 󽞴
Nếu tồn tại

0
2
x
và sử dụng phương pháp quy nạp, ta được
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
17
󽜩 󽜪
0
0, .
2
n
x
f n N
󽟧 󽟷
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Vì f(x) liên tục tại x = 0 nên
󽜩 󽜪
0
lim (0) 0.
2
n
n
x
f f
󽞯󽞦

2
( ) ( ) ,
2
x x
f f x f x f x
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nên
( ) 0, .f x x R󽞻 󽜣 󽟏
Giả sử
( ) 0, .f x x R󽞺 󽜣 󽟏
Nếu
1
x󽜥
để
1
( ) 0f x 󽜽
thì theo (15) ta có
2 2
1
1
( ) ( ),
2
x y
f f x f y y R
󽟧 󽟷

󽟧 󽟷
󽜬 󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Theo Bài toán 14 thì
2
( )g u au b󽜾 󽜬
với mọi
u R󽟏
.
Vậy
2
ax
( )
b
f x e
󽜬
󽜾
và thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra
Kết luận:
2
ax
( ) 0
( )
b
f x
f x e
󽜬

Từ giả thiết suy ra
( ) 0,f x x R󽞺 󽜣 󽟏
. Khi đó
(16)
2 2
1 1
1
( ) ( )
, ,
2
2
f x f y
x y R
x y
f
󽜬
󽟜 󽜾 󽜣 󽟏
󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Đặt
1
( ) , ,
( )
g x x R
f x
󽜾 󽜣 󽟏
Ta có

󽜾
󽜬
với
, : 0, 0.a b R ab b󽟏 󽞴 󽞺
Thử lại ta thấy hàm này thỏa mãn các điều kiện của bài toán đặt ra.
Kết luận:
2
1
( )
ax
f x
b
󽜾
󽜬
, với
0, 0ab b󽞴 󽞺
tùy ý.
Nhận xét. Nếu trong các Bài toán 1-16, điều kiện f(x) liên tục được thay bằng điều
kiện f(x) khả vi thì lời giải của các bài toán đó sẽ ngắn gọn hơn nhiều.
Bài toán 17. Tìm các hàm f(x) xác định, khả vi trên R và thỏa mãn điều kiện
( ) ( )
, , .
2 2
x y f x f y
f x y R
󽜬 󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹

19
Kết luận:
( ) ax ; ,f x b a b R󽜾 󽜬 󽟏
tuỳ ý.
Bài toán 18.
Tìm các hàm f(x) xác định, khả vi trong
R
󽜬
và thỏa mãn điều kiện
󽜩 󽜪
( ) ( ), ,f xy f x f y x y R
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
. (18)
Giải. Từ (18) ta có
( ) 0,f x x R
󽜬
󽞴 󽜣 󽟏
. Ta thấy, nếu tồn tại
0
x R
󽜬
󽟏
sao cho
0
( ) 0f x 󽜾
,
thì từ (18) suy ra
( ) 0f x 󽞻
. Giả thiết rằng f(x) > 0

tại
t xy󽜾
.)
Từ đó suy ra
'( ) yf '( )
, , 0,
( ) ( )
xf x y
x y
f x f y
󽜾 󽜣 󽜿
Và vì vậy
'( )
, 0,
( )
f x a
x
f x x
󽜾 󽜣 󽜿
Trong đó
a
là hằng số bất kì. Do đó
ln
( ) ; 0,
a x b a
f x e cx c a R
󽜬
󽜾 󽜾 󽜿 󽟏
tùy ý.
Từ

( ) 0f x 󽞴
xác định, khả vi trên
R
󽜬
và thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2
( ) ( )
, ,
2 2
f x f y
x y
f x y R
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
(19)
Giải. Lần lượt lấy đạo hàm hai vế của (19) theo x và y, ta có
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
20
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
2 2
2 2 2 2

2
2
y x y f y f y
f x y R
x y
f x f y
󽜬
󽟧 󽟷
󽜬
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽜬
󽜬
󽟩 󽟹
(Chú ý:
2 2
'
2
x y
f
󽟧 󽟷
󽜬
󽟨 󽟸
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
là giá trị
'( )f t
tại
2 2

1. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( )
, , , .
3 3
x y z f x f y f z
f x y z R
󽜬 󽜬 󽜬 󽜾
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
2. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
1 2 1 2
( ) ( ), , .
3 3 3 3
f x y f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
3. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
󽝜 󽝞 󽝜 󽝞
1 2
3 3
1 2
( ) ( ) , , .
3 3
f x y f x f y x y R
󽟧 󽟷
󽜬 󽜾 󽜣 󽟏

󽟨 󽟸
󽜬 󽜬
󽟨 󽟸
󽜾 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽜬 󽜬
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
7. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
21
󽜩 󽜪
( ) ( ) ( ), , , 0.x y f xy f x f y x y R x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 󽜬 󽞺
8. Xác định các hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện
( ) yf ( ) ( ) ( )( ), , , 0.xf y x f x f y x y x y R x y󽜬 󽜾 󽜬 󽜣 󽟏 󽜬 󽞺
9. Chứng minh rằng mọi hàm f:
R R󽞯
thỏa mãn điều kiện
( ) ( ) ( ) ( ), ,f xy x y f xy f x f y x y R󽜬 󽜬 󽞻 󽜬 󽜬 󽜣 󽟏
Khi và chỉ chi
( ) ( ) ( ); , .f x y f x f y x y R󽜬 󽞻 󽜬 󽟏
III/ HÀM SỐ SINH BỞI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ LƯỢNG
GIÁC, HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC
Trong Bài 1, V, chúng ta đã liệt kê các đặc trưng hàm của các hàm số
lượng giác, lượng giác ngược và của các hàm hyperbolic. Chẳng hạn, đối với
hàm f(x) = cos x, ta có đặc trưng hàm dạng
( ) ( ) 2 ( ) ( ), , .f x y f x y f x f y x y R󽜬 󽜬 󽜮 󽜾 󽜣 󽟏
(0)
Trong III/ này sẽ khảo sát các bài toán ngược, tức là xét bài toán xác

