Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
1
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. 1) Giả sử hàm RRf
2
: cho bởi công thức
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2


=
1
1
12
1
0
Câu 2. Kí hiệu
1
l =
{ }






<=


=1
,;:
n
nnn
xNnCxxx
;
( )
,,
1
1

n
yy = thuộc
1
l .
Chứng minh rằng
a)
1
d ,
2
d lần lợt là các mêtric trên
1
l ;
b) không gian
( )
11
,dl đầy đủ ; khả li.
c) Không gian
( )
21
,dl không đầy đủ.
Câu 3. Giả sử
[ ]
1,0
C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên
[ ]
1,0 với chuẩn sup
và A:
[ ]

1,0

( )
fAfA
với mọi XA .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
2
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Gọi
1+n
E Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực. Trong
1+n
E cho các đa thức
( )
xu
k
với
nk 0
đợc xác định nh sau:
0
0
=u ;

1+n
E
1+n
E bởi điều kiện

( )
[ ]
( ) ( )
xpxpxp += 1 ;
( )
1n
pxE
+
.
Hy chứng minh

là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của

. Tìm các đa thức
( )( )
xu
k
; nk ,,2,1,0 K= .
Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic.
b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng
cấu với G.
c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic.
Câu 3. Ta gọi một trờng là nguyên tố nếu nó không chứa một trờng con thực sự nào.
a) Chứng minh rằng trờng các ssó hữu tỉ và trờng các lớp đồng d
p

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 1
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu1. Cho hàm số
( )





=+
+
+
=
0 0
0
,
22
22
22
2
yx
yx
yx

,,2,1,:,,,
21
LK == } và
( )
1,0p . Vói mỗi tập
( )
n
xxx ,,
1
K= ;
( )
n
yyy ,,
1
K= ta đặt
( )

=
=
n
i
p
ii
yxyxd
1
, ;
( )

=
=





+
=

=
nn
Axifn
xif
xf
n
1
,
1
1

1,0 0
, K,2,1=n
Với mỗi

Nn ta đặt

=
=
n
k
An
n

C ta đặt
( )
[ ]
( ) ( )
0,1
,sup
t
dxyxtyt

=. Chứng minh rằng
a) ánh xạ
[ ] [ ]
1,01,0
: CCf cho bởi
()
[ ]
() ()
dssxtxf
t

=
0
, x
[ ]
1,0
C là ánh xạ tuyến tính liên
tục. Tính chuẩn của f.
b)
[ ]
( )

n
n
x
n

=

.
c) Tính tổng của chuổi lũy thừa:
2
1
(1)
n
n
nnx


=
+

Câu 2. Ký hiệu
{ }
2
2
1
:
nn
n
lxx





với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy = thuộc
2
l
a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên
2
l .
b) ánh xạ đồng nhất
d
I :
22
(,)(,)ldlp là ánh xạ liên tục.
Câu 3. a) Cho hàm f 0 đo đợc, hữu hạn h. k. n trên tập hợp A, đặt
()
f(x) f(x)n
0 f(x)n
n
fx


=


Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf : là ánh xạ tuyến tính.
a) Chứng minh
( ) ( )
nfimf =+ kerdimdim .
b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V.
c) Giả sử ff =
2
. Chứng minh Vfimf = ker .
d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f
đợc xác định bởi
( )
xxf = ( là số thực cho trớc).
Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng:
a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic.
b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con.
c) X Y khi và chỉ khi m=n.
d) XìY là nhóm Xyclic cấp mìn khi và chỉ khi (m,n)=1.
Câu 3. Giả s X là một vành giao hoán có đơn vị . Một Iđêan A X của X đợc gọi là Iđêan tối
đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X đợc
gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v X thì tích u.v P kéo theo u P hoặc v P . Giả sử I
là Iđêan của X. Chứng minh rằng:
a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại.
b) X/I là một trờng khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại .
c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
6
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh

y cos 0
,
x
0 0
x
fxy
x



=


=

nếu
nếu
a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f.
b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R
2
nhng mở trong tập
{ }
(0,):yyĂ .
Câu 3. Cho dy hàm

()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0

1
lim
2
n
x
If

= trong đó
n
If là tích phân Lơbe của
n
f trên R,
[ ]
nx là phần nguyên của nx .
Câu 4. Giả sử

l là tập tất cả cá dy số thực bị chặn ;
0
c là tập tất cả các dy số thực hội tụ tới
0.
a) Chứng minh rằng công thức

sup
n
n
xx

=
N
với

xx =

l , Hy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên

l và tính
f .
Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E.
Chứng minh rằng với mọi x E, đều tồn tại y B sao cho
xy = d(x, B).
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
7
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Đề số 2
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
( )
( )


=
+

1

2
R nhng mở trong R.
Câu 3. Cho dy hàm

()
[ ] [ ]
[ ]
K,2,1,
1,0 0
1,0
1
=







= n
x
xnx
n
xf
n
nếu
nếu
Chứng minh rằng
a)
( )

a) Chứng minh rằng công thức
( )
nnNn
yxyxd =

sup, với
{ }
n
xx = ;
{ }
n
yy =

l xác
định một mêtric trên

l và mêtric đợc sinh bởi một chuẩn trên

l .
b)Chứng minh rằng
0
c là tập con đóng trong

l .
c) Cho ánh xạ Rlf

: bởi công thức
()




Ef là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và a
a
= .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
8
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc
n
với hệ số thực và :
VV
là
ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó.
a) Chứng minh rằng là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V.
b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của .
Câu 2. Cho ánh xạ
23
:f Ă Ă xác định bởi

( ) ( )
myxyxyxyxf ++= 2,,2,
a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính .

Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Giải tích
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm
( )


=
+
1
22
1
n
xnn
x
.
Câu 2. Cho hàm số
( )
( ) ( )
( ) ( )





=




=
=
n
xe
n
x
yxf
x
1

1
sinx
,
nếu
nếu
, K,3,2,1=n trên đoạn
[ ]
1,0 .
Câu 4. Giả sử
{ }
{ }
<=
nnn
xRxl sup: ;

( ){ }
KKK ,2,1,,0,0,1,0,,0 === neA
n


ll
1
nhng
( )

dl ,
1
không đóng trong
( )

dl , .
c) SpanA trù mật trong
( )
11
, dl nhng không trù mật trong
( )

dl , , trong đó SpanA là tập
hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A.
d) ánh xạ
( ) ( )
1
1
,,: ll


với
() { }
,

Câu 5. Chứng minh rằng
{ }
n
A là dy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho
XA = thì với mọi n thì
I

=
=
1n
n
AX .
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
10
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1. a) Cho phép biến đổi tuyến tính của
3
Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là:
815
231
411


với mọi f
a
IntG.
d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG
cũng không là Cyclic.
Bài 3. Cho tập X =
3
:,
xy
xy
yx








Z
, trong đó
3
 là trờng các lớp đồng d theo
modul 3.
a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trờng.
b) Tìm đặc số của trờng X.
Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu K là một trờng thì vành đa thức K[x] là một vành chính.
b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trờng thì P[x] không là vành chính.
c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x]. Chứng minh rằng I
gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính.

0y 0
0y
y
x
1lny
,
2
2
2
nếu
nếu
yxf
Chứng minh rằng
a) ),(
''
yxf
xy
và ),(
''
yxf
ỹ
khôgnliên tục tại điểm (0,0).
b) )0,0(
''
xy
f = )0,0(
''
yx
f .
Câu 2. a) Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm

( ){ }
xxfXxA == : là đóng.
b) Nếu X là tập compact và A thì tồn tại số c>0 sao cho xxxfd )),(( với mọi
Xx
.
Câu 4. Giả sử
{ }
n
f là dy các hàm đo đợc trên A A sao cho
+<



=
àdf
n
A
n
1
. Chứng minh
rằng hàm


=1n
n
f khả tíc trên A và
àà dfdf
A
n
n

1,0
txxxx
t
++= .
a) Chứng minh rằng công thức trên xác định một chuẩn trên
[ ]
2
1,0
C ;
b) Chứng minh rằng toán tử A:
[ ]
2
1,0
C
[ ]
2
1,0
C cho bởi công thức
( )
)('')(' txtxtAx += với mọi
x
[ ]
2
1,0
C ,
[ ]
1,0t tuyến tính nhng không liên tục.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
12

nm <<0
.
a)Chứng minh rằng tồn tại không gian con V
2
của V sao cho V=
21
VV . Tìm số chiều
của V
2
.
b) Hy nờu cách xây dựng không gian véc tơ thơng
1
/VV và tìm số chiều của không
gian đó.
Câu 3. Giả sử
*
Ê là nhóm nhân các số phức khác không, H là tập hợp các số phức của
*
Ê nằm
trên trục thực và trục ảo , Ă là nhóm cộng các số thực, Â là nhóm cộng các số nguyên.
a) Chứng minh rằng H là ớc chuẩn của
*
Ê .
b) Chứng minh rằng  là ớc chuẩn của Ă .
c) Chứng minh rằng nhóm thơng
*
Ê / H đẳng cấu với nhóm Ă / Â .
Câu 4. Giả sử Â là vành các số nguyên . Lập tích đề các V= Â ì Â .
a) Chứng minh rằng V cúng với phép toán cộng và nhân xác định bởi :
(a,b)+(x,y)=(a+x,b+y)




=
+


=

nếu
nếu
2) Cho chuỗi hàm:
( )
1
1
2
2
n
n
n
x

=
+

(1)
a) Tìm miền hội tụ, hội tụ đều của chuổi (1)
b) Tính tổng của chuổi (1) trong miền hội tụ của nó.
Câu 2. Giả sử
1

1
l xác định một chuẩn trên
1
l.
b) Chứng minh rằng ánh xạ f:
1
l R với
() { }
1
1
f,
2
n
n
n
n
x
xxxl

=
==

là ánh xạ tuyến tính
liên tục. Tính
f.
Câu 3. Gỉa sử X là một không gian metric, K là một tập compact của X, a và b là hai điểm thuộc
X\ K. Chứng minh rằng tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho U V = , K U, {a, b} V.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
14

+=

nếu
nếu
Chứng minh rằng hàm f(x, y) liên tục theo biến x khi cố định y và liên tục theo biến y khi
cố định biến x nhng không liên tục theo hai biến (x, y)
b) Giả sử G
2
Ă và :fG Ă . Chứng minh rằng nếu hàm f(x, y)liên tục theo biến x với
mỗi y cố định và có đạo hàm riêng theo biến y bị chặn trên miền G, thì f(x, y) liên tục trên G.
Câu 2. a) Khảo sát sự hội tụ của chuỗi số:
1
2
4
1
1
n
n
n
dx
x
+

=
+


.
b) Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm:
0

n
với mọi n 1.
b)
1
n
n
EE
fdfdàà

=
=


.
Câu 5. a) Giả sử X và Y là hai không gian Banach, Y
*
là không gian liên hợp của Y và A: X
Y là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng nếu với mọi dy {x
n
} X sao cho x
n
0 và với mọi
f Y
*
ta có f[A(x
n
)] 0 khi n , thì f liên tục.
b) Chứng minh rằng trong không gian định chuẩn
2
l =


, x = {x
n
}
2
l , hình cầu
đóng B'(0, r) =
{ }
{ }
:
n
xxxr= với r > 0 không là tập compact.
Đặng Xuân Cơng - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh
K nim hố 2005
15
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học Vinh
Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
Đề thi tuyển sinh cao học năm 2005
Môn: Đại số
Ngành: Toán
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Tìm tất cả các ma trận vuông cấp hai A trên trờng các số thực Ă sao cho A
2
= 0.
Câu 2. Cho ánh xạ
32
:f Ă Ă xác định bởi : f(x, y) = (2x - y, x + y, x - 2y + 2a).
a) Tìm a để f là ánh xạ tuyến tính.