SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Trường THPT Bình Sơn
Mã số:

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Người thực hiện: Phan Văn Hóa
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục 
- Phương pháp dạy học bộ môn: Toán học 

- Lĩnh vực khác: 
Có đính kèm:
 Mô hình  Đĩa CD (DVD)  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013 - 2014
SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC
––––––––––––––––––
I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1 Họ và tên: Phan Văn Hóa
2 Ngày tháng năm sinh: 06/05/1979
3 Nam, nữ: Nam
4 Địa chỉ: Ấp 1 – Bình Sơn - Long Thành - Đồng Nai
5 Điện thoại: Cơ quan : 0613.533.100 ; ĐTDĐ : 0985801064
6 E-mail: [email protected]
7 Chức vụ: Giáo viên
8 Nhiệm vụ được giao giảng dạy môn Toán lớp 12A
3
, 12A
8

Réné Descartes là nhà Toán học thiên tài đã khai sinh ra phương pháp tọa độ.
Phương pháp tọa độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số thay cho ngôn
ngữ hình học, giúp con người đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hóa và trừu tượng hóa
toán học trong nhiều lĩnh vực.
Hình học không gian là môn học tương đối khó, nhưng là môn học hết sức quan
trọng trong chương trình hình học THPT.
Trong trường THPT Bình Sơn việc học môn Toán hình học không gian của các
em học sinh tương đối khó khi gặp những bài toán có liên quan đến khoảng cách từ
một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, khoảng
cách giữa hai mặt phẳng song song…,tuy nhiên đa số các em học sinh lại nắm vững
kiến thức hình học giải tích. Do vậy, có thể giải bài toán hình học không gian bằng
cách tọa độ hóa chuyển thành bài toán hình học giải tích thì bài toán sẽ đơn giản hơn
nhiều.
Chú ý: giải pháp thay thế một phần giải pháp đã có.
III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1. PHƯƠNG PHÁP:
Để giải một bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ta thực hiện
các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp, chú ý vị trí của gốc tọa độ. Gốc tọa độ phải là
điểm có tam diện vuông. Tuy nhiên không ít trường hợp ta phải kẻ thêm đường phụ
để tạo nên góc tam diện vuông.
Bước 2: Tính tọa độ của các điểm trong đề bài theo hệ tọa độ vừa chọn (có thể xác
định tọa độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết). Khi xác định tọa độ các điểm
ta có thể dựa vào:
• Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ,
mặt phẳng tọa độ).
• Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song,


• Hình chóp S.ABCD là hình chóp đều.
Gọi O là giao điểm của AC và BD thì SO
⊥
(ABCD).

• Hình chóp S.ABCD có SA
⊥
(ABCD) và có đáy ABCD là hình vuông hay
hình chữ nhật.

• Hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAD)
⊥
(ABCD) và ABCD là hình chữ nhật.
Ta vẽ SO
⊥
AD thì SO
⊥
(ABCD).

3. VÍ DỤ ÁP DỤNG:
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho hình hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có
đỉnh A trùng với gốc O, có
,AB
uuur
,AD
uuur
'AA
uuur
theo thứ tự cùng hướng với

' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ; , ; ;
2
a
A c B a c C a b c D b c M b c
 
 ÷
 
Ta có:
( ) ( ) ( )
;0;0 ; ; ;0 ; ' ; ; , ; ;
2
a
AB a AC a b AC a b c AM b c
 
= = = =
 ÷
 
uuur uuur uuuur uuuur
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết rằng
AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.
a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).
(Bài tập 5 trang 99 SKG Hình học 12 – Trần Văn Hạo(Tổng chủ biên))
Giải:

Ta có:
2 2 2 2 2
3 4 25AB AC BC+ = + = = ⇒
∆ABC vuông tại A.
Thể tích khối chóp ABCD là:

Giải:

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; 1;0;0 ; 1;1;0 ; 0;1;0 ; ' 0;0;1 ;A O B C D A
≡

