i- Kiến thức
1. Hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc trong không gian
và các kién thức liên quan.
* Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc Oxy là hệ gồm 3 trục Ox, Oy,
Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O, với
, ,i j k
r r r
là các véc tơ đơn
vị tơng ứng ở trên các trục Ox, Oy, Oz.
*
u . 0v u v =
r r r r
*
[ ]
, 0u kv u v= =
r r r r
* Công thức toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng .
* Công thức toạ độ trọng tâm của tam giác
* Công thức toạ độ trọng tâm của tứ giác.
* Diện tích tam giác
1
,
2
ABC
S AB AC


=

uuur uuur
Thể tích hình hộp


và
( )mp

.
sin
.
u n
u n

=
r r
r r
với
u
r
là véctơ chỉ phơng của

;
n
r
là véctơ pháp tuyến của
( )mp

- Góc giữa
( )mp

và
( )mp


: Ax + By + Cz + D = 0
0 0 0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C

+ + +
=
+ +
- Khoảng cách từ 1 điểm M
1
đến đờng thẳng

( Qua điểm M
0
, có véctơ chỉ phơng
u
r
) là:
0 1
1
,
( , )
M M u
d M
u
M
0
, M
0

lần lợt là các điểm nằm trên
, '
* Phơng trình mặt phẳng (phơng trình tổng quát, phơng trình tham số, phơng trình đoạn chắn)
* Phơng trình đờng thẳng.
2. Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phơng pháp tọa độ:
1
Đó là những bài toán liên quan đến:
a. Hình hộp lập phơng, Hình hộp chữ nhật.
b. Hình chóp tam giác SABC có SA

(ABC); với đáy ABC là tam giác vuông tại A.
c. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông.
d. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO

(ABCD).
e. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và
( )SA ABCD
.
f. Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều.
g. Một số bài toán khác.
Đối với những bài toán này, giáo viên cần hớng dẫn cho học viên cách chọn một hệ trục toạ độ
thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ các điểm để dùng phơng pháp toạ độ giải chúng.
II- các bài tập điển hình:
Sau đây là một số bài tập điển hình.
Bài 1: ( Bài tập T.3 trang 88, sách BT Hình học12)

= 0
Vậy
'IJ AC

b) Để chứng minh
' ( ' ' )D B A C D
:
Cách 1: Ta chứng minh
' ' '; ' 'D B A C D B A D
Ta có:
' ( ; ; )D B a a a=
uuuur
;
' ' ( ; ;0)A C a a=
uuuuur
;
' ( ;0; )A D a a=
uuuur
' . ' ' 0D B A C =
uuuur uuuuur

' ' 'D B A C

' . ' 0D B A D =
uuuur uuuur


' 'D B A D
Nên
' ( ' ' )D B A C D

Đờng thẳng DB có véctơ chỉ phơng
1
. ' ( 1;1; 1)u D B
a
= =
r uuuur
Suy ra
n u=
r r
nên đờng thẳng DB

(ACD)
Tơng tự ta chứng minh đợc
' ( ')D B ACB
.
c) Gọi

là góc giữa hai đờng thẳng IJ và AD thì
. .0 .( )
. '
2 2
cos cos( , ' ) 0
2
6
'
. 2
2
a a
a a a
IJ A D


Đờng thẳng AC có véc tơ chỉ phơng:
1
. ' (1;1; 1)u A C
a
= =
r uuuur

Đờng thẳng AC có phơng trình tham số là: x = t; y = t; z = a - t (1)

' ( ; 0; ); ' (0; ; )AB a a AD a a= =
uuuur uuuur



2 2 2
0 0
', ' ; ; ( ; ; )
0 0
a a a a
AB AD a a a
a a a a= =
ữuuuur uuuur


b)Phơng trình mp(CBD) là x + y - z - a = 0
Suy ra mp(CBD)//mp(ABD)
Do đó khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ G tới (CBD) và bằng :
2 2 2
2
3
3 3 3
3
3
1 1 1
a a a
a
a a
+
= =
+ +
c)Mặt phẳng(ABBA) có phơng trình là y = 0
Mặt phẳng(DAC) có phơng trình là y + z - a = 0
Gọi

là góc giữa 2 mặt phẳng trên. Khi đó:

1.1 0.1
1
cos
4
1. 1 1 2


+

2 2
a a
n MN a= + + =
r uuuur

n MN
r uuuur
Hay MN//mp(ABD).
b) Mặt phẳng (A
/
BD) có phơng trình: x +
y + z - a = 0.
Vì MN//(ABD)

BD và MN, BD chéo nhau
2 2 2
0
3
2
( ; ) ( ;( ' ))
6
1 1 1
a
a a
a
d BD MN d M A BD
+ +
= = =
+ +
Trong bài toán ta có thể chọn hệ trục toạ độ khác

Mp(ABC) có phơng trình: x- 2y + 2z = 0. Do đó
khoảng cách từ M đến mp(ABC) là:
3. 2.0 2.0
2
( ,( ' ))
2
1 4 4
a
a
d M AB C
+
= =
+ +
b) Theo công thức
' ' . ' ' ' '
1 1
', ' .
6 6
AB D C ABCD A B C D
V V AB AD AC

= =

uuuur uuuur uuur
. Mà
3
' '
' (2 ;0; ); ' (0; ; ); (2 ; ; )
0 0
1 2

k k k
AM AD M
a

= =uuuur
uuuur
DN = k
; ;0
2 2 2
k k k
DN DB DN
a

= = uuur uuur uuur
2
; ;0
2 2
k a k
N


=