Giải một số bi toán dãy số tổ hợp
Theo quan điểm "Đại số của không gian các dãy" Phạm Văn Thế

A/ Đặt vấn đề
Trong một số bài toán Đại số ở chơng trình trung học phổ thông, ngòai
các bài dạng lập số , mà ngời làm toán cần hiểu rất sâu về khái niệm tổ hợp,
chỉnh hợp và hoán vị cũng nh nắm vững bản chất các khái niệm đó, nhng còn
một lớp các bài toán về dãy (đa số là tổ hợp) hay đợc nhắc đến trong các kỳ thi.
Với những bài toán nêu ở trên, đa phần các lời giải theo quan điểm tính
toán: Tức là gửi công thức vào để khai triển. Cũng có một số bài đa vào việc
khai triển các đa thức biến x (khả vi và khả tích) để dùng các phép toán đạo hàm
và tích phân. Vậy cái gốc của các vấn đề ở đâu ? Câu trả lời là có thể nhìn một
dãy đó theo quