ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON
THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN, 04/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————

NGUYỄN VĂN CƯỜNG

VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ NƠ RON
THẦN KINH PHÂN THỨ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN

Thái Nguyên, 4/2018


18

2.1. Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . . . 18
2.2. Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ . . 21
Chương 3 Tính ổn định và ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron
thần kinh không chắc chắn phân thứ

25

3.1. Tính ổn định của một lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn
phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Tính ổn định hóa của hệ điều khiển nơ ron thần kinh không
chắc chắn phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


2

LỜI NÓI ĐẦU
Trong những năm gần đây, giải tích phân thứ và hệ phương trình vi phân
phân thứ đã nhận được nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà khoa học do
những ứng dụng của chúng trên nhiều lĩnh vực của khoa học kỹ thuật [5, 6, 7].
Có nhiều loại đạo hàm phân thứ khác nhau tùy thuộc vào cách người ta tổng
quát đạo hàm

dn
dxn

cho trường hợp n không nguyên. Tuy nhiên, hai khái niệm


duy nhất nghiệm. Chúng tôi cũng trình bày một số bổ đề bổ trợ được dùng để
chứng minh một số kết quả trong Chương 3 của luận văn. Ngoài ra, chúng tôi
cũng trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định Mittag–Leffer của lớp hệ
tuyến tính phân thứ và lớp hệ có nhiễu phi tuyến phân thứ. Nội dung chính
của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3, 4, 6, 7].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho
tính ổn định và ổn định hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ. Nội dung
chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11].
Trong chương 3 của luận văn, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định và ổn định
hóa cho lớp hệ nơ ron thần kinh không chắc chắn phân thứ. Đây chính là nội
dung nghiên mới cứu của luận văn.


4

Danh mục ký hiệu

R, R+

tập các số thực, số thực không âm tương ứng

Rn

không gian vec tơ thực Euclide n chiều

A⊤

ma trận chuyển vị của ma trận A

I

x
Rn×r

nghĩa là A − B ≥ 0

bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)
chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1 , x2 , ..., xn )⊤ ∈ Rn

không gian các ma trận thực cỡ (n × r)

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
AC m [a, b]

không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]

α
t0 It

toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α

RL α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α

C α
t0 Dt

toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α


Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([7]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-

Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
α
t0 It x(t)

1
:=
Γ(α)

t
t0

(t − s)α−1 x(s)ds,

trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =

+∞

t ∈ (a, b],
tα−1 e−t dt, α > 0.

0

Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước

α


=

Γ(β + 1)
(t − a)α+β ,
Γ(α + β + 1)

t > a.

(ii) Cho x(t) = eλt , λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
+∞
α
t0 It x(t)

=λ

−α
j=0

1.1.2.

(λt)α+j
,
Γ(α + j + 1)

t > 0.

Đạo hàm phân thứ

Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và

dn
dtn

là đạo

hàm thông thường cấp n.

Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)


 1, nếu t ≥ 0
f (t) =

 0, nếu t < 0.

Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f (t) là
RL α
0 Dt f (t)

=

t−α
.
Γ(1 − α)


7

Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–


α
t0 It ϕ(t)

+
k=0

ck (t − t0 )k ,

trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck (k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
α
t0 It ϕ(t) =

1
(n − 1)!

t

t0

(t − s)n−1 ϕ(s)ds.

Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f

(n)

(s),

f (k) (t0 )

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1


8

Hệ quả 1.1. ([7]) Nếu 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b] thì
RL α
t0 Dt f (t)

f (t0 )
1
+
=
Γ(1 − α) (t − t0 )α

t
t0

f ′ (s)ds
.
(t − s)α

Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân

t0

(t − s)n−α−1 [λf (s) + µg(s)] ds
(t − s)n−α−1 f (s)ds +

α
= λ tRL
Dtα f (t) + µ RL
t0 Dt g(t).
0

µ
dn
Γ(n − α) dtn

t
t0

(t − s)n−α−1 g(s)ds

Định nghĩa 1.3. ([6]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂

R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C α
t0 Dt x(t)

:=

n−α n
D x(t),



9

Định lí 1.3. ([7]) Cho α ≥ 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b], khi đó đạo

