BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ TĂNG
DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM
CỦA HỆ GRADIENT TRONG KHÔNG GIAN
VÔ HẠN CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học,
các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại
học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 7 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Thị Tăng
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình
học tập và nghiên cứu, dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và
sự giúp đỡ của các thầy, cô trong khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 và
các thầy, cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham

. . 42
2.2. Sự ổn định nghiệm cho nghiệm toàn cục của hệ gradient 43
2.3. Sự không ổn định cho nghiệm toàn cục của hệ gradient . 46
2
2.4. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon và sự ổn định của nghiệm toàn
cục của hệ gradient . . . . . 49
2.5. Bất đẳng thức Lojasiewicz-Simon trong không gian Hilbert 53
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng có thể coi là cầu nối giữa toán học ứng
dụng và toán học lý thuyết. Đã có rất nhiều phương trình đạo hàm riêng
là mô hình toán học của các bài toán thực tế. Việc nghiên cứu tính chất
(định tính, định lượng) của nghiệm các phương trình đạo hàm riêng có
ý nghĩa quan trọng trong việc quay trở lại áp dụng vào bài toán thực tế.
Đối với phương trình đạo hàm riêng, ngoài việc xét tính đặt đúng của
bài toán (sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục), chúng ta còn cần phải nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm
khi biến thời gian t → ∞. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì
nghiệm của phương trình đạo hàm riêng thường mô tả trạng thái của
các mô hình thực tế, do đó nghiên cứu dáng điệu nghiệm ta biết sự thay
đổi của mô hình khi thời gian t → ∞.
Trong thực tế, sự mất năng lượng (như nhiệt) mà không thể phục hồi
là nguyên nhân gây nên sự tiêu tán. Có vẻ như đặc tính tiêu tán là một
tính chất chung của hầu hết các hệ. Một trong những hệ tiêu tán điển
hình là hệ gradient. Trong R
d
hệ này có dạng
˙u + ∇E(u) = 0, t ∈ I ⊂ R

Tìm hiểu về hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
5
Tìm hiểu về khái niệm nghiệm suy rộng của hệ gradient trong không
gian vô hạn chiều, tính chất định tính của nghiệm và dáng điệu tiệm cận
của nghiệm.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: hệ gradient trong không gian vô hạn chiều.
Phạm vi nghiên cứu: dáng điệu tiệm cận của nghiệm suy rộng.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu.
Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như: các không gian hàm, lý
thuyết toán tử.
6. Đóng góp mới của luận văn
Trình bày các kiến thức về hệ gradient một cách hệ thống, bao gồm khái
niệm hệ gradient, khái niệm nghiệm suy rộng, một số tính chất định tính
của nghiệm, đặc biệt là về dáng điệu tiệm cận của nghiệm.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian Bochner-Sobolev và Bochner-Lebesgue
Mục này giới thiệu ngắn gọn về tích phân Bochner của các hàm giá trị
Banach và về các không gian Bochner-Lebesgue, không gian Bochner-
Sobolev. Đó là những khái niệm cần thiết để nghiên cứu các phương trình
vi phân trừu tượng trong không gian Banach, đặc biệt là hệ gradient
trong không gian Banach; nghiệm của các phương trình vi phân trừu
tượng được tìm trong không gian Bochner-Lebesgue hoặc không gian
Bochner-Sobolev các hàm giá trị Banach.
Trong cả mục này, ta chỉ xét tập con mở trong R
d
với độ đo Lebesgue.
Nhưng hầu hết các kết quả về tích phân Bochner và không gian Bochner-

thang f
n
: Ω → X sao cho f
n
→ f hầu khắp nơi. Lưu ý rằng trong
trường hợp X = R, định nghĩa này tương đương với cách định nghĩa
"nghịch ảnh của mọi tập đo được đều đo được". Từ định nghĩa ta có Bổ
đề sau đây:
Bổ đề 1.1 (Xem [4], Bổ đề 5.1). Cho X, Y là hai không gian Banach
thực:
a) Mọi hàm liên tục f : Ω → X đều là hàm đo được.
b) Nếu f : Ω → X đo được thì ||f|| : Ω → R cũng đo được.
c) Nếu f : Ω → X đo được và g : X → Y liên tục thì hàm hợp g ◦ f :
Ω → Y đo được.
d) Nếu f : Ω → X và g : Ω → R đo được thì tích fg : Ω → X đo được.
e) Nếu f : Ω → X và g : Ω → X

