Chương 3
TÍNH TẤM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
Trong chương này giới thiệu 04 kiểu phần tử: phần tử tam giác 03 nút, 09
chuyển vị nút; phần tử chữ nhật 04 nút, 12 chuyển vị nút; phần tử đồng tham số
tứ giác 04 nút, 12 chuyển vị nút và phần tử chữ nhật 04 nút, 16 chuyển vị nút trên
nền đàn hồi biến dạng cục bộ 02 hệ số.
3.1. PHẦN TỬ TẤM KIỂU TAM GIÁC 03 NÚT, 09 CHUYỂN VỊ NÚT
Xét phần tử tấm mỏng không tương thích kiểu tam giác 03 nút theo giả thiết
Kirchhoff, hình 3-1.
Hình 3-1. Phần tử tấm không tương thích kiểu tam giác 03 nút.
Tại mỗi nút có 03 thành phần chuyển vị, ví dụ tại nút
i
(
1 3i = ÷
): chuyển vị
pháp tuyến
i
w
và các chuyển vị xoay quanh trục
x
và
y

θ
xi
i
w
y
 
∂
=

w w w w w w
q w w w
y x y x y x
 
     
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
     
= − − −
 
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
     
 
     
 
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
e
q q q q q q q q q q=
(3.1)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
e
R R R R R R R R R R=
(3.2)
3.1.1. Ma trận độ cứng

2 2 3 2 2 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y
 
= + 
 
 
(3.5)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9
T
α = α α α α α α α α α
(3.6)
Để xác định ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
cần biểu diễn
{ }
α
qua
{ }
e
q
. Ký hiệu
,
i i
x y
là tọa độ tại nút
1 3i
= ÷

2 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1
0 0 1 0 2 0 2 3
0 1 0 2 0 3 (2 ) 0
1
0 0 1 0 2 0 2 3
0 1 0 2 0 3 (2 ) 0
1
x y x x y y x x y x y y
x y x x y y
x y x x y y
x y x x y y x x y x y y
A
x y x x y y
x y x x y y
x y x x y y x x y x y
+
+
− − − − − +
+
=
+
− − − − − +
+
2 3
3
2 2
3 3 3 3 3 3
2 2

, q
e e
e
U w x y B= =
(3.9)
Từ (3.9), chú ý đến (3.7) và (3.4):
{ } ( )
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ } ( ) { }
, ,
e e
e e
U w x y B q B A P x y= = = α = α 
 
rút ra ma trận hàm dạng
[ ]
e
B

[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=  

{ }
2 2 2
2 2
2
T
T
x y xy
w w w
z z z
x y x y
 
∂ ∂ ∂
ε = ε ε γ = − − −
 
∂ ∂ ∂ ∂
 
(3.12)
Từ (3.11):
{ }
( )
( )
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2

 
 
ε = − = − =
 
 
∂
 
 
∂
 
 
 
∂ ∂
 
 
(3.13)
rút ra, ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
:
[ ] [ ]
1
.
e
e
D z D A
−
 
= −

 
 
 
∂
 
 
 
∂  
 
 
 
 
= =
 
 
 
∂
 
 
+
 
 
∂
 
 
 
∂ ∂
 
 
(3.15)

e
E
E
 
 
µ
 
= µ
 
−µ
 
−µ
 
 
 
(3.16)
Thay (3.14) vào công thức xác định
[ ]
e
K
:
50
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
/2
1 1
2
/2
h

− −
 
   
=
 ÷
   
 
∫
dưới dạng rút gọn:
[ ] [ ]
( )
[ ] [ ]
1 1
T
e
K A TG A
− −
=
(3.17)
trong đó:
[ ] [ ]
T
t
e e
S
TG D E D dxdy
   
=
   ∫
(3.18)

 
(3.19)
3.1.2. Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định bằng công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
/2
/2
h
T T T
e e e e e e e
V h S S
M B B dV dz B B dxdy h B B dxdy
−
= ρ = ρ = ρ
∫ ∫ ∫ ∫
(3.20)
trong đó:
ρ
- khối lượng vật liệu phần tử trên một đơn vị thể tích;
[ ]
e
B

