TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC
TỔNG HỢP
ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ
Giai đoạn 2007 – 2014
Môn Đại số
Biên soạn L
A
T
E
X
Mai Mẫn Tiệp
Email

Homepage
maimantiep.wordpress.com
Lưu hành nội bộ
Cần Thơ,2014
TỔNG HỢP ĐỀ THI TUYỂN SINH THẠC SĨ
ĐẠI HỌC CẦN THƠ (2007–2014)
MÔN ĐẠI SỐ
L
A
T
E
X by Mai Mẫn Tiệp
∗
Ngày 13 tháng 5 năm 2014
Lưu ý

là một trường con của trường số thực R.
Câu 2 Trong lí thuyết nhóm có định lí sau đây: “Với mọi số tự nhiên n = 4, A
n
là
nhóm đơn”. (Nhắc lại rằng nhóm đơn là nhóm không có nhóm con chuẩn tắc nào
khác {e} và chính nó.)
Hãy sử dụng định lí nói trên để chứng minh rằng, với n = 4, nhóm đối xứng S
n
chỉ có 3 nhóm con chuẩn tắc là {e}, A
n
và S
n
.
Câu 3 Cho A là nhóm xylic cấp m và B là nhóm xylic cấp n. Chứng minh rằng tích
trực tiếp A ×B là nhóm xylic khi và chỉ khi m và n là những số nguyên tố cùng nhau.
Câu 4 Với a là một số thực và n là một số tự nhiên bất kì, hãy tính

a 1
0 a

n
.
Câu 5 Hãy tìm điều kiện đối với các số thực a,b,c sao cho ma trận sau đây chéo hóa
được
A =


1 a b
0 2 c
0 0 2

,

0 0
0 1

.
—————HẾT—————
3
2 Đại số, không rõ năm, đề số 02
Câu 1 Chứng minh rằng nếu f : (Q,+) →(Z,+) là một đồng cấu nhóm aben thì f =0.
Từ đó suy ra (Q,+) không phải là nhóm xyclic.
Câu 2 Cho G là nhóm và H là một nhóm con của G. Nếu H =G thì ta nói H là một
nhóm con thực sự của G. Chứng minh rằng G không thể là hợp của hai nhóm con
thực sự của nó.
Câu 3 Xét vành số nguyên Z và giả sử m,n ∈Z làhai số nguyêntố cùng nhau.Chứng
minh rằng
a) nZ ∩mZ =mnZ,
b) nZ +mZ =Z.
Câu 4 Phân tích đa thức sau thành tích những nhân tử bất khả qui
a) X
6
−8 trên trường Q các số hữu tỉ.
b) X
3
+2X +1 trên trường Z
3
.
Câu 5 Xét vành số nguyên Z. Giả sử m là một số nguyên dương và m không phải là
số chính phương. Đặt
R =

〉
và T =
〈
(0;−2;0;−3),(1; 0;1;0)
〉
.
Hãy tìm một cơ sở và số chiều của không gian con S ∩T .
Câu 7 Cho ma trận
A =





1 2 2 1
3 2 3 2
−1 −3 0 4
0 4 −1 −3





.
Hãy tìm không gian nghiệm của hệ phương trình AX =0.
Câu 8 Với những giá trị nào của a,b,c,d,e, f ma trận dưới đây chéo hóa được trên
R?




−1,
trong đó n là số nguyên dương. Xác định n để f (x) | g (x).
Câu 4 Trong không gian R
4
cho các véctơ
u
1
=(1;2; 3;4), u
2
=(2;1; 5;4), u
3
=(1;4; 3;8).
Gọi W là không gian con của R
4
sinh bởi u
1
,u
2
,u
3
.
a) Chứng minh B =(u
1
,u
2
,u
3
) là một cơ sở của W .
b) Xác định tham số m để vectơ u =(−1;1;2;m) thuộc W . Với giá trị m đó, hãy tìm
[u]



.
a) Tìm giá trị riêng và xác định cơ sở, số chiều của các không gian riêng của A.
b) Chứng minh A chéo hóađược và tìm một ma trận P khả nghịch saocho P
−1
AP
là ma trận chéo. Tính A
20
.
—————HẾT—————
5
4 Đại số, năm 2010, đợt 1, đề số 02
Câu 1 Cho G là một nhóm cyclic cấp n. Chứng minh rằng với mỗi ước số dương m
của n tồn tại duy nhất một nhóm con H của G có cấp m. Kết quả trên còn đúng khi
G không cyclic hay không? Tại sao?
Câu 2 Trong vành R =M(2, R), xét I =

a 0
b 0

: a,b ∈R

.
a) Chứng minh I là một vành con của R.
b) I cólàmột ideal của R không? I cólàmột ideal phải hay idealtráicủaR không?
Câu 3 Xác định các số tự nhiên n sao cho đa thức f (x) = x
2n
+x
n+1

