ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
Trịnh Viết Dược
ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM
CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG
TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân
Mã số: 62460103
TÓM TẮT DỰ THẢO LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Người hướng dẫn khoa học:
1. PGS. TS. Nguyễn Thiệu Huy
2. PGS. TS. Đặng Đình Châu
Phản biện 1:
Phản biên 2:
Phản biện 3:
Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án
tiến sĩ họp tại . . . . . . . .
vào hồi giờ ngày tháng năm
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia Việt Nam
- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội
MỞ ĐẦU
Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính
du
dt
= A(t)u + f(t, u), t ∈ I,
trong đó I = R
+

bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính. Có hai phương
1
pháp chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp
Hadamard và phương pháp Perron. Phương pháp Hadamard đã được tổng quát
hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform), phương pháp này
liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu
diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành
phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của
Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương
trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá,
để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp Lyapunov-
Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra
bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây
dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ
thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả
khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha.
Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa
tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện
Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q là hằng số đủ nhỏ. Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá
trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ
điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để
chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy.
Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Ba-
nach chấp nhận được. Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn
của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến, ở đó hệ
số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian
hàm Banach chấp nhận được. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn

trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3].
• Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định,
đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng
du
dt
= A(t)u(t) + f(t, u
t
), t ∈ I,
trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi
t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục. Với r > 0 cố
định, chúng ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên
tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup. Khi họ toán tử (A(t))
t∈I
sinh
ra họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều
kiện của f để phương trình trên có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến
là hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz
đủ nhỏ, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q đủ nhỏ. Tuy nhiên,
đối với các phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán
phức tạp, hàm f biểu diễn nguồn vật chất của các quá trình này thì hệ
số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian. Vì vậy, khi nghiên cứu sự
tồn tại của các đa tạp tích phân của phương trình vi phân hàm đạo hàm
riêng, chúng tôi xét hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz,
tức là f(t, φ
1
) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ

, B, λ), trong đó B là đại
số Borel và λ là độ đo Lebesgue trên R
+
, nếu
(1) (E,  · 
E
) là không gian Banach và nếu ϕ ∈ E, ψ là hàm thực đo được
Borel sao cho |ψ(·)| ≤ |ϕ(·)| h.k.n (hầu khắp nơi) theo độ đo λ thì ψ ∈ E
và ψ
E
≤ ϕ
E
,
(2) hàm đặc trưng χ
A
∈ E với mọi A ∈ B có độ đo hữu hạn và sup
t≥0
χ
[t,t+1]

E
<
∞, inf
t≥0
χ
[t,t+1]

E
> 0,
(3) E → L

E
với mọi [a, b] ⊂ R
+
và mọi ϕ ∈ E,
(ii) E là bất biến với toán tử Λ
1
, trong đó Λ
1
ϕ(t) =

t+1
t
ϕ(τ)dτ,
(iii) E là T
+
τ
và T
−
τ
bất biến với mọi τ ∈ R
+
, trong đó
T
+
τ
ϕ(t) =



ϕ(t − τ) nếu t ≥ τ ≥ 0

) :=

f ∈ L
1, loc
(R
+
) : sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ < ∞

với chuẩn f
M
:= sup
t≥0

t+1
t
|f(τ)|dτ là các không gian hàm Banach chấp
nhận được.
Dưới đây là một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được.
Mệnh đề 1.1.4. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được. Ta có các
khẳng định sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R
+
) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ

Khi đó, Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ ∈ E. Hơn nữa, nếu ϕ ∈ M(R
+
) (điều này được thoả
mãn nếu ϕ ∈ E) thì Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
T
+

∈ E.
(c) Với mọi b > 0, e
bt
/∈ E.
1.2 Không gian hàm Banach chấp nhận được
trên đường thẳng
Thay R
+
bởi R và thay đổi tương ứng trong định nghĩa, chúng ta có khái niệm
không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng. Ta có tính chất
sau.
Mệnh đề 1.2.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường
thẳng. Ta có các tính chất sau
(a) Cho ϕ ∈ L
1, loc
(R) sao cho ϕ ≥ 0 và Λ
1
ϕ ∈ E. Với mọi σ > 0 ta xác định
Λ