2
n
x
f
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nhận xét rằng:
0
1,
2
n
x
f n
󽟧 󽟷
󽜽 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
Thật vậy, nếu
0
1
2
n
x
f
󽟭 󽟽
󽞴
󽟮 󽟾

󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
󽜩 󽜪
2
0
0
2 1 1
2
x
f x f
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞴
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
22
trái với giả thiết
󽜩 󽜪
0
1.f x 󽜽
Vậy tồn tại
1
0x 󽞺
sao cho

2
1 1
2 2 1 2cos 1 cos2f x f x α α󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
Giả sử
󽜩 󽜪
1
cos , 1,2, ,
f kx k k nα
󽜬
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏󽞦
. Khi đó
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
1
f n x f nx x󽜬 󽜾 󽜬
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
󽜩 󽜪
1 1 1
2 1
2cos cos 1
cos 1
f nx f x f n x
n c n
n

2
x
x y󽜾 󽜾
, từ (1) ta nhận được
󽜩 󽜪
2
1
2
1
1
1 cos
cos
2 2 2 2
f x
x
f
α α
󽜬
󽟪 󽟺
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Do vậy
1
cos
2 2

, từ (1) ta thu được
2
2
1 1
1 1
1 cos
1
2
cos
2 2 2 2 2
n
n n n
x x
f f
α
α
󽜬 󽜬
󽜬
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬 󽜾 󽜾
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
Do vậy
1
cos ,
2 2
n n

f x
và
cos x
là các hàm liên tục trên
󽞢
nên
(5)
󽜩 󽜪
1
cosf x t tα󽟜 󽜾
󽜩 󽜪
cosf x ax󽟜 󽜾
, với
1
, .a x
x
α
󽜾 󽜣 󽟏 󽞢
Thử lại ta thấy
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
cos 0f x ax a󽜾 󽞺
thỏa mãn các điều kiện của bài toán
Kết luận:
󽜩 󽜪
cos ,f x ax a󽜾 󽟏󽞢
\
󽝼 󽝾
0
tùy ý.
Bài toán 2. Tìm các hàm

f x
liên tục tại x = 0 nên
0ε󽜥 󽜿
sao cho
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
0, ,f x x ε ε󽜿 󽜣 󽟏 󽜮
(7)
Khi đó theo (7) với
0
n 󽟏󽞦
đủ lớn thì
0
0
0
2
n
x
f
󽟧 󽟷
󽜿
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
Nhận xét rằng
0
1,
2
n
x
f n
󽟧 󽟷

0
2 1 1,
2 2
2 1 1
2 2

2 1 1,
2
n n
n n
x x
f f
x x
f f
x
f x f
󽜮
󽜮 󽜮
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞤
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜮 󽞤
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻

1
2
n
x
x 󽜾
).
Đặt
󽜩 󽜪
1
,0
f x chα α󽜾 󽜽
. Từ (6) suy ra
VINAMATH.COM
VINAMATH.COM
24
󽜩 󽜪 󽜩 󽜪
2
2
1 1
2 2 1 2 1 2 .f x f x ch chα α󽜾 󽜮 󽜾 󽜮 󽜾
󽟪 󽟺
󽟬 󽟼
Giả sử
󽜩 󽜪
1
, 1,2, ,
f kx chk k mα
󽜬
󽜾 󽜣 󽜾 󽟏󽞦
. Khi đó

, ,f x y f y x x y󽜮 󽜾 󽜮 󽜣 󽟏 󽞢
. Vậy
󽜩 󽜪
f x
là hàm chẵn trên
󽞢
và do đó
󽜩 󽜪
1
,f mx chm mα󽜾 󽜣 󽟏󽞣
. (8)
Cho
1
2
x
x y󽜾 󽜾
, từ (6) ta nhận được
󽜩 󽜪
2
1
2
1
1
1
2 2 2 2
f x
x
ch
f ch
α α

󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦
Khi đó cho
1
1
2
n
x
x y
󽜬
󽜾 󽜾
, từ (6) ta thu được
2
1 1
1
1
1
2 2 2
n n
x x
f f
󽜬
󽟪 󽟺
󽟧 󽟷 󽟧 󽟷
󽜾 󽜬
󽟨 󽟸 󽟨 󽟸
󽟫 󽟻
󽟩 󽟹 󽟩 󽟹
󽟬 󽟼

, ,
2 2
n n
mx
m
f ch n m
α
󽜬
󽟧 󽟷
󽜾 󽜣 󽟏 󽜣 󽟏
󽟨 󽟸
󽟩 󽟹
󽞦 󽞣
. (10)
Vì
󽜩 󽜪
f x
và
chx
là các hàm liên tục trên
󽞢
nên
(10)
󽜩 󽜪
1
,
f x t ch tα󽟜 󽜾
󽜩 󽜪
,f x chax󽟜 󽜾
với

VINAMATH.COM
25