Đại số 11 – Chương II
NHĐ
1

C
hương

2

HAI QUI TẮC CƠ BẢN
1. QUI TẮC CỘNG :
 Một công việc nào đó có thể thực hiện theo
một trong hai phương án
A hoặc B. Nếu
phương án A có
m
cách thực hiện , phương án B có
n
cách thực hiện và
không trùng với bất kì
cách nào trong phương án A
thì công việc đó có
m + n
cách thực hiện.


Khi đó công việc có thể thực hiện theo :
1 2 3

k
n n n n
   
cách.
Ví dụ :
Từ thành phố A đến thành phố B có 3 đường bộ và 2 đường thủy. Cần chọn một
đường để đi từ A đến B. Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Để đi từ thành phố A đến thành phố B ta có 2 phương án : đường bộ hoặc đường thủy
Đường bộ : 3 đường có 3 cách chọn.
Đường thủy : 2 đường có 2 cách chọn.
Và 2 phương án này độc lập với nhau. Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả:
3 + 2 = 5 cách chọn.
Ví dụ :
Một nhà hàng có 3 loại rượu, 4 loại bia, 5 loại nước ngọt. Một thực khách cần chọn
đúng một loại thức uống. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
Giải
Thực khách có 3 phương án chọn :
Hoặc chọn rượu : 3 cách chọn
Hoặc chọn bia : 4 cách chọn
Hoặc chọn nước ngọt : 5 cách chọn
Theo qui tắc cộng thực khách có tất cả : 3 + 4 + 5 = 12 cách chọn 1 loại thức uống.
2. QUI TẮC NHÂN:
 Một công việc nào đó có thể bao gồm 2
công đoạn
A và B. Nếu công đoạn A có
m

A
có
2
n
cách thực hiện công đoạn
2
A
, ứng
với mỗi cách trong công đoạn
2
A
có
3
n
cách thực hiện công đoạn
3
A
,…, ứng với mỗi cách trong
công đoạn
1
k
A

có
n
k
cách thực hiện công đoạn
k
A
.

cách đi Hà Nội – Huế - Sài Gòn.
Ví dụ :
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau có thể được tạo thành từ các chữ số
5, 6, 7, 8, 9 ?
Giải
Số cần lập có dạng :
1 2 3 1
,( 0)
a a a a

, để lập được số như thế ta thực hiện các giai đoạn sau :
Chọn
1
a
: chọn một trong 5 số 5, 6, 7, 8, 9 : có 5 cách chọn.
Chọn
2
a
:
1 2

doa a
ta chọn
2
a
từ 4 số còn lại ,với mỗi cách chọn
1
a
có 4 cách chọn
2

Nguyên lí cộng tổng quát cho tập hợp A và B :

A B A B A B
    


Nguyên lí này được lí giải như sau :
do tập A và B có thể có phần chung do đó có thể có
phần tử được đếm đến 2 lần trong
A
và trong
B
nên cần trừ đi một lần trong
A B

.

Ví dụ :
Tập


, , ,1,2,6

A a b c
có 6 phần tử
6

A
,
Tập

bắt đầu bởi 00 hoặc kết thúc bởi 11 ?
Giải
Đặt A là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 bắt đầu bởi 00.
B là tập hợp chứa các xâu nhị phân có độ dài là 10 kết thúc bởi 11.


kết quả cần tính là :
A B A B A B
    

với
8
8
6
2 256
2 256
2 64
A
B
A B
 
 
  

256 256 64 448
A B A B A B
         
xâu nhị phân thỏa yêu cầu bài toán.

Đại số 11 – Chương II

Một cô gái có 6 cái áo, 5 quần dài, 3 cái nón, 2 kẹp tóc, 3 đôi giày, 2 áo khoác; mỗi loại đều
khác nhau. Một bộ trang phục gồm : áo, quần, kẹp, giày, áo khoác; thời gian để thay một bộ trang
phục là 1 phút 30 giây. Hỏi cô có thể có tất cả bao nhiêu bộ trang phục và thời gian ngắn nhất để
thử chúng?
Baøi 7.
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5}. Có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x, y) biết rằng:
a/
,
x A y A
 
b/
{ , }
x y A

c/
, 6
x A y A vaø x y
   
.
ĐS
: a/ 25. b/ 20. c/ 5 cặp.
Baøi 8.
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên thoả:
a) gồm 6 chữ số.
b) gồm 6 chữ số khác nhau.
ĐS: a) 6
6
b) 6!