σ
ϕ và Λ

σ
ϕ như sau
Λ

σ
ϕ(t) =


ϕ và Λ

σ
ϕ bị chặn và ta có đánh giá
Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
1
1 − e
−σ
Λ
1
ϕ
∞
và Λ

σ
ϕ
∞
≤
N
2
1 − e
−σ
Λ
1

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (1.3)
Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.3.1. Một họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
trên không gian Banach X
được gọi là nhị phân mũ trên [0, ∞) nếu tồn tại các toán tử chiếu tuyến tính
bị chặn P (t), t ≥ 0, trên X và các hằng số N, ν > 0 sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t ≥ s ≥ 0,
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) → KerP (t), t ≥ s ≥ 0 là đẳng cấu, chúng
ta biểu diễn ánh xạ ngược là U(s, t)
|
:= (U(t, s)
|
)
−1
, 0 ≤ s ≤ t,
(c) U(t, s)x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ P(s)X, t ≥ s ≥ 0,
(d) U(s, t)
|
x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ KerP (t), t ≥ s ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
nửa đường thẳng và ϕ ∈ E là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × X → X được

sao cho
inf
t∈R
+
Sn(X
0
(t), X
1
(t)) := inf
t∈R
+
inf
i=0, 1
{x
0
+ x
1
 : x
i
∈ X
i
(t), x
i
 = 1} > 0
và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: X
0
(t) → X

0
∈ S
t
0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (1.3) trên [t
0
, ∞)
thoả mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞.
(iv) S là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (1.3) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ S
t
0
và ess sup
t≥t
0
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ S
s
với mọi s ≥ t
0

1 − e
−ν
.
Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương trình
(1.3). Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u
1
(t), u
2
(t) trên đa tạp S hút nhau cấp mũ,
tức là tồn tại các hằng số dương µ và C
µ
không phụ thuộc t
0
≥ 0 sao cho
u
1
(t) − u
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t−t
0
)
P (t
0
)u
1
(t
0

ổn định. Khi mở rộng họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ chúng tôi đã
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định. Sau đó, thay vì xét phương trình trên
nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó
chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các
quỹ đạo nghiệm.
9
2.1 Đa tạp tâm ổn định
Để chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, chúng ta xét phương trình tích
phân
u(t) = U(t, s)u(s) +

t
s
U(t, ξ)f(ξ, u(ξ))dξ với t ≥ s ≥ 0. (2.2)
Nghiệm của phương trình tích phân (2.2) được gọi là nghiệm đủ tốt của phương
trình (2.1) với điều kiện ban đầu u(s) = x ∈ X.
Chúng ta nhắc lại các khái niệm sau.
Định nghĩa 2.1.1. Họ tiến hoá {U(t, s)}
t≥s≥0
được gọi là tam phân mũ trên
nửa đường thẳng nếu tồn tại ba họ các toán tử chiếu {P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2,
3 và các hằng số dương N, α, β với α < β sao cho các điều kiện sau được thoả
mãn:
(i) sup
t≥0
P

(s)
là U(s, t)
|
.
(v) Với t ≥ s ≥ 0 và x ∈ X, các ước lượng sau đúng:
U(t, s)P
1
(s)x ≤ Ne
−β(t−s)
P
1
(s)x,
U(s, t)
|
P
2
(t)x ≤ Ne
−β(t−s)
P
2
(t)x,
U(t, s)P
3
(s)x ≤ Ne
α(t−s)
P
3
(s)x.
Sau đây là kết quả chính của phần này, định lý chỉ ra sự tồn tại của đa tạp
tâm ổn định.

1 − e
−ν
<
1
N
0
+ 1
,
trong đó q = sup{P
j
(t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N
0
= max{N, 2qN} và ν =
δ−α
2
> 0. Khi đó, với mỗi δ > α, tồn tại đa tạp tâm ổn định S = {(t, S
t
) ⊂
R
+
× X} cho các nghiệm của phương trình (2.2), được biểu diễn bởi họ các ánh
xạ Lipschitz
g
t
: Im(P
1
(t) + P
3
(t)) → ImP
2

