1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT DƯƠNG ĐÌNH NGHỆ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM SỐ
PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
Người thực hiện: Nguyễn Lạnh Đông
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: ToánTHANH HOÁ NĂM 2013
BỐ CỤC ĐỀ TÀI
A. Đặt vấn đề
I. Lời nói đầu.
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
B. Giải quyết vấn đề
I. Kiến thức cơ bản về số phức.
II.Một số kiến thức áp dụng.
1. Bất đẳng thức: Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai.
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên.
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.
5. Tính chất của hàm số lượng giác.
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
1.Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
2.Phương trình đường tròn:
( ) ( )
2
22

thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học
sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức
về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học, để từ đó
giải quyết được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn
điều kiện cho trước”. Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo
và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mối tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn
trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối
tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ
động. Đồng thời nâng cao trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh. Chính vì
vậy mà tôi chọn đề tài “Một số phương pháp giải bài toán tím số phức có
môđun lớn nhất, nhỏ nhất” để viết sáng kiến kinh nghiệm.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
1. Thực trạng:
3
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học
phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài
liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập
cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều hạn chế.
Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không
ít những khó khăn. Bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số
phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật
thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy vẫn
còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu
diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường thẳng,
đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol, Nhiều học sinh lại
gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất,
nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp
các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm,
lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, để
tù đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.






=
=
'
'
yy
xx
3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x;y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
4. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

' ( ') ( ')
' ( ') ( ')
z z a a b b i
z z a a b b i
+ = + + +


− = − + −

5. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:

' ' ' ( ' ' )zz aa bb ab a b i

- Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, thì
z
=
OM
uuuuuv
=
2 2
a b+
- Nếu z = a + bi, thì
z
=
.z z
=
2 2
a b+
8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a
2
+b
2
> 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo z
-1
của số phức z ≠ 0 là số
z
-1
=
2
2 2
1 1

Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2. Định lý về dấu của tam thức bậc hai
3. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số, bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng, đường thẳng và đường tròn.
6
5. Tính chất của hàm số lượng giác
III. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp.
1. Phương trình đường thẳng: ax+by+c=0.
2. Phương trình đường tròn:
( ) ( )
2
22
Rbyax =−+−
.
3. Phương trình đường Elíp:
1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
.
IV. Các phương pháp tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Tìm số phức z có môđun lớn nhất (hoạc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện
cho trước.
Phương pháp chung:

iz
Lời giải
Cách 1: Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó:
2 2
2 2
2 4 5 ( 2) ( 4) 5 ( 2) ( 4) 5
( 2) ( 4) 5 (1)
z i x y i x y
x y
− − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =
⇔ − + − =
7
Suy ra tập hợp điểm M(x;y) biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2;4), bán
kính
5R =
[ ]
2
2 2 2 2 2
( 2) ( 4) 4 8 20 4 8 15 4 ( 2) 2( 4) 25 (2)z OM x y x y x y x y x y= = + = − + − + + − = + − = − + − +
Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:
2 2 2 2
( 2) 2( 4) (1 2 ) ( 2) ( 4) 5 5 ( 2) 4( 4) 5x y x y x y
 
− + − ≤ + − + − = ⇒ − ≤ − + − ≤
 
(3)
Từ (2), (3) ta suy ra:
5 3 5z≤ ≤
.Vậy:
min

( ) ( )
)2(415542
22
22
yxyxyx +=++⇔=−+−
Ta có
( )
tyxyx .552
22
=+≤+
, Suy ra
5355415
2
≤≤⇔≤+ ttt
Vậy
min
max
1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

= ⇔ ⇒ = +

=

=

= ⇔ ⇒ = +

=

Cách giải 4. (Phương pháp hình học)
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.
khi đó
max
max
min

