BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN THỊ LUẬN

XẤP XỈ VÀ ỔN ĐỊNH
CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH
VỚI CÁC HÀM SPLINES

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Văn Tuấn

HÀ NỘI, 2016

Nguyễn Thị Luận


2

Mục lục
Mở đầu

5

1

8

Kiến thức chuẩn bị
1.1

1.2

2

Không gian tuyến tính................................................................................... 8
1.1.1

Khái niệm không gian tuyến tính.......................................................... 8

1.1.2

Vectơ độc lập tuyến tính, không gian


Hàm spline và phương pháp kết hợp
2.1

2.2

sai phân . . . .

16

29

Spline và B-spline..............................................................................................29
2.1.1

Không gian các hàm spline và B-spline...............................................29

2.1.2

Hàm spline bậc 3

34

Phương pháp kết hợp (Collocation Method)..................................................... 35
2.2.1

Định nghĩa

35




ứng

dụng với phương trình Burgers................................................................................69
Kết luận

77


4

BẢNG KÍ HIỆU
N

Tập

số tự nhiên

M*

Tập

số

M

Tập

số thực


Vậy để giải phương trình đạo hàm riêng thì tính ổn định của hệ sai phân là rất quan
trọng nên tôi đã nghiên cứu luận văn: "Xấp xỉ và ổn định của một số lớp phương trình
với các hàm splines".


6

2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu sự ổn định của một số phương trình sai phân tương ứng với các phương
trình đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng như phương trình truyền nhiệt, Burgers.
- Giải xấp xỉ các phương trình trên.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các khái niệm về hàm spline, các tính chất của hàm spline để giải gần đúng
phương trình truyền nhiệt và phương trình Burgers.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Các hàm splines, lý thuyết xấp xỉ, tính ổn định của hệ sai
phân, phương trình truyền nhiệt, phương trình Burgers.
- Phạm vi nghiên cứu: nghiên cứu lớp phương trình trên trong không gian một chiều.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý kiến chuyên gia.

6. Đóng góp mới của luận văn
- Trình bày kiến thức cơ bản để giải xấp xỉ các phương trình đạo hàm riêng bằng
phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng cơ sở là các hàm splines.


7

X X X —>x

(x,y)\—V x + y
2. Phép toán nhân, kí hiệu là • :

K XX

X


9

(cc, X )

a • X

thỏa mãn 8 tiên đề sau:
+ y — y + X , Vx, y e X;

•

X

•

( x + y ) + z = X + { y + £), Va;, y : z e X - ,

• tồn tại duy nhất 9 G X sao cho 9 +

X


'ix € X và a, Ị3 € K ;

+ Ị3 • y, \/x € X và a, Ị3 € K ;

+ a • 7/, Va;, y G X và a € K.

Khi đó X cùng với hai phép toán trên gọi là không gian tuyến tính trên trường K.
Khi K = R thì X được gọi là không gian tuyến tính thực.
Khi K =

c thì X được gọi là không gian tuyến tính phức.

Người ta còn gọi không gian tuyến tính là không gian vectơ.
Ví dụ 1.1.1.
Trong mặt phẳng thực R2, Tập X = R2 là tập
R2 = |(a;i,2;2) : X ị và X 2 là các số thựcị,
với mỗi số thực a và các vectơ X = (xi,X2),y = (2/1,2/2) £ -X”, phép cộng và nhân vô hướng
được định nghĩa:


10

x + y = (x 1 + 2/1,32 + y 2 ),
ax = (ax 1, ax 2),
là không gian tuyến tính.
Ví dụ 1.1.2.
Không gian C[a>6]
C[a6Ị = ị^x = x(t) : x(t) là hàm số liên tục trên [a, 6]|,
với mỗi số thực a và f(t),g(t ) € C[afc], phép cộng và nhân vô hướng được định nghĩa:

