Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường

MỞ ĐẦU
- - - - - -  - - - - - -
I - Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một
phương pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phương pháp đều có những
ưu, nhược điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phương pháp cụ
thể để giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phương pháp toạ độ
đã đơn giản hoá được phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông
qua phương pháp toạ độ và phương pháp vectơ có thể xây dựng thêm một
công cụ giải toán, cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12 hiện nay nói chung và học sinh ban cơ bản nói
riêng, thì việc giải các bài boán hình học không gian sơ cấp đang là vấn đề
nan giải. Các em rất vất vả trong việc xác định khoảng cách và góc. Đa số các
em đều bỏ qua bài toán hình học không gian trong đề thi. Vì vậy tôi quyết
định đưa ra giải pháp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian. Ở học
kỳ II của lớp 12 các em đã được làm quen với phương pháp tọa độ trong
không gian, vì thế có thể sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để
giải quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện.
II- Phạm vi , đối tượng, thời gian thực hiện:
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong
chương trình PTTH.
- Thực hiện đề tài trong các giờ bài tập của học sinh lớp 12 chuyên Pháp, năm
học 2011 – 2012
2
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường

c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán được thuận tiện.
3
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu.
IV– Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thường không chú ý đến phương pháp toạ độ
và tính ưu việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phương pháp toạ độ.
Do đó học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và
thấy được tính ưu việt của phương pháp toạ độ khi giải bài tập hình học
không gian, thầy, cô giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không
gian bằng phương pháp toạ độ.
- Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích
hợp.
- Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm
trong bài toán được thuận tiện.
- Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ
độ và ngược lại.
4
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
NỘI DUNG
- - - - - -  - - - - - -
Chương I

( ; ; )v x y z
r
hoặc
( ; ; )v x y z=
r
. Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
vectơ
v
r
.
5
x
O
y
z
j
r
k
r
i
r
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
+ Với hai điểm
( )
1 1 1 1
, ,M x y z
và
( )
2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2
. . . .v v x x y y z z= + +
ur uur
(v).
1 2 1 2 1 2 1 2
0v v x x y y z z⊥ ⇔ + + =
ur uur
(vi). Tích có hướng của hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
là một vectơ
v
r
được xác định bởi:
1 1 1 1 1 1
1 2
2 2 2 2 2 2
, , ,
y z z x x y
v v v
y z z x x y
 
 
= =
 ÷

Điểm
( )
, ,M x y x
chia đoạn thẳng
1 2
M M
theo tỉ số k:
1 2
MM k MM=
uuuuur uuuuur
được xác định bởi công thức:
6
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x kx
x
k
y ky
y
k
z kz
z
k
−

y
z z
z
+

=


+

=


+

=


5/ Góc giữa hai vectơ
Góc
α
giữa hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
xác định bởi:

2 2 2 2 2 2
, ,
y z z x x y
y z z x x y
.
7/ Phương trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
7
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
Một vectơ
0n ≠
r r
được gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )
α
nếu nằm trên đường thẳng vuông góc với
( )
α
.
Mặt phẳng
( )
α
hoàn toàn xác định nếu cho biết một điểm
0
( )M
α
∈
và
một vectơ pháp tuyến của nó.

2 2 2 2
0 1
( ):
0 2
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


với điều kiện
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C≠
trong đó (1), (2) theo thứ tự là phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
9/ Phương trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm
( , , )I a b c
cho trước
một khoảng R>0 không đổi là một mặt cầu có phương trình:
8
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
2 2 2 2
( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − =
.
9
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ

lợi.
II/Giải bài toán định lượng trong hình học không gian.
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phương pháp toạ
độ thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phương
pháp toạ độ ta mới biểu diễn được khoảng cách một cách đơn giản.
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông
thường bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng hoặc mặt phẳng.
- Góc, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
- Tính độ dài đoạn thẳng.
1. Các hình chóp và lăng trụ có sẵn ba cạnh cùng xuất phát từ một điểm
lần lượt vuông góc với nhau từng đôi một, ta chọn ba trục Ox, Oy, Oz lần
lượt là ba cạnh đó.
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’

cạnh bằng a.
a. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng A’B và AC’.
b. Gọi K là trung điểm DD’. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đường
thẳng CK và A’D’.
11
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
c. Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai
góc bằng nhau. Tính các góc này.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với

uuur uuuur
uuuur uuuur
.
Gọi d
1
là khoảng cách giữa A’B và AC’. ta có:
1
' , ' . '
6
' , '
A B A C AA
a
d
A B A C
 