1
(t) ⊕ X
3
(t) với mọi t ≥ 0, ở đây X
j
(t) = P
j
(t)X,
j = 1, 3.
(iii) S là bất biến, tức là nếu u(t) là nghiệm của phương trình (2.2) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ S
t
0
và ess sup
t≥t
0
e
−γt
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ S
s
với mọi
s ≥ t
0
.
(iv) Với hai quỹ đạo nghiệm bất kỳ x(·) và y(·) trên đa tạp tâm ổn định, ta có
ước lượng sau:

trên X và các hằng số dương N, ν sao cho
(a) U(t, s)P (s) = P (t)U(t, s), t ≥ s,
(b) ánh xạ hạn chế U(t, s)
|
: KerP (s) → KerP (t), t ≥ s là đẳng cấu, ký hiệu
ánh xạ ngược của nó là (U(t, s)
|
)
−1
= U(s, t)
|
,
(c) U(t, s)x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ ImP (s), t ≥ s,
(d) U(s, t)
|
x ≤ Ne
−ν(t−s)
x với x ∈ KerP (t), t ≥ s.
Định nghĩa 2.2.2. Cho E
R
là không gian hàm Banach chấp nhận được trên
đường thẳng và ϕ ∈ E
R
là hàm không âm. Hàm f : R × X → X được gọi là
ϕ-Lipschitz nếu f thoả mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R,
(ii) f(t, x
1

0
(t) ⊕ X
1
(t) sao cho
inf
t∈R
Sn(X
0
(t), X
1
(t)) := inf
t∈R
inf
i=0, 1
{x
0
+ x
1
 : x
i
∈ X
i
(t), x
i
 = 1} > 0
và tồn tại họ các ánh xạ Lipschitz
g
t
: X
1

0
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (2.3) trên
(−∞, t
0
] thoả mãn u(t
0
) = x
0
và ess sup
t≤t
0
u(t) < ∞,
(iv) U là bất biến, tức là nếu u là nghiệm của phương trình (2.3) thoả mãn
u(t
0
) = x
0
∈ U
t
0
và ess sup
t≤t
0
u(t) < ∞ thì u(s) ∈ U
s
với mọi s ≤ t
0
.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 2.2.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))

(−∞, t
0
] thoả mãn (I − P (t
0
))x(t
0
) = v
1
và ess sup
t≤t
0
x(t) < ∞. Hơn nữa,
nếu hai nghiệm x
1
(t), x
2
(t) tương ứng với hai giá trị ban đầu v
1
, v
2
∈ X
1
(t
0
)
thì ta có:
x
1
(t) − x
2

f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E
R
là hàm không âm thoả mãn
k <
1
N+1
, ở đây k được xác định bởi (2.4). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định
bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa, với hai nghiệm
bất kỳ x
1
(·) và x
2
(·) trên đa tạp không ổn định bất biến U, ta có ước lượng sau:
x
1
(t) − x
2
(t) ≤ C
µ
e
−µ(t
0
−t)
(Id − P(t
0
))(x
1
(t
0
) − x

t≥s
có nhị phân mũ với họ toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị phân N, ν > 0. Giả sử rằng
f : R × X → X là ϕ-Lipschitz, trong đó ϕ ∈ E
R
là hàm không âm thoả mãn
k <
1
N+1
, ở đây k được xác định bởi (2.4) và hàm Nϕ(·) là (

N
, ω)-suitable với
ω là cận tăng trưởng mũ của họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
. Khi đó, tồn tại đa tạp
không ổn định bất biến U cho các nghiệm của phương trình (2.3). Hơn nữa,
đa tạp này hút cấp mũ tất cả các quỹ đạo nghiệm của phương trình (2.3), tức
là nếu x(·) là nghiệm bất kỳ của phương trình (2.3) thì tồn tại các hằng số
˜
K, ˜η > 0 sao cho
d(x(t), U
t
) ≤
˜
Ke
−
˜
η(t−s)
d(x(s), U

t≥0
sinh ra
họ tiến hoá có nhị phân mũ (hoặc tam phân mũ), chúng ta tìm điều kiện của f
để phương trình (3.1) có đa tạp tích phân. Điều kiện phổ biến nhất của phần
phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến
hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ
bé, tức là f(t, φ) − f(t, ψ) ≤ qφ − ψ
C
với q đủ nhỏ. Tuy nhiên, đối với các
phương trình nảy sinh từ quá trình tương tác-khuyếch tán phức tạp, trong đó
f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời
gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển. Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng
các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình
tương tác-khuyếch tán như vậy.
15
3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân
hàm đạo hàm riêng
Giả sử họ toán tử tuyến tính A(t) sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
. Để chứng
minh sự tồn tại của đa tạp ổn định, thay cho (3.1) chúng ta xét phương trình
tích phân