Một không gian tuyến tính X được gọi là không gian k chiều nếu trong X có k vectơ
độc lập tuyến tính và không có k + 1 vectơ độc lập tuyến tính.
Trong trường hợp này một tập k vectơ độc lập tuyến tính của X gọi là một cơ sở của nó.
Các không gian k chiều, với k là một số nguyên bất kì > 0 gọi là không gian hữu hạn chiều.
Một không gian không hữu hạn chiều, tức là sao cho với mọi k đều tìm được k vectơ độc lập
tuyến tính của nó, gọi là không gian vô số chiều.
Ví dụ 1.1.3.
= |(ai, «2) • • •, ữfc)| a i € M| là không gian k chiều, với cơ sở là:
X \ = (1, 0 , . . . , 0), x 2 = (0,1, 0 , . . . , 0 ) , . . . , x k = ( 0 , 0 , . . . , 1).
Không gian C[a&] là vô số chiều vì với mọi k ta luôn có k phần tử của nó độc lập tuyến tính,
đó là:
xĩ(t) = t, x2(t) = t2,..., xk(t) = tk.
Nếu X là không gian k chiều và X i , X 2, ■ ■ ■ , X ỵ là một cơ sở của nó thì mọi X E X
đều được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
X = 0t\X\ + 0:2X2 + • • • + o t k X k ]
các số «1, OÍ2, . . . , a k gọi là các tọa độ của vectơ X đối với cơ sở {xi, X 2 , . . . ,
làm phép ánh xạ 1 — 1 : X *->• («1, CC2; • • •; o t ỵ ) thì đó là một phép

Xỵ\.

Nếu ta


12

đẳng cấu giữa X và Rfe. Như vậy không gian tuyến tính k chiều bao giờ cũng đẳng cấu với
không gian Rfc.
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con không rỗng M của một không gian tuyến tính X gọi là một
không gian con, nếu nó kín với phép cộng phần tử và phép nhân phần tử với một số, nghĩa
là:


{ k l l , |z2|}:
max-s \ X \

trong đó X = (£1,0:2) € R2.
Ví dụ 1.2.2.
Không gian C[afe] = |/ : [a, b] —»• M I / liên tục trên [a, 6]| là không gian định chuẩn,
với chuẩn:
l l / W I I = max |/(í)|.
a 0 sao cho:

rall^l^ < ||a;||2 < M||£||1,V£ € X.
Trong ví dụ 1.2.1 thì cả 3 chuẩn đôi một tương đương. Chẳng hạn:
Mh < (211^11^,)* = V^Hoc,
mặt khác:

ịịxịịoo = max||xi| , |£2| j < {x\ + xị)i = \\ x h, do đó
chọn M = y/2, ra = 1, ta có:

< y/2\\x 00 •


14

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

5) Nếu

x n —> x0, a n —> a0 thì x n a n —> x ữ a ữ ,

6)

yn

—> 2/0 thì x n + y n —> x 0 +

y0.

c

K, CCO € M.

Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy x n G X sao cho:
lim ||xn — x m II = 0.
171,71—Ï 00

Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ, tức là: II Xjị — xm|| —> 0
kéo theo sự tồn tại X o G X sao cho x n -7

1.3

X o,

thì không gian đó gọi là không gian Banach.

Không gian Hilbert

không gian tiền Hilbert.
Định nghĩa 1.3.3. Ta gọi một tập H ^ 0 gồm những phần tử X, y, z,... nào đấy là

không gian Hilbert , nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng (.,.);
3. H là không gian Banach với chuẩn ||x|| = yj(x,x),x € H.
Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian
Hilbert con của không gian H.

Ví dụ 1.3.1.


16

Không gian M k cùng với tích vô hướng:
k

{x,y) = X nVn,
71=1

với Mx = (x n) E My = (y n) G là một không gian Hilbert.
Ví dụ 1.3.2.
Không gian l 2 , lập thành bởi tập tất cả các dãy số phức X = (xi, X 2 , ■ ■ ■, x n)
oc
sao cho X) x n < oo, với các phép toán tuyến tính: X + y = (a?i + 2/1,
7Ỉ=1

+



17

bài toán trên được gọi là bài toán biên loại một.
Nếu điều kiện biên y(a ) = a,y(b ) = ß được thay thế bởi điều kiện biên:

-p(a)y'(a) + ƠI y(a) = a,
p{b)y’{b) + ơ 2 y{b ) = ß,
Ơ I > 0, ơ 2 > 0, ơ ị + ơ 2 > 0;
thì ta có bài toán biên loại 3.
Còn nếu ơ\ = Ơ2 = 0 thì ta có bài toán biên loại hai.
Trong thực tế ta còn gặp những bài toán mà tại X = a và X = b có điều kiện biên
khác nhau (chẳng hạn tại X = a ta có điều kiện biên loại 1 còn tại X = b ta có điều kiện
biên loại hai hoặc loại ba) khi đó ta có bài toán biên hỗn hợp.
Sau đây ta sẽ xem xét các khái niệm về phương pháp sai phân thông qua bài toán biên
loại một.
b. Bài toán vi phân
Cho hai số a và b với a < b. Tìm hàm y = y(x) xác định tại a < X < b thỏa mãn:

ị L(y) =-(py'Ỵ+ qy = f{x),
\

^y(a) = a; y (b) = ß,

(1-4)

trong đó p = p(x), q = q(x), f(x) là những hàm số cho trước đủ trơn thỏa mãn:
0 < C o < p(x) < C l ] Co, C l = const, q(x) > 0
còn cc, ß là những số cho trước.
Giả sử bài toán (1.4) có nghiệm duy nhất y đủ trơn trên [a, b].