( ) ( ) ( )
' 1;0;1 ; ' 1;1;1 ; ' 0;1;1B C D
Ta có:
( )
' 1;0;1AB
=
uuuur
;
( )
' 0;1;1AD
=
uuuur
VTPT của mp(AB’D’) là:
( )
1
' ' 1;1; 1n AD AB
= ∧ = −
r uuuur uuuur

Phương trình mặt phẳng (AB’D’) là:
0x y z+ − =
Ta có:
( )

3
(( ' '),( ' ))
3
1 1 1
d AB D BC D
−
= =
+ +
.
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, CC’ = c.
a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BD).
b. Tính khoảng cách từ A’ đến đường thẳng C’D.
c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC’ và CD’.
(Bài tập 12 trang 124 SKG Hình học 12 – Đoàn Quỳnh(Tổng chủ biên))
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( ) ( )
0;0;0 ; ;0;0 ; ; ;0 ; 0; ;0A O B a C a b D b≡

( ) ( ) ( ) ( )
' 0;0; ; ' ;0; ; ' ; ; ; ' 0; ;A c B a c C a b c D b c
Phương trình mặt phẳng (A’BD) là:
1 0
x y z
bcx acy abz abc
a b c
+ + = ⇔ + + − =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( ,( ' ))

( ) ( ) ( )
' 0; ; ; ' ;0; ; ' ' ( ; ; ); 0; ;0BC b c CD a c BC CD bc ac ab BC b
= = − ∧ = − =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
' ' .
( , )
' '
BC CD BC
abc
abc
d AC SD
BC CD
b c a c a b b c a c a b
∧
−
⇒ = = =
∧
+ + + +
uuuur uuuur uuur
uuuur uuuur
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), AB = BC =
2a,
·
0
120ABC =
. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
(Đề dự bị Đại học khối B năm 2004)
Giải:

( )
0;2 3; 3SC a a
= −
uuur
VTPT của mp(SBC) là:
( )
2 2 2
3 3 ;3 ;2 3SB SC a a a
∧ =
uur uuur
cùng phương với vectơ
( )
3; 3;2n =
r
.
Phương trình mặt phẳng (SBC) là:
3( 0) 3( 0) 2( 3 ) 0 3 3 2 6 0x y z a x y z a− + − + − = ⇔ + + − =
Vậy
6
6 3
( ,( ))
4 2
9 3 4
a
a a
d A SBC
−
= = =
+ +
.

c AH a
AB
= ⇒ =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
3 1
0;0;0 ; ; ;0 ; ' 0;0;2 5 ;
2 2
A O B a a A a
 
≡ −
 ÷
 ÷
 
( )
( )
0;2 ;0 ; 0;2 ; 5C a M a a
Ta có:
( )
' 0; 2 ; 5MA a a
= −
uuuur
,
3 5
; ; 5
2 2
MB a a a
 
= − −

( ,( ' ))
3
405 15 12 432
a
a a
d A MA B
−
= = =
+ +
.
Ví dụ 7: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có AB = AD = a, AA’ =
3
2
a
,
·
0
60BAC =
. Gọi M và N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh AC’ vuông
góc với mặt phẳng(BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
(Đề dự bị Đại học khối A năm 2006)
Giải:

ABCD là hình thoi và tam giác ABC đều cạnh a.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3 3 3 1
0;0;0 ; ;0;0 ; ' ;0; ; 0; ;0 ;
2 2 2 2
O A a A a a D a

; ; ; ; ;
4 4 2 4 4 2
a a a a a a
M N
   
−
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Ta có:
( )
0; ;0BD a
=
uuur
,
3 3
; ;
4 4 2
a a a
DM
 
= −
 ÷
 ÷
 
uuuur
VTPT của mp(BDMN) là:
2 2
3 3
;0;

' 0;0;0 0 / / 'n AC n AC
∧ = = ⇒
r uuuur r r uuuur
. Suy ra
' ( )AC BDMN⊥
.
Phương trình mặt phẳng (BDMN) là:
2 0x z− =
Vậy
3
15
( ,( ))
5
5
a
a
AH d A BDMN= = =
Ta có:
3 3
; ;
4 4 2
a a a
BN
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur
và

2
.
1 3
.
3 16
A BDMN BDMN
a
V AH S= =
Ví dụ 8: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
, 2 2AB a AD a= =
.
Hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng
( )ABCD
trùng với trọng tâm tam
giác
BCD
. Đường thẳng
SA

tạo với mặt phẳng
( )ABCD
một góc bằng
0
45
. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng

AG CD
GH a AK KB a
AC
= = = ⇒ =
;
. 4 2 2 2
3 3
AG AD
AH a HD a
AC
= = ⇒ =
;
4 2
3
AH GK a= =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( )
4 2 2 2 2
0;0;0 ; 0;0;2 ; ; ;0 ; ; ;0 ;
3 3 3 3
a
G O S a A a a C a
   
≡ − −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
2 2 2
; ;0
3 3

 
−
= −
 ÷
 ÷
 
uuur
Suy ra:
( )
2 2 2
2 ;4 2 ; 2 2AC SD a a a
∧ = −
uuur uuur
Vậy
( )
3 3 3
3
2
4 4 4
4 2 4 2
4 2
.
3 3
4 2 2 11
( , )
11
2 11
4 32 8
a a a
AC SD SC

.S ABC

và khoảng cách từ điểm
C
đến mặt phẳng
( )SAB
.
(Đề thi Đại học khối A năm 2013)
Giải:

Gọi
H
là trung điểm của
B C
, suy ra
SH BC^
. Mà
( )SBC

vuông góc với
( )ABC
theo
giao tuyến
B C

nên
( )SH ABC^
.
Ta có:
os

3 3
AS ; ; ;
4 4 2
a a a
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur
3
;0;0 ;
2
a
AB
 
=
 ÷
 ÷
 
uuur

2 2
3 3
AS 0; ;
4 8
a a
AB
 
∧ = −

2
3
3 3
39
16
( ,( ))
13
39
16
C SAB S ABC
SAB SAB
a
V V
a
d C SAB
S S
a
∆ ∆
= = = =
.
Ví dụ 10: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác vuông cân tại
B
,
2AB BC a= =
; hai mặt phẳng
( )

bằng
0
60
. Tính thể tích khối chóp
.S BCNM

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AB
và
SN

theo
a
.
(Đề thi Đại học khối A năm 2011)
Giải:

( )
SAB
và
( )
SAC
cùng vuông góc với mặt phẳng
( )
ABC
( )
SA ABCÞ ^
AB BC SB BC⊥ ⇒ ⊥
( ) ( )
( )

( )
0;0;0 ; 2 ;0;2 3 ; 2 ;0;0 ;B O S a a A a
≡

( ) ( ) ( )
; ;0 ; ;0;0 ; 0;2 ;0N a a M a C a
Ta có:
( )
AM ; ;0a a
= −
uuuur
( )
2 ;0;0BA a
=
uuur
( )
AN ;0;0a
= −
uuur

( )
0;2 ;0BC a
=
uuur
( )
0;0; 2 3AS a
= −
uuur
( )
2 ; ; 2 3BS a a a

Thể tích của khối chóp S.ABC là:
( )
3
.
1 4 3
.
6 3
S ABC
a
V BA BC BS= ∧ =
uuur uuur uuur
Thể tích của khối chóp S.BCNM là:
3
. . .
3
S BCNM S ABC S AMN
V V V a
= − =
Ta có:
( )
AB 2 ;0;0a
=
uuur
( )
SN ; ; 2 3a a a
= − −
uuur

( )
; ;0BN a a

uuur uuur
Ví dụ 11: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
I
,
2 ,AB a=
3B D AC=
; mặt bên
( )
SAB
là tam giác cân đỉnh
A
, hình chiếu vuông góc của đỉnh
S

trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm
H

của
AI
. Tính thể tích khối chóp
.S ABCD

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
SB
và
CD

.
1 1 15
. . .2 3 . 5
3 3 2
S ABC ABCD
a
V S SH a a= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( ) ( ) ( )
15
0;0;0 ; 0; ; ; 0; ;0 ; 0; ;0 ;
2 2
a a
I O S A a C a
 