1 1 1 2 2 2 3 3 3
T
z x y z x y z x y
e
R P M M P M M P M M=
(3.22)
Với
zi
P
và
,
xi yi
M M
là lực tập trung và mô men tập trung quay quanh trục
x, trục y tại nút
i
,
1 3i
= ÷
.
3.1.4. Ma trận chuyển toạ độ
[ ]
e
T
Đối với phần tử tam giác, thường hệ tọa độ địa phương không trùng với hệ
tọa độ chung nên phải chuyển ma trận độ cứng
[ ]
e
K
, ma trận khối lượng

 
=
 
 
 
(3.23)
Do trục Oz và O’z’ cùng phương, cùng chiều và theo thứ tự sắp xếp chuyển
vị tại nút, ma trận cô sin chỉ phương
[ ]
L
có dạng (3.24). Góc
α
giữa trục OX (hệ
tọa độ địa phương) và trục O’X’ (hệ tọa độ chung), được qui ước dương nếu
quay ngược chiều kim đồng hồ, hình 3-1.
[ ]
, ' , ' , '
, ' , ' , '
, ' , ' , '
( , ') ( , ') ( , ') 1 0 0
( , ') ( , ') ( , ') 0
( , ') ( , ') ( , ') 0
z z z x z y
x z x x x y
y z y x y y
n l m cos z z cos z x cos z y
L n l m cos x z cos x x cos x y cos sin
n l m cos y z cos y x cos y y sin cos
 
   

A q P A q
x x
− −
∂  
∂
 
= =
∂ ∂
(3.25)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
y
e e
P x y
w
A q P A q
y y
− −
∂  
∂
 
 

[ ] [ ]
0 0 0 2 0 0 6 2 0
x
P x y=
(3.28)
[ ]
0 0 0 0 0 2 0 2 6
y
P x y
 
=
 
(3.29)
[ ]
0 0 0 0 1 0 0 2 2 0
xy
P x y
 
= +
 
(3.30)
Thay vào công thức xác định nội lực theo (1.12)
÷
(1.14):
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1

∂ ∂
 
= − + µ = + µ
 
 
∂ ∂
 
(3.32)
( ) ( )
[ ]
{ }
2
1
1 1
xy p p xy
e
w
M D D P A q
x y
−
∂
 
= − −µ = − −µ
 
∂ ∂
(3.33)
3.2. PHẦN TỬ TẤM KIỂU CHỮ NHẬT 04 NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT
Xét phần tử tấm mỏng không tương thích kiểu chữ nhật 04 nút, 12 chuyển
vị nút theo lý thuyết Kirchhoff, hình 3-2.
Hình 3-2. Phần tử tấm không tương thích kiểu chữ nhật 04 nút.

∂

y
w
x
∂
θ = −
∂
(3.34)
Véc tơ chuyển vị nút và véc tơ lực nút của phần tử trong hệ tọa độ địa
phương:
{ }
{ }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
e
q q q q q q q q q q q q q=
(3.35a)
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
x y x y x y x y
e
q w w w w= θ θ θ θ θ θ θ θ
(3.35b)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
e

trong đó:
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng
( )
2 2 3 2 2 3 3 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y x y xy
 
= 
 
 
(3.39)
{ } { }
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
T
α = α α α α α α α α α α α α
(3.40)
Tương tự như đối với phần tử tam giác, quan hệ giữa chuyển vị nút
{ }
e
q
và
{ }
α
có dạng:
{ }
[ ]
{ }
e

3
3
3
4
4
4
1
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
1
x
y
x
y
x
y
x
y
w
x y x x y y x x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y y
w
x y x x y y x
w
w
 
 
θ
 

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 3 2 2 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 3 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
1
0 0 1 0 2 0 2 3 3
0 1 0 2 0 3 2 0 3
x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y y
x y x x y y x x y x y y x y x y
x y x x y y x x y
x y x x y y x y
− − − − − − − −
− − − − − − −
1
2
3
4
5
6
7
8
3
9

α
 

 

α
 

α

 

 
α

 

α
 

 
α
−

 

 
α

 

{ } ( ) { }
,
e
B A P x yα = α 
 
rút ra,
[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=  
 
(3.43)
54
Chú ý đến (3.38a), hàm chuyển vị có dạng khác:
{ } ( )
[ ]
{ } ( )
[ ]
{ }
1
, ,
e e e
e
U w x y B q P x y A q
−

e
e
P x y
x
P x y
z D A
y
P x y
x y
 
∂
 
 
 
∂
 
 
∂  
 
 
ε = − α = α
∂
 
 
∂
 
 
 
 
∂ ∂

 
 
