Ti Liu luyn Thi i Hc

1

PHN LOI BI TP CHNG C HC VT RN
I.MC TIấU
-Hc sinh nm vng kin thc v cỏc ủi lng trong chuyn ủgn quay, phng trỡnh c bn ca ủng
lc hc vt rn,ủnh lý ủng nng , ủnh lut bo ton mụ men ủng lng.
-Bit ỏp dng cỏc cụng thc ủ lm bi tp.
II.NI DUNG
DNG 1: VT RN QUAY U QUANH MT TRC C NH

A.L THUYT
Tc ủ gúc:
const

=
Gia tc gúc:
0

=
Ta ủ gúc:
0
t

= +

Gúc quay:
.
t


ca ủa bng:
A.
1
2
B. 1 C. 2 D. 4
2. Mt xe ủp cú bỏnh xe ủng kớnh 700 mm, chuyn ủng ủu vi tc ủ 12,6 km/h. Tc ủ gúc ca
ủu van xe ủp l:
A. 5 rad/s B. 10 rad/s C. 20 rad/s D. Moọt giaự trũ khaực.
3. Mt vt hỡnh cu bỏn kớnh R = 25 m, chuyn ủng quay ủu quanh mt trc thng ủng ủi qua tõm
ca nú. Khi ủú mt ủim A trờn vt, nm xa trc quay nht chuyn ủng vi tc ủ 36 km/h. Gia tc
hng tõm ca A bng:
A. 0,4 m/s
2
B. 4 m/s
2
C. 2,5 m/s
2
D. Moọt giaự trũ khaực.
4. Mt ủa ủc ủng cht cú dng hỡnh trũn bỏnh kớnh R = 30 cm ủang quay trũn ủu quanh trc ca nú,
thi gian quay ht 1 vũng l 2 s. Bit rng ủim A nm trung ủim gia tõm O ca vũng trũn vi vnh ủa.
Tc ủ di ca ủim A l:
A. 47 cm/s B. 4,7 cm/s C. 94 cm/s D. 9,4 cm/s
5. Mt ủa ủc ủng cht cú dng hỡnh trũn bỏnh kớnh R ủang quay trũn ủu quanh trc ca nú. Hai ủim
A, B nm trờn cựng mt ủng kớnh ca ủa. im A nm trờn vnh ủa, ủim B nm trung ủim gia tõm
O ca vũng trũn vi vnh ủa. T s tc ủ gúc ca hai ủim A v B l:
A.
A
B
1
4

số giữa vận tốc dài của đầu kim phút và đầu kim giờ là
A. 1/16; B. 16; C. 1/9; D. 9
8. Kim giờ của một chiếc đồng hồ có chiều dài bằng 3/4 chiều dài kim phút. Coi nh các kim quay đều. Tỉ
số gia tốc hớng tâm của đầu kim phút và đầu kim giờ là
Ti Liu luyn Thi i Hc

2

A. 92; B. 108; C. 192; D. 204
9. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min. Tốc độ góc của bánh xe
này là:
A. 120 rad/s; B. 160 rad/s; C. 180 rad/s; D. 240 rad/s
10. Một bánh xe quay đều xung quanh một trục cố định với tần số 3600 vòng/min. Trong thời gian 1,5s
bánh xe quay đợc một góc bằng:
A. 90 rad; B. 120 rad; C. 150 rad; D. 180 rad
11. Kim gi ca mt ủng h cú chiu di 8 cm. Tc ủ di ca ủu kim l
A.1,16.10
-5
m/s. B.1,16.10
-4
m/s. C.1,16.10
-3
m/s. D.5,81.10
-4
m/s.
_____________________________________________________________________________________

DNG 2: VT RN QUAY BIN I U QUANH MT TRC C NH

I.TNH TON CC I LNG C BN

0 0
2 ( )

=

Gúc quay:
2
0
1
2
t t

= +
S vũng quay:
2
n


=
2
n


=

Gia tc tip tuyn:
r
dt
d
r

=0
- Trong chuyn ủng quay ủu ,
0

=
, l hng s, a
tt
=0, a
n
=R=const.
Trong chuyn ủng quay bin ủi ủu: a
tt
=const, a
n=
0
( )
t R

+B.BI TP
T LUN
Vớ d 1. Mt ủa mi bt ủu quay vi v trớ gúc
0
= 0 v gia tc gúc khụng ủi = 0,35
rad/s
2
. Tớnh tc ủ gúc ca ủa ti thi ủim t = 18s v s vũng m ủa quay ủc trong thi
gian ủú.

n =
π
ϕ
2
=
π
2
7,56

≈
9 vòng
Ví dụ 2: Một cái ñĩa bắt ñầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không ñổi. Sau 5,0s nó
quay ñược 25 rad.
a) Gia tốc góc của ñĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của ñĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của ñĩa :
γ =
25
25.2.2
2
=
∆
t
ϕ
(rad/s
2
) = 2 (rad/s
2

ω
ω

10
510
−
(rad/s
2
) = 0,5 (rad/s
2
)
b) Góc mà bánh xe quay ñược trong 10s:
∆ϕ = ϕ - ϕ
0
= ω
0
t +
2
1
γt
2

∆ϕ = 5.10 +
2
1
.0,5.10
2
= 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay ñược trong 10s:
≈=

t
1
=
γ
ω
ω
0
−
=
s13
35,0
)6,4(0
≈
−
−
.
b) Sau khi tốc ñộ của ñĩa bằng 0, ñĩa sẽ quay nhanh dần ñều với gia tốc góc γ = 0,35 rad/s
2
.
Thời gian ñể ñĩa quay ñược 5 vòng theo chiều dương ñược tính:
∆t =
35,0
2.5.22
π
γ
ϕ
=
∆
≈
13,4 (s).

1
=
)(8,18)(
25,0
7,4
0
ss =
−
−
=
−
γ
ω

ðường mốc ñạt ñược một góc cực ñại ϕ
max
:
ϕ = ϕ
max
= ϕ
0
+ ω
0
t
1
+
2
1
γt
1

ω
r,
+ Gia tốc của chất ñiểm trong chuyển ñộng quay:
tn
aaa
r
r
r
+=

– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

5

ðộưlớn: a =
22
tn
aa +
; trong ñó:
r
v
ra
n
2
2
==
ω
,
t
v

b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh; của ñiểm chính giữa một bán kính.
Giải
a) Vận tốc góc của một ñiểm trên vành bánh xe là:

)/(8,62
1,0
22
srad
T
===
π
π
ω

- Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe là :

)/(4,315.0.8,62.
smrv
=
=
=
ω

b) Gia tốc pháp tuyến của một ñiểm trên vành bánh xe:

)/(92,19715,0.8,62
222
1
smra
n


c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một ñiểm trên vành
bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
ω = γt = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài của một ñiểm trên vành bánh xe:
v = ωr = 3,14 . 0,1 = 0,314 m/s.
b) Gia tốc tiếp tuyến:
a
t
= γr = 3,14.0,1 = 0,314m/s
2

Gia tốc pháp tuyến:
a
n
= ω
2
r = 3,14
2
.0,1 = 0,985 m/s
2

Gia tốc toàn phần:
a =
=+
22
nt
aa

-3
rad/s.
2. Khi tắt ñiện thì một cánh quạt ñiện ñang quay với tốc ñộ góc 20 vòng/phút dừng lại sau 2 phút. Tính
gia tốc góc trung bình.
ðáp số: 0,05π rad/s.
3. Một bánh xe quay ñều với tốc ñộ 300 vòng/phút. Trong 10s bánh xe quay ñược góc là bao nhiêu?
ðáp số: 314 rad
4. Một cái ñĩa quay quanh một trục cố ñịnh, từ nghỉ và quay nhanh dần ñều. Tại một thời ñiểm nó ñang
quay với tốc ñộ 10 vg/s. Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc ñộ góc của nó là 15 vg/s. Hãy tính:
a) Gia tốc góc của ñĩa.
b) Thời gian cần thiết ñể quay hết 60 vòng nói trên.
c) Thời gian cần thiết ñể ñạt tốc ñộ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho ñến khi ñĩa ñạt tốc ñộ góc
10vg/s.
ðáp số: a) 6,54 rad/s
2
; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng.
5. Một bánh ñà ñang quay với tốc ñộ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần ñều ñược 40 vòng cho ñến khi
dừng.
a
r

α

n
a
r

t
a
r


ðáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyñrô là
scmv /10.8,2
3
=
.Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến
của electron nếu quỹ ñạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1
-8
cm.
ðáp số: ω = 4,4.10
16
rad/s ; a
n
= 9,68.10
4
m/s
2
.
TRẮC NGHIỆM

1. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
10t
2
+ 4 (rad; s). Tọa ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 2s là:
A. 44 rad B. 24 rad C. 9 rad D. Một giá trị khác.
2. Một vật rắn chuyển ñộng quay quanh một trục với tọa ñộ góc là một hàm theo thời gian có dạng: ϕ =
4t
2
(rad; s). Tốc ñộ góc của vật ở thời ñiểm t = 1,25 s là:

= 30
o
; ở thời ñiểm t
2
= 3s
chất ñiểm ở tọa ñộ góc ϕ
2
= 60
o
và nó chưa quay hết một vòng. Tốc ñộ dài trung bình của vật là:
A. 6,5 cm/s B. 0,65 m/s C. 13 cm/s D. 1,3 m/s
7. Một vật rắn coi như một chất ñiểm chuyển ñộng trên quĩ ñạo tròn bán kính bằng 40 m. quãng ñường ñi
ñược trên quĩ ñạo ñược cho bởi công thức : s = - t
2
+ 4t + 5 (m). Gia tốc pháp tuyến của chất ñiểm lúc t =
1,5 s là: A. 0,1 cm/s
2
B. 1 cm/s
2
C. 10 cm/s
2
D. 100 cm/s
2
8. Một vật chuyển ñộng trên một ñường tròn có tọa ñộ góc phụ thuộc vào thời gian t với biểu thức: ϕ = 2t
2

+ 3 (rad; s). Khi t = 0,5 s tốc ñộ dài của vật bằng 2,4 m/s. Gia tốc toàn phần của vật là:
Ti Liu luyn Thi i Hc

8

2
.
12. Trong chuyển động quay có vận tốc góc và gia tốc góc chuyển động quay nào sau đây là nhanh
dần?
A. = 3 rad/s và = 0; B. = 3 rad/s và = - 0,5 rad/s
2

C. = - 3 rad/s và = 0,5 rad/s
2
; D. = - 3 rad/s và = - 0,5 rad/s
2

13. Một bánh xe quay nhanh dần đều từ trạng thái đứng yên sau 2s nó đạt tốc độ góc 10rad/s. Gia tốc góc
của bánh xe là
A. 2,5 rad/s
2
; B. 5,0 rad/s
2
; C. 10,0 rad/s
2
; D. 12,5 rad/s
2

14. Một bánh xe có đờng kính 4m quay với gia tốc góc không đổi 4 rad/s
2
, t
0
= 0 là lúc bánh xe bắt đầu
quay. Tại thời điểm t = 2s tốc ủ góc của bánh xe là:
A. 4 rad/s. B. 8 rad/s. C. 9,6 rad/s. D. 16 rad/s.

19. Một bánh xe quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120vòng/phút lên 360vòng/phút. Gia tốc
góc của bánh xe là
A. 2 rad/s
2
. B. 3 rad/s
2
. C. 4 rad/s
2
. D. 5 rad/s
2
.
20. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120vòng/phút lên
360vòng/phút. Gia tốc hớng tâm của điểm M ở vành bánh xe sau khi tăng tốc đợc 2s là
A. 157,8 m/s
2
. B. 162,7 m/s
2
. C. 183,6 m/s
2
. D. 196,5 m/s
2
21. Một bánh xe có đờng kính 50cm quay nhanh dần đều trong 4s tốc độ góc tăng từ 120 vòng/phút lên
360 vòng/phút. Gia tốc tiếp tuyến của điểm M ở vành bánh xe là:
A. 0,25 m/s
2
; B. 0,50 m/s
2
; C. 0,75 m/s
2
; D. 1,00 m/s

lượt là
A. 5 rad/s và 25 rad B. 5 rad/s và 35 rad. C. 10 rad/s và 35 rad. D. 10 rad/s và 25 rad.
26. Phương trình toạ độ góc φ theo thời gian t của một vật rắn quay biến đổi có dạng :
φ = 2008 + 2009t +12 t
2
(rad, s).Tính tốc độ góc ở thời điểm t = 2s
A. ω = 2009 rad B. ω = 4018 rad C. ω = 2057 rad D. ω = 2033 rad
27. Một vật rắn quay nhanh dần đều quanh một trục cố định, trong 3,14 s tốc độ góc của nó tăng từ 120
vòng/phút đến 300 vòng/phút. Lấy π = 3,14. Gia tốc góc của vật rắn có độ lớn là
A.20 cm/s
2
. B.10 cm/s
2
. C.30cm/s
2
. D.40cm/s
2
28. Tại một thời điểm t = 0, một vật bắt đầu quay quanh một trục cố định xun qua vật với gia tốc góc
khơng đổi. Sau 5 s, nó quay một góc 10 rad. Góc quay mà vật quay được sau thời gian 10 s kể từ lúc t = 0
bằng
A.10 rad. B.40 rad. C.20 rad. D.100 rad.
29. Một đĩa tròn, phẳng, mỏng quay đều quanh một trục qua tâm và vng góc với mặt đĩa. Gọi v
A
và v
B

lần lượt là tốc độ dài của điểm A ở vành đĩa và của điểm B (thuộc đĩa) ở cách tâm một đoạn bằng nửa bán
kính của đĩa. Biểu thức liên hệ giữa v
A
và v
DẠNG 3: MOMEN QN TÍNH – MOMEN LỰC-

.Bài tập xác định mơ men qn tính của một số vật đồng chất có hình dạng hình học đặc biệt.
Phương pháp giải
Kiểm tra xem hệ gồm mấy vật: I = I
1
+ I
2
+ ….+ I
n
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

10+nếu vật có hình dạng ñặc biêt, áp dụng công thức sgk, nếu trục quay không ñi qua tâm:
: I
(
∆
)
= I
G
+ md
2

+nếu vật là chất ñiểm: I=mr
2
 Mô men quán tính của một số vật ñồng chất:

= 3kg và m
3
= 4kg. Tìm momen quán tính của hệ
trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung ñiểm của AB.
b) Trục quay tại ñầu A của thanh và vuông góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Giải
a) Mô men quán tính của thanh ñối với trục quay (O) ñi qua trung
ñiểm của thanh AB: I
1
=
12
1
m
1
l
2

Mô men quán tính của m
2
ñối với trục quay (O): I
2
= m
2
R
2
2
=
m

m
1
l
2
+ m
2
4
2
l

+ m
3
4
2
l
=
12
2
l
( m
1
+ 3m
2
+ 3m
3
)
Thay số: I =
12
1
(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m

= 0

Mô men quán tính của m
3
ñối với trục quay (A): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
l
2

Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (A):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
3
1
m
1
l
2

+ m
1
(
4
l
)
2
=
48
7
m
1
l
2

Mô men quán tính của m
2
ñối với trục quay (O’):
I
2
= m
2
R
2
2
= m
2
164
2
2

2
l
m
l
=







Mô men quán tính của hệ ñối với trục quay (O’):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
2
1
48
7
lm
+
2
2
16
1

CA
= l = L/3.
Mô men quán tính của khung ñối với trục quay ñi qua A và vuông
góc với khung:
I = I
AB
+

I
BC
+ I
CA

Trong ñó: I
AB
= I
CA
=
2
3
1
ml

Áp dụng ñịnh lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC ñối với trục quay ñi
qua A là I
BC
:
I
BC
= I

5
ml

A
B
m
2
m
3
Hình 3
A
B
C
G
Hình 5
A
B
m
2
m
3
O’
Hình 4
G
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ

 Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn ñồng chất dạng ñĩa tròn ñặc bán kính r có trục quay
vuông góc với ñĩa và ñi qua mép ñĩa.
ðáp số:
2
5,1 mR

2. Một ñĩa tròn ñồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của ñĩa ñối với trục vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
b) ðặt vật nhỏ khối lượng m
1
= 2 kg vào mép ñĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm ñĩa. Tìm momen
quán tính của hệ ñối với trục quay vuông góc với mặt ñĩa tại tâm O của ñĩa?
ðáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2

3. Sàn quay là một hình trụ, ñặc ñồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một người có
khối lượng có khối lượng 50kg ñứng trên sàn. Tính mô men quán tính của người và sàn trong 2
trường hợp:
a) Người ñứng ở mép sàn
b) Người ñứng ở ñiểm cách trục quay 1,0m.
ðáp số: a)250kgm
2
; b) 100kgm
2
. TRẮC NGHIỆM
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

13

Câu1: Một thanh thẳng ñồng chất OA có chiều dài l, khối lượng M, có thể quay quanh một trục cố ñịnh
qua O và vuông góc với thanh. Người ta gắn vào ñầu A một chất ñiểm m =
M
3
. Momen quán tính của hệ
ñối với trục qua O là
A.
2
2 / 3
Ml
. B.
2
M /3

vuông có giá trị nào sau ñây?
A. 1,68 kgm
2
. B. 2,96 kgm
2
. C. 2,88 kgm
2
. * D. 2,42 kgm
2
.
Câu4: Một khung dây cứng nhẹ hình tam giác ñều cạnh a. Tại ba ñỉnh khung có gắn
ba viên bi nhỏ có cùng khối lượng m. Mômen quán tính của hệ ñối với trục quay ñi
qua tâm O và vuông góc mặt phẳng khung là
A. ma
2
.* B. m
2
2a
3
. C. m
2
2a
3
. D. m
2
a
2
.
Câu5: Một vành tròn ñồng chất tiết diện ñều, có khối lượng M, bán kính vòng ngoài là
R, vòng trong là r ( hình vẽ). Momen quán tính của vành ñối với trục qua tâm và vuông góc

2
/4 C. 3ma
2
/2 D. 3ma
2
/4.
7. Một thanh cứng ñồng chất có chiều dài ℓ, khối lượng m, quay quanh một trục ∆ qua trung ñiểm và
vuông góc với thanh. Gắn chất ñiểm có khối lượng 3 m vào một ñầu thanh. Momen quán tính của hệ ñối
với trục ∆ là
A.
12
13
mℓ
2
. B.
3
1
mℓ
2
. C.
3
4
mℓ
2
. D.
6
5
mℓ
2
.

A. 4/3 B. 9 C. 1/12 D. 1/36 A (m
1
)

B (m
2
)

C (m
3
)

D (m
4
)

O

M

m

m

m

a

γ γ
= =

Trong ñó: + M = Fd (Nm)là mômen lực ñối với trục quay (d là tay ñòn của lực)
+
2
i i
i
I m r
=
∑
(kgm
2
)là mômen quán tính của vật rắn ñối với trục quay
• I.Xác ñịnh gia tốc góc và các ñại lượng ñộng học khi biết các lực (hoặc mô men lực) tác dụng
lên vật, mô men quán tính và ngược lại.

Phương pháp giải
 Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực ñó ñối với trục quay.
 Áp dụng phương trình ñộng lực học của vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh:
M = I γ
 Từ phương trình ñộng lực học xác ñịnh ñược γ (hoặc các ñại lượng liên quan), từ ñó xác ñịnh
ñược các ñại lượng ñộng học, học ñộng lực học.
 Chú ý: Khi làm bài toán dạng này chú ý xem vật có chịu tác dụng của momen cản hay không, có
thể nhận thấy momen cản thông qua dữ liệu, khi ngừng lực tác dụng thì vật quay chậm dần ñều.
Nếu có momen cản thì phương trình ñộng lực học trở thành: M-M
c
= I γ

Ví dụ 1:

ñ
ang
ñứ
ng yên thì ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a l
ự
c
không
ñổ
i F = 2N ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i vành
ñĩ
a. B
ỏ
qua ma sát. Tìm t
ố
c
ñộ
góc c
ủ

I =
2
1
mR
2
=
2
1
.5.2,0
2
= 0,1 kg.m
2

Momen l
ự
c tác d
ụ
ng lên
ñĩ
a:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình c
ơ
b
ả
n c

ñĩ
a sau 5s chuy
ể
n
ñộ
ng là:

ω
=
γ
t = 4.5 = 20 rad/s
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

15

Ví dụ 2:
Tác d
ụ
ng m
ộ
t l
ự

a bánh xe
ñượ
c tính:
ϕ
-
ϕ
0
=
2
1
γ
t
2

→

γ
=
)/(
4
)/(
4
.
4
2.2
)(2
22
2
0
sradsrad

ủ
a
bánh xe:
M = I.
γ

→
I
=
γ
M
=
≈
2
4
/
21,0
kgm
π
0,27kgm
2
.

Ví dụ 3:
M
ộ
t bánh xe ch
ị
u tác d
ụ

c M
1
ng
ừ
ng tác
d
ụ
ng, bánh xe quay ch
ậ
m d
ầ
n
ñề
u và d
ừ
ng l
ạ
i sau 30s. Cho bi
ế
t mô men c
ủ
a l
ự
c ma sát có giá
tr
ị
không
ñổ
i trong su
ố

b) Tính mô men quán tính c
ủ
a bánh xe
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c.
Giải
a) Gia t
ố
c góc c
ủ
a bánh xe:
- Giai
ñ
o
ạ
n quay nhanh d
ầ
n
ñề
u:
2
1
01
1
/5,1 srad
t

γ

b) T
ổ
ng mô men l
ự
c tác d
ụ
ng vào bánh xe trong giai
ñ
o
ạ
n quay nhanh d
ầ
n
ñề
u:
M = M
1
+ M
ms
= 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính c
ủ
a bánh xe:
I =
1
γ
M
= 10kgm

ng t
ố
c t
ừ
ngh
ỉ

ñế
n 1500vòng/phút trong 5s là bao nhiêu? N
ế
u bi
ế
t
– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

16

r
ằ
ng sau
ñ
ó ng
ừ
ng tác d
ụ
ng c
ủ
a mô men l
ự
c thì

i tr
ụ
c hình tr
ụ
là:
I =
2
1
mR
2
= 1,55.10
-3
(kgm
2
)
Gia t
ố
c góc c
ủ
a
ñĩ
a khi t
ă
ng t
ố
c:
γ
1
=
==

45
60/2.1500
2
2
srad
t
π
ω
)/(
9
10
2
srad
π
−

Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c trong chuy
ể
n
ñộ

ă
ng t
ố
c
ñĩ
a ch
ị
u tác d
ụ
ng c
ủ
a mô men l
ự
c làm quay và mô men c
ả
n c
ủ
a l
ự
c ma sát:
M
F
+ M
ms
= I
γ
1

→
M

Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển ñộng quay và một số vật
chuyển ñộng tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực hiện theo các bước sau:
 Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
 Viết các phương trình ñộng lực học cho các vật:
+ ðối với vật chuyển ñộng quay: M = I γ
+ ðối với các vật chuyển ñộng thẳng:
∑
= amF
r
r

 Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng.
 Áp dụng các phương trình ñược suy ra từ ñiều kiện của bài toán:
+ Dây không dãn: a
1
= a
2
=….= rγ
+ Dây không có khối lượng thì: T
1
= T
2
(ứng với ñoạn dây giữa hai vật sát nhau).
Dùng toán học ñể tìm ra kết quả bài toán.
b. Áp dụng công thức liên hệ giữa các phần chuyển ñộng tịnh tiến và chuyển ñộng quay:
Quãng ñường và toạ ñộ góc: x = R
ϕ
.
Tốc ñộ dài và tốc ñộ góc: v
ω

2
= 0,4.0,1
2
= 4.10
-3
kg.m
2
.
2. Tìm a và T:
Chọn chiều dương là chiều chuyển ñộng như hình vẽ 3.1
Áp dụng pt của ñịnh luật II niuton cho vật A
m
1
g – T = m
1
a (1)
Áp dụng phương trình ñộng lực học cho ròng rọc
M = T.r = I.
γ
(2)
Mặt khác gia tốc góc của ròng rọc là

γ
=
r
a
(3)
Thay (3) vào (2) ta ñược
T = ma (4)
Giải hệ phương trình (1)(4) ta tính ñược sức căng cúa sơị dây và gia tốc của vật A

. Tính mô men lực cản.

Giải:
1. Tìm a và T:
Áp dung kết quả bài trên ta suy ra:
a =
2
1
1
/5 smg
mm
m
=
+
. Và T = ma = 5 N.
2. Tìm v:
Áp dụng công th ức :
T
P
r

•o
A
T
+
Hình 3.1
•o
A
Hình 3.2
M

1
,,
. aRm
R
a
RmIMRTM
c
===+=
γ
(2)
(Mô men quán tính I =
2
1
Rm )
Giải hệ (1)và (2) ta suy ra:
[
]
mgammRM
c
−+=
,
1
)( (3).
Tính a
,
:
2
,
2
,

. Và T =
2
1
ma.
•Xét trường hợp có mô men cản:






−+= mga
m
mM
c
,
1
)
2
(
Bài 3: Một ròng rọc là một ñĩa tròn ñồng chất có khối lượng m = 200g, bán kính r = 10 cm. Có thể quay quanh trục
nằm ngang qua tâm. Một dây mảnh có khối lượng không ñáng kể, không dãn, vắt qua ròng rọc, hai ñầu dây gắn
vào hai quả cân A, B khối lượng m
1
= 500 g và m
2
= 400g (Hình 3.4). Lúc ñầu hệ ñứng yên, buông ra cho hai quả
cầu chuyển ñộng lúc t = 0. Lấy g = 10 m/s
2
.


1
P
r

2
T
r

1
T
r

2
T
r

– Tài Liệu luyện Thi ðại Học

19Giải:
1. Dự ñoán chiều chuyển ñộng của hệ.
Nhận thấy P
1
> P
2
nên hệ sẽ chuyển ñộng về phía của vật m
1

Với gia tốc góc và mô men quán tính xác ñịnh theo công thức:
r
a
=
γ
,
2
2
1
mrI =
(4).
Thay (4) vào (3) ta suy ra
2
21
ma
TT =−
(5).
Lấy (1) + (2) ta suy ra
ammgmgmTT )(
212112
+=−+−
(6).
Giải hệ phương trình (5) và (6) ta ñược Gia tốc:
2
21
21
/1
2
)(
smg

22
=+=
.
Bài 4:
Ròng r
ọ
c có kh
ố
i l
ượ
ng m = 0,1 kg phân b
ố

ñề
u trên vành tròn bán kính r = 5 cm quanh tr
ụ
c c
ủ
a nó. m
ộ
t
dây m
ả
nh có kích th
ướ
c không
ñ
áng k
ể
, không dãn v

cho chuy
ể
n
ñộ
ng v
ớ
i v
ậ
n t
ố
c b
ằ
ng không (Hình 3.5 ). L
ấ
y g = 10
m/s
2
.
1. Tính gia t
ố
c c
ủ
a v
ậ
t A,B và gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ

ụ
ng k
ế
t qu
ả
bài trên và
ñể
ý I = mr
2
ta suy ra
2
21
21
/4
)(
smg
mmm
mm
a =
++
−
= ; .
2
/80 srad
r
a
==
γ
.
2.Tìm

11
=−= .
•o

m
1
m
2
Hình 3.5
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

20

NagmT 8,1)(
22
=+= .
Nhận xét:
Bài toán này hoàn toàn gi
ố
ng nh
ư
bài toán trên nh

ế
t qu
ả
c
ủ
a bi
ể
u
th
ứ
c tính gia t
ố
c t
ổ
ng quát ch
ỉ
khác nhau “m
ộ
t chút” thay m/2 b
ằ
ng m trong
bi
ể
u th
ứ
c c
ủ
a gia t
ố
c

n
vào hai v
ậ
t A, B có kh
ố
i l
ượ
ng m
1
= 0,22kg và m
2
= 0,225kg. Lúc
ñầ
u h
ệ

ñứ
ng yên (Hình 3.6). Th
ả
m
2

ñể
m
2

ñ
i xu
ố
ng 1,8 m trong 6 giây. L

3. Tính mô men quán tính c
ủ
a ròng r
ọ
c.
Giải:
1. Tìm gia tốc.
Tìm a:
Áp d
ụ
ng công th
ứ
c:
2
0
2
1
atvs += ta suy ra:
2
22
/1,0
6
8,1.22
sm
t
s
a ===
Tìm
γ
:

ng
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñị
nh lu
ậ
t II niu t
ơ
n cho v
ậ
t m
1
và m
2
ta
ñượ
c
1 1
( ) 2,222
T m g a N
= + = .
2 2
( ) 2,275
T m g a N
= − = .
3. Tìm I.
Áp d

ậ
t có kh
ố
i l
ượ
ng m
1
= 0,5 kg và m
2
= 1,5 kg
ñượ
c n
ố
i v
ớ
i nhau b
ằ
ng m
ộ
t s
ợ
i dây nh
ẹ
, không dãn v
ắ
t
qua ròng r
ọ
c có tr
ụ

và m
2
.
2. Tính
ñộ
d
ị
ch chuy
ể
n c
ủ
a m
2
trên m
ặ
t bàn sau 0,4s k
ể
t
ừ
lúc b
ắ
t
ñầ
u chuy
ể
n
ñộ
ng.

Giải:

amTgm
111
=−

(1).
T
2
= m
2
g (2).
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng trình
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c cho chuy
ể
n
ñộ
ng c
ủ
a ròng r
ọ
c
M = (T

Hình 3.7
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

21

Ta suy ra
2
21
R
a
ITT =−
(4).
L
ấ
y (2) – (1) ta suy ra k
ế
t h
ợ
p v
ớ
i (4) ta suy ra:
2

u khía c
ạ
nh khác nhau:
Tính gia t
ố
c c
ủ
a hai v
ậ
t.
Tính gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c.
Tính l
ự
c c
ă
ng c
ủ
a các dây liên k
ế
t v
ớ
i v
ậ
t.

ñ
i
ể
m khác nhau.
Bài 7: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, ñược liên kết với nhau bằng một dây nhẹ, không dãn,
vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I = 0,050kgm
2
(hình vẽ). Biết dây không trượt
trên ròng rọc. Lúc ñầu, các vật ñược giữ ñứng yên, sau ñó hệ vật ñược thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng
rọc quay quanh trục của nó ñược 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không ñổi. Cho g = 10m/s
2
. Coi ma
sát ở trục ròng rọc là không ñáng kể.

a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
d) Tính hệ số ma sát trượt giữa vật B với bàn. a) Gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c

= 0,63m/s
2
.
c) L
ự
c c
ă
ng c
ủ
a dây
ở
hai bên ròng r
ọ
c:
-
ðố
i v
ớ
i v
ậ
t A: P
A
– T
A
= ma
→
T
A
= mg-ma = 9,17 (N) = T’
A

ðố
i v
ớ
i v
ậ
t B: T
B
– F
ms
= ma
→
F
ms
= T
B
– ma = 5,4 (N)
- H
ệ
s
ố
ma sát tr
ượ
t gi
ữ
a v
ậ
t B và m
ặ
t bàn là:
µ


22

Bài 8:
Cho c
ơ
h
ệ
nh
ư
hình v
ẽ
. Kh
ố
i l
ượ
ng c
ủ
a các v
ậ
t và ròng
r
ọ
c l
ầ
n l
ượ
t là: m
1
= 4kg, m

a m
1
, m
2
và gia t
ố
c góc c
ủ
a ròng r
ọ
c.
b)L
ự
c c
ă
ng c
ủ
a s
ợ
i dây n
ố
i v
ớ
i m
1
và m
2
.
Giải
a) Các l

r
,
2
T
r

Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên ròng r
ọ
c gây ra mô men
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c
quay:
/
1
T
r
,
/
2
T
r


T
2
– m
2
g = m
2
a
2
(2)
Áp d
ụ
ng ph
ươ
ng ph
ươ
ng
ñộ
ng l
ự
c h
ọ
c cho chuy
ể
n
ñộ
ng quay c
ủ
a ròng r
ọ
c ta có:

ừ
(1), (2), (3), (4) ta có:
γ
=
)/(
)11.24.2.(1,0
)15,0.4(10.2
)22(
)sin(2
2
21
21
srad
mmmR
mmg
++
−
=
++
−
α
=
)/(
11
200
2
srad

a
1

g.sin
α
- m
1
a
1
= 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N) • III. Xác ñịnh gia tốc góc của vật rắn trong chuyển ñộng quay quanh một trục cố ñịnh khi mô
men lực tác dụng lên vật thay ñổi.
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác ñịnh gia tốc góc khi vật ở một vị trí ñặc biệt nào
ñó. Vì mô men lực thay ñổi nên gia tốc góc cũng thay ñổi. ðể làm bài tập loại này ta cũng làm
giống như dạng 1 ñó là:
 Xác ñịnh mô men lực tác dụng lên vật
m
1
m
2

α

m
Hình 10
m
1
m
2



Hình 11
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

23

 Áp dụng phương trình ñộng lực học vật rắn chuyển ñộng quay
 Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh ñồng chất OA khối lượng m và chiều dài l có thể quay tự do trong mặt
phẳng thẳng ñứng với trục quay (O) nằm ngang. Ban ñầu thanh ñược giữ nằm ngang rồi thả
cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của ñầu thanh tại thời ñiểm bắt ñầu thả.
Giải
Tại thời ñiểm thả ñể thanh chuyển ñộng (thanh ñang nằm ngang), mô men lực làm
thanh quay là:
2 2
l mgl
M P= =

Áp dụng phương trình ñộng lực học cho chuyển ñộng quay ta có :
M = Iγ →
M
I

thanh không trọng lượng, ñộ dài l
1
+l
2
với l
1
=20cm và l
2
=80cm. Thanh ñược giữ ở vị
trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau ñó ñược buông ra. Tính gia tốc của hai vật
nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt ñầu chuyển ñộng. Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Các l
ự
c tác d
ụ
ng lên m
1
và m
2
nh
ư
hình v
ẽ
13.
Áp d
ụ
ng

(2)
ðố
i v
ớ
i thanh: T
2
l
2
-T
1
l
1
= 0 (3) (do M=I
γ
=0)
M
ặ
t khác:
2
1
2
1
l
l
a
a
=
(4) (do l
1
=a

=
+
−
g
ll
lll
2
2
2
1
2
121
2
/
17
30
sm

a
2
=
=
+
−
g
ll
lll
2
2
2

A O
Hình 12
•

A
O
P
r

Hình 13
•
l
1
l
2
T
1
T
2
P
1
P
2
Hình 15
– Tài Li
ệ
u luy

2
. Hãy tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
c) Tốc ñộ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ ñược 2,0s.
ðáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm
2
; c) 10rad/s
2
.
2. Một thanh mảnh ñồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh một trục thẳng
góc với thanh và ñi qua ñiểm giữa của nó. Tìm gia tốc góc của thanh nếu mô men lực tác dụng lên
thanh là M = 0,1Nm.
ðáp số: γ = 2,25rad/s
2
3. Một trụ ñặc ñồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang trùng với trục của
trụ. Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không ñáng kể. Dầu tự do của ñây có treo
một vật nặng khối lượng M= 20kg. ðể vật nặng tự do chuyển ñộng. Tìm gia tốc của vật nặng và sức
căng của sợi dây.
ðáp số: a = 2,8m/s
2
; T = 140,2N
4. Hai vật khối lượng 2,00kg và 1,5 kg ñược nối với nhau bằng một sợi dây mảnh vắt
qua một ròng rọc gắn ở mép một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng
rọc có mô men quán tính 0,125kg.m
2
và bán kính 15cm. Giả sử rằng dây không
trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở trục ròng rọc là không ñáng kể. Hãy
tính:
a) Gia tốc của 2 vật.

α

Hình 16 m
2
m
1
Hình 17
– Tài Li
ệ
u luy
ệ
n Thi
ðạ
i H
ọ
c

25

6. Một ñĩa tròn ñồng chất khối lượng m = 2kg, bán kính r = 10cm ñang quay ñều quanh một trục vuông
góc với mặt ñĩa với tốc ñộ góc 10rad/s. Tác dụng lên ñĩa một mô men hãm thì ñĩa quay chậm dần ñều, sau
10 s thì ñĩa dừng lại.
a) Tính mô men quán tính của ñĩa
b) Tính ñộ lớn mô men hãm.
ðáp số: a) 0,01(kgm
2
); b) 0,01Nm.

c.
B.

Mômen l
ự
c là
ñạ
i l
ượ
ng
ñặ
c tr
ư
ng cho tác d
ụ
ng làm quay c
ủ
a v
ậ
t.
C.

Mômen l
ự
c
ñượ
c
ñ
o b
ằ

ự
c.
2.
Momen l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t r
ắ
n có tr
ụ
c quay c
ố

ñị
nh có giá tr
ị
:
A.b
ằ
ng không thì v
ậ
t
ñứ
ng yên ho
ặ
c quay
ñề

ủ
a mômen l
ự
c là:
A. N/m B. Niut
ơ
n (N) C. Jun (J) D. N.m
4.
Gia t
ố
c góc
γ
c
ủ
a ch
ấ
t
ñ
i
ể
m
A.
t
ỉ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ

n v
ớ
i momen l
ự
c
ñặ
t lên nó và t
ỉ
l
ệ
ngh
ị
ch v
ớ
i momen quán tính c
ủ
a nó
ñố
i v
ớ
i tr
ụ
c quay.
D.
t
ỉ
l
ệ
ngh
ị

n có th
ể
quay quanh m
ộ
t tr
ụ
c. Momen t
ổ
ng c
ủ
a t
ấ
t c
ả
các ngo
ạ
i l
ự
c tác d
ụ
ng lên v
ậ
t không
ñổ
i. V
ậ
t
chuy
ể
n

ự
c có tác d
ụ
ng làm cho v
ậ
t r
ắ
n quay quanh tr
ụ
c là:
A.

L
ự
c có giá n
ằ
m trong m
ặ
t ph
ẳ
ng vuông góc v
ớ
i tr
ụ
c quay và không c
ắ
t tr
ụ
c quay.
B.

ự
c có giá c
ắ
t tr
ụ
c quay.
7.
V
ậ
t r
ắ
n quay quanh tr
ụ
c (∆) d
ướ
i tác d
ụ
ng c
ủ
a m
ộ
t l
ự
c F có
ñ
i
ể
m
ñặ
t vào

n thì momen l
ự
c:
A. t
ă
ng hai l
ầ
n B. gi
ả
m hai l
ầ
n
C. không
ñổ
i. D. t
ă
ng b
ố
n l
ầ
n.
8.
M
ộ
t momen l
ự
c không
ñổ
i tác d
ụ

ố
?
A. Momen quán tính. B. Kh
ố
i l
ượ
ng.
C. Gia t
ố
c góc. D. T
ố
c
ñộ
góc.
9. ðố
i v
ớ
i v
ậ
t quay quanh m
ộ
t tr
ụ
c c
ố

ñị
nh, câu nào sau
ñ
ây là