Baøi 9.

NHĐ
4

Baøi 13.
a/ Từ các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số lẻ có 3 chữ số khác nhau nhỏ
hơn 400?
b/ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau nằm trong
khoảng (300 , 500).
ĐS
: a/ 35. b/ 24.
Baøi 14.
Hỏi tỉnh Tiền Giang có thể có tất cả bao nhiêu bảng số xe trên 50 phân khối ?
Baøi 15.
Một lớp có 40 học sinh đăng kí choi ít nhất một trong hai môn thể thao bóng đá và cầu
lông. Có 30 em đang kí bóng đá, 25 em đang kí cầu lông. Hỏi có bao nhiêu em đang kí cà hai
môn?
Baøi 16.
Trong một lớp có 30 học sinh, trong đó có 18 em giải Toán, 14 em giỏi Văn và 10 em không
gỏi môn nào. Hỏi có bao nhiêu em giỏi cả Toán lẫn Văn?
HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP I. HOÁN VỊ :

Định nghĩa :
Cho tập A gồm
n

. -1 2.1 !
n
P n n n
 

- Qui ước :
0! 1

.

Ví dụ :
Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào một bàn dài có 3 chỗ ngồi ?
Giải
Cần sắp xếp 3 bạn vào 3 chỗ vậy mỗi cách sắp là hoán vị của 3 phần tử, có tất
cả
3
1.2.3 3! 6
P
  
cách sắp.
Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Ví dụ :
Có bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các số 2, 6, 7, 9 ?
Giải
Mỗi số được thành lập là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy ta có tất cả là :
4
4! 24
P
 
(số).

Vị trí tương đối giữa các đại biểu hoàn toàn không đổi nếu ta hoán vị vòng họ theo một chiều
nhất định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB là như nhau ) nghĩa là trong các
hoán vị vòng không có phần tử nào là cuối cùng hoặc phần tử thứ nhất. Vậy số cách sắp xếp là :
 
-1
!
-1 !
n
n
n P
n
 
.
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
5Ví dụ :
Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ?
Giải
Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo cả hai chiều theo 2n cách khác nhau mà đa giác vẫn không
thay đổi nên số đa giác là :


-1
-1 !
2 2
n
n

 

   
 
!
. -1 - 1
- !
k
n
n
A n n n k
n k
  

- Chú ý :
Mỗi hoán vị n phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Vì
vậy :
n
n n
P A
Ví dụ :
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, … 9 ?
Giải
Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy 5 chữ số khác nhau từ chín
chữ số đã cho và xếp theo một thứ tự nhất định. Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập 5
của 9. Vậy có tất cả
5

 
.Tuy vậy tập hợp không
có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

Số các tổ hợp :
Kí hiệu
k
n
C
là số các tổ hợp chập
k
của
n
phần tử


0
k n
 
, ta có :
 
!
! - !
k
n
n
C
k n k



1,2,3,4,5
A

. Có bao nhiêu tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A ?
Giải
Có tất cả
 
3
5
5!
10
3! 5 3 !
C
 

tổ hợp chập 3 của 5 phần tử của A.
Các tổ hợp đó là :














C
cách chọn
Chọn 2 người từ 4 người nữ : có
2
4
C
cách chọn
Theo nguyên tắc nhân có tất cả
3 2
6 4
. 120
C C 
cách lập đoàn.
IV. CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP :
1. Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp
số 0 đứng đầu trong bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác của bài toán… ).
2.
Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp :

Ta thường bị lẫn lộn giữa tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác nhau cơ bản là
sắp xếp có thứ

Đối với câu b :
theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, nếu ta đổi lại tổ được
chọn là B, C, A ta được ban cán sự mới là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so
với tổ ban đầu

chỉnh hợp.

Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp :

!
k k
n n
A k C

ta còn có thể giải bài toán
đếm bằng cách "
chọn và sắp
".
Lấy lại ví dụ ở trên :
Một lớp có 37 người, chọn ra một tổ 3 người để :
a) Phân công trực nhật lớp
b) Bầu ban cán sự : 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 thủ quĩ.
Giải
a) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có :
3
37
C
cách
Sau đó ta sắp 3 người được chọn để thành lập 1 tổ : có 1 cách sắp duy nhất.
Vậy ta có tất cả : 1.

để sắp xếp.
- Các phần tử
xếp không
có thứ tự.

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
7

b) Đầu tiên ta chọn 3 người tùy ý trong 37 người có :
3
37
C
cách
Sau đó ta sắp 3 người được chọn vào 3 chỗ để thành lập 1 tổ : có 3! cách sắp.
Vậy ta có tất cả : 3!.
3
37
C
= 46620 (cách).
3. Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :


Tính trực tiếp
: tính thẳng yêu cầu bài toán nêu ra


Tính gián tiếp
: đôi khi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có
nhiều khả năng có thể xảy ra người ta thường nghĩ ngay đến phương pháp tính gián tiếp. Cách

cách xếp A đứng cạnh B.
Toàn bộ có 5! = 120 cách xếp
Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách.
4. Phương pháp tạo vách ngăn :
Khi bài toán yêu cầu sắp xếp hai hoặc nhều phần tử
không
đứng cạnh nhau
chúng ta có thể tạo ra các “vách ngăn” trước khi sắp xếp
Ví dụ :
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy không được đứng
cạnh nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải
Trước hết ta xếp 6 học sinh thành hàng ngang : có 6! cách. Khi đó mỗi học sinh đóng vai trò
là một vách ngăn và tạo nên 7 vị trí để xếp 2 thầy. Xếp 2 thầy vào 7 vị trí: có
7
2
A
cách.
Vậy có tất cả : 6!.
7
2
A
= 30240 cách.
5.Phương pháp buộc các phần tử :
Khi cần xếp 2 hay nhiều phần tử luôn đứng cạnh nhau ta
buộc chúng lại thành một nhóm và coi như là một phần tử.
Ví dụ :
Có 6 học sinh và 2 thầy giáo được xếp thành hàng ngang, 2 thầy luôn đứng cạnh
nhau. Hỏi có bao nhiêu cách xếp?
Giải

1320
A 
cách
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là :
720.1320 950400

cách
Lời giải 2 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
120
C 
cách
- Chọn 3 nữ trong 12 nam : có
3
12
220
C 
cách
Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là :
120.220 26400

cách

Lời giải 3 :
- Chọn 3 nam trong 10 nam : có
3
10
120

220
C 
cách
Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là :
120.220 26400

cách
Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép các đôi này với nhau ( là số hoán vị 3 học sinh
nam hoặc 3 học sinh nữ ).
Vậy có tất cả là :
3 3
10 12
3!. . 6.120.220 158400
C C  
cách.
Phân tích
Lời giải 1 :
là
lời giải sai
vì bài toán không yêu cầu thứ tự khi chọn ra các học sinh.

Lời giải 2 :

lời giải sai
chọn ra 6 học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng nhưng bài toán
chưa dừng lại ở đó mà cần đưa ra kết quả là số cách ghép đôi.

Lời giải 3 :

lời giải sai

Vậy ta có tất cả :
2
4
5. 5.6 30
C
 
cách chọn.
Lời giải 3 : Chọn 3 bạn trong 5 bạn là số chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Số cách chọn là :
3
5
10
C

cách.
Phân tích
Lời giải 1 : đây là
lời giải sai
, ở đây ta đã sắp đặt thứ tự cho việc chọn ra 3 bạn trong khi đề bài
không yêu cầu dẫn đến kết quả đếm bị trùng nhau, ví dụ :
Đầu tiên chọn một bạn trong 5 bạn ta có 5 cách chọn
- Giả sử lần đầu ta chọn A, lần 2 ta chọn B, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là A,
B, C.
- Giả sử lần đầu ta chọn B, lần 2 ta chọn A, lần 3 ta chọn C thì kết quả 3 bạn được chọn là B,
A, C. Do yêu cầu bài toán là chỉ cần chọn ra 3 bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên
kết quả A, B, C và B, A, C là như nhau, vì vậy cách chọn sẽ bị trùng.