 
= =
 
 
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
.
b. Ta có:
( )
0; ; , ;0; & ' 0; ; .
2 2
a a
K a KC a A D a a
−
   

 
 
= =
 
 
uuur uuuur uuur
uuur uuuur
c. Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên:
12
A’
C’
D’
B’
x
y
z
B
A
C
D
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
( ) ( )
0 0
' : ' :
0
y x a
BB BB
x a y
= − =

m m m m
m m
γ
−
= = ⇔ = − ⇔ + − =
+ +
2 6m⇔ = − ±
.
Với
2 6m = − +
ta được:
( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin
5
22 8 6
4 6
2 6 2 1
γ
− − − −
= = = =
 
−
−
− +
 
 

Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
O A a
B b C c
= =
= =
( )
, 3 3d M OAB z= ⇒ = 
 
Tương tự
( )
1;2;3M⇒

( )
: 1
x y z
PT ABC
a b c
+ + =
( ) ( )
1 2 3
1 1M ABC
a b c
∈ ⇒ + + =
( )
1
2
6


=

2. Các dạng toán khác : Ta xác định chân đường cao, lấy chân đường cao
làm gốc O, trục Oz chính là đường cao, từ O trong mặt phẳng đáy dựng hai
trục còn lại vuông góc với nhau.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáyvà tam giác ABC
vuông tại C. Độ dài các cạnh là
4, 3, 1SA AC BC= = =
. Gọi M là trung điểm
AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt
phẳng (SBH) và (SBC).
Giải
Trong mp(ABC) dựng tia Ax vuông góc
với AC. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Khi đó :
( ) ( ) ( )
0;0;0 , 1;3;0 , 0;3;0A B C
14
y
z
S
M
x
A
B
C
H
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường

⇒ = =
ur uur
ur uur

Giải: Gọi O là hình chiếu của S trên mp(ABC), suy ra O là trọng tâm tam
giác ABC. Gọi I là trung điểm của BC khi đó :
3 3 3
, , ,
2 3 6 2
a a a a
AI OA OI IB IC= = = = =
Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. Đặt SO=h, chon hệ trục tọa
độ như hình vẽ ta có :
( ) ( )
3
0;0;0 , 0;0; , ;0;0 ,
3
a
O S h A
 
 ÷
 
3 3 3
;0;0 , ; ;0 , ; ;0
6 6 2 6 2
a a a a a
I B C
     
− − − −
 ÷  ÷  ÷

A
y
O
B
A
I
M
S
z
N
C
h
a
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
( )
2
3
, ;0;
6
SBC
a
n SB SC ah
 
 
= = −
 ÷
 
 
uuuuur uur uuur

a a a
H A B C o
 
   
−
 ÷
 ÷  ÷
   
 
( )
3
0;0; . ; ;0
2
a
S a BA CD D a
 
= ⇒ −
 ÷
 
uuur uuur
O là trung điểm AC
3
; ;0
4 4
a a
O
 
⇒ −
 ÷
 

a
SC SD a
 
 
=
 ÷
 
 
uuur uuur
16
Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a. Từ trung điểm H của cạnh
AB dựng SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = a.
a. Tính khoảng cách từ O đến mp(SBC).
b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD).
x
y
A
O
H
B
C
D
S
z
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
( )
( )
0;2; 3
SCD

.
d. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
e. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK
⊥
SD và tính số
đo góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SCD).
f. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh.
17
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
Bài 1: Cho hình lập phương ABCD.A
1
B
1
C
1
D
1
; O là tâm hình vuông
BCC
1
B
1


=

uuuur
(Với
1
1
2
m< <
)
( ) ( )
( )
( )
1
1 1 1 1
1; ; 1 , 0;1; 1 , 1 2 ;1;1
A DM
A M m m A D n A M A D m
 
