BÀI TẬP VỀ CON LẮC ĐƠN
Câu 1: Một con lắc đơn dao động điều hoà theo phương trình li độ góc α = 0,1cos(2πt + π/4) ( rad ).
Trong khoảng thời gian 5,25s tính từ thời điểm con lắc bắt đầu dao động, có bao nhiêu lần con lắc có độ
lớn vận tốc bằng 1/2 vận tốc cực đại của nó?
A. 11 lần. B. 21 lần. C. 20 lần. D. 22 lần.
Giải:
Trong một chu kì dao động có 4 lần v =
2
max
v
tại vị trí
W
đ
=
4
1
W > W
t
=
4
3
W
tmax
tức là lúc li độ
α = ±
2
3
max
α
Chu kì của con lắc đơn đã cho T =
ω

2
π
=
10m/s
2
. Để con lắc dao động duy trì với biên độ góc 6
0
thì phải dùng bộ máy đồng hồ để bổ sung năng
lượng có công suất trung bình là
A. 0,77mW. B. 0,082mW. C. 17mW. D. 0,077mW.
Giải:
α
0
= 6
0
= 0,1047rad.
Cơ năng ban đầu W
0
= mgl(1-cosα
0
) = 2mglsin
2
2
0
α
≈ mgl
2
2
0
α

-3
J
α
0
O M
0
A
T = 2
g
l
= 2
2
64,0

= 1,6 (s)
Cụng sut trung bỡnh cn cung cp con lc dao ng duy trỡ vi biờn gúc l 6
0
W
TB
=
3
3
10.082,0
32
10.63,2
20


==


điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu suất 25%. Pin
có điện lợng ban đầu
( )
CQ
4
0
10
=
. Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
Gii: Gi l gim biờn gúc mi l qua v trớ cõn bng =
0
-
C nng ban u ca con lc n
W
0
= mgl(1-cos
0
) = mgl,2sin
2
22
2
0
2
0

mgl

Vi

l =

0
+ )l > =
00245,0
2
=
mg
F
c

0
=
08722,0
180
14,3.5
=
W = 2F
c
(
0
+ )l = 2F
c
(2
0
- )l = 0,00376 (J).
õy l phn nng lng tiờu hao sau mt chu kỡ tc l sau 2s
Nng lng ca ngun: W = EQ
0
= 3.10
4
(J)

0

A’
A
O M
Ft
0

T
1
= 2π
g
l∆
; T
2
= 2π
g
l
; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn
T
1
= T
2
> ∆l = l
Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật:
g’ = g + a

Khi đó vị trí cân bằng là O’
T’
1

'
2
1
=
T
T
> T’
1
= 1,2 T’
2
= 1,2 .5/6 = 1s.
Chọn đáp án B
Câu 5: Treo một vật trong lượng 10N vào một đầu sợi dây nhẹ, không co dãn rồi kéo vật khỏi phương
thẳng đứng một góc α
0
và thả nhẹ cho vật dao động. Biết dây treo chỉ chịu được lực căng lớn nhất là
20N. Để dây không bị đứt, góc α
0
không thể vượt quá:
A: 15
0
. B:30
0
. C: 45
0
. D: 60
0
.
Giải Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M: v

. Chọn đáp án D
Câu 6: Một con lắc đơn gồm 1 vật nhỏ được treo vào đầu dưới của 1 sợi dây không dãn, đầu trên của sợi
dây được buộc cố định. Bỏ qua ma sát của lực cản của không khí. Kéo con lắc lệch khỏi phương thẳng
đứng một góc 0,1rad rồi thả nhẹ. Tỉ số độ lớn gia tốc của vật tại VTCB và độ lớn gia tốc tại vị trí biên
bằng: A: 0,1. B: 0. C: 10. D: 1.
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M:
v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
) > v =
0
)cos2gl(cos
αα
−
a =
22
ttht
aa +
>a
ht
=
l
v
2
= 2g(cosα - cosα
0
)

2
0
α
Tại biên : α = α
0
nên a
ht
=0 > a
B
= a
tt
= gα
0
Do đó :
B
a
a
0
=
0
2
0
α
α
g
g

