Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Sở g d & đt hng yên
Trờng THPT Trng Vơng
Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Độc lập Tự Do Hạnh Phúc
sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2012- 2013
- Họ và tên: Tô Minh Hải
- Ngày tháng năm sinh: 26-08-1961
- Năm vào ngành: 1984.
- Chức vụ : Phó hiệu trởng .
- đơn vị công tác: Trờng THPT Trng Vơng.
I/ phần mở đầu
1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng
phơng pháp toạ độ
2 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng
pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc
điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để giải
quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn giản
hoá đợc phần lớn các bài toán trong hình học không gian. Thông qua phơng
pháp toạ độ và phơng pháp vectơ có thể xây dựng thêm một công cụ giải toán,
cho phép đại số hoá hình học, hình học hoá đại số.
Với học sinh lớp 12, các em đã đợc làm quen với phơng pháp toạ độ trong
mặt phẳng, vì thế có thể sử dụng phơng pháp toạ độ trong không gian để giải
quyết các bài toán hình học không gian một cách thuận tiện.
3- Phạm vi , đối t ợng nghiên cứu :
- Khách thể: Học sinh lớp 12.
- Đối tợng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian.
- Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong
chơng trình THPT.

SD và tính góc
giữa hai mặt phẳng (ASD);(CSD).
c/ Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u.
III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài
Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và
tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó
học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và thấy
đợc tính u việt của phơng pháp toạ độ khi giải bài tập hình học không gian,
thầy giáo cần đề ra giải pháp khi giải bài toán hình học không gian bằng ph-
ơng pháp toạ độ.
Lựa chọn những bài toán có thể quy về toạ độ trong hệ toạ độ thích hợp.
3
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các điểm trong
bài toán đợc thuận tiện.
Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
và ngợc lại.
Nhận xét, đánh giá , xếp loại của
Hội đồng chấm sáng kiến kinh nghiệm
Văn Lâm, ngày 30 tháng3 năm 2013
Ngời viết
tô minh hải
4

r r r
không
đồng phẳng nên có duy nhất bộ ba số x, y, z sao cho:
v xi y j zk= + +
r r r r
+ Bộ ba số (x; y; z) gọi là toạ độ của vectơ
v
r
, kí hiệu là
( ; ; )v x y z
r
hoặc
( ; ; )v x y z=
r
. Số x gọi là hoành độ, số y gọi là tung độ và số z gọi là cao độ của
vectơ
v
r
.
+ Với hai điểm
( )
1 1 1 1
, ,M x y z
và
( )
2 2 2 2
, ,M x y z
thì:
( )
1 2 2 1 2 1 2 1

1 2 1 2 1 2 1 2
, ,v v x x y y z z =
ur uur
(iii).
1 1 1 1
( , , )kv kx ky kz=
ur
(iv).
1 2 1 2 1 2 1 2
. . . .v v x x y y z z= + +
ur uur
(v).
1 2 1 2 1 2 1 2
0v v x x y y z z + + =
ur uur
(vi). Tích có hớng của hai vectơ
1 1 1 1
( , , )v x y z=
ur
và
2 2 2 2
( , , )v x y z=
uur
là một vectơ

v
r
đợc xác định bởi:
1 1 1 1 1 1
1 2

uuuuuur
:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
d M M x x y y z z= = + +
uuuuuur
.
4/ Chia một đoạn thẳng cho tr ớc theo một tỷ số cho tr ớc.
Điểm
( )
, ,M x y x
chia đoạn thẳng
1 2
M M
theo tỉ số k:
1 2
MM k MM=
uuuuur uuuuur
đợc xác
định bởi công thức:
1 2
1 2
1 2
1
1
1
x kx
x
k

1 2
2
2
2
x x
x
y y
y
z z
z
+

=


+

=


+

=


5/ Góc giữa hai vectơ
Góc

giữa hai vectơ
1 1 1 1

uur r
cùng phơng với nhau khi
và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
2 1
v kv=
uur ur

cả ba định thức sau đều bằng 0:
1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2
, ,
y z z x x y
y z z x x y
.
7/ Ph ơng trình mặt phẳng.
a. Khái niệm.
Một vectơ
0n
r r
đợc gọi là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
( )

nếu
nằm trên đờng thẳng vuông góc với
( )

.
Mặt phẳng
( )


r
b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai mặt
phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:
( )
( )
1 1 1 1
2 2 2 2
0 1
( ) :
0 2
A x B y C z D
d
A x B y C z D
+ + + =


+ + + =


với điều kiện
1 1 1 2 2 2
: : : :A B C A B C
trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
7
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
9/ Ph ơng trình mặt cầu
Trong hệ toạ độ Oxyz tập hợp các điểm cách điểm
( , , )I a b c
cho trớc một

8
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ thì
rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ độ
ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản.
phơng pháp chung
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng bao
gồm:
Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng.
Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
Tính độ dài đoạn thẳng.
Chú ý: Với hình hộp chữ nhật AA B C D ta thờng thết lập hệ trục toạ độ
dựa trên ba cạnh AB, AD và AA tơng ứng với các trục Ox, Oy, Oz.
Bài 1: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D

cạnh bằng a.
a/ Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng A B và AC.
b/ Gọi K là trung điểm DD. Tính góc và khoảng cách giữa 2 đờng thẳng
CK và A D .
c/ Mặt phẳng (P) qua BB và hợp với hai đờng thẳng BC , B D hai góc
bằng nhau. Tính các góc này.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với
,B Ax D Ay
và
A Az


.
Gọi d
1
là khoảng cách giữa A B và AC. ta có:
9
A
C
D
B
x
y
z
B
A
C
D
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải

1
' , ' . '
6
' , '
A B A C AA
a
d
A B A C= =


uuur uuuur
.
Gọi d
2
là khoảng cách giữa CK và A D , ta có:

2
, ' ,
3
, '
KC A D KD
a
d
KC A D= =uuur uuuur uuur
uuur uuuur
c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB A ) và (BCC B ) nên:

( ) ( )
0 0
' : ' :
0
y x a
BB BB
x a y

sin 3 2 1 4 2 0
2 1 3 1
m m
m m m m
m m


= = = + =
+ +

2 6m =
.
Với
2 6m = +
ta đợc:

( )
( )
2
2
6 2 6 2 6 2 6 1
sin
5
22 8 6
4 6
2 6 2 1


= = = =


đôi một, biết AB=a. AC=b, AD=c.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD).
10
A
B
C
D
x
y
z
g
I
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
A B a
C b D c
= =
= =
a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện, giả sử toạ độ của I là
( ; ; )I x y z
.
Tacó
2
2

2 2 2
1
4 4 4 2
a b c
R IA a b c= = + + = + +
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện có tâm
( ; ; )
2 2 2
a b c
I =

và bán kính:
2 2 2
1
2
R a b c= + +
b. Phơng trình mp(BCD):
1 1 0
x y z x y z
a b c a b c
+ + = + + =
Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
0 0 0
1
1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )

A
O
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Chọn hệ toạ độ nh hình vẽ.
Giả sử hình lập phơng có cạnh a.
Ta có toạ độ các điểm là:
A(0;0;0); B(a;0;a); C(a;a;0);
D(0;a;a); C(a;a;a).
Ta có:

( )
; ;AC a a a

=
uuuur
;
( )
0; ;B C a a

=
uuuur

( )
' ;0;D C a a=
uuuur
.

( )
. .0 . . 0 ' 'AC B C a a a a a AC B C


vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B. SC.
D) bằng 120
0
.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB kẻ
SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho góc giữa cạnh SD và mặt đáy (ABCD)
bằng 60
0
.
a/ Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
b/ Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK

SD và tính số đo
góc giữa 2 mặt phẳng (A S D ) và (C S D ).
c/Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
phơng pháp chung
12
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các điểm
cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả cần
chứng minh.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:
AB=CD=a; ; BC=AD=b; ; AC=BD=b.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là đờng
vuông góc chung của hai cạnh đó.
Giải
Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB và CD.

+ + +
=
uur
Theo giả thiết, ta có:
2 2 2 2
1 1 1
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
3 3 3
AB AB a x y z a
AC AC b x y z b
AD AD c x y z c
= = + + =
= = + + =
= = + + =
uuur
uuur
uuur
13
A
B
K
g
g
D
C
I
x
y

+ + =
và
2 2 2
2 3 2 3 2 3
2
b c a
x x y y z z
+
+ + =

2 3 1 2 3 1 2 3 1
1 1
.
2 2 2
x x x y y y z z z
IK AB x y z
+ + +
= + +
uur uuur
2 2 2
1 2 1 3 1 1 2 1 3 1 1 2 1
2
x x x x x y y y y y z z z+ + + +
=
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
a b c a c b
a


ĐPCM.
Bài 2: Cho hình lập phơng ABCD. A B C D cạnh a.
Trên BD và AD lần lợt lấy hai điểm thay đổi M,N sao cho
(0 2)DM AN x x a= =
CMR: MN luôn song song với một mặt phẳng cố định.
Giải
14
D
A
B
C
D
A
B
C
x
y
z
M
N
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:

(0;0;0); ( ;0;0)
(0; ;0); (0;0; )
A B a
D a A a
= =


a
=

1 1
1 1
1 1
( )
0 0
x a k a x a ka
DM k DB y ka y ka
z z
= = = = == =

uuuur uuur
2
2
2
0
x ka
AN k AD y
z ka
=



= +
=
=
Suy ra
, ',BC BA MN
uuur uuur uuuur
luôn luôn đồng phẳng.
Suy ra MN luôn luôn song song với (A BCD ) cố định.
Bài 3: Cho tứ diện DABC có ba cạnh DA; DB; DC vuông góc với nhau từng
đôi một. Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh nếu
( )

là
mặt phẳng bất kỳ qua O thì khoảng cách từ D xuống
( )

bằng tổng đại số 3
khoảng cách từ A, B, C đến mp
( )

.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz vuông góc
sao cho:
Gọi O là tâm hình cầu ngoại tiếp tứ
15
A
B
CD
x

2 0 1
b c a
d
b c a d


+ + + =
+ + + =
Kí hiệu
, , ,
D A B C
h h h h
tơng ứng là khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng
( )

. Theo công thức tính khoảng cách ta có:

( )
2 2 2 2 2 2
, 2
D
d
d
h

= =
+ + + +
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
, 3

C C
c d
c d
h h Sgn c d




+
+
= = +
+ + + +
Cộng trừ vế (3), (4), (5) ta đợc:
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
3
6
A B C
b c a d
Sgn a d h Sgn b d h Sgn c d h



+ + +
= + + + + +
+ +
Từ (1), (2), (6) suy ra:
( ) ( ) ( )
D A B C
h Sgn a d h Sgn b d h Sgn c d h

2
a
.
Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA
vuông góc với đáy. Gọi M, N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC, DC sao cho
2
a
BM =
.
3
4
a
DN =
. CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài 3: Đờng thẳng (d) tạo với 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) cắt nhau các góc bằng
nhau, ngoài ra nó không vuông góc với mặt phẳng
( )

chứa các đờng thẳng
này. CMR hình chiếu vuông góc (d ) của đờng thẳng (d) lên mặt phẳng
( )


cũng tạo thành những góc bằng nhau với 2 đờng thẳng (d
1
) và (d

). Tính
khoảng cách đó.
Giải.
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B

Ax,
khi đó:
A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0).
A
1
(0;0;h). B
1
(a;0;h). C
1
(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của BC và A
1
C
1
nên:
E
( , ,0)
2 2
a a
và F
(0, , )
2
a
h
.





uuur
Vì I

EF nên
( , , )
2 2 2
a a a
I t ht
. t

[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC
1
A
1
) nên
( , , )
2 2 2 2 2 2
a a a ah a ah
t ht t I
a h a h a h
= =
+ + +
.
Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
2

Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
.
2
I
ah
d z
a h
= =
+
Bài 2: Cho 2 điểm A, B cố định. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
AM:BM=k. với 0<k

1.
Giải
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho A( - a;0;0) & B(a;0;0), khi đó với điểm
M(x;y;z) ta có:

( )
( )
( )
2
2 2
2
2
2
2
2 2
2
2
2

2
1
;0;0
1
a k
I
k

+
ữ
ữ


bán kính
2
2
1
ak
R
k
=

*Bài tập
Bài 1: Trong mặt phẳng

cho đờng tròn (C) đờng kính AB=2R, SA=h
(0<h<2R) và vuông góc với mặt phẳng

. Gọi M là điểm di động trên đờng
tròn (C). Tính h theo R để tồn tại điểm M trên (C) để đoạn nối trung điểm hai

=
uuur uuur
Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động.
Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao
cho OA=OB=OC. Giả sử (d) là đờng thẳng qua O, các điểm A , B , C là các
điểm đối xứng với A, B, C qua (d). Các mặt phẳng đi qua A , B , C tơng ứng
vuông góc với các đờng thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các
điểm
Tài liệu tham khảo
1/ Văn Nh Cơng. Hình học 12. NXB Giáo dục - 2008.
2/ Trần Văn Hạo . Hình học 12, NXB Giáo dục - 2009.
3/ Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí. Phơng pháp giải toán hình học giải tích
trong không gian. Nhà xuất bản Hà Nội - 2010.
20
Ng ời thực hiện : Tô Minh Hải
Mục lục
Nội dung 2
Chơng I. Một số kiến thức cơ bản 5
Chơng II. Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ 8
1/ Hỡng dẫn học sinh sử dụng phơng pháp toạ độ 8
2/ Giải bài toán định lợng trong hình học không gian 9
3/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian 13
4/ Bài toán về điểm và quỹ tích trong không gian . 17
21