PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
4
Chng 2: B TÚC CÁC THUT TOÁN V MA TRN &
H PHNG TRÌNH.
Trong k thut ít khi ta tìm đc nghim chính xác ca các bài toàn di dng mt biu thc gii
tích.  gii quyt khó khn này, phng pháp tính (PP tính, hay toán hc tính toán) cho ta các
PP gn đúng, tìm nghim ca phng trình, h phng trình đi s, ca phng trình, h phng
trình vi phân; cách tính gn đúng các đo hàm, vi phân, xp x các hàm phc tp hay hàm cho
di dng bng s bng các hàm đn gin
1. Khái nim v các dng ma trn:
1.1. Khái nim:
Trong vòng na th k nay, lý thuyt ma trn đã đc ng dng vào các ngành khoa hc nh
toán, lý, c hc v.v Dng ma trn có u đim là giúp cho vic trình bày thut toán đc ngn
gn, đn gin. ng thi, do mi quan h cht ch gia các đi lng liên quan, cung cp đc
nhng thông tin đy đ v nhng điu cn bit trong lp lun tính toán và thc hành thit k.
Mt khác, lý thuyt ma trn rt thun tin cho vic lp trình đ thc hin quá trình t đng tính
toán, thit k trên máy tính đin t.
Ma trn đc s dng rng rãi trong PP s vì:
1.Kí hiu ma trn là 1 trong nhng kí hiu cô đng và rõ ràng trong din toán.
2.Cho phép t chc 1 cách có h thng các s liu, rt phù hp vi tính toán trên MTT.
3.Có th nhn dng, vn dng, điu khin và phân tích nhng mng s liu bng nhng h thc
toán hc cht ch và chính xác.
Trong thc t ta thng gp 1 h n phng trinh đi s tuyn tính vi n n s, ví d:
20
32
24
12
123
23
xx

x
x
x
1
2
3
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
0
2
4
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪

⇒ [A] {x} = {b};
Trong c hc kt cu, ta đã bit rng gia các thành phn ni lc và các thành phn chuyn v
ca mt phn t thanh trong h phng có mi quan h nh sau:
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
5

;.
.
i
i
ii
i
u
L
AE
N =
;.
.
.
.
.
.12
2
2
1
23
i
i
ii

i
i
ii
i
i
ii
i
L
IE
L
IE
v
L
IE
M
θθ
++−=
;.
.4
.
.2
.
.6
21
2
2 i
i
ii
i
i

vuông góc vi trc thanh) gia 2 đu ca phn t;
θ
1i
- góc xoay ti đu 1 ca phn t; θ
2i
- góc xoay ti đu 2;
t
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
i
i
i
i
i
M
M
Q

1
θ
θ
gi là vec t chuyn v ca phn t;

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−

L
IE
L
IE
L
IE
L
IE
L
IE
L
AE
k
.4.2.6
.2.4.6
0
.6.6.12
0
000
.
2
2
223

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤

-Xác đnh biên đ dao đng trong các h c hc;
-Phân b dòng đin trong mng phc tp;
-Các bài toán trng (nhit, thm );
-Các bài toán v sóng và chuyn đng sóng;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
6
-Các bài toán không dng khác;
-Các bài toán v ti u hóa;
-Các bài toán phân tích thng kê v kinh t, xã hi
1.2. nh ngha:
Ma trn là mt mng các s hoc ký hiu đc sp xp th t theo m hàng và n ct. Ta có
các kí hiu khác nhau:
A ≡ [A] ≡ [a
ij
] ≡
aa a a
aa a a
aa a a
aa a a
jn
jn
i i ij in
mm mj mn
11 12 1 1
21 22 2 1
12
12
] ≡ [b
1
b
2
b
n
].
Còn gi là vect hàng.
1.3.2. Ma trn ct:
Ma trn ch có 1 ct, c mx1 (n=1)
Kí hiu:
c
⎯→⎯
≡ [c] ≡ [c
i1
]
T
≡ [c
1
c
2
c
m
]
T
≡
c
c
c
m

d
22
d
nn
⎦ ≡ ⎡d
ii
⎦
 tit kim ô nh, khi lu tr trong MTT ta dùng mng 1 chiu D(I) = d
ii

1.3.5. Ma trn vô hng:
Ma trn chéo nhng các s hng khác 0 đu bng nhau
Kí hiu: ⎡ a ⎦ ≡ ⎡ a a a ⎦ vi a
ij
=
akhii j
khi i j
=
⎧
⎨
⎩
0#

S vô hng là mt ma trn cp 1 (ch có 1 phn t).
1.3.6. Ma trn đn v:
Ma trn chéo có mi s hng trên đng chéo chính bng 1.
Kí hiu: [ I ]
n
≡ ⎡ 1 1 1 ⎦ vi i
ij

= -
a
ji

Tt nhiên, các s hng trên đng chéo chính đu bng 0.
1.3.10. Ma trn tam giác:
Có 2 loi:
Ma trn tam giác trên (phi): Các s hng bên di (trái) đng chéo chính đu bng 0,
Kí hiu: U (upper)
Ma trn tam giác di (trái): Các s hng bên trên (phi) đng chéo chính đu bng 0,
Kí hiu: L (lower)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
8
i xng
=0
Na dãi
n
0
phn t
1.3.11. Ma trn vt (bng, dãi):
Vi k đng chéo, các phn t không nm trên đng chéo chính và mt s đng chéo
đu bng 0, tr các phn t khác nm trên bng (có trc là đng chéo chính) có b rng
là k.
Trong các bài toán c hc ta thng gp các loi ma trn bng đi xng. Khi đó ta có
điu kin: a
ij
= 0 vi j > i + n
0
.

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
xx
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥



tit kim b nh trên máy tính, các phn t ca ma trn đc lu tr trong mt ma trn ch
nht: s hàng bng s hàng ca ma trn gc, s ct là n
0
+1. Cùng mt phn t nm trong 2 ma
trn s có chung ch s hàng, còn ch s ct có quan h nh sau: j’ = j - i + 1;
Trong đó: j’ là ch s ct trong ma trn ch nht, j là ch s ct trong ma trn vuông.
2. Các phép tính vi ma trn:
2.1. Phép chuyn trí: [A]T
[A]
T
là ma trn chuyn trí ca [A] nu hàng ca [A]
T
là ct ca [A] và ngc li.
Ta có a
T
ij
= a
ji

Ví d: Cho [A] =
abc
def
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥

[A] =
AAA
AAA
11 12 13
21 22 23
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⇒ [A]
T
=
AA
AA
AA
TT
TT
TT
11 21
12 22
13 23
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦

⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
±
112
240
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=
++
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−
−−
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦

Mi [A] đu có th phân tích đc thành tng ca, hoc:
+Hai ma trn: mt ma trn đi xng, mt ma trn phn xng.
Cho ma trn [A], nu ký hiu: B
1
=
1
2
(A + A
T
) (ma trn đi xng)
B
2
=
1
2
(A - A
T
) (ma trn phn xng)
S có A = B
1
+ B
2
;
Ví d:
15
27
⎡
⎣
⎢
⎤

= U, ta có A = D + L + L
T

2.4. Phép nhân ma trn vi 1 vô hng λ
:
Tích ca [A] vi vô hng λ là 1 ma trn [C] vi các phn t đã đc nhân vi λ:
c
ij
= λa
ij
. Ta có: [C] = λ[A] = [A]λ
Khi nhân vi (-1) ta đc ma trn đi du so vi ma trn xut phát: (-1)[A] = [-A].
Phép nhân này có tính giao hoán, tính phân phi và tính kt hp:
λ[A] = [A]λ; (αβ)A = α(βA); (α + β)A = αA + βA;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
10
2.5. Phép nhân hai ma trn: [A].[B]
iu kin: Hai ma trn phi tng thích, ngha là s ct ca ma trn đng tróc phi bng s
hàng ca ma trn đng sau.
Kí hiu:[C]
mxp
= [A]
mxn
.[B]
nxp

Qui tc: mun có s hng tng quát c
ij
phi nhân ln lt các s hng ca hàng th i ca [A]

⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=
abcx yz
abc x y z
abcxy z
++ ++
++ ++
++ ++
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
23 23
456456
789789

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
=
()() ( )()
( )() ()() ( )()
( )() ()() ( )()
()()()()
24 11
14 21 12
11 2 2 13
12 13
+−
−+ +−
−+ +−
−+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩

 đây ch thc hin 10 phép tính thay cho 4x4x1 phép tính.
Tính cht ca phép nhân:
2.5.1. Phép nhân không có tính giao hoán:
Nói chung A B # B A
Vì: -A có th tng thích vi B, nhng B có th không tng thích vi A.
-Nu c A và B ln B và A đu tng thích nhng kích thc 2 tích có th khác nhau, ví
d:
1
2
⎧
⎨
⎩
⎫
⎬
⎭

[]
34 =
34
68
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
#
[
]
34

01
11
1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
C
#
11
01
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
B

01
10
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
A

⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
;
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
11
+c bit vi MT đn v và MT rng:
[ I ] [ A ] = [ A ] [ I ] = [ A ] ; [ 0 ] [ A ] = [ A ] [ 0 ] = [ 0 ]
+Nhân 2 MT chéo cùng cp:
⎡ a
ii
⎦ ⎡ b
ii
⎦ = ⎡ a
ii
b
ii
⎦ =
ab
ab
ab
nn nn
11 11
22 22

T
; (A B C)
T
= C
T
B
T
A
T
; (A B C P Q)
T
= Q
T
P
T
C
T
B
T
A
T
;
(A A
T
)
T
= (A
T
)
T

nh ngha: Nghch đo ca MT vuông [A] là MT [A]
-1
cùng kích thc vi [A] và tha mãn
đng thc: [A] [A]
-1
= [A]
-1
[A] = [ I ].
Tính cht:
1. Nu A kh nghch thì A
-1
tn ti duy nht;
Thc vy, nu X là mt ma trn mà: X.A = I ⇒ X.A.A
-1
= I.A
-1
= A
-1
⇒ X.I = A
-1

Tc là X = A
-1
.
2. (A B)
-1
= B
-1
A
-1

-1
A.
⇒ B
-1
A
-1
= X
-1
A A
-1
⇒ B
-1
A
-1
= X
-1
.
Vy B
-1
A
-1
= (A B)
-1
.
Vi k là 1 vô hng thì: (kA)
-1
=
A
k
−

)
-1
= (A
-1
)
T
;
Ta có: (A
-1
)
T
A
T
= (A A
-1
)
T
= I
T
= I;
Vy (A
-1
)
T
là nghch đo ca A
T
hay (A
T
)
-1

6. Vi MT chéo gi: ⎡A
11
A
22
. . .A
nn
⎦
-1
= ⎡A
-1
11
A
-1
22
. . . A
-1
nn
⎦ .
Các phng pháp nghch đo 1 MT vuông:
1. Gii h n phng trình n n s: [A] [X] = [I] ⇒ [X] = [A]
-1

2. Gii bng MT liên hp
A
~
vi phn ph S A
ij
.
3. Phng pháp Gauss (PP kh dn h s)
4. Phng pháp Jordan (Joocđng)

,Z
G
và h to đ cc b
(riêng) x
L
,y
L
,z
L
. To đ ca vect A
trên h X
G
,Y
G
,Z
G
là A
xG
, A
yG
, A
zG
,
và trên h x
L
,y
L
,z
L
là A

ZZYZXZ
ZYYYXY
ZXYXXX
λλλ
λλλ
λ
λ
λ

Ta có công thc chuyn trc to đ nh sau:
)2.23(
;
;
;
333231
232221
131211
−
++=
++=
++=
zGyGxGzL
zGyGxGyL
zGyGxGxL
AAAA
AAAA
AAAA
λλλ
λλλ
λ

⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
zG
yG
xG
zL
yL
xL
A

312111
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

L
và X
G
,Y
G
,Z
G
.
Th (3-2.3a) vào (3-2.4a) ta có: A
G
= T
T
. T.A
G
; ⇒ T
T
. T = I ;
Ngha là T
T
là nghch đo ca T. Hay T
T
= T
-1
; Ta gi T là ma trn trc giao.
A
X
G

Y
G


PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
14
3. Gii h phng trình đi s tuyn tính:

ax ax ax b
ax ax a x b
ax a x ax b
nn
nn
nn nnnn
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
11 2 2
+++=
+++=
+++=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
; (3-3.1)
Sau vòng th nht (gi s a
11
# 0, nu a
11
=0 thì có th đi v trí n s và th t phng trình đ
có a
11
#0), ma trn h s có ct th nht ch còn phn t a
11
:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)1(
44
)1(
43

⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
)2(
44
)2(
43
)2(
34
)2(
33
)1(
24
)1(
23
)1(
22
14131211
00
00
0
aa

00
0
a
aa
aaa
aaaa

H phng trình (3-3.1) tr thành h phng trình đi s tuyn tính có ma trn h s là ma trn
tam giác.
Tng quát: nh vy sau khi thc hin n-1 vòng tính nh trên đi vi ma trn h s A và ma trn
các s hng t do B, ta có đc h phng trình:
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
15
)2.33(;

.
00
00
0

)1(
)2(
1
)1(
2
1
1
2
1

⎧
=
⎪
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

b
b
b
b
x
x
x
x
a
aa
aaa
aaaa

Các phn t ca các ma trn A và B trong mi vòng tính (gi k là ch s th t ca vòng lp
đang thc hin) đc bin đi theo các công thc sau:
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=
k
ss
k
is
k
sj
k

=−=
T đó ta đc giá tr các n:

;
)1(
)1(
−
−
=
n
nn
n
n
n
a
b
x

()
;
.
)2(
11
)2(
1
)2(
1
1
−
−−

nnj
a
xab
x
j
jj
n
jr
r
j
rj
j
j
j

3.1.1. Trng hp ma trn h s đi xng:
Trng hp ma trn h s đi xng cách tính toán thc hin tng t, ngoài ra do tính cht đi
xng a
ij
= a
ji
nên  vòng th k theo (3-3.3) ta có:
;.
)1(
)1(
)1()1()(
−
−
−−
−=

ji
a
a
aaa
Trc phép bin đi Gauss có a
ij
= a
ji
, và sau bin đi theo các công thc trên cng có a
(k)
ij
=
a
(k)
ji
, vy trc và sau phép bin đi Gauss các phn t đi xng vn gi nguyên tính đi xng.
Do đó, thut toán kh ch phi tin hành đi các phn t t ma trn tam giác trên. Aïp dng công
thc (3-3.3) vi các phn t t ma trn tam giác trên (có j≥i) và a
ij
= a
ji
:
(3-3.3)

(3-3.4)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
16
Min I
(i=1, ,n-n

⎫
+=
++=
−=
−=
−
−
−−
−
−
−−
niij
nssi
a
a
bbb
a
a
aaa
k
ss
k
si
k
s
k
i
k
i
k

⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxa
xxxx
xxxx
k
ss

⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
⎫
++=
+++=
−=
−=
−=
−
−
−−
−
−
−−
nsiij
nsssi
nk
a
a
bbb
a
a
aaa
k
ss
k

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
x
xx
xx
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
x
∑
+=
−
=

(3-3.7)
PHNG PHÁP S - Chng 2
Khoa XD DD&CN-BKN
17
;1,,2,1
0
+−−−= nnnni K
Min II:

;
.
0
1
ii
ni
ij
jiji
i
a
xab
x
∑
+
+=

n
nnn
111
221
331
1
0
0
()

()
()
()
()
()
==
=
=
==
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
+
+

⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
, T
T
=
t
tt
tt t
nn nn
11
12 22
12
00
0
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤

i
−
=
−
∑
2
1
1
; (1< i ≤ n),
t
ij
=
att
t
ij
ki
kj
k
i
ii
−
=
−
∑
1
1
; (i < j) t
ij
= 0 ; (i > j)
Nh vy h PT Ax = b đc chuyn thành vic gii 2 h tam giác:

⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
−
=
=
∑
−
=
)1(;
;
1
1
11
1
1
i
t
ytb
y
t
b
y
ii
i

⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
<
−
=
=
∑
+=
)(;
;
1
ni
t
xty
x
t
y
x
ii
n
ik
kiki
i


Gii HPT STT bng PP kh Gauss

START
Nhp n, A(a
ij
), B(b
i
)
(i, j = 1, 2, , n).
a
ii

ikb
j
= b
j
- p
j
.b
iGi CT con gii HPT có
h s là MT tam giác

START
Nhp n, A(a
ij
), B(b
i
)
(i = 1, 2, , n), i ≤ j ≤ n.
RETURN
Chng trình con gii HPT có ma
trn h s là MT tam giác
S = b
i

j = i+1, , n

sai
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
20
Chng 3: CÁC PHNG PHÁP TÍNH GN ÚNG.
1. Thut toán ni suy:
1.1. Gii thiu
Trong thc t ta thng gp bài toán: bng đo đc hoc thc nghim ta có đc giá tr
ca hàm s y=f(x) ti các đim x
0
, x
1
, x
2
x
n
trên đon [a, b] là y
0
, y
1
, y
2
y
n
trong khi
cha bit đc biu thc gii tích ca hàm s đó. Yêu cu xác đnh giá tr ca hàm ti
mt s đim trung gian khác.
 gi bài toán trên, ta xây dng hàm F(x) có biu thc đn gin sao cho: có giá tr trùng
vi giá tr ca hàm f(x) ti các đim x

i-1
, y
i
] tng ng.
x
1
y
1

Thut toán:  xác đnh y
0
, gi thuyt rng trên đon đã cho quan
x
2
y
2

h gia x và y là bc nht. Khi đó ta có phép ni suy bc nht nh sau:
-Gi s giá tr tìm đc ca x
0
trong bng tra tha mãn điu kin x
i
y
i

x
i-1
< x
0
< x

+CD
Mà
CD
BE
AD
AE
= ⇒ CD =
()
yy
xx
xx
ii
ii
i
−
−
−
−
−
−
1
1
01
;
⇒ y
0
= y
i-1
+
()

y
i-1

x O
y
0

PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
21
1.2.2. Chng trình:
-c s liu bng tra vào các vect X(n), Y(n). Cho giá tr x
0
;
-Tìm v trí ca x
0
trong bng tra tha: x
i-1
≤ x
0
≤ x
i
nh sau:
i:=1;
REPEAT
i:=i+1;
UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);
-Xác đnh y
0

y
j-1
y
0
y
j
y
n

x
1

x
2 x
i-1
z
i-1,j-1
z
i-1,j

x
0
z
1
z
0
z

i-1
< x
0
< x
i

y
j-1
< y
0
< y
j
.
-Trên ct (j-1) ni suy theo x
0
đ tìm đc z
1
(tc là z
1
=f(x
0
,y
j-1
):
z
1
= z
i-1,j-1
+
()

i-1,j
+
()
zz
xx
xx
ij i j
ii
i
,,
−
−
−
−
−
−
1
1
01
; (3-5.3)
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
22
-Ni suy z
0
t z
1
và z
2

-Tìm v trí ca x
0
và y
0
trong bng tra tha điu kin:
xxx
yyy
ii
jj
−
−
≤≤
≤≤
⎧
⎨
⎩
10
10
;
i:=1;
REPEAT
i:=i+1;
UNTIL (x0<=X[i]) AND ((x0>=X[i-1]);
j:=1;
REPEAT
j:=j+1;
UNTIL (y0<=Y[j]) AND ((y0>=Y[j-1]);
-Xác đnh z
0
theo trình t vi các công thc trên.

2
x
i
x
n
x
n+1

y y
1
y
2
y
i
y
n
y
n+1

Theo điu kin đt ra đ đ th ca hàm đi qua n+1 đim mc đã cho ta phi có:
f(x
1
) = a
0
+ a
1
x
1
+ a
2

2
;

f(x
n
) = a
0
+ a
1
x
n
+ a
2
x
n
2
+ + a
n
x
n
n
= y
n
;
f(x
n+1
) = a
0
+ a
1

2
1
xx x
xx x
xx x
n
n
nn n
n

++ +
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
a
a

⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎫
⎬
⎪
⎪
⎭
⎪
⎪
; (3-5.5)
Hay A
n+1,n+1
X = B;
Nh vy vect h s ca đa thc cn tìm chính là nghim ca h PT đi s tuyn tính (3-5.5).
1.4.2. Chng trình:
-c s liu ta đ ca n+1 đim mc vào các vect x(n+1), y(n+1);
-Xây dng h PT(3-5.5):
FOR i:=1 TO n+1 DO
BEGIN
A[i,1]:=1;
FOR j:=2 TO n+1 DO A[i,j]:= A[i,j-1]*x[i];
B[i]:=Y[i];
END;
-Gii h PT A
n+1,n+1
X = B theo các PP đã bit.

.
Sao cho P
n
(x) trùng vi f(x) ti các nút x
i
, ngha là: P
n
(x
i
) =y
i
; i= 0, 1, , n.
Lagrng đã xây dng đa thc ni suy di dng:

)6.53();(.)(
0
−=
∑
=
n
j
jjn
xLyxP
Trong đó:
)7.53(;
)( )).(( )).((
)( )).(( )).((
)(
1110
1110

1
)( nên P
n
(x
i
) = y
i
; i =0, 1, , n.
u đim ca đa thc ni suy Lagrng là đn gin, nhng nu thêm nút ni suy thì phi tính li
toàn b.
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
24
1.5.2. S đ khi ca thut toán:

j = 0, 1, 2, , n
G = 1
k ≠ j
sai
G = G.(x - x
k
)/(x
j
- x
k
)
P = P + y
j
.G
k = 0, 1, 2, , n
đúng
PHNG PHÁP S - Chng 3

Khoa XD DD&CN-BKN
25
1.6. a thc ni suy vi nút cách đu:
1.6.1. Sai phân hu hn:
Gi s hàm y=f(x) có giá tr y
i
= f(x
i
) ti các nút cách đu nhau vi:
x
i+1
- x

2
y
i+1
- ∆
2
y
i
= y
i+3
- 3y
i+2
+ 3y
i+1
- y
i
;

- Sai phân cp n: ∆
n
y
i
= ∆
n-1
(∆y
i
) = ∆
n-1
y
i+1
- ∆

x + a
n
; khi đó: ∆
n
(y) = a
0
n!h
n
;
1.6.2. Bng sai phân hu hn:
 xây dng đa thc ni suy ta phi lp bng sai phân nh sau vi các sai phân ∆y, ∆
2
y, ∆
2
y
đc tính theo (3-5.8):
x y
∆
y ∆
2
y ∆
3
y
x
0

x
1

x

0

∆
2
y
1

∆
2
y
2
∆
2
y
3

∆
3
y
0

∆
3
y
1

∆
3
y
2

n-1
);
Các h s a
i
đc xác đnh sao cho P
n
(x
i
) = y
i
: (i=0, 1, , n)
Cho x = x
0
ta đc a
0
= P
n
(x
0
) = y
0
;
Cho x = x
1
ta đc
;
)(
001
01
01

=
i
i
i
hi
y
a

Vy đa thc ni suy có dng:
);() (
!
)).((
!2
)(
!1
)(
10
0
10
2
0
2
0
0
0 −
−−
∆
++−−
∆
+−

Thay vào (3-5.11) đc:
)12.53(;
!
)1() 1(

!2
)1(
.)(
00
2
00
−∆
+
−
−
++∆
−
+∆+= y
n
nttt
y
tt
ytyxP
n
n

Các đa thc theo (3-5.11) và (3-5.12) gi là đa thc ni suy Niutn tin xut phát t x
0
vi các
nút cách đu, thng dùng khi tính giá tr hàm ti x gn x

0
, y
1
, y
n
.
t = (x - x
0
)/h

i = 0, 1, 2, , n - 1

D
i
= y
i+1
- y
ii = 2, 3, , n
t = t.(t - i + 1)/i
P = P + t. D
0

j = 0, 1, , n - i
D
j
= D
j+1

(x - x
n
) (x - x
1
);
Các h s a
i
(i=0, 1, , n) đc xác đnh sao cho P
n
(x
i
) = y
i
:
Cho x = x
n
ta đc a
0
= P
n
(x
n
) = y
n
;
Cho x = x
n-1
, y
n-1
= a

Vi a
i
theo (3-5.13), đa thc ni suy có dng:
);() (
!
)).((
!2
)(
!1
)(
1
0
1
2
2
2
1
xxxx
hn
y
xxxx
h
y
xx
h
y
yxP
n
n
n

i
= t.h + (n - i).h = (t + n - i).h; thay
vào (3-5.14) đc:
;
!
)1() 1(

!2
)1(
!1
)(
02
2
1
y
n
nttt
y
tt
y
t
yxP
n
nnnn
∆
−
+
+
++∆
+

Khoa XD DD&CN-BKN
28
Ni dung ca PP bình phng bé nht là chn hàm xp x P(x) thuc mt lp hàm nào đó đn
gin hn f(x). Hàm P(x) s ph thuc mt s tham s, các tham s này đc xác đnh sao cho
sai s bình phng
[]
∑
=
−=
n
i
ii
xPxfS
1
2
)()( là bé nht.
1.7.2. Hàm xp x ph thuc các tham s mt cách tuyn tính:
1.7.2.1. Trng hp P(x) = ax + b:
Chn P(x) = ax + b;
Khi đó thay f(x
i
) = y
i
và P(x
i
) = ax
i
+ b vào công thc tính sai s bình phng S ta có:

[]

⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
∑∑
∑∑∑
;.
;.
2
ii
iiii
ynbxa
yxxbxa

1.7.2.2. Trng hp P(x) = ax2 + bx + c:
Sai s bình phng S s là:
[
]
∑
=
−−−=
n
i
iii
cxbxayS
1
2
2

∑∑∑
∑∑∑∑
∑
∑∑∑
;.
;.
;.
2
23
2234
iii
iiiii
iiiii
yncxbxa
xyxcxbxa
xyxcxbxa

1.7.2.3. Trng hp P(x) = a + b.cosx + c.sinx:
Khi đó:
[]
∑
=
−−−=
n
i
iii
xcxbayS
1
2
sin.cos ;

∑∑∑∑
∑
∑
∑
;sinsincossinsin
;cos.cossincoscos
;sincos.
2
2
iiiiii
iiiiii
iii
xyxcxxbxa
xyxxcxbxa
yxcxbna