= α
0
= 0,1 . chọn đáp án A

T
TT '∆−
)
2
=
l
ll ∆−
< > 1 -
T
T∆2
+ (
T
T∆
)
2
= 1 -
l
l∆
< >
T
T
∆
2
- (
T
T
∆
)
2
=

2
4
T
l∆
< >
T
8,0
-
2
2
4,0
T
=
2
44,0.4
T
>
T
8,0
=
2
92,1
T
>
T
92,1
= 0,8 > T = 2,4 (s). Chọn đáp án B
Câu 8: Một con lắc đơn có chiều dài l= 40cm , được treo tại nơi có g = 10m/s
2
. Bỏ qua sức cản không

0
) +
2
2
0
mv
< >
mgl
2
2
max
α
= mgl
2
2
0
α
+
2
2
0
mv
< >
2
max
α
=
2
0
α

max
> ϕ = π.
Vậy: Phương trình dao động của con lắc theo li độ cong s = S
max
cos( ωt + ϕ)
s = 4
2
cos( ωt +π ) (cm). Chọn đáp án B
Câu 9. Một con lắc đơn gồm vật có khối lượng m, dây treo có chiều dài l = 2m, lấy g = π2. Con lắc dao
động điều hòa dưới tác dụng của ngoại lực có biểu thức F = F0cos(ωt + π/2) N. Nếu chu kỳ T của ngoại
lực tăng từ 2s lên 4s thì biên độ dao động của vật sẽ:
A tăng rồi giảm B chỉ tăng C chỉ giảm D giảm rồi tăng
Giải;
Chu kỳ doa động riêng của con lắc đơn T
0
= 2π
g
l
= 2π
2
2
π
= 2
2
(s)
Khi tăng chu kì từ T
1
= 2s qua T
0
= 2

2
α
Độ giảm cơ năng sau mỗi lần qua VTCB:
∆W =
])(.2[
2
])([
2
222
αααααα
∆−∆=∆−−
mglmgl
(1)
Công của lực cản trong thời gian trên:
A
cản
= F
c
s = 0,001mg(2α - ∆α)l (2)
Từ (1) và (2), theo ĐL bảo toàn năng lượng: ∆W = A
c])(.2[
2
2
ααα
∆−∆
mgl
= 0,001mg(2α - ∆α)l

0
vận tốc của m
1
trước khi va chạm với m
2
; v vận tốc của hai vật ngay au va chạm
Theo ĐL bảo toàn động lượng ta có: m
1
v
0
= (m
1
+ m
2
)v > v =
21
1
mm
m
+
v
0
=
5
4
v
0
(*)
Theo ĐL bảo toàn cơ năng cho hai trường hợp:


v
=
25
16
>
1- cosα) =
25
16
(1- cosα
0
) =
25
16
2
1
=
25
8
= 0,32
cosα = 0,68 > α = 47,156
0
= 47,16
0
. Chọn đáp án B
Câu 12 : Một con lắc đơn đếm giây có chu kì bằng 2s, ở nhiệt độ 20
o
C và tại nơi có gia tốc trọng trường
9,813 m/s
2
, thanh treo có hệ số nở dài là 17.10


101+
'g
g
Do << 1 nờn

101+
1 +
2
'1
10 = 1+5
> T = (1+5)T
'g
g
= ( 1 + 5.17.10
-6
).2.
809,9
813,9
2,00057778 (s) 2,0006 (s). ỏp ỏn D
Cõu 13: Mt con lc n cú chiu di 1m, u trờn c nh u di gn vi vt nng cú khi lng m.
im c nh cỏch mt t 2,5m. thi im ban u a con lc lch khi v trớ cõn bng mt gúc (
= 0,09 rad (goc nh) ri th nh khi con lc va qua v trớ cõn bng thỡ si dõy b t. B qua mi sc
cn, ly g =
2
= 10 m/s
2
. Tc ca vt nng thi im t = 0,55s cú giỏ tr gn bng:
A. 5,5 m/s B. 0,5753m/s C. 0,2826 m/s D. 1 m/s
Gii:

-
2
2
gt
> h
0
h =
2
2
gt
mgh
0
+
2
2
0
mv
= mgh +
2
2
mv
> v
2
= v
0
2
+ 2g(h
0
h) = v
0

=

. Do chịu tác dụng của một lực cản không đổi
( )
NF
C
011,0=
nên nó chỉ dao động đợc một thời gian
( )
s

rồi dừng lại. Ngời ta dùng một pin có suất điện động
( )
V3
điện trở trong không đáng kể để bổ sung năng lợng cho con lắc với hiệu
suất 25%. Pin có điện lợng ban đầu
( )
CQ
4
0
10=
. Hỏi đồng hồ chạy đợc thời gian bao lâu thì lại phải thay pin?
Cỏch 1:
C nng ban u ca con lc n
W
0
= mgl(1-cos
0
) = mgl,2sin
2

+ α)l
2
22
0
αα
−
mgl
=
F
c
(α
0
+ α)l > ∆α =
00245,0
2
=
mg
F
c
α
0
=
08722,0
180
14,3.5
=
∆W = 2F
c
(α
0

co ich
/∆W =
462.5,19946808
00376,0
2.7500
==
ngày
Cách 3:Ta tìm đc
Cơ năng của con lắc đơn là
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kỳ là
Số dao động toàn tần thực hiện được với cơ năng trên là
Năng lượng pin cung cấp cho con lắc là:
ngày
Bạn xem thử
2 2 2
2
0 0
1 gT 1 10.2 5.
W m 1 0,03858(J)
2 2 2 2 180
π
     
= α = =
 ÷  ÷  ÷
π π
     
Độ giảm biên độ sau mỗi chu kì :
3
c
4F

0
W
W
q 4 .
U U.
= = ∆α
α
Thời gian hoạt động của pin :
4
0 0 0
3
0
Q Q .U.
10 .3.5.
T .T .2 7711231,32(s) 89,25(ngày).
q 4W . 4.0,03858.4,4.10 .180
−
α
π
τ = = = = ≈
∆α
Một con lắc gồm quả cầu có khối lượng 400g và sợi dây treo không dãn có trọng lượng không đáng kể,
chiều dài 0,1 (m) được treo thẳng đứng ở điểm A. Biết con lắc đơn dao động điều hòa, tại vị trí có li độ
góc 0,075 (rad) thì có vận tốc 0,075
3
(m/s) Cho gia tốc trọng trường 10(m/s
2
) Cơ năng dao động
A. 4,7 mJ B. 4,4 mJ C 4,5 mJ D 4,8 mJ
Giải: ta có

Vậy W =
2 2 2 3
0
1 1
.0,4.100.0,015 4,5.10 4,5
2 2
m S J mJ
ω
−
= = =
Câu 23: Hai con lắc đơn có cùng khối lượng vật nặng, dao động trong hai mặt phẳng song song cạnh
nhau và cùng vị trí cân bằng. Chu kì dao động của con lắc thứ nhất bằng hai lần chu kì dao động của con
lắc thứ hai và biên độ dao động của con lắc thứ hai bằng ba lần con lắc thứ nhất. Khi hai con lắc gặp
nhau thì con lắc thứ nhất có động năng bằng ba lần thế năng. Tỉ số độ lớn vân tốc của con lắc thứ hai và
con lắc thứ nhất khi chúng gặp nhau bằng
A. 4. B.
14
.
3
. C.
140
.
3
. D. 8.
Giải:
Coi dao động của các con lắc có biên độ nhỏ: A
1
= l
1
.α

1
= mgl
1
.
2
2
1
α
Khi động năng bằng 3 lần thế năng ta có: E
đ1
=
4
3
E
1
=
4
3
mgl
1
.
2
2
1
α
=
8
3
mgl
1

.
4
2
11
α
l
18. mgl
1
.
2
1
α

Khi hai vật gặp nhau thế năng vật 2: E
t2
=
2
m
22
2
S
ω
=
( )
2
1
2
.
.2
.