đo được thì tích g, f
X

,X
: Ω → R đo
được.
f) Nếu (f
n
) là một dãy các hàm đo được từ Ω → X sao cho f
n
→ f hầu
khắp nơi thì f đo được.
Định lý 1.1 (Pettis, xem [4], Định lý 5.2). Hàm f : Ω → X là đo được

µ(A
n
)x
n
.
Chuỗi

n
µ(A
n
)x
n
hội tụ tuyệt đối và có tổng độc lập với dạng biểu diễn
của f. Vì vậy, tích phân Bochner của hàm bậc thang khả tích được xác
định tốt; tích phân

Ω
fdµ là một phần tử của X.
Với hàm khả tích f : Ω → X bất kỳ, ta định nghĩa tích phân
(Bochner) của f bởi

Ω
fdµ := lim
n→∞

Ω
f
n
dµ,
trong đó (f


Ω
fdµ






≤

Ω
fdµ.
và một số định lý quan trọng sau:
9
Định lý 1.2 (Lebesgue, sự hội tụ trội, xem [4], Định lý 5.3). Cho (f
n
)
là một dãy các hàm khả tích Ω → X và f : Ω → X là một hàm. Giả
sử tồn tại một hàm khả tích g : Ω → R sao cho ||f
n
|| ≤ g với mọi n và
f
n
→ f hầu khắp nơi. Khi đó f là khả tích và

Ω
fdµ = lim
n→∞


f(t)dµ(t),
và nếu Ω = (a, b) là một khoảng trên R, thì ta viết
b

a
f hoặc
b

a
f(t)dµ(t) hoặc
b

a
f(t)dt
cho tích phân Bochner của một hàm khả tích f : (a, b) → X.
10
1.1.2. Không gian Bochner-Lebesgue
Với mỗi hàm đo được f : Ω → X và 1 ≤ p < ∞, ta đặt
||f||
L
p
:=



Ω
||f||
p
dµ


(Ω; X) : ||f||
L
p
= 0}
=

f ∈ L
p
(Ω; X) : f = 0 hầu khắp nơi

thì không gian thương
L
p
(Ω; X) := L
p
(Ω; X)/N
p
:= {f + N
p
: f ∈ L
p
(Ω; X)}
trở thành một không gian Banach với chuẩn
||[f]||
L
p
:= ||f||
L
p
, ([f] = f + N

(Ω; X) ⊆ L
q
(Ω; X) ⊆ L
1
(Ω; X).
Đặc biệt, nếu Ω là bị chặn và f là liên tục trên bao đóng Ω thì f thuộc
L
p
(Ω; X), ∀1 ≤ p ≤ ∞.
Dưới đây là một số kết quả (không chứng minh) về không gian
Bochner-Lebesgue được sử dụng trong các bài sau.
Định lý 1.3 (xem [4], Định lý 5.5). Nếu 1 ≤ p < ∞ và nếu X là tách
được thì L
p
(Ω; X) là tách được. Chính xác hơn, nếu (h
n
) ⊆ L
p
(Ω) và
(x
n
) ⊆ X là hai dãy trù mật thì:
F := {f : Ω → X : f = h
n
x
m
, n, m ∈ N}
là đếm được và span(F) trù mật trong L
p
(Ω; X).






≤ f
L
p
(Ω;X)
g
L
p

(Ω;X

)
.
12
Hơn nữa
||g||
L
p

= sup
||f||
L
p
≤1



(Ω; X

) với một dạng tuyến tính liên tục
f →

Ω
f, g là một đẳng cự. Tuy nhiên, khác với trường hợp vô hướng,
ánh xạ này nói chung không phải là toàn ánh, ngay cả khi p < ∞. Việc
đồng nhất L
p
(Ω)

∼
=
L
p

(Ω) (khi p < ∞) là không còn đúng cho không
gian Bochner-Lebesgue nói chung, nghĩa là ta không có sự đồng nhất
đầy đủ của không gian đối ngẫu của L
p
(Ω; X) với không gian Bochner-
Lebesgue. Tuy nhiên các kết quả sau đây là đúng.
Định lý 1.4 (xem [4], Định lý 5.6). Ta có
a) Nếu 1 ≤ p < ∞ và X phản xạ thì L
p
(Ω; X)

∼
=

W
1,p
(a, b; X) ={u ∈ L
p
(a, b; X) : tồn tại v ∈ L
p
(a, b; X)
sao cho với mọi ϕ ∈ C
1
c
(a, b) ta có
b

a
uϕ

= −
b

a
vϕ}.
Rõ ràng, hàm v được xác định duy nhất nếu nó tồn tại. Ta viết u

:= v
và ta gọi u

là đạo hàm yếu của u. Không gian W
1,p
(a, b; X) là không
gian Banach với chuẩn

T : W
1,p
(a, b; X) → L
p
(a, b; X) × L
p
(a, b; X), u → (u, u

),
cho thấy W
1,p
(a, b; X) đẳng cấu với một không gian con đóng của L
p
(a, b; X)×
L
p
(a, b; X). Từ đây và Định lý 1.3 và 1.4 ta có được những tính chất sau
của không gian Bochner-Sobolev.
Định lý 1.5 (Xem [4], Định lý 5.7). a) Nếu 1 ≤ p < ∞ và X tách được,
thì W
1,p
(a, b; X) tách được.
b) Nếu 1 < p < ∞ và X phản xạ thì không gian W
1,p
(a, b; X) cũng phản
xạ.
14
c) Nếu H là không gian Hilbert thì không gian H
1
(a, b; H) := W

= 0.
Khi đó u là hằng số hầu khắp nơi.
Bổ đề 1.4 (Xem [4], Bổ đề 5.9). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn,
t
0
∈ [a, b], g ∈ L
p
(a, b; X) và đặt
u(t) :=
t

t
0
g(s)ds, t ∈ [a, b].
Khi đó u ∈ W
1,p
(a, b; X) và u

= g.
Định lý 1.6 (Xem [4], Định lý 5.10). Cho (a, b) là một khoảng bị chặn
và u ∈ W
1,p
(a, b; X). Khi đó tồn tại một hàm liên tục ˜u : [a, b] → X
bằng với u hầu khắp nơi và với mọi s, t ∈ [a, b],
˜u(t) − ˜u(s) =
t

s
u


v + uv

.
b) (Tích phân từng phần).
b

a
u

v = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
b

a
uv

.
Với mỗi 1 ≤ p ≤ ∞ và ∀k ≥ 2, ta định nghĩa quy nạp không gian
Bochner-Sobolev cấp k
W
k,p
(a, b; X) :=

u ∈ W
1,p
(a, b; X) : u

∈ W
k−1,p
(a, b; X)



L
∞
, , u
(k)

L
∞

,
Nếu H là một không gian Hilbert, thì H
k
(a, b; H) := W
k,2
(a, b; H) là
một không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v
H
k
:=
k

j=0

u
(j)
, v
(j)

L

Định lý 1.10 (Bất đẳng thức Poincare, xem [4], Định lý 5.14). Cho
(a, b) là một khoảng bị chặn và 1 ≤ p < ∞. Khi đó, tồn tại một hằng số
λ > 0 sao cho
λ
b

a
u
p
≤
b

a
u


p
, ∀u ∈ W
1,p
0
(a, b; X).
1.3. Hệ Gradient trong không gian vô hạn chiều
Trong mục này, ta nghiên cứu các hàm thực xác định trên không
gian Banach vô hạn chiều, gradient của chúng và hệ gradient tương ứng.
Nhiều khái niệm về hệ gradient trong không gian hữu hạn chiều sẽ lại
xuất hiện ở đây như: đạo hàm, tích vô hướng, và mêtric trên không gian
nền, gradient, hệ gradient, hàm năng lượng và sự tiêu tán. Tuy nhiên
việc phân tích hệ gradient trong không gian vô hạn chiều như sự tồn tại
nghiệm địa phương hay nghiệm toàn cục sẽ phức tạp hơn.
Kí hiệu, V là một không gian Banach với chuẩn ||.||

V

= sup
||u||
V
≤1
u

, u.
17
1.3.1. Khái niệm gradient
Cho U ⊆ V là một tập mở, E : U → R là một hàm. Ta nói rằng E là
khả vi nếu với mỗi u ∈ U, tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục
u