≡ −
 ÷
 ÷
 
( ) ( )
3;0;0 ; 3;0;0B a D a
−
Ta có:
15
3; ;
2 2
a a
SB a
 
= − −

4 4 4
.
3 5
2 35
( , )
7
15 45 3
4 4 4
SB CD BD
a
a
d SB CD
SB CD
a a a
∧
−
= = =
∧
+ +
uur uuur uuur
uur uuur
Ví dụ 12: Cho hình chóp
.S ABC
có đáy
ABC
là tam giác cân tại
A
,
AB AC a= =
,

. (Đề thi
thử đại học lần 1 trường THPT Thanh Chương 1 năm 2014)
Giải:

Ta có:
2 2 2 0 2
2 . .cos120 3 3BC AB AC AB AC a BC a= + - = Þ =
Trong tam giác
ABI
vuông có
3
,
2
a
AB a BI= =
,
·
0
60BAI =
nên
0 0
cos60 .cos60
2
AI a
AI AB
AB
= ⇒ = =
.
G
là trọng tâm tam giác

7
a
SC ABC SCG SG GC aa aÞ = = Þ = = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
3
0;0;0 ; ;0; ; ;0;0 ; 0; ;0 ;
6 2 2
a a a
I O S a A B
 
   
≡
 ÷
 ÷  ÷
 ÷
   
 
3
0; ;0
2
a
C
 
−
 ÷
 ÷
 
Ta có:
;0; ;

uuur
2 2 2
3 3
; ;
2 2 6
a a a
SA SB
 
∧ =
 ÷
 ÷
 
uur uur

Diện tích tam giác SAB là:
2
1 39
2 12
SAB
a
S SA SB
∆
= ∧ =
uur uur
Thể tích của khối chóp S.ABC là:
( )
3 3
.
1 1 3 3
.

ABCD
là hình vuông cạnh bằng a,
SA

vuông góc với đáy. Góc tạo bởi
SC
và mặt phẳng
( )SAB
bằng
0
30
. Gọi
E
là trung
điểm của
B C
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC D

và khoảng cách giữa hai đường thẳng
DE
,
SC
theo
a
. (Đề thi thử đại học lần 1 trường THPT Gia Lộc năm 2014)
Giải:

Ta có:
( )

2
.
1 1 2
. . . . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
( ) ( )
0;0;0 ; 0;0; 2 ; 0; ;0 ; ; ;0 ;A O S a B a C a a
≡
( )
;0;0 ; ; ;0
2
a
D a E a
 
 ÷
 
Ta có:

; ;0
2
a
DE a
 
= −

 ÷
 
uuur uuur
Vậy
( )
3 3 3
3
2
4 4 4
2 2 3 2
2
.
2 2 2
38
2
( , )
19
1 9 19
2
2 4 2
a a a
a
DE SC SE
d DE SC a
a
DE SC
a a a
− − +
∧
= = = =

cách giữa hai đường thẳng
SD
,
B C
theo
a
.
(Đề thi thử đại học lần 1 trường THPT Chuyên Lê Qúy Đôn năm 2014)
Giải:

Gọi
O
là giao điểm của
AC

và
B D
.
.S ABCD

là hình chóp tứ giác đều nên
( )SO ABCD⊥
và
ABCD

là hình vuông.
Gọi
I
là trung điểm của
CD

.
. .
.
1 1
.
4 4
S AMN
S AMN S ACD
S ACD
V
SM SN
V V
V SC SD
= = ⇒ =
.
. . .
.
1 1 1
2 4 4
S ABM
S ABM S ABC S ACD
S ABC
V
SM
V V V
V SC
= = ⇒ = =
. . . .
3
4

 
− −
=
 ÷
 ÷
 
uur
;
2 3
0; ;
2 2
a a
SC
 
−
=
 ÷
 ÷
 
uuur
;
2 3
;0;
2 2
a a
SD
 
− −
=
 ÷

( )
3 3
4 4 4
3 3
0
.
4 4
3
( , )
2
3 3 1
8 8 4
a a
SD BC SC
d SD BC a
SD BC
a a a
+ +
∧
= = =
∧
+ +
uuur uuur uuur
uuur uuur
Ví dụ 15
: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,

( ,( )) 45SC ABCD SCHÞ = =
Ta có:
2 2
2AC AB AC a= + =
;
3 3
;
4 2
a
CH AC= =
0
3
.tan 45
2
a
SH CH= =
Gọi I, J lần lượt là hình chiếu của H lên CD, BC.
Ta có:
3 3 3 3 3 3
;
4 4 4 4 4
IC IH a a
IC CD HJ IH AD CJ
CD AD
= = ⇒ = = = = = =
;
3
;
4 4
a a

SC
 
= −
 ÷
 ÷
 
uuur
;
3 3 3
; ;
4 4 2
a a a
SD
 
= − −
 ÷
 ÷
 
uuur
;
3
0;0;
2
a
SH
 
=
 ÷
 
uuur

V V
a
d H SCD
S
a
SC SD
∆
= = = =
∧
uuur uuur
4. BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hình chóp
.S ABC D
có đáy
ABCD

là hình vuông cạnh
a
. Hình chiếu
vuông góc của S lên mặt phẳng
( )
ABCD
trùng với trọng tâm tam giác
ABD
. Cạnh
SD
tạo với mặt phẳng
( )
ABCD


vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Tính
thể tích khối chóp
.S BCD
và tính khoảng cách từ
B
tới mặt phẳng
( )
SCD

theo
.a
Bài 3: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có
, 2AC a BC a= =
,
·
0
120ACB =
và
đường thẳng
'A C

tạo với mặt phẳng
( )
' 'ABB A
một góc bằng

.
Biết góc
·
0
120BAC =
. Tính thể tích khối chóp
.S ABC

và khoảng cách giữa hai đường
thẳng
SM
và
AC

theo
.a

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng
. ' ' 'ABC A B C
có đáy là tam giác vuông tại
A
,
AA2 , 'AB a a= =
. Góc giữa mặt phẳng
( ' )A BC

và mặt phẳng
( )
ABC
bằng

. Các điểm M thuộc
AD’ và N thuộc DB sao cho AM = DN = k
(0 2)k a< <
.
a. Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất.
b. Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng (A’D’BC) khi k biến thiên.
c. Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc
chung của AD’ và DB và MN song song với A’C.
Bài 9: Cho hình lập phương
. ' ' ' 'ABCD A B C D
có cạnh bằng
1
. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của A’B’, BC, DD’. Chứng minh rằng đường chéo A’C vuông góc với
mp(MNP).
Bài 10: Cho tứ diện
OABC
có các tam giác OAB, OBC, OCA là những tam giác
vuông đỉnh O. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa mặt phẳng (ABC) và các mặt phẳng
(OBC), (OCA), (OAB). Chứng minh:
a. Tam ABC có ba góc nhọn.
b.
2 2 2
cos cos cos 1
α β γ
+ + =
.
IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Vận dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình học không gian đã giúp
các em chủ động hơn, tự tin hơn. Qua khảo sát, nhìn chung các em biết vận dụng kiến

a
S AC BC= =
1,0
Thể tích khối chóp S.ABC là
2 3
.
1 1 3
. . . . 3
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V S SH a= = =
1,0
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho
( )
( )
( )
3
0;0;0 ; ; ; 3 ; 3;0;0 ; 0; ;0 ;
2 2
a a
C O S a A a B a
 
≡
 ÷
 ÷
 
3 3 3
; ;
4 4 2

uur
;
( )
0; ;0BC a= −
uuur
1,5