Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường

MỞ ĐẦU
- - - - - -  - - - - - -
I - Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một
phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phương pháp cụ
thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phương pháp toạ độ
đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông
qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm một
công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12 hiện nay nói chung và học sinh ban cơ bản nói
riêng, thì việc giải các bài boán hình học không gian sơ cấp đang là vấn đề
nan giải. Các em rất vất vả trong việc xác định khoảng cách và góc. Đa số các
em đều bỏ qua bài toán hình học không gian trong đề thi. Vì vậy tôi quyết
định đưa ra giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Ở học
kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong
không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để
giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện.
II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong
chương trình PTTH.
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm
học 2011 – 2012
III. Quá trình thực hiện đề tài:
1- Tình trạng thực tế trước khi thực hiện đề tài:
Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán được thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu.
IV– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thường không chú ý đến phương pháp toạ độ
và tính ưu việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ.
Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và
thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học
không gian, thầy, cô giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không
gian bằng phương pháp toạ độ.
- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích
hợp.
- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm
trong bài toán được thuận tiện.
- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ
độ và ngược lại.
3
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
NỘI DUNG
- - - - - -  - - - - - -
Chương I
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba trục toạ độ x’Ox, y’Oy, z’Oz vuông góc với nhau từng đôi một

hoặc
( ; ; )v x y z=
r
. Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
vectơ
v
r
.
+ Với hai điểm
( )
1 1 1 1
, ,M x y z
và
( )
2 2 2 2
, ,M x y z
thì:
( )
1 2 2 1 2 1 2 1
, ,M M x x y y z z= − − −
uuuuuur
+ Nếu có hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
thì:

r
i
r
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
(vi). Tích có hướng của hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
là một vectơ
v
r
được xác định bởi:
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, , ,
y z z x x y
v v v
y z z x x y
 
 
= =
 ÷
 
 

, ,M x y x
chia đoạn thẳng
1 2
M M
theo tỉ số k:
1 2
MM k MM=
uuuuur uuuuur

được xác định bởi công thức:
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
−

=

−


=


+

=


+

=


5/ Góc giữa hai vectơ
Góc
α
giữa hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
xác định bởi:
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
. . .

, ,
y z z x x y
y z z x x y
.
7/ Phương trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
Một vectơ
0n ≠
r r
được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α

nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với
( )
α
.
Mặt phẳng
( )
α
hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm
0
( )M
α
∈
và
một vectơ pháp tuyến của nó.
b. Định lý.
Mỗi mặt phẳng là tập hợp tất cả những điểm có toạ độ thoả mãn
phương trình dạng:

0 2
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


với điều kiện
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
9/ Phương trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm
( , , )I a b c
cho trước
một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phương trình:
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
6
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
Chương II
GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ.
I/ Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp toạ độ.
Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói

Người thực hiện:Lê Thị Tường
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông
thường bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng.
- Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Tính độ dài đoạn thẳng.
1. Các hình chóp và lăng trụ có sẵn ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm
lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz lần
lượt là ba cạnh đó.
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’

cạnh bằng a.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’.
b. Gọi K là trung điểm DD’. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường
thẳng CK và A’D’.
c. Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai
góc bằng nhau. Tính các góc này.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
,B Ax D Ay∈ ∈
và
A Az
′
∈
, khi đó:
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , ;0;0 , ; ;0 , 0; ;0A B a C a a D a
( ) ( ) ( ) ( )

' , '
A B A C AA
a
d
A B A C
 
 
= =
 
 
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
.
b. Ta có:
( )
0; ; , ;0; & ' 0; ; .
2 2
a a
K a KC a A D a a
−
   
−
 ÷  ÷
   
uuur uuuur
Gọi
β
là góc tạo bởi CK và A’D, ta có:
. '
1

, '
KC A D KD
a
d
KC A D
 
 
= =
 
 
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
c. Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên:
( ) ( )
0 0
' : ' :
0
y x a
BB BB
x a y
= − =
 
⇔
 
= =
 
Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng:
( ) ( ) ( )
: 0 : 0 1; ;0P x a my P x my a vtpt n m− + = ⇔ + − = ⇒
r