∂
 
 
∂  
 
 
 
= − = −
 
∂
 
 
∂
 
 
 
 
∂ ∂
 
(3.45)
( )
( )
( )
[ ]
2
2
2
1

 
 
∂
 
 
 
 
∂ ∂
 
(3.46)
Ma trận độ cứng của phần tử xác định theo công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ] [ ]
0
T
e e e e
V
K D E D dV=
∫
trong đó, ma trận
[ ]
o
e
E
là ma trận đặc trưng đàn hồi của vật liệu trong trạng thái
ứng suất phẳng xác định theo (3.16).
Thay (3.45) vào công thức xác định
[ ]
e
K
, nhận được:

e
M
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử trong hệ tọa độ địa phương được xác
định theo công thức tổng quát:
[ ] [ ] [ ]
T
e e e
V
M B B dV= ρ
∫
Khai triển tích phân:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
/2
/2
h
T T
e e e e e
h S S
M dz B B dxdy h B B dxdy
−
= ρ = ρ
∫ ∫ ∫
(3.48)
trong đó,
[ ]
e

(3.49a)
{ }
{ }
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
T
z x y z x y z x y z x y
e
R P M M P M M P M M P M M=
(3.49b)
trong đó:
zi
P
- lực nút tập trung tại nút
i
với
1 4i
= ÷
;
xi
M
,
yi
M
- mô men tập trung quay quanh trục x, trục y tại nút
i
.
Trong trường hợp phần tử có chiều dài cạnh dọc trục
x
và trục
y

tam giác, từ (3.38b):
( )
[ ]
{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
1 1
2 2
,
x
e e
P x y
w
A q P A q
x x
− −
∂  
∂
 
= =
∂ ∂
(3.51)
( )
[ ]
{ }
[ ]
{ }
2

P x y
w
A q P A q
x y x y
− −
∂  
∂
 
 
= =
 
∂ ∂ ∂ ∂
(3.53)
Thay vào (1.12)
÷
(1.14)
[ ]
( )
[ ]
{ }
2 2
1
2 2
x p p x y
e
w w
M D D P P A q
x y
−
 

( ) ( )
[ ]
{ }
2
1
1 1
xy p p xy
e
w
M D D P A q
x y
−
∂
 
= − −µ = − −µ
 
∂ ∂
(3.56)
3.3. PHẦN TỬ ĐỒNG THAM SỐ KIỂU TỨ GIÁC 4 NÚT, 12 CHUYỂN VỊ NÚT
Các phần tử đơn giản như kiểu tam giác, chữ nhật không đáp ứng được các
yêu cầu của bài toán trong trường hợp khi rời rạc hóa kết cấu, phần tử không có
dạng tam giác, chữ nhật. Điều đó dẫn đến sự phát triển các phần tử đồng tham số.
Những phần tử này được dùng rộng rãi trong các bài toán 02 chiều, 03 chiều, bài
toán tính tấm, vỏ, kết cấu có biên cong.
Phần tử đồng tham số được khảo sát trong hệ tọa độ tự nhiên.
3.3.1. Ma trận hàm dạng
[ ]
e
B
Phần tử tấm đồng tham số tứ giác 4 nút là phần tử mà chuyển vị và hình học

1
i i
i
y N y
=
=
∑
(3.57)
Tại điểm bất kỳ trong phần tử có 03 thành phần chuyển vị là: chuyển vị
pháp
w
và chuyển vị
x
θ
xoay quanh trục X và chuyển vị
y
θ
xoay quanh trục Y
57
cũng được xác định qua hàm nội suy
i
N
và các chuyển vị thẳng
i
w
, chuyển vị
xoay
xi
θ
,

θ = θ
∑
(3.58)
Hình 3-3. Phần tử tứ giác 4 nút đồng tham số.
Hàm nội suy
i
N
,
1 4i = ÷

có dạng:
( ) ( )
1
1 . 1 .
4
i i i
N r r s s= + +
(3.59)
trong đó,
i
r
,
i
s
là tọa độ tự nhiên tại nút
i
. Tại các nút
1 4i
= ÷
có tọa độ tự nhiên:


( ) ( )
3
1 1
4
r s
N
+ +
=

( ) ( )
4
1 1
4
r s
N
− +
=

(3.60)
Hàm chuyển vị có dạng tổng quát:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
U B q=
(3.61)
trong đó:
{ }