u(t) = U(t, s)u(s) +

t


P (t), t ≥ 0 là các toán
tử chiếu trên C. Hơn nữa, ta có
Im

P (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U(t − θ, t)ν
0
, ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν
0
∈ ImP(t)}.
Định nghĩa 3.1.1. Cho E là không gian hàm Banach chấp nhận được và ϕ ∈ E
là hàm không âm. Hàm f : [0, ∞) × C → X được gọi là ϕ-Lipschitz nếu f thoả
mãn
(i) f(t, 0) ≤ ϕ(t) với mọi t ∈ R
+
,
(ii) f(t, φ
1
) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ
1
− φ
2

C
với mọi t ∈ R
+
và φ
1


X
1
(t) = Ker

P (t)) sao cho
sup
t≥0


P (t) < ∞
và tồn tại họ ánh xạ Lipschitz
Φ
t
:

X
0
(t) →

X
1
(t), t ∈ R
+
với hằng số Lipschitz độc lập với t và thoả mãn
(i) S = {(t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ R
+
× (

có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) trên [s−r, ∞)
thoả mãn u
s
= φ và sup
t≥s
u
t

C
< ∞. Hơn nữa, hai nghiệm bất kỳ u(t)
và v(t) của phương trình (3.2) tương ứng với φ
1
, φ
2
∈ S
s
hút nhau cấp
mũ, tức là tồn tại các hằng số dương µ và C
µ
độc lập với s ≥ 0 sao cho
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t−s)

ϕ là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E. Cho
f : R
+
× C → X là ϕ-Lipschitz, đặt
k :=
e
νr
(1 + H)N(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)
1 − e
−ν
. (3.5)
Khi đó, nếu k < 1, với mỗi hàm φ ∈ Im

P (s) có duy nhất nghiệm u(t) của
phương trình (3.2) trên [s − r, ∞) thoả mãn

1
(0) − φ
2
(0) với mọi t ≥ s ≥ 0,
trong đó µ là hằng số dương thoả mãn
0 < µ < ν + ln

1 − N(1 + H)e
νr
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
)

và
C
µ
:=

+
× C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k <
1
1+Ne
νr
, trong đó k được xác định
bởi (3.5). Khi đó, tồn tại đa tạp ổn định bất biến S cho các nghiệm của phương
trình (3.2).
3.2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng
Trong phần này, chúng ta tổng quát Định lý 3.1.4 cho trường hợp họ tiến hoá
(U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ trên R
+
và hàm phi tuyến f là ϕ-Lipschitz.
Trong trường hợp này, chúng ta chứng minh sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định
cho các nghiệm của phương trình (3.2).
Giả sử họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s≥0
có tam phân mũ (xem Định nghĩa 2.1.1,
Chương 2) với ba họ các toán tử chiếu tam phân {P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3 và
các hằng số tam phân N, α, β > 0. Khi đó, chúng ta xây dựng các họ toán tử
chiếu {

P
j
(t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, trên C như sau:

k :=
(1 + H)e
νr
N
0
1 − e
−ν
(N
1
Λ
1
T
+
1
ϕ
∞
+ N
2
Λ
1
ϕ
∞
). (3.7)
Khi đó, nếu k <
1
1+N
0
e
νr
, với mỗi δ > α tồn tại đa tạp tâm ổn định S =

đồng phôi với Im(

P
1
(t) +

P
3
(t)) với mọi t ≥ 0.
(ii) Mỗi φ ∈ S
s
có duy nhất nghiệm u(t) của phương trình (3.2) xác định
trên [s − r, ∞) thoả mãn các điều kiện sau: e
−γ(s+θ)
u
s
(θ) = φ(θ) với
θ ∈ [−r, 0] và sup
t≥s
e
−γ(t+·)
u
t
(·)
C
< ∞, trong đó γ =
δ+α
2
. Hơn nữa,
nếu u(t), v(t) là hai nghiệm của phương trình (3.2) tương ứng với hai hàm

của phương trình (3.2) thoả mãn các điều kiện sau: hàm e
−γ(s+·)
u
s
(·) ∈ S
s
và sup
t≥s
e
−γ(t+·)
u
t
(·)
C
< ∞ thì hàm e
−γ(t+·)
u
t
(·) ∈ S
t
với mọi t ≥ s.
3.3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi
phân hàm đạo hàm riêng
Trong phần này, chúng ta xét phương trình (3.2) trên toàn đường thẳng, giả sử
các toán tử A(t), t ∈ R sinh ra họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ trên R.
19
Khi đó, chúng ta chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và tính hút của đa
tạp này đối với các quỹ đạo nghiệm bất kỳ của phương trình

) − f(t, φ
2
) ≤ ϕ(t)φ
1
− φ
2
 với t ∈ R và φ
1
, φ
2
∈ C.
Định nghĩa 3.3.2. Tập U ⊂ R × C được gọi là đa tạp không ổn định bất biến
cho các nghiệm của phương trình (3.9) nếu mỗi t ∈ R không gian pha C được
phân tích thành tổng trực tiếp C =

X
0
(t) ⊕

X
1
(t) tương ứng với các toán tử
chiếu

P (t) (tức là

X
0
(t) = Im


0
(t) ⊕

X
1
(t)) | t ∈ R, ψ ∈

X
0
(t)}, ký hiệu
U
t
:= {ψ + Φ
t
(ψ) : (t, ψ + Φ
t
(ψ)) ∈ U},
(ii) U
t
đồng phôi với

X
0
(t) với mọi t ∈ R,
20
(iii) mỗi t
0
∈ R và φ ∈ U
t
0

− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t
0
−t)
(

P (t
0
)φ
1
)(0) − (

P (t
0
)φ
2
)(0) với t ≤ t
0
,
(iv) U là bất biến với phương trình (3.9), tức là nếu u(t), t ∈ R là nghiệm của
phương trình (3.9) thoả mãn u
t
0
∈ U

(

P (t)φ)(θ) := U(t + θ, t)
|
(I − P (t))φ(0) với θ ∈ [−r, 0]. (3.10)
Khi đó, chúng ta có (

P (t))
2
=

P (t), do đó các toán tử

P (t), t ∈ R là các phép
chiếu trên C. Hơn nữa, chúng ta có
Im

P (t) = {φ ∈ C : φ(θ) = U(t + θ, t)
|
ν
1
, ∀ θ ∈ [−r, 0], với ν
1
∈ KerP(t)}.
Sau đây là các kết quả chính của mục này.
Định lý 3.3.3. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E

0
= φ và sup
t≤t
0
u
t

C
< ∞. Hơn nữa,
nếu u(t), v(t) là hai nghiệm của phương trình (3.9) ứng với hai hàm ban đầu
φ
1
, φ
2
∈ Im

P (t
0
) thì ta có ước lượng sau:
u
t
− v
t

C
≤ C
µ
e
−µ(t
0

N(1+H)e
νr
(N
1
+N
2
)Λ
1
ϕ
∞
1−e
−(ν−µ)
.
Định lý 3.3.4. Cho họ tiến hoá (U(t, s))
t≥s
có nhị phân mũ với các toán tử
chiếu nhị phân P (t), t ∈ R và các hằng số nhị nhân N, ν > 0. Giả sử ϕ
là hàm không âm, thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được E
R
. Cho
f : R × C → X là ϕ-Lipschitz, thoả mãn k <
1
1+Ne
νr
, trong đó k được xác định
bởi (3.11). Khi đó, tồn tại đa tạp không ổn định bất biến U cho các nghiệm của
phương trình (3.9).
Định lý 3.3.5. Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 3.3.4 được thoả mãn và
l < 1, trong đó
l = ke

− u
∗
t

C
≤ Ce
−α(t−ξ)
u
ξ
− u
∗
ξ

C
, với mọi t ≥ ξ.
22
KẾT LUẬN
Luận án nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận
nghiệm của một số lớp phương trình đạo hàm riêng. Những kết quả chính luận
án đạt được là:
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của phương
trình vi phân nửa tuyến tính, đa tạp không ổn định có tính chất hút cấp
mũ các quỹ đạo nghiệm của phương trình vi phân nửa tuyến tính.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp ổn định của phương trình
vi phân hàm đạo hàm riêng, các nghiệm trên đa tạp hút nhau cấp mũ.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định của phương
trình vi phân hàm đạo hàm riêng.
• Thiết lập điều kiện đủ cho sự tồn tại của đa tạp không ổn định của