OBOM
≤≤
OA
Hay
535 ≤≤ z
Vậy:
min
max
1
5 1 2
2
3
3 5 3 6
6
x
z z i
y
x
z z i
y
=

= ⇔ ⇒ = +

=

=

= ⇔ ⇒ = +


⇔⇔
max
max
OMz

M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất.
Kẻ
OxBK ⊥
, theo định lý ta lét ta có:
izOKBK
OB
OI
BK
6336
3
2
552
524
+=⇒=⇒=⇒
=
+
==
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 5 cách giải trên
Đáp số:
2.
iziz
2
24
2
24








−−−=








+−+=
Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đưởng thẳng
( 4 cách giải)
Ví dụ2: Tìm z sao cho
z
đạt giá trị nhỏ nhất.Biết số phức z thỏa mãn điều
kiện sau:
1.
( )( )
izizu 313 ++−+=
là số thực.
2.
( )
( )

+−++−++=−++−++=
Ta có
04yxR =+−⇔∈u
.
tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là dường thẳng (d):
04 =+− yx
.
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z thì
)(
min
min
dOMOMz ⊥⇔⇔
Ta được
M(-2;2)
iz 22 +−=⇔
.
Cách giải 2. Ta có
( ) ( )
228224
22
222
≥++=++=+= xxxyxz
.
Vậy
izyxz 222222
min
+−=⇔=⇒−=⇔=
Cách giải 3.
( )
16824

+−=⇔−=−=⇔=⇒≥+=⇒≥+⇒
.
Các bài còn lại học sinh làm tương tự theo 1 trong 4 cách trên
Đáp số: 2.
iz
5
2
5
4
+=
.
3.
iz
10
1
10
3
−=
11
4.
iz
5
6
5
3
+=
Dạng 3: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elíp
(3 cách giải)
Ví dụ 3: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn
nhất.Biết số phức z thoả mãn điều kiện:

1 2
2F F =
Vậy tập hợp các điểm M là Elip có trục lớn bằng 4 và trục bé bằng
2 3
Phương trình Elip trong mặt phẳng tọa độ Oxy là:
2 2
1
4 3
x y
+ =
Tìm z sao cho
maxmin
, zz
Cách giải 1: Ta có
4
3
2
22
x
yxOMz +=+==
Do
2 2
1
4 3
x y
+ =
231
4
0
2






+≤








+=+= OM
yxyx
yxOM
33
34
3
33
3
2222
222
≥⇒=






[
)
π
2;0∈t
Ta có:
tttyxOM
222222
sin3cos3sin4 +=+=+=
Do
2343,1sin0
22
≤≤⇒≤≤⇒∀≤≤ zOMtt
.
Vậy:
22
33
max
min
±=⇔=
±=⇔=
zz
izz
Các bài còn lại học sinh làm tương tụ theo 1 trong 4 cách trên
Đáp số:
izzizz
izzzz
33,55.3
44,33.2
maxmin
maxmin

lớn nhất, nhỏ nhất khi được tiếp cận với các phương pháp giải được nêu trong
sáng kiến kinh nghiệm.
+ Học sinh có thể tự chọn cho mình một cách giải bất kỳ trong các cách giải nêu
trong sáng kiến kinh nghiệm.
2 . Bài học kinh nghiệm
Qua đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được mmọt số phương pháp
giảng dạy cho từng dạng phù hợp với từng đối tượng học sinh. Chính điều đó sẽ
thuận lợi cho giáo viên khi dạy tiết giải bài tập trong quá trình ôn thi tốt nghiệp
THPT, cũng như luyện thi Đại Học có tính thu hút cao .
Đề tài của tôi trên đây có thể còn mang màu sắc chủ quan, chưa hoàn thiện,
do nhiều hạn chế. Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quý báu của các
Thầy Cô, các bạn đồng nghiệp để ngày càng hoàn thiện hơn .
Xin chân thành cám ơn!
Thiệu Hoá, ngày 17 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
không sao chép nội dung của người khác

Xác nhận của Hiệu trưởng Người viết đề tài Nguyễn Lạnh Đông

15
16