2
là hai cơ sở của R
3
và tìm
ma trận chuyển cơ sở từ B
1
sang B
2
.
Câu 5 Cho f là toán tử tuyến tính trên R
3
thỏa
[f ]
B
=


4 1 3
16 10 15
12 −7 −11


,
trong đó B =(u
1
,u
2
,u
3
) là cơ sở của R

Câu 2 .
a) Xét vành Z
n
các số nguyên đồng dư modulo n. Tìm điều kiện của k ∈N để ánh
xạ f : Z
n
→Z
n
định bởi f (x) =kx là một đồng cấu vành.
b) Mô tả tất cả các tự đồng cấu của vành Z
p
với p nguyên tố.
Câu 3 Cho đa thức với hệ số nguyên
f (x) = x
6
+7x
5
+10x
4
−35x
3
−120x
2
−108x −16.
a) Viết khai triển Taylor của f (x) tại x
0
=−2.
b) Phân tích f (x) thành tích các đa thức bất khả qui trên Q.
Câu 4 Trong không gian R
4

,u
3
) là một cơ sở của W .
b) Chứng minh B
2
=(v
1
, v
2
, v
3
) là một cơ sở của W . Tìm ma trận chuyển cơ sở từ
B
1
sang B
2
.
Câu 5 Trong không gian R
3
cho các vectơ
u
1
=(1;1; 2), u
2
=(0;1; 1), u
3
=(0;1; 2),
v
1
=(2;9; −3), v

2
,u
3
) là cơ
sở của R
3
với
u
1
=(1;−1; 1), u
2
=(0;1; 1), u
3
=(1;1; 4).
Tìm một cơ sở C của R
3
sao cho [f ]
C
là một ma trận chéo và xác định ma trận
chéo đó.
—————HẾT—————
7
6 Đại số, năm 2012, đợt 1, đề số 03
A. Phần Đại số tuyến tính
Câu 1 Trong không gian vectơ M(2,2), không gian vectơ các ma trận vuông cấp 2
trên R, cho
E =

M =


1 0
1 2

, v
2
=

0 1
1 0

là cơ sở của H, tìm v ∈E ∩H sao cho
[v]
B
=

2
0

.
Câu 2 Cho B
0
={1, x, x
2
} là cơ sở chính tắc của P
2
( x) và phép biến đổi tuyến tính
T : P
2
( x) →P
2


.
c) Chứng minh rằng phép biến đổi tuyến tính T là chéo hóa được, từ đó tìm cho
P
2
( x) một cơ sở C để ma trận của T đối với cơ sở C là ma trận chéo.
d) Áp dụng kết quả tìm được ở câu c) để tính T
4
(2 +x).
B. Phần Đại số đại cương
Câu 3 Cho X là một nhóm nhân. Giả sử tồn tại ba số nguyên liên tiếp k,k +1,k +2
sao cho với các phần tử a,b bất kì của X ta luôn có
( ab)
k
=a
k
.b
k
, (ab)
k+1
=a
k+1
.b
k+1
và (ab)
k+2
=a
k+2
.b
k+2

H =Sp

1 +x,1+x
2

.
a) Chứng minh rằng E ∩H là không gian con của P
2
( x).
b) Tìm một cơ sở của E ∩H.
Câu 2 Cho ánh xạ T : P
1
( x) →P
1
( x), T
(
a.1 +b.x
)
=(4a +3b).1 −(2a +3b).x;
a) Chứng minh rằng T là phép biến đổi tuyến tính.
b) Chứng minh T chéo hóa được.
c) Trong P
1
( x) tìm cơ sở B sao cho
[
T
]
B
là ma trận chéo.
d) Biết p =(α +β).1 −(2α +β ).x,

a +b

2
|
a,b ∈Q

và Q(

7) =

a +b

7
|
a,b ∈Q

.
a) Chứng minh rằng Q(

2) và Q(

7) là các trường con của R.
b) Chứng minh rằng Q(

2) và Q(

7) không đẳng cấu.
Câu 5 Chứng minh rằng đa thức sau bất khả quy trong Q[x]
f (x) =3x
4

3
, tìm cơ sở và số
chiều của các không gian E ∩F , E +F .
Câu 2 Cho ánh xạ f : P
2
( x) →P
2
( x), f

a1 +bx +cx
2

=(a +2c)1 +bx +(2a +c)x
2
.
a) Chứng minh rằng f là ánh xạ tuyến tính và tìm Ker(f ), Im(f ).
b) Chứng tỏ f là chéo hóa được, từ đó tìm cho P
2
( x) một cơ sở B sao cho [f ]
B
là
ma trận chéo và viết ra ma trận chéo này.
c) Giả sử p =1 +x +5x
2
, tìm f
k
( p), k =2,3,.
B. Phần Đại số đại cương
Câu 3 Cho X ,Y là các nhóm nhân và X là một nhóm hữu hạn. Cho f : X →Y là một
đồng cấu nhóm. Chứng minh rằng