∈ V

sao cho:
lim
||h||
V
→0
E(u + h) − E(u) − u

, h
||h||
V
= 0.
Phiếm hàm u


Nghĩa là ta đồng nhất V với một không gian con trù mật của H (qua
đơn ánh V → H) và tồn tại C ≥ 0 sao cho
u
H
≤ Cu
V
, ∀u ∈ V.
Ta viết V → H.
Với hàm đã cho E : U → R, ta định nghĩa gradient ∇
H
E đối với tích
vô hướng ·, ·
H
bởi
D(∇
H
E) :=

u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E

(u)ϕ = v, ϕ
H
, với mọi ϕ ∈ V

và
∇
H
E(u) := v,
18
tức là, ∇

Khi V nhúng liên tục và trù mật trong H, thì H

nhúng liên tục trong
V

; hạn chế trên V của một phiếm hàm tuyến tính liên tục H → R cho
ta một phiếm hàm tuyến tính liên tục V → R. Phép tương ứng đó xác
định một toán tử từ H

→ V

là tuyến tính, liên tục và đơn ánh do V
trù mật trong H. Tuy nhiên nói chung phép nhúng H

→ V

không toàn
ánh, tức là không phải mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục u

∈ V

đều
thác triển được thành phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H. Do đó, có
thể tồn tại E

(u) ∈ V

nhưng không thác triển liên tục được lên H.
Tuy nhiên nếu u


a := sup
u
H
≤1
v
H
≤1
|a(u, v)|.
Bên cạnh sự hội tụ theo chuẩn trong L
2
(H; R) ta cũng xét cả sự hội
tụ mạnh của dãy. Ta nói dãy (a
n
) ⊂ L
2
(H, R) hội tụ mạnh tới phần
tử a ∈ L
2
(H; R) nếu
lim
n→∞
a
n
(u, v) = a(u, v), ∀u, v ∈ H.
Rõ ràng mọi dãy hội tụ theo chuẩn trong L
2
(H; R) đều hội tụ mạnh.
Tập tất cả các tích vô hướng trên H kí hiệu là Inner(H) là một tập
con của L
2

u ∈ U : ∃v ∈ H sao cho E

(u)ϕ = v, ϕ
g(u)
, ∀ϕ ∈ V

và
∇
g
E(u) := v,
tức là, ∇
g
E(u) là phần tử duy nhất trong H (nếu tồn tại) biểu diễn đạo
hàm E

(u) đối với tích vô hướng ·, ·
g(u)
:
E

(u)ϕ = ∇
g
E(u), ϕ
g(u)
, ∀ϕ ∈ V. (1.2)
Nếu với mỗi u ∈ U, tích vô hướng ·, ·
g(u)
tương đương với tích vô hướng
·, ·
H

E

(u)v = a(u, v), ∀u, v ∈ V.
Cho dạng toàn phương E : V → R gắn với dạng song tuyến tính
a : V × V → R, H là không gian Hilbert với tích vô hướng ·, ·
H
, sao
cho V nhúng liên tục và trù mật trong H. Khi đó, ta có thể tính gradient
của E đối với tích vô hướng trong H, bằng cách sử dụng định nghĩa của
gradient và Mệnh đề 1.2 ta có
D(∇
H
E) =

u ∈ V : ∃v ∈ H thỏa mãn a(u, ϕ) = v, ϕ
H
, ∀ϕ ∈ V

và
và ∇
H
E(u) = v.
Điều này cho thấy, gradient của dạng toàn phương E đối với tích vô
hướng ·, ·
H
là một toán tử tuyến tính trên H. Miền xác định D(∇
H
E)
là một không gian tuyến tính con của H và ánh xạ u → ∇
H

:=

u
p
L
p
+
d

i=1

∂u
∂x
i

p
W
k−1,p

1
p
, nếu 1 ≤ p < ∞,
u
W
k,∞
:= sup

||u||
L
∞

i=1

∂u
∂x
i
,
∂v
∂x
i

H
k−1
.
1.3.4. Toán tử Dirichlet-Laplace
Mục này đề cập tới một ví dụ về gradient của dạng toàn phương liên
kết với bài toán biên Dirichlet đối với toán tử Laplace. Cho Ω ⊆ R
d
là
tập mở và xét không gian Banach V = H
1
0
(Ω), hàm E : H
1
0
(Ω) → R cho
bởi
E(u) =
1
2