α
hàm phân thứ Caputo C
t0 Dt f (t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có

α
(i) Nếu α ∈ N thì C
t0 Dt x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C α
t0 Dt f (t)

=

1
Γ(n − α)

t
t0

f (n) (s)ds
.
(t − s)α−n+1

Đặc biệt, khi 0 < α < 1 và f (t) ∈ AC[a, b], ta có:
C α

thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C α
t0 Dt [λf (t)

+ µg(t)] = λ tC0 Dtα f (t) + µ tC0 Dtα g(t),

trong đó λ, µ ∈ R, f (t), g(t) ∈ AC n [a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([6]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C α
t0 Dt ξ

= 0.

Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lí 1.4. ([7]) Cho α > 0 và f (t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C α
α
t0 Dt ( t0 It f (t))

= f (t).


10

Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lí dưới đây
Định lí 1.5. ([7]) Cho α > 0, n = [α] + 1. Nếu f (t) ∈ AC n [a, b] thì


x(t) −

j=0

(t − t0 )j (j)
x (t0 ) ,
j!

với hầu hết t ∈ [a, b].

1.2.

Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo

Từ đây về sau nếu không giải thích gì thêm, chúng ta chỉ xét α ∈ (0, 1) và

luôn mặc định tham số α này là cấp phân thứ của phương trình. Bây giờ cho
trước một hằng số T > 0, kí hiệu C([0, T ], Rn ) là không gian các hàm liên tục
nhận giá trị véc tơ x : [0, T ] −→ Rn với chuẩn .
x

∞

∞

được định nghĩa như sau

:= max x(t) ,

hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo và hệ phương trình tích phân.
Mệnh đề 1.5. [3] Xét bài toán (1.1). Khi đó, với điều kiện đầu x0 ∈ Rn tùy

ý, một hàm ϕ(., x0 ) là nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1), (1.2) trên đoạn

[0, T ] khi và chỉ khi nó thỏa mãn phương trình tích phân
1
ϕ(t, x0 ) = x0 +
Γ(α)

t
0

(t − s)α−1 f (s, ϕ(s, x0 )) ds, t ∈ [0, T ].

(1.3)

Nhận xét 1.1. [1] Cho t là một thời điểm nào đó ở tương lai và t0 là thời điểm
hiện tại t > t0 . Từ công thức (1.3), chúng ta thấy rằng để biết được ϕ(t, x0 )
không chỉ cần biết giá trị của nghiệm trong khoảng [t0 , t) (từ hiện tại tới tương
lai) mà còn cần phải biết thêm giá trị của nó tại hầu hết các thời điểm trên
đoạn [0, t0 ] (toàn bộ quá khứ). Đây chính là điểm khác biệt cơ bản giữa phương
trình vi phân thường và phương trình vi phân phân thứ.
Tính tồn tại và duy nhất nghiệm địa phương và toàn cục của hệ phương
trình vi phân phân thứ Caputo được được đảm bảo bởi các định lí sau:
Định lí 1.7. ([3] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm địa phương) Cho x0 ∈ Rn
và K > 0 tùy ý. Đặt

G = {(t, x) ∈ R+ × Rn : t ∈ [0, T ], x − x0 ≤ K}
và giả sử f (t, x) là một hàm liên tục trên G theo biến thứ nhất và thỏa mãn


Định lí 1.8. ([1] Định lí tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục) Xét bài toán (1.1),
(1.2). Giả sử f : R+ × Rn −→ Rn thỏa mãn
f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y ,
ở đây L : R+ −→ R+ là một hàm liên tục. Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý
x0 ∈ Rn , bài toán (1.1), (1.2) có nghiệm toàn cục duy nhất trên [0, ∞).

1.3.

Một số bổ đề bổ trợ

Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [2]) Cho x, y ∈ Rn và S ∈ Rn×n

là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT y ≤ xT Sx + y T S −1 y.

Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [2]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + Z T Y −1 Z < 0
nếu và chỉ nếu




X Z

T

Z −Y

zk
,
Γ(αk + 1)

Eα (z) =
k=0

được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.2. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
+∞

E1 (z) =
k=0

zk
=
Γ(k + 1)

+∞

k=0

zk
= ez .
k!

Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.
Định nghĩa 1.5. [6] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
+∞



 x(t0 ) = x0 ∈ Rn ,
T

trong đó α ∈ (0, 1), x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, t0 ≥ 0 là

thời điểm ban dầu, và f : [0, +∞) × Rn −→ Rn là một hàm liên tục theo t và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.


14

Định nghĩa 1.6. ([11]) Véc tơ hằng số x được gọi là điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) nếu và chỉ nếu f (t, x) = 0.
Bằng cách sử dụng một số tính chất của đạo hàm phân thứ Caputo, mọi
điểm cân bằng của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4) có thể
chuyển về gốc tọa độ 0. Thật vậy, giả sử x = 0 là một điểm cân bằng của hệ
phương trình vi phân phân thứ Caputo (1.4). Đặt y(t) = x(t) − x. Khi đó hệ

(1.4) trở thành
C α
t0 Dt y(t)

=

C α
t0 Dt (x(t)

− x) = f (t, x(t)) = f (t, y(t) + x) = g(t, y(t)),


phân phân thứ.
Định lí 1.9. ([8]) Hệ (1.4) là ổn định Mittag–Leffler nếu tồn tại các số dương
α1 , α2 , α3 , a, b và một hàm khả vi liên tục V (t, x(t)) thỏa mãn các điều kiện:


15

(i)

α1 x(t)

(ii)

C α
t0 Dt V

a

≤ V (t, x(t)) ≤ α2 x(t)

(t, x(t)) ≤ −α3 x(t)

ab

ab

,

,



Chứng minh. Xét hàm Lyapunov sau
V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Ta có
λmin(P ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) 2 .

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ
Caputo cấp α của V (t, x(t)) và sử dụng Bổ đề 1.3, ta thu được đánh giá sau:
C α
t0 Dt V

α
(t, x(t)) ≤ 2xT (t)P C
t0 Dt x(t)

= 2xT (t)P Ax(t) = xT (t) P A + AT P x(t)
≤ λmax(P A + AT P ) x(t) 2 .

(1.8)


16

Do điều kiện (1.7), ta có λmax(P A+AT P ) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định
lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.6) là ổn định Mittag–Leffler
toàn cục.

nhiễu phi tuyến phân thứ Caputo (1.9).
Định lí 1.11. ([11]) Giả sử nhiễu phi tuyến g(x(t)) thỏa mãn điều kiện (1.10).
Khi đó hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục nếu tồn tại một ma trận
đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng
thức ma trận tuyến tính sau được thỏa mãn


T
2
A P + P A + γLg P B
 < 0.

BT P
−γI
Chứng minh. Chọn hàm Lyapunov như sau

V (t, x(t)) = xT (t)P x(t).
Ta có
λmin(P ) x(t)

2

≤ V (t, x(t)) ≤ λmax (P ) x(t) 2 .

(1.11)


17

Do đó điều kiện (i) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Lấy đạo hàm phân thứ


(1.14)

trong đó
Ω = P A + AT P + γ −1 P BB T P + γL2g .
Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều kiện Ω < 0 tương đương với điều kiện (1.11).
Từ đó suy ra λmax(Ω) < 0. Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa
mãn. Vậy, theo Định lí 1.9, hệ (1.9) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.


18

Chương 2

Tính ổn định và ổn định hóa cho
một lớp hệ nơ ron thần kinh phân
thứ
Trong chương này chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn định
và ổn định hóa cho lớp hệ nổn thần kinh phân thứ. Nội dung chính của chương
này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [11].

2.1.

Tính ổn định cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân
thứ

Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ


 C D α x(t) = −Cx(t) + Bf (x(t)) + I,

chéo chính, xác định dương L = diag{l1 , . . . , ln } thỏa mãn
f (y) − f (x) ≤ L(y − x) ,
với mọi x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn .

Giả thiết 2. C là một ma trận khả nghịch và tồn tại một số 0 ≤ θ < 1 thỏa
mãn

B T (C −1 )T C −1 B ≤ θ(L−1 )2 .
Định lí dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhất nghiệm
của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1).
Định lí 2.1. ([11]) Giả sử các Giả thiết 1 và Giả thiết 2 được thỏa mãn. Khi
đó hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) tồn tại và duy nhất nghiệm.
Chứng minh. Vì C là ma trận không suy biến theo Giả thiết 2, nên ta xây
dựng ánh xạ Ξ được xác định như sau Ξ : Rn −→ Rn
Ξ(ω) = C −1 Bf (ω) + C −1 I,
ở đó ω = (ω1 , . . . , ωn )T ∈ Rn . Từ Giả thiết 1, với hai véc tơ bất kỳ ϕ, ψ ∈ Rn ,
ta có

Ξ(ϕ) − Ξ(ψ)

2

≤ C −1 B (f (ϕ) − f (ψ))

2

T

= (f (ϕ) − f (ψ)) B T (C −1 )T C −1 B (f (ϕ) − f (ψ))
T

đó điểm cân bằng của hệ nơ ron thần kinh phân thứ (2.1) là ổn định Mittag–
Leffer toàn cục nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n

và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng thức ma trận tuyến tính sau được
thỏa mãn



T

−C P − P C + γL
BT P

2

PB
−γI



 < 0.

(2.3)

Chứng minh. Theo như Định lí 2.2, ta có hệ (2.1) có duy nhất một điểm cân
bằng x. Với cách đổi biến y(t) = x(t) − x, hệ (2.1) trở thành
C α
0 Dt y(t)

= − C (y(t) + x) + Bf (y(t) + x) + I






1 −2.5
 3


C = diag{6, 7, 5.5}, B =  −1 1.5
2 .


−2.5 2
−1

Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn Giả thiết 1 với L = diag{1, 1, 1}. Cho
θ = 0.6, ta tính được








0
0.6 0
 0.4744 −0.1086 −0.1612


Vậy, theo Định lí 2.2, hệ đã cho là ổn định Mittag–Leffer toàn cục.

2.2.

Tính ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ

Trong mục này, chúng tôi sẽ trình bày tính ổn định hóa của hệ điều khiển
nơ ron thần kinh phân thứ.
Xét hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ


 C D α x(t) = −Cx(t) + Df (x(t)) + Bu(t),
0
t

 x(0) = x0 ∈ Rn ,

t ≥ 0,

(2.5)


22
T

trong đó α ∈ (0, 1), x(t) = (x1 (t), x2 (t), . . . , xn (t)) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, n

T


khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5).
Định lí 2.3. Hệ điều khiển nơ ron thần kinh phân thứ (2.5) là Mittag–Leffer
ổn định hóa được nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương P ∈ Rn×n ,
một ma trận Y ∈ Rm×n và một hằng số dương γ sao cho bất đẳng thức ma
trận tuyến tính sau được thỏa mãn


T
T T
T
−CP − P C + BY + Y B + γDD
PL
 < 0.

T
L P
−γI
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa hệ (2.5) xác định bởi
u(t) = Y P −1 x(t),

t ≥ 0.

Chứng minh. Chọn hàm Lyapunov như sau
V (t, x(t)) = xT (t)P −1 x(t).

(2.7)


23


0 Dt V

(t, x(t)) ≤ xT (t)Mx(t) ≤ λmax (M) x(t) 2 ,

(2.10)

trong đó
M = −P −1 C − C T P −1 + P −1 BK + K T B T P −1 + γP −1 DD T P −1 + γ −1 L2 .
Nhân bên trái và bên phải của M với P và đặt K = Y P −1 , ta được
P MP = −CP − P C T + BY + Y T B T + γDD T + γ −1 P LLP.
Chú ý rằng P MP < 0 tương đương với M < 0. Sử dụng Bổ đề Schur, ta có điều

kiện P MP < 0 tương đương với điều kiện (2.7). Từ đó suy ra λmax(M) < 0.

Suy ra điều kiện (ii) trong Định lí 1.9 được thỏa mãn. Vậy, theo Định lí 1.9,
hệ đóng (2.6) là ổn định Mittag–Leffler toàn cục.
Sau đây là một ví dụ số minh họa cho Định lí 2.3.

Ví dụ 2.2. Xét hệ (2.5), với α ∈ (0, 1), n = 3, x(t) = (x1 (t), x2 (t), x3 (t)) ∈ R3 ,