N N N N
B N N N N
N N N N
 
 
=
 
 
 
(3.64)
58
3.3.2. Ma trận biến dạng-chuyển vị
[ ]
e
D
Ma trận biến dạng - chuyển vị
[ ]
e
D
được xác định từ công thức tổng quát
theo PP PTHH:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
. Với phần tử tấm, theo (1.36):

{ }

y
= =
∂
φ = − θ
∂
∑ ∑
(3.65a)
4
1
i
x yi
i
N
k
x
=
∂
= θ
∂
∑

4
1
i
y xi
i
N
k
y
=

x y
r x r y r
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂

x y
s x s y s
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
dưới dạng ma trận, trong đó
[ ]
2 2x
J
là ma trận Jacobian:
[ ]
x y
x x
r r r
J
x y
y y
s s s
∂ ∂
   
∂ ∂ ∂
   
   
   

J
y
s
−
∂
 
∂
 
 
 
∂
   
∂
=
   
∂
∂
   
 
∂
 
∂
 
 
(3.67)
Từ (3.57) và (3.66), ma trận Jacobian
[ ]
J
có dạng:
[ ]

= =
 
 
 
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
 
 
 
 
 
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
 
 
 
(3.68)
59
Chú ý đến (3.60),
[ ]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
2 2
3 3
4 4
1 1 1 1
4 4 4 4
1 1 1 1
4 4 4 4

:

[ ]
* *
1
11 12
* *
21 22
J J
J
J J
−
 
=
 
 
(3.70)
Từ (3.65), véc tơ
{ }
e
ε
được xác định qua
i
w
, chuyển vị xoay
xi
θ
,
yi
θ

[ ]
i
D
, với
1 4i
= ÷
, xác định theo công thức:

[ ]
0 0
0 0
0
0
0
i
i
i i
i
i
i
i
i
N
x
N
y
N N
D
x y
N

−
 
∂
 
với
1 4i = ÷
(3.73)
tương ứng với chuyển vị tại nút
i
:
{ }
{ }
T
i i xi yi
q w= θ θ
(3.74)
Từ (3.72) và (3.73), ma trận
[ ]
e
D
có dạng (3.75).
Véc tơ nội lực
{ }
{ }
T
x y xy x y
p
M M M Q Qσ =
xác định theo (1.33):
{ }

.
[ ]
3
1 2 4
31 2 4
3 3
1 1 2 2 4 4
3
1 2 4
1 2 3 4
3
1 2 4
1 2 3 4
0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0
0 0 | 0 0 | 0 0 | 0 0
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 0 | 0
0 | 0 | 0 | 0
e
N
N N N
x x x x
N
N N N
y y x y
N N
N N N N N N
D
x y x y x y x y
N

∂ ∂ ∂ ∂






 
 
 
 
 
 
 
 
 

(3.75)
Nếu tách
[ ]
5 3
i
x
CB
tương ứng với biến dạng uốn và cắt:
[ ] [ ] [ ]
i i i
u S
CB CB CB= +
(3.78)

y x
N N
h h
y x
Eh
CB
N
N
N N
h h
x
x y
N
N
y

 
 
∂ ∂
−µ
 

 
 ÷
 ÷
 
−µ ∂ −µ ∂
 
 


∂
 ÷
 ÷
 
∂ ∂
 
 
 
∂
 
 
−
 
∂
 
 
 
 






 
 
 
 
 
 

K D E D dxdy=
∫∫
(3.80)
tính trong hệ tọa độ tự nhiên:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
1 1 1 1
1 1 1 1
T
t
e e e
K D E D det J drds k det J drds
+ + + +
− − − −
 
= =
 
∫ ∫ ∫ ∫
(3.81)
61
trong đó
[ ]
t
E
xác định theo (3.19) và
[ ]
e
D
xác định theo (3.75).
Ma trận
k

 
=
 
             
+ + +
             
34
41 41 42 42 43 43 44 44
12 12
u S
u S u S u S u S
x
k
k k k k k k k k
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
               
+ + + +
               
 

(3.83)

x y y x x x y y
 



∂ ∂ ∂ ∂
       
∂ ∂ ∂ ∂
µ

 
= + − −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 
+ µ − µ ∂ ∂ ∂ ∂ −µ ∂ ∂ ∂ ∂

       