Lời giải 2 :
lời giải sai
, chọn 2 bạn trong 4 bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác nhưng ở đây
ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nhất nên kết quả là sai.

6
15
C
cách chọn.
Vậy có tất cả :
2 4
15 30
C C
+
3 3
15 30
C C
+
4 2
15 30
C C
+
5 1
15 30
C C
+
6
15
C
= 5413695 cách chọn.

Lời giải 2 : Tính gián tiếp :
- Chọn 6 học sinh bất kì : có
6
45

2
15
C
cách chọn.
- Bước 2 : chọn 4 bạn còn lại trong 43 bạn có
4
43
C
cách chọn.
Khi đó 6 bạn được chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít nhất 2 bạn nữ.
Vậy có tất cả :
2
15
C
.
4
43
C
= 12958050 cách chọn.
Phân tích
Lời giải 1 +2 :
đều là
lời giải đúng
.
Lời giải 3 :
là
lời giải sai
. Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn nhưng
trong lời giải mắc phải sai lầm. Chọn 2 bạn nữ và 4 bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác nhưng kết
quả lại sai.

nhiêu đề kiểm tra ? ”
Giải

Loại 1 : chọn 10 câu tùy ý trong 20 câu có
10
20
C
cách.

Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá 2 trong 3 loại dễ, trung bình và khó).
- Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình trong 16 câu có
10
16
C
cách.
- Trường hợp 2 : chọn 10 câu dễ và khó trong 13 câu có
10
13
C
cách.
- Trường hợp 3 : chọn 10 câu trung bình và khó trong 11 câu có
10
11
C
cách.
Vậy có tất cả


10 10 10 10
20 16 13 11

16
C
cách.
- Trường hợp 4 : chọn 7 câu dễ và khó trong 13 câu có
7
13
C
cách.
- Trường hợp 5 : chọn 7 câu trung bình và khó trong 11 câu có
7
11
C
cách.
Vậy có


7 7 7 7 7
20 9 16 13 11
1 63997
C C C C C     
đề kiểm tra. A-F C-D-E-B

A-F-C-D-E-B

A-B-C-D-E-F
C-D-E-F
A-B

7 7 7 7
20 16 13 11
64034
C C C C   
đề kiểm tra.
Lời giải 3 :

Loại 1: chọn 7 câu tùy ý trong 20 câu có
7
20
C
cách.


Loại 2: chọn 7 câu không thỏa yêu cầu.
- Trường hợp 1 : 7 câu chọn ra chỉ có 1 loại :
7 7
9 7
C C

( là một loại dễ hoặc trung bình ).
- Trường hợp 2 : 7 câu chọn ra có đủ hai loại :
* Dễ và trung bình :


7 7 7
16 9 7
C C C
 
( trong 16 câu dễ và trung bình thì khi chọn ra 7 câu thì 7

2 : Trường hợp 1 và Trường hợp 2 số lần đếm bị trùng nhau ( 7 câu toàn dễ đều xuất hiện trong 2
trường hợp).
Lời giải 3 : lời giải đúng.
Baøi 1.
Có bao nhiêu hoán vị của tập hợp


, , , , ,
a b c d e f
mà phần tử cuối là a?
Baøi 2.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a) Bắt đầu bằng chữ số 5? b) Không bắt đầu bằng chữ số 1?
c) Bắt đầu bằng 23? d) Không bắt đầu bằng 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

Baøi 3.
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số
đó có bao nhiêu số:
a/ Bắt đầu bởi chữ số 9? b/ Không bắt đầu bởi chữ số 1?
c/ Bắt đầu bởi 19? d/ Không bắt đầu bởi 135?
ĐS: a/ 24. b/ 96. c/ 6 d/ 118.
Baøi 4.
Trên một kệ sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách
đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên:
a) Một cách tuỳ ý? b) Theo từng môn? c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

ĐS: a) P

ĐS: a/ 86400. b/ 2903040.
Baøi 10.
Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi
nếu:
a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?
b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?
ĐS: a/ 34560. b/ 120960.
Baøi 11.
Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này
bằng 9.
ĐS
: 18.
Baøi 12.
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các số
đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS
: 480.
Baøi 13.
Từ 20 học sinh cần chọn ra một ban đại diện lớp gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 1 thư ký.
Hỏi có mấy cách chọn?
ĐS
: 6840.
Baøi 14.
Trong không gian cho 4 điểm A, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các vectơ khác vectơ –
không. Hỏi có thể có được bao nhiêu vectơ?
ĐS:
2
4
A
= 12 vectơ

b/ Có 3 cầu thủ bị chấn thương và nhất thiết phải bố trí cầu thủ A đá quả số 1 và cầu thủ B đá
quả số 4.
ĐS
: a/ 55440. b/ 120.
Baøi 18.
Một cuộc khiêu vũ có 10 nam và 6 nữ. Người ta chọn có thứ tự 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp.
Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: Có
3 3
10 6
.
A A
cách
Baøi 19.
Một người muốn xếp đặt một số pho tượng vào một dãy 6 chỗ trống trên một kệ trang trí.
Có bao nhiêu cách sắp xếp nếu:
a/ Người đó có 6 pho tượng khác nhau?
b/ Người đó có 4 pho tượng khác nhau?
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
13

c/ Người đó có 8 pho tượng khác nhau?
ĐS
: a/ 6!. b/ 360. c/ 20160.
Baøi 20.
Từ các chữ số 0, 1, 2, …, 9, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số:
a) Các chữ số khác nhau?
b) Hai chữ số kề nhau phải khác nhau?

ĐS: a)

6
A
số
 Nếu a  5 thì a có 5 cách chọn. Số 5 có thể đặt vào 1 trong các vị trí b, c, d, e  có 4 cách
chọn vị trí cho số 5. 3 vị trí còn lại có thể chọn từ 5 chữ số còn lại  có
3
5
A
cách chọn.
 Có
4 3
6 5
4.5.
A A

= 1560 số

Baøi 22.
Với 6 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số có 5 chữ số khác nhau và thoả:
a/ Số chẵn. b/ Bắt đầu bằng số 24. c/ Bắt đầu bằng số 345.
d/ Bắt đầu bằng số 1? Từ đó suy ra các số không bắt đầu bằng số 1?
ĐS
: a/ 312. b/ 24. c/ 6. d/ 120 ; 480.
Baøi 23.
a/ Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau và chia
hết cho 3.
b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số khác nhau sao cho trong
các chữ số đó có mặt số 0 và số 1.
(HVCN Bưu chính Viễn thông, 1999)
c/ Từ 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau trong

b)
1 3
25 15
.
C C
c)
2 2
25 15
.
C C
d)
1 3 2 2 3 1 4
25 15 25 15 25 15 25
. . .
C C C C C C C
  
e)
4 4 4
40 25 15
C C C
 

Baøi 28.
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (các bông hoa xem như đôi
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
14

một khác nhau), người ta muốn chọn ra một bó hóa gồm 7 bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn bó
hoa trong đó:

(ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)

Baøi 31.
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu cách chia số học
sinh đó thành hai tổ, mỗi tổ 8 học sinh sao cho mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai
học sinh khá.
ĐS
: 37
Baøi 32.
Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt nhau từng đôi một, nhưng không có 3 đường nào
đồng quy. Hỏi có bao nhiêu giao điểm? Có bao nhiêu tam giác được tạo thành?

ĐS:  Số giao điểm:
2
( 1)
2
n
n n
C



 Số tam giác:
3
( 1)( 2)
6
n
n n n
C
 

-5051
Baøi 35.
Một tổ bộ môn trường có 10 giáo viên nam và 15 giáo viên nữ. Có bao nhiêu cách thành
lập một hội đồng gồm 6 ủy viên của tổ bộ môn, trong đó số ủy viên nam ít hơn số ủy viên nữ?
Đs: 96460.

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
15

MỘT SỐ CÔNG THỨC QUAN TRỌNG Giai thừa :
 n! = 1.2.3…n
 n! = (n–1)!n

!
!
n
p



Đối với
k
n
A
điều kiện là:
k ,n
1 k n



 


Đối với
k
n
C
điều kiện là:
k ,n
0 k n




 

 

 
 
Baøi 1.
Rút gọn các biểu thức sau:  


 




 
7 !4 ! 8! 9!
A
10! 3! 5! 2!7 !
B =
7!4! 8! 9!
10! 3!5! 2!7!
 

; C = 20
Baøi 2. Rút gọn các biểu thức sau:
A =
2 5
5 10
2 5
7
A A
P P

B =
1 2 3 4
1 2 2 3 3 4 4 5 1 2 3 4
P A P A P A P A P P P P
   

C =
12 11
10 9
49 49
17 17
10 8
49 17
A A
A A
A A
 
 D =
2
5 4 3 2

2
10 10 11
1
1
C C C A
P
C C C
  

  ĐS: A = – 165, B = 4

Baøi 4.
Rút gọn các biểu thức sau:
S =
2 3
. .
n n n
n n n
C C C
P =
C C C
C
8 9 10
15 15 15
10
17
2 

1
6
x x
x
P P
P



ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3
Baøi 7.
Giải các phương trình sau:
a)
3
20
n
A n

b)
3 2
5
n n
A A

= 2(n + 15) c)
2 2
2


) = P
n+1
c)
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A
  ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3

Baøi 9.
Giải các phương trình:
a/
10 9 8
9 .
x x x
A A A
 
b/
2 2
. 72 6( 2 )
x x x x
P A A P
  

c/
2 2

4
15
( 2)! ( 1)!
n
A
n n


 
b)
4
2
2 1
143
0
4
n
n n
A
P P

 
 ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) 2  n  36

Baøi 11.
Giải các bất phương trình:
a)

+ n – 42 > 0  n  6
b) đk: n  5, n
2
– 9n – 22 < 0  n = 6; 7; 8; 9; 10
Baøi 12.
Giải các phương trình và bất phương trình:
a/
2 3
1 1
2 7( 1)
x
x x
C C x

 
  
b/
3 2
14 .
x
x x
A C x

 

c/
5
5
2
336.

4
n n n
C C A
  
  
f/
3
1
4
3
1
1
14
n
n
n
C
P
A



 .
g/
2 2
1
2 3 30.
x x
C A


x
y
y x
y
x
x
A
C
P
P





 




b)
1 1
1
: : 6:5:2
y y y
x x x
C C C
 





b)
8
3
x
y





c)
17
8
x
y






Baøi 14.
Giải các phương trình và hệ bất phương trình:
a/
2 5 90
5 2 80
y y
x x





ĐS
: a/ x = 5, y = 2. b/ x = 4, y = 8.
Baøi 15.
Chứng minh rằng:
a) P
n
– P
n–1
= (n–1)P
n–1
b)
1 2 2 1
( 1) ( 2) 2 1
n n n
P n P n P P P
 
       

d)
2
1 1
! ( 1)! ( 2)!
n
n n n
 
 

 (k  p  n) b)
1
1
r r
n n
n
C C
r




Baøi 17.
Chứng minh các hệ thức sau:
a)
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C
  

  
b)
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n

1
1
1
p p
n n
n
C C
p




c)
2
2
( 1) ( 1)
k k
n n
k k C n n C


  
( 2 < k < n)


3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: T
k+1
=
k n k k
n
C a b

( k =0, 1, 2, …, n)
4) Các hệ số của các cặp số hạng cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau:
k n k
n n
C C



5)
0
1
n
n n
C C
 
,
1
1
k k k
n n n
C C C



n n n
C x C x C

   

0 1
( 1) 0
n n
n n n
C C C
    
Baøi 1.
Viết 3 số hạng đầu tiên theo lũy thừa tăng dần của x trong các đa thức sau :
a)
 









 
10
1








 
20
1
3
x

Baøi 3.
Tìm
a) Số hạng thứ 4 trong khai triển



10
2
a x

b) Số hạng thứ 6 trong khai triển



9
1 2
x

 
b)
12
2
4
1
x
x
 

 
 
c)
5
3
2
1
x
x
 

 
 
d)
6
2
1
x
x
 

b)
31 7 29 8
8 9
6435 . , 6435 . .
T x y T x y
  

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
19

Baøi 6.
a/ Tìm số hạng thứ 6 của khai triển
15
1
.
x
x
 

 
 

b/ Tìm số hạng chứa a
7
trong khai triển
12
3
2
3 2

.
e/ Tìm hạng tử độc lập với x trong khai triển
16
3
1
.
x
x
 

 
 ĐS
: a/
5
6 15
.
T C

b/
7 30
924 .2 .
a


c/
15 30 15
16 30

tổng các hệ số của các hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba
là 46. Tìm hạng tử khôn g chứa x.
c/ Cho biết tổng của 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai triển
2
2
3
n
x
 

 
 
là 97. Tìm hạng
tử của khai triển chứa x
4
.
ĐS: a/ n = 11 b/ n = 9 ; 84. c/ n = 8; 1120x
4
.
Baøi 8.
Tính các tổng sau :
a)
    
0 1 2 6
6 6 6 6
.
S C C C C

b)
    

0 2 4
2

n n n
S C C C
   

c/
1 3 5
3

n n n
S C C C
   
d/
0 1 2 2
4
2 2 2 2 .
k k n n
n n n n n
S C C C C C
      

e)
    
0 1 2 2
2 2 2 2
.
n
n n n n

          
0 2 4 2 1 3 5 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2

n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C

Baøi 12.
Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
0 1 2 2
6 6 6 7
n n n
n n n n
C C C C
    
b)
17 0 1 16 1 17 17 17
17 17 17
3 4 .3 . 4 7
C C C   

Đại số 11 – Chương II
NHĐ
20ĐS: a) Khai triển (1+x)
n

 Giao hai biến cố: A  B (hoặc A.B)
 Hai biến cố xung khắc: A  B = 
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra
biến cố kia.

2. Xác suất :
 Xác suất của biến cố: P(A) =
( )
( )
n A
n


 0  P(A)  1; P() = 1; P() = 0

Qui tắc cộng:
Nếu A  B =  thì P(A  B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
 P(
A
) = 1 – P(A)

Qui tắc nhân:
Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B) Baøi 1.
Gieo một đồng tiền hai lần và gọi A là biến cố có ít nhất một lần xuất hiện là mặt sấp. Tính
n(), n(A).
Baøi 2.

8
25
C

Baøi 5.
Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
Đại số 11 – Chương II
NHĐ
21

a) Tổng hai mặt xuất hiện bằng 7.
b) Các mặt xuất hiện có số chấm bằng nhau.
ĐS: a)

1
6
b)
1
6

Baøi 6.
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một
viên bi, rồi lấy tiếp một viên nữa. Tính xác suất của biến cố lần thứ hai được một viên bi xanh.
ĐS:
5
8

Baøi 7.
Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên 4 viên
bi. Tính xác suất để được ít nhất 3 viên bi xanh.

11
36
d)
25
36

Baøi 10.
Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất. Tính xác suất của biến cố:
a) Cả 4 đồng xu đều ngửa.
b) Có đúng 3 đồng xu lật ngửa.
c) Có ít nhất hai đồng xu lật ngửa.
ĐS: a)
1
16
b)
1
4
c)
11
16

Baøi 11.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng.Tính xác
suất để lấy được:
a) ít nhất 2 bóng tốt b) Không bóng tốt.
Baøi 12.
Một lớp học gồm 20 học sinh trong đó có 6 học sinh giỏi Toán, 5 học sinh giỏi Văn và 4 học
sinh giỏi cả 2 môn. GVCN chọn ra 3 em. Tính xác suất để 3 em đó là học sinh giỏi.
Baøi 13.
Một hộp có 20 quả cầu giống nhau, trong đó có 12 quả cầu trắng và 8 quả cầu đen. Lấy

c)
1
6

Baøi 18.
Thảy một con súc sắc hai lần. Tính xác suất của biến cố :
a) A: lần đầu là một nút lẻ, lần sau lớn hơn 2.
b) B: hai lần có tính chẵn lẻ khác nhau.
Đs: a)

1
3
b)
1
2

Baøi 19.
Một hộp bóng đèn có 12 bóng, trong đó có 7 bóng tốt. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng. Tính xác
suất để lấy được :
a) Ít nhất hai bóng tốt
b) Ít nhất một bóng tốt
Đs: a)

7
11
b)
21
22

Baøi 20.