ÔN THI CAO HỌC PHẦN BÀI TẬP
1. Đưa phương trình sau về dạng chính tắc
u
xx
+ 2u
xy
− 3u
yy
= 0
và tìm nghiệm thoả mãn điều kiện
u(0, y) = y
2
u
x
(0, y) = 0
ĐS: phương trình chính tắc u
ξρ
= 0, nghiệm: u(x, y) = (y
2
+ 3x
2
)
2. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
u
xx
+ 2u
xy
− 3u
yy
+ 2u
x

4. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình sau:
x
2
u
xx
− 2xyu
xy
+ y
2
u
yy
+ xu
x
+ yu
y
= 0
ĐS
u(x, y) = F(x, y) ln x + Φ(xy)
5. Đưa về dạng chính tắc:
u
xx
+ 4u
xy
+ 5u
yy
+ u
x
+ 2u
y
= 0

yy
+ u
y
= 0
với điều kiện
u(x, 0) = −
x
2
2
u
y
(x, 0) = − sin x
ĐS
u(x, y) = cos(x + e
y
− 1) − cos x −
x
2
2
1
8. Giải phương trình sau
u
xx
− 2 sin xu
xy
− (3 + cos
2
x)u
yy
− cos xu

− 2 sin xu
xy
− (3 + cos
2
x)u
yy
+ u
x
+ (2 − sin x − cos x)u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=cos x
= 0
u
y
(x, y)|
y=cos x
= e
−x/2
2 cos x
ĐS
u(x, y) = 2 sin

y − cos x
2

cos xe
(y−2x−cos x)/4

xy
− sin
2
xu
yy
+ u
x
+ (1 − sin x + cos x)u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|
y=sin x
= cos x
u
y
(x, y)|
y=sin x
= sin x
ĐS
u(x, y) = cos(y − sin x − x)
12. Giải phương trình sau
3u
xx
− 5u
xy
+ 2u
yy
= 0
với điều kiện

y
u
xy
− u
yy
+ u
y
= 0
với điều kiện
u(x, 0) = sin x
u
y
(x, 0) =
1
1 + x
2
ĐS
u(x, y) = sin x − arctgx + arctg(x + e
y
− 1)
14. Giải phương trình sau
u
xy
− 6u
yy
+ 5u
y
= 0
với điều kiện
u(x, y)|

u(x, y)|
y=0
= xe
−5x/2−x
2
u
y
(x, y)|
y=0
= e
−5x/2
ĐS
u(x, y) =
1
8
e
(3y−5x)/2

8y + (4x + 4y + 3)e
−(x+y)
2
+ (4x − 4y − 3)e
−(x−y)
2

16. Tìm dao động tự do của một sợi dây hữu hạn được gắn chặt ở hai đầu mút x=0 và x = 
biết vận tốc ban đầu bằng v
0
và hình dạng ban đầu được cho bởi biểu thức:
u(x, 0) = ϕ(x) = cx

c
kπ
cos kπ

cos
kπat


17. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = , biết vận tốc ban đầu bằng v
0
và hình dạng ban đầu được cho bởi:
u(x, 0) = ϕ(x) = sin x
ĐS
u(x, t) =
∞

k=1
sin
kπx


−
2v
0

a(kπ)
2
(cos kπ − 1) sin
kπat

(2n + 1)πx

cos
(2n + 1)πat

19. Tìm phương trình dao động tự do của một sợi dây hữu hạn đ ược gắn chặt ở hai đầu mút
x = 0 và x = , biết vận tốc ban đầu bằng không và ở thời điểm ban đầu sợi dây được căng
lên ở độ cao h tại điểm x
0
.
ĐS
u(x, t) =
2h
x
0
( − x
0
)
∞

k=1


kπ

2
sin
kπx
0


. Hãy xác định dao động của sợi dây khi ε → 0, nếu lúc đầu nó
nằm yên.
ĐS:
u(x, t) =
2p
πaρ
∞

k=1
1
k
sin
kπc

sin
kπx

sin
kπat

là phương trình dao động của sợi dây đứng yên ở thời điểm ban đầu và ta truyền cho nó một
xung lượng p tập trung tại điểm x = c.
Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu
u(x, 0) = 0
u
t
(x, 0) =

v
0

k=1
1
k(k
2
π
2
− 
2
)
sin
kπc

cos
kπ
2
2
sin
kπx

sin
kπat

4
22. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây có hai đầu tự do, chiều dài . Biết vận tốc ban
đầu bằng 0. Độ lệch ban đầu của sợi dây tỉ lệ với khoảng cách từ điểm đó đến gốc toạ độ.
ĐS:
u(x, t) =
c
2
−

1
(2n + 1)
3
cos
(2n + 1)πx

sin
(2n + 1)πat

24. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn, có hai đầu tự do. Biết hình dạng và
vận tốc ban đầu của sợi dây được cho bởi:
u(x, 0) =
1
m
x( − x)
u
t
(x, 0) = sin x
ĐS:
u(x, t) =

2
6m
+
∞

k=1
cos
kπx



k=0
(−1)
k+1
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx
2
cos
(2k + 1)πat
2
Nếu gốc toạ độ đặt ở trung điểm của thanh.
Hướng dẫn: Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên là:
u(x, 0) = −εx, u
t
(x, 0) = 0, u
x
(−, t) = 0, u
x
(, t) = 0
26. Tìm phương trình dao động dọc của một thanh đồng chất biết đầu x = 0 gắn chặt, còn đầu
x =  tự do. Biết các điều kiện ban đ ầu.
u(x, 0) = ϕ(x)
u
t
(x, 0) = ψ(x)
ĐS:
u(x, t) =
∞

A
k
=
4
(2k + 1)π


0
ψ(x) sin
(2k + 1)πx
2
dx
5
27. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại gốc
toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu ta kéo điểm đầu x =  lên độ cao h, vận tốc b an đầu bằng
0.
ĐS:
u(x, t) =
8h
π
2
∞

k=0
(−1)
k
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx

sin
(2k + 1)πat
2
29. Tìm phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn có đầu x = 0 được giữ cố định tại
gốc toạ độ, đầu x =  tự do. Ban đầu sợi dây có hìn h dạng được cho bởi u(x, 0) = −εx
2
và
có vận tốc không đổi bằn g v
0
.
ĐS:
u(x, t) =
8
π
2
∞

k=0
1
(2k + 1)
2
sin
(2k + 1)πx
2

v
0
a
sin
(2k + 1)πat


2v
0

2
(−1)
k
(2k + 1)
3
πa
sin
(2k + 1)πat
2
−
4h
(2k + 1)
2

(−1)
k
−
4
(2k + 1)π

cos
(2k + 1)πat
2

Hướng dẫn: Ta giải bài toán với điều kiện ban đầu u
t

(2k + 1)πat
2
6
32. Tìm phương trình dao động của một sợi dây hữu hạn gắn chặt ở đầu mút x = 0 còn mút
x =  chuyển động theo quy luật u(, t) = A sin ωt. Biết độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
ĐS:
u(x, t) =
A
sin
ω
a
sin
ωx
a
sin ωt +
2ωAa
(kπa)
2
− (ω)
2
(−1)
k
∞

k=1
sin
kπx

sin

(2k + 1)πx
2
cos
(2k + 1)πat
2
34. Một sợi dây đồng chất gắn chặt ở hai đầu x = 0 và x = . Tại thời điểm ban đầu t = 0 được
căng lên ở độ cao h ở điểm x = x
0
và sau đó buông ra không có vận tốc đầu. Hãy tính năng
lượng của dao động tử thứ n của sợi dây.
ĐS: E
n
=
ρ
h
2
a
2

2
π
2
n
2
x
0
( − x
0
)
2

trong đó T là sức c ăng, ρ là khối lượng trên một đơn vị chiều dài của sợi dây.
35. Một màng hình vuông đồng chất cạnh , lúc t = 0 có độ lệch được xác định theo biểu thức
u(x, y, 0) = Axy( −x)(− y), dao động không vận tốc đầu. Hãy xác định dao động của màng
ở thời điểm t > 0.
ĐS:
u(x, y, t) =
64A
2
π
6
∞

m=0
∞

n=0
1
(2m + 1)
3
1
(2n + 1)
3
sin
(2m + 1)πx

sin
(2n + 1)πy

× cos


∞

n=1
sin
kπ
2
sin
nπ
2


k


2
+

n
m

2
sin


k


2
+


π
2
a
2
t/
2
38. Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,
có độ dài , có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban
đầu có dạng:
ϕ(x) =
cx( − x)

2
ĐS
u(x, t) =
8c
π
3
∞

n=0
1
(2n + 1)
3
sin
(2n + 1)πx

e
−(2n+1)
2

2
π
2
a
2
t/
2
40. Tìm phân bố nhiệt độ ở thời điểm t > 0 trong một thanh đồng chất không có nguồn nhiệt,
có độ dài , có thành bên cách nhiệt, hai đầu được giữ ở nhiệt độ bằng 0, phân bố nhiệt ban
đầu có dạng:
ϕ(x) = shx
ĐS
u(x, t) = −2πsh
∞

k=1
k(−1)
k
(kπ)
2
+ 
2
sin
kπx

e
−k
2
π
2

2
a
2
t/
2
8
42. Tìm phân bố nhiệt trong một thanh đồng chất có đầu mút x = 0 cách nhiệt, còn đầu
mút x =  luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng không. Nhiệt độ ban đầu trong thanh không đổi
ϕ(x) = u
0
= const và trong thanh không có nguồn nhiệt.
ĐS
u(x, t) =
4u
0
π
∞

k=0
(−1)
k
2k + 1
cos
(2k + 1)πx
2
e
−(2k+1)
2
π
2

e
−(2k+1)
2
π
2
a
2
t/4
2
44. Tìm phân bố nhiệt trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ cách
nhiệt, b iên x =  được giữ ở nhiệt độ bằng 0. Phân bố nhiệ t ban đầu trong thanh có dạng
ϕ(x) = chx. Trong thanh không có nguồn nhiệt.
ĐS
u(x, t) = 4πch
∞

n=0
(2n + 1)(−1)
n
(n + 1)
2
π
2
+ 4
2
cos
(2n + 1)πx
2
e
−(2n+1)

π
2
t/4
2
46. Tìm phân bố nhiệt độ trên một thanh hữu hạn, chiều dài , có biên x = 0 được giữ ở nhiệt
độ bằng 0, biên x =  cách nh iệt. Tại thời điểm ban đầu, nữa đầu của thanh c ó nhiệt độ bằng
không, còn nữa sau của thanh có nhiệt độ không đổi bằng T
0
.
ĐS:
u(x, t) =
4T
0
π
∞

k=0
1
2k + 1
cos
(2k + 1)π
4
sin
(2n + 1)πx
2
e
−a
2
(2n+1)
2

2
Hướng dẫn: Giải bài toán với điều kiện biên u(0, t) = 0, u
x
(, t) = 0, và điều kiện ban đầu
u(x, 0) = cx.
9
48. Tìm sự phân bố nhiệt trong một thanh có đầu mút x = 0 cách nhiệt. Nhiệt độ môi trường u
∗

tiếp xúc với đầu mút x =  luôn luôn giữ ở nhiệt độ bằng 0. Tại thời điểm t = 0, tất cả các
điểm của thanh được nâng lên nhiệt độ không đổi u
0
= const. Trong thanh không có nguồn
nhiệt.
ĐS:
u(x, t) = u
0
∞

n=1
(−1)
n−1
2(k
2
β
2
n
+ h
2
)

2
u
xx
= 0
thoả mãn điều kiện đầu
u(x, 0) = u
0
và điều kiện biên
u
x
(0, t) = 0
hu(, t) = −ku
x
(, t)
49. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R cos ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = r cos ϕ
50. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = R
2
sin 2ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = r
2
sin 2ϕ
51. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương trình trong miền tròn tâm O. bán kính R,
biết giá trị trên biên của nghiệm là u(R, ϕ) = A + B sin ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) = A +

u(r, ϕ) = 4 +
r
2
2
(cos 2ϕ − sin 2ϕ)
10
55. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hìn h tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = sin
3
ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) =
r
4R
(3 sin ϕ −
r
2
R
2
sin 3ϕ)
56. Tìm nghiệm của bài toán Dirichlet trong hìn h tròn tâm O bán kính R, biết giá trị trên biên
của nghiệm là u(R, ϕ) = sin
4
ϕ.
ĐS:
u(r, ϕ) =
3
8
−
r

∞

n=0
sh
(2n + 1)π(x − a)
b
(2n + 1)
3
sh
(2n + 1)πa
b
sin
(2n + 1)πy
b
59. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = A sin
πy
b
, u(a, y) = 0, u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0
60. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y  b) với các điều kiện
u(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = B sin
πx
a
, u(x, b) = 0
ĐS:
u(x, y) = −
8Ab
2
π
3

π
2
∞

n=0
1
(2n + 1)
2
sh
(2n + 1)πa
b
sh
(2n + 1)πx
b
cos
(2n + 1)πy
b
11
62. Giải bài toán Dirichlet trong miền chữ nhật (0  x  a; 0  y < ∞) với các điều kiện
u(0, y) = 0, u(a, y) = 0, u(x, 0) = A

1 −
x
a

, u(x, ∞) = 0
ĐS:
u(x, y) =
2a
π

(0, y) = Ay(b − y), u(a, y) = 0, u(x, 0) = B sin
πx
a
, u(x, b) = 0
c. ∆u(x, y) = 0, (0  x  a; 0  y  b), thoả mãn điều kiện:
u(0, y) = A, u(a, y) = By, u
y
(x, 0) = u
y
(x, b) = 0
d. ∆u(x, y) = 0, (0  x  π; 0  y  π), thoả mãn điều kiện:
u
x
(0, y) = cos y, u
x
(π, y) = sin y, u
y
(x, 0) = A, u(x, π) = Bx
66. Giải bài toán tổng hợp trong miền chữ nhật
∆(x, y) = −2, (0  x  a, −b  y  b) thoả mãn điều kiện
u(x, −b) = u(x, b) = u(0, y) = u(a, y) = 0
12