∂ ∂ ∂ ∂
       
∂ ∂ ∂ ∂
µ

− − +
 ÷  ÷  ÷  ÷

− ν ∂ ∂ ∂ ∂ − ν ∂ ∂ ∂ ∂
       
 


 ∂ ∂ 
   
∂ ∂ ∂ ∂
+ −
 
 ÷  ÷
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
   
 
 
∂
α
 
+ −
+ µ ∂
 
 
∂
 
 
∂
 
(3.84)
Khi tính ma trận độ cứng
[ ]
e
K
theo (3.84), với
ij
u

e
R R R R R=
(3.85)
Véc tơ lực nút qui đổi
{ }
i
R
của phần tử tại nút
i

( )
1 4i = ÷
do tải trọng phân
bố đều
p
được xác định theo công thức, [12]:
{ }
[ ]
1 1
1 1
0
0
zi
i xi i
yi
F p
R M N det J drds
M
+ +
− −

[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (3.64).
Ma trận khối lượng
[ ]
e
M
của phần tử được tính bằng tích phân số theo phép
cầu phương Gauss với 2x2 điểm Gauss:
[ ]
( )
[ ]
( )
[ ]
1 1
2 2
1 1
1 1
, ,
i j i j
e
i j
M F r s det J drds F r s det J
+ +
= =
− −
 
= = α α 
 

[ ]
{ }
1 1 1
2 2 2
T T T
nl c c m c
V S S
U dV k M dxdy k C k dxdy= ε σ = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.89)
Từ quan hệ tổng quát giữa biến dạng và chuyển vị nút:
{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
,
biểu thức (3.89) có dạng:

{ }
[ ]
{ } { }
[ ] [ ] [ ]
{ }
1 1
2 2
T
T T
nl c m c m


{ }
{ }
{ }
[ ] [ ]
{ }
1 1
2 2
T
T T
qt qt
e e e
e e
S S
U h U P dxdy h q B B q dxdy= ρ = ρ
∫∫ ∫∫
&&
(3.91a)
hay
{ }
[ ] [ ]
{ }
1
2
T
T
qt
e e
e e
S

{ }
[ ] [ ]
{ } { }
[ ] [ ]
( )
{ }
2
1 2
1 1
2 2
T T
T T
nen
e e e e
e e e e
S S
U k q B B q dxdy k q B B q dxdy= − ∇
∫∫ ∫∫
(3.92.a)
hay
{ }
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )
{ }
2
1 2
1 1
2 2
T T
T

 ÷
 
∫∫ ∫∫ ∫∫
(3.93)
Thế năng toàn phần là tổng của các thế năng:
nl qt nen ngl
U U U UΠ = + + +
64
Theo nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần, để hệ cân bằng thì biến
phân cấp 1 của thế năng toàn phần
0δΠ =

{ }
[ ] [ ]
{ } { }
[ ] [ ] [ ]
{ }
T T
T T
m
e e e e
e e e e
S S
q h B B dxdy q q D C D dxdy q
   
δ ρ + δ +
 ÷  ÷
   
∫∫ ∫∫
&&

q B q x y dxdy
 
− δ =
 ÷
 
∫∫
(3.94)
Biến phân
{ }
e
qδ
là bất kỳ, nên suy ra:
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ] [ ]
{ }
T T
m
e e
e e e e
S S
h B B dxdy q D C D dxdy q
   
ρ + +
 ÷  ÷
   
∫∫ ∫∫
&&
[ ] [ ] [ ] [ ]
( )

∫∫
(3.96)
[ ]
e
K
- ma trận độ cứng của phần tử

[ ] [ ] [ ] [ ]
T
m
e e e
S
K D C D dxdy=
∫∫
(3.97)
[ ]
nen
e
K
- ma trận độ cứng của nền đàn hồi 2 hệ số

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
2
1 2
1
2
T T
nen
e e e e e

{ } { }
nen
e e e e
e e e
M q K q K q R+ + =
&&
Nếu đặt:
[ ] [ ] [ ]
nen
e e e
KN K K= +
(3.100)
thì phương trình cân bằng động của tấm trên nền đàn hồi 02 hệ số có dạng:
65
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
e e e
e e
M q KN q R+ =
&&
(3.101)
Dưới đây dẫn ra các công thức cơ bản theo PP PTHH cho phần tử tấm chữ
nhật 16 bậc tự do (chuyển vị nút) với hàm chuyển vị được xấp xỉ bằng một đa
thức theo tam giác Pascal.
3.4.2. Hàm chuyển vị và hàm dạng
Xét phần tử tấm tương thích chữ nhật 4 nút trên nền biến dạng đàn hồi cục
bộ hai hệ số với 16 chuyển vị nút, hình 3-4.
Tại mỗi nút thứ