− − ⇒ = = −
 
uuuur uuuur uuuuuur uuuur uuuur
Suy ra
( ) ( )
1
: 1 2 1 0mp A DM m x y z− + + − =
•
( )
1 1 1 1
1

=


− + + − =

1 2 1
; ;1
2 2
m
I
m m
−
 
⇒
 ÷
 
•
( )
( ) ( )
1 1
1;1;0 : ; ;0
2 1 2 1
0
x u
AC AC y u J
m m
z
=

 

B
C
D
A’
B’
C’
x
y
z
M
N
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
2
1 2 2 1 2
; ;1
2 2
m m m
MI m
m m
 
− − −
= −
 ÷
 
uuur
;
2
1 2 2 1 2
; ;

= =
′
= =
Khi đó

( ; ;0)
(0; ; )
C a a
D a a
=
′
=
Gọi
1 1 1 2 2 2
( ; ; ), ( ; ; )M x y z N x y z= =
Ta có:
2 1 2 1 2 1
(0; ;0); ( ;0;0);
( ; ; )
BC a BA a
MN x x y y z z
= = −
= − − −
uuur uuur
uuuur
Vặt khác theo giả thiết:
(0 2)DM AN x x a= = ≤ ≤
Đặt
(0 1)
2

z ka
=


′
= ⇔ =


=

uuur uuuur
Xét
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
, ', . . 0. .0 .0.D BC BA MN a a z z y y x x a= − − + − + −
uuur uuur uuuur
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 2 1 2 1
. .0 . 0.0.x x a a y y a z z− − − − − − −
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 1 2 1
2
2 1 2 1
2
0 0
0

nhau.
Bài 3: Đường thẳng (d) tạo với 2 đường thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau các góc
bằng nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng
( )
α
chứa các đường
thẳng này. CMR hình chiếu vuông góc (d’) của đường thẳng (d) lên mặt
20
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
phẳng
( )
α
cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đường thẳng (d
1
) và
(d
2
)
IV/ Giải bài toán về điểm và quỹ tích trong hình học không gian
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bước 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm cần tìm quỹ tích, từ đó
suy ra quỹ tích của nó.

1
(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của BC và A
1
C
1
nên:
E
( , ,0)
2 2
a a
và F
(0, , )
2
a
h
.
Phương trình đường thẳng EF được cho bởi:
21
E
F
A
B
C
A
1
x
y
z
B

 
−

=




uuur
Vì I
∈
EF nên
( , , )
2 2 2
a a a
I t ht−
. t
∈
[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC
1
A
1
) nên
( , , )
2 2 2 2 2 2
a a a ah a ah
t ht t I
a h a h a h
− = ⇔ = ⇒

1.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A( - a;0;0) & B(a;0;0), khi đó với
điểm M(x;y;z) ta có:
( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2 2
2 2
1
2
1 1
x a y z
AM AM
k k
BM BM
x a y Z
a k
ak
x y z

 
bán kính
2
2
1
ak
R
k
=
−
.
*Bài tập làm thêm.
22
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
Bài 1: Trong mặt phẳng
α
cho đường tròn (C) đường kính AB=2R, SA=h
(0<h<2R) và vuông góc với mặt phẳng
α
. Gọi M là điểm di động trên đường
tròn (C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai
đoạn AM và SB là đoạn vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của
đoạn vuông góc chung này.
Bài 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O
1
, bán kính R,
chiều cao hình trụ bằng h. Trên hai đường tròn (O) và (O
1
) có hai điểm di

a)
5 15
8
a
MS MA MB MC MD+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
Biết diện tích toàn phần của hình chap bằng
2
5
tp
S a=
.
b)
2 30
3
a
MS MA MB MC MD+ + + + =
uuur uuur uuur uuur uuuur
Biết thể tích hình chóp bằng
3
30
18
a
V =
.
Bài 5: Cho tứ diện ABCD vuông tại A và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng :
2 2 2 2
2MA MB MC MD≤ + +
.
23

25
Giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp toạ độ
Người thực hiện:Lê Thị Tường
3. Giải bài toán định tính trong hình học không gian… 12
4. Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian… 14
Kết luận ……………………………………………………………… .18
26