2 6m = − +
ta được:
( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin
5
22 8 6
4 6
2 6 2 1
γ
− − − −
= = = =
 
−
−
− +
 
 
Với
2 6m = − −
ta được:
( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin

Tương tự
( )
1;2;3M⇒

( )
: 1
x y z
PT ABC
a b c
+ + =
9
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
( ) ( )
1 2 3
1 1M ABC
a b c
∈ ⇒ + + =
( )
1
2
6
OABC
V abc=
( )
3
1 2 3 1 2 3
1 1 3 . .
a b c a b c
⇔ = + + ≥

4, 3, 1SA AC BC= = =
. Gọi M là trung điểm
AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng (SBH) và (SBC).
Giải
Trong mp(ABC) dựng tia Ax vuông góc
với AC. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó :
( ) ( ) ( )
0;0;0 , 1;3;0 , 0;3;0A B C
( ) ( ) ( )
0;0;4 1;0;0 , 1;3; 4S H SB⇒ −
uur
( ) ( )
0;3; 4 , 1;0; 4SC SH− −
uuur uuur
.
( ) ( )
, 0;4;3 , , 12;0; 3SB SC SB SH
   
= = − −
   
uur uuur uur uuur
( ) ( )
1 2
0;4;3 , 4;0;1
SBC SBH
n n n n⇒ = = = =
uuuur ur uuuur uur
( ) ( )

Người thực hiện:Lê Thị Tường
3 3 3
, , ,
2 3 6 2
a a a a
AI OA OI IB IC= = = = =
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO=h, chon hệ trục tọa
độ như hình vẽ ta có :
( ) ( )
3
0;0;0 , 0;0; , ;0;0 ,
3
a
O S h A
 
 ÷
 
3 3 3
;0;0 , ; ;0 , ; ;0
6 6 2 6 2
a a a a a
I B C
     
− − − −
 ÷  ÷  ÷
     
3 3
; ; , ; ;
12 4 2 12 4 2
a a h a a h

= = −
 ÷
 
 
uuuuur uur uuur
( ) ( )
2
2
5
12
a
AMN SBC h⊥ ⇔ =
2
1 10
,
2 16
AMN
a
S AM AN
∆
 
⇒ = =
 
uuuur uuur
.
*Bài tập làm thêm
Giải
Vì tam giác ABC đều nên
HC AB⊥
.

O
 
⇒ −
 ÷
 
a. Mặt phẳng (SBC) có phương trình là :
2 2
1 2 3 2 3 3 0
3
x y z
x y z a
a a
a
+ + = ⇔ + + − =
11
x
A
y
O
B
A
I
M
S
z
N
C
h
a
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh

, còn
2
2
3
, 0; ;
2
a
SC SD a
 
 
=
 ÷
 
 
uuur uuur
( )
( )
0;2; 3
SCD
n⇒ =
uuuuur
( ) ( )
( )
7
cos ,
19
SBC SCD⇒ =
Bài 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ đường cao h. Mặt phẳng
(A’BD) hợp với mặt bên (ABB’A’) một góc
α

điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh.
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
; O là tâm hình vuông
BCC
1
B
1
, M là một điểm thuộc đoạn C
1
O. Mặt phẳng (MA
1
D) cắt B
1
D
1
ở I
và cắt AC tại J. Chứng minh I, M, J thẳng hàng.
Giải : Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Giã sử cạnh của hình lập phương bằng 1.
12
B

Người thực hiện:Lê Thị Tường
Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 , 1;0;0 , 1;1;0 , 0;1;0A B C D
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
0;0;1 , 1;0;1 , 1;1;1 , 0;1;1A B C D
( ) ( )
1 1
1
0;1;1 : 1; ;
x
BC BC y m M m m
z m
=


⇒ = ⇒


=

uuuur
(Với
1
1
2
m< <
)
( ) ( )

=

uuuur
.
Tọa độ I là nghiệm của hệ
( )
1
1
1 2 1 0
x t
y t
z
m x y z
= −


=


=


− + + − =

1 2 1
; ;1
2 2
m
I
m m

1 2 2 1 2
; ;1
2 2
m m m
MI m
m m
 
− − −
= −
 ÷
 
uuur
;
2
1 2 2 1 2
; ;
2( 1) 2( 1)
m m m
MJ m
m m
 
− − −
= −
 ÷
− −
 
uuur
Suy ra :
1m
MI MJ

=
Gọi
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )M x y z N x y z= =
Ta có:
2 1 2 1 2 1
(0; ;0); ( ;0;0);
( ; ; )
BC a BA a
MN x x y y z z
= = −
= − − −
uuur uuur
uuuur
Vặt khác theo giả thiết:
(0 2)DM AN x x a= = ≤ ≤
Đặt
(0 1)
2
x
k k
a
= ≤ ≤
1 1
1 1
1 1
( )
0 0
x a k a x a ka
DM k DB y ka y ka

2 1 2 1 2 1
, ', . . 0. .0 .0.D BC BA MN a a z z y y x x a= − − + − + −
uuur uuur uuuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
. .0 . 0.0.x x a a y y a z z− − − − − − −
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
2
0 0
0
a z z a y y
a z z y y
a ka ka
= − − − −
= − − − +
= − − − −
=
Suy ra
, ',BC BA MN
uuur uuur uuuur
luôn luôn đồng phẳng.
Suy ra MN luôn luôn song song với (A’BCD’) cố định.
*Bài tập làm thêm.
Bài 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh bằng a. CMR khoảng cách

phẳng
( )
α
cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đường thẳng (d
1
) và
(d
2
)
IV/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó
suy ra quỹ tích của nó.
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA
1
B
1
C
1
có đáy ABC vuông cân với
AB=AC=a và AA
1
=h. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và A
1
C
1
. Tìm

a
h
.
Phương trình đường thẳng EF được cho bởi:
2 2
( , ,0)
2 2
: .
2
( ,0, )
2
a a
x t
a a
Qua E
a
EF EF y t R
a
vtcp EF h
z ht

= −




 
⇔ = ∈
 
 

a a a
I t ht−
. t
∈
[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC
1
A
1
) nên
( , , )
2 2 2 2 2 2
a a a ah a ah
t ht t I
a h a h a h
− = ⇔ = ⇒
+ + +
.
Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
2
1 2 1 2
E F
I
a
x kx a a
x k
k a h k h
− −
= ⇔ = ⇔ =
− + −

2
2
2
2 2
2 2
1
2
1 1
x a y z
AM AM
k k
BM BM
x a y Z
a k
ak
x y z
k k
+ + +
= ⇔ = =
− + +
 
+
 
⇔ + + + =
 
 ÷
− −
 
 
 

cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, SA=h
(0<h<2R) và vuông góc với mặt phẳng
α
. Gọi M là điểm di động trên đường
tròn (C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai
đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của
đoạn vuông góc chung này.
16
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
1
, bán kính R,
chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đường tròn (O) và (O
1
) có hai điểm di
động A, B. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm OO
1
và AB.
a. CMR IK là đường vuông góc chung của OO
1
và AB.
b. Tính độ dài IK trong các trường hợp:
+ AB=kh. với 1<k<
2
2
4
1
R
h

3
a
MS MA MB MC MD+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
Biết thể tích hình chóp bằng
3
30
18
a
V =
.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD vuông tại A và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng :
2 2 2 2
2MA MB MC MD≤ + +
.

KẾT LUẬN
17
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
- - - - -  - - - - - -
Trên đây là một số dạng toán, cũng như một số bài boán điển hình mà
tôi đã giới thiệu. Ngoài ra còn rất nhiều dạng toán hình học không gian có thể
áp dụng phương pháp tọa độ trong không gian như: Chứng minh quan hệ song
song, quan hệ vuông góc; Chứng minh các hệ thức hình học; Chứng minh bất
đẳng thức cũng như tìm cực trị hình học; Tìm các điểm cố định v v…Mỗi
dạng lại có vô số bài tập có thể tổng vét toàn bộ các dạng toán hình học không
gian sơ cấp. Nhưng do thời gian cũng như giới hạn chương trình không cho
phép nên tôi chỉ sơ lược một số dạng cũng như một số bài toán điển hình.
Trong quá trình biên soạn có điều gì sai sót mong các thầy, cô và các bạn đọc

trong không gian. Nhà xuất bản Hà Nội - 2002.
20