 
∂
 ÷
∂ ∂
 
Hình 3-4. Phần tử chữ nhật 04 nút 16 bậc tự do.
Véc tơ chuyển vị nút của phần tử:
{ }
2 2
1
1 4
1
1 4

T
e
w w w w w
q w
y x x y x x y
 
   
 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂
 
   
= − −
 
 ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷

2 2 3 2 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9
,
e
U w x y x y x xy y x x y xy= = α + α + α + α + α + α + α +α + α +

3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3
10 11 12 13 14 15 16
y x y xy x y x y x y x y+α + α +α + α + α + α + α
(3.104)
dưới dạng ma trận:
{ } ( ) ( ) { }
, ,
e
U w x y P x y= = α 
 
(3.105)
trong đó:
66
( )
2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3
, 1P x y x y x xy y x x y xy y x y xy x y x y x y x y
 
= 
 
 
(3.106).
{ } { }
1 2 3 15 16


[ ]
{ }
1
, , ,
e e e
e
U w x y B q P x y P x y A q
−
= = = α =   
   
(3.110)
rút ra ma trận hàm dạng:
[ ]
( )
[ ]
1
,
e
B P x y A
−
=  
 
(3.111)
3.4.3. Ma trận biến dạng - chuyển vị
Ma trận biến dạng - chuyển vị được xác định từ công thức tổng quát của PP
PTHH:
{ }
[ ]
{ }
e e

x
x
k
P x y
w
z k z z A q
y y
k
w
P x y
x y
x y
−
 
∂
 
 
 
∂
 
−
 
∂
∂
 
 
   
ε
 
 

{ }
[ ]
{ }
e e
e
D qε =
, rút ra:
[ ]
( )
( )
( )
[ ] [ ] [ ]
2
2
2
1 1
2
2
,
,
,
2
e
P x y
x
P x y
D z A z PD A
y
P x y
x y

S
K D E D dxdy=
∫∫
(3.114)
67
trong đó:
[ ]
e
D
xác định theo (3.113);
[ ] [ ]
t m
E C=
xác định theo công thức (3.19).
Ma trận độ cứng của nền đàn hồi 2 hệ số xác định theo (3.98)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
( )
2
1 2
1
2
T T
nen
e e e e e
S S
K k B B dxdy k B B dxdy
 
= − ∇
 ÷
 

1
2 2
,
e
B P x y A
−
∇ = ∇  
 
(3.116)
3.4.5. Ma trận khối lượng của phần tử tấm
Ma trận khối lượng của phần tử được xác định bằng công thức (3.96):
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
T T
e e e e e
S S
M h B B dxdy m B B dxdy= ρ =
∫∫ ∫∫
(3.117)
trong đó:
ρ
- khối lượng trên một đơn vị thể tích của tấm;
h
- chiều dày của tấm;
m
- khối lượng phân bố của phần tử;
[ ]
e
B
- ma trận hàm dạng xác định theo (3.111).
3.4.6. Véc tơ lực nút qui đổi do tải phân bố tác dụng trong phần tử tấm

(1.17)
{ }
{ }
T
c x y xy
k k k k=
xác định theo công thức (3.119):
68

{ }
[ ] [ ]
{ }
2
2
2
1
2
2
2
x
c y
e
xy
w
x
k
w
k k PD A q
y
k

xác định theo (3.113).
Lực cắt
x
Q
,
y
Q
do biến dạng uốn xác định bằng công thức (1.23), (1.24):
( )
( )
[ ]
{ }
1
2 2
,
x p p
e
Q D W D P x y A q
x x
−
∂ ∂
= − ∇ = − ∇  
 
∂ ∂
(3.120)
( )
( )
[ ]
{ }
1

,
c c
x y
. Dùng phép đổi biến:
c
x x
r
a
−
=
c
y y
s
b
−
=

.dxdy a bdrds=
(3.122)
Ví dụ xét tích phân xác định ma trận độ cứng của phần tử tấm:
[ ] [ ] [ ] [ ]
T
t
e e e
S
K D E D dxdy=
∫∫
Ký hiệu:
( )
[ ] [ ] [ ]

69