£ [a, b]

sẽ tạo ra hàm lưới y có giá trị tại nút X ị là y i = y

{ x ì ).

e.

Đạo hàm của hàm lưới
Xét hàm lưới V . Đạo hàm của hàm lưới tiến cấp một của V, kí hiệu là v x , có giá trị tại

nút X ị là:
Vi+1 - Vị
Vxi

7

h

Đạo hàm lưới lùi cấp một của V , kí hiệu là V x , có giá trị tại nút X ị là:
_ V i - Vi-!
Vxi

7

h
Sau đây ta sẽ thấy rằng khi h bé thì đạo hàm lưới "xấp xỉ" được đạo hàm
thường (xem các công thức (1.7), (1.8), (1.9)).
Do đó có đạo hàm lưới cấp hai v x x :

19

Khái niệm "xấp xỉ" liên quan đến khái niệm vô cùng bé. Để viết các vô cùng bé một
cách đơn giản ta sẽ áp dụng quy ước sau đây:
Giả sử đại lượng p(h) là một vô cùng bé khi h —y 0. Nếu tồn tại số a > 0 và hằng số M

> 0 không phụ thuộc h sao cho:

|p(A)l < Afft“;
thì ta viết:

p(h) = 0{h a ).
Viết như trên có nghĩa là: khi h nhỏ thì p{ỳì) là một đại lượng nhỏ và khi h —> 0 thì

p(h) tiến đến số 0 không chậm hơn Mh a .
g. Công thức Taylor
Ta nhắc lại công thức Taylor ở đây vì nó là công thức quan trọng được sử dụng để xấp
xỉ bài toán vi phân bởi bài toán sai phân.
Giả sử F(x ) là một hàm số xác định và có đạo hàm đến cấp ra + 1 trong một khoảng (a,

ß ) chứa X và X + Ax, Ax có thể dương hay âm. Khi đó, theo công thức Taylor ta có:
F(x + Ax) = F(x) + AxF'{x) +

2!

+ ... + ^f^F { m \x)+

ra!

(Arr)


(Aa:)

+1

j7(m+l)/ c \

< K(AxỴ m + 1 \

(m + 1)!
Công thức Taylor ở trên có thể viết gọn hơn như sau:

Fix + Ax) = Fix) + AxF'(x) + ^X-F"(x) + ... + ỊAEẠp( m Ux)+
2!
ml
+0((Ax)m+1).

(1.6)
h. Liên hệ giữa đạo hàm và đạo hàm lưới
Giả sử hàm y{x ) đủ trơn. Theo công thức Taylor (1.6) ta có:

y{x i + 1 ) = y(xi + h) = y(xị) + hy'(xị) + 0(/i2).
Ta suy ra

Vtí = ÿ(Xi+1^~ Ểĩủ = y'( X ị ) + ũ (ft);

(1.7)

y(xi- 1) = y{xi - h) = y(xi) - hy'(xi ) + 0(/i2);
m=

Do 3,14 < 7T < 3,142 = 3,14 + 0, 002 nên ta có thể lấy Aa = 0, 002.
Ví dụ 1.4.2.
Đo độ dài đoạn AB và CD ta thu được a = lOcm, b = lcm và Aa = A6= 0,01.
Khi đó ta có ỗa =

= 0,1%; ỗb =

Vậy phép đo đoạn thẳng AB chính xác hơn đoạn thẳng CD.


22

• Độ chính xác của một phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
Ta tìm cách tính gần đúng giá trị của nghiệm đúng y(xị) tại các nút Xị € Gọi các giá trị
gần đúng đó là Vị. Muốn có Vị ta thay bài toán vi phân (1.4) bởi bài toán sai phân:
Ị L h v = -(aVx)xi + ÇiVi = fi]

^
^

Ị^o = a,v N = ß.
Trong đó: dị = p(xi - h/2),qi = q(xi), fi = f(xi).
Hệ phương trình (1.11) gọi là hệ phương trình sai phân ứng với hệ phương trình vi phân
(1.4).
Đối với mỗi phương pháp gần đúng để giải bài toán vi phân (1.4) ta đã kí hiệu Vị là giá
trị gần đúng thu được cho y{x).
Nếu \vị — y(xị) I = 0(h k ), k > 0,
thì ta nói phương pháp có độ chính xác cấp k hay là một phương pháp cấp k.

1.4.2