Động năng của vật 2: E
đ2
= E
2
- E
t2
= 18. mgl
1
.
2
1
α
-
2
2
11
α
mgl
=
2
.35
2
11
α
mgl
Suy ra:
3
140
.3
8

=
v
v
Câu 33: Một con lắc đơn có chiều dài 2m được treo vào trần nhà cách mặt bàn nằm ngang
12m. Con lắc đơn dao dộng điều hòa với biên độ góc α
0
=0,1rad, tại nơi có gia tốc trọng
trường g=9,8m/s
2
. Khi vật đang đi qua vị trí thấp nhất thì dây bị đứt. Xác định khoảng
cách từ hình chiếu của điểm treo con lắc lên mặt sàn đến điểm mà vật rơi lên trên sàn?
DS:
cm1020

Khi
vật đang đi qua vị trí thấp nhất thì dây bị đứt, lúc này vật có vận tốc

)/(1014)/(
50
107
)1,0.2(
2
8,9
)(
0max
scmsml
l
g
AV =====
αω

1
= 2π
g
l∆
; T
2
= 2π
g
l
; Với ∆l : độ giãn của lò xo; l chiều dài của con lắc đơn
T
1
= T
2
> ∆l = l
g g’
O’ a
A’
A
O M
Ft
0

Khi đặt các con lắc trong điện trường gia tốc trọng trường hiệu dụng tác lên các vật:
g’ = g + a

Khi đó vị trí cân bằng là O’
T’
1
= 2π

2
1
=
T
T
> T’
1
= 1,2 T’
2
= 1,2 .5/6 = 1s.
Chọn đáp án D
Bài 5: Một con lắc đơn dao động điều hòa với biên độ α
0
tại nơi có gia tốc trọng trường là g. Biết gia tốc
của vật ở vị trí biên gấp 8 lần gia tốc của vật ở vị trí cân bằng. Giá trị α
0
là
A. 0,25 rad B. 0,375 rad C. 0,125 rad D. 0,062 rad
Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M:
v
2
= 2gl( cosα - cosα
0
) > v =
0
)cos2gl(cos
αα
−

= a
ht
= 2g(1-cosα
0
) = 2g.2sin
2
2
0
α
= g
2
0
α
Tại biên : α = α
0
nên a
ht
=0 > a
B
= a
tt
= gα
0

Do đó :
B
a
a
0
=

A. con lắc m
1
dừng lại sau cùng. B. cả 3 con lắc dừng cùng một lúc.
C. con lắc m
3
dừng lại sau cùng. D. con lắc m
2
dừng lại sau cùng.
Giải: Gọi ∆α là độ giảm biên độ góc mỗi lần qua vị trí cân bằng ∆α = α
0
- α
Cơ năng ban đầu của con lắc đơn
A’
A
M
Ft
O P
0

W
0
= mgl(1-cosα
0
) = mgl.2sin
2
22
2
0
2
0

c
2
Độ giảm biên độ góc sau mỗi lần qua VTCB tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Vật có khối lượng càng
lớn thì độ giảm biên độ góc ∆α càng nhỏ, vật dừng lại lâu hơn Do đó con lắc m
1
dừng lại sau cùng.
Chọn đáp án A
Tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
, một con lắc đơn có chiều dài 1 m, dao động với biên độ góc
60
0
. Trong quá trình dao động, cơ năng của con lắc được bảo toàn. Tại vị trí dây treo hợp với phương
thẳng đứng góc 30
0
, gia tốc của vật nặng của con lắc có độ lớn là
A. 1232 cm/s
2
B. 500 cm/s
2
C. 732 cm/s
2
D. 887 cm/s
2
Giải: Giải
Xét thời điểm khi vật ở M, góc lệch của dây treo là α
Vận tốc của vật tại M là v:
Theo ĐL bảo toàn cơ năng ta có
2
2

= 2.10.(cos30
0
– cos60
0
) = 10.(
3
-1) = 7,3205 m/s
2

a
tt
=
m
F
tt
=
m
P
α
sin

= gsinα = 5m/s
2

Độ lớn gia tốc của vật nặng tại M khi α = 30
0
a =
22
ttht
aa +

7
5
. D. T
1
5
.
Giải: Ta có Gia tốc do lực điện trường gây ra cho vật a =
m
F
=
m
Eq
( E là độ lớn cường độ điện
trường)
Khi điện trường nằm ngang:
T
1
= 2π
1
g
l
Với g
1
=
22
ag
+
. tanα =
P
F

1
g
1
2
T
T
=
2
1
g
g
=
g
g
4
1
4
5
=
5
> T
2
= T
1
5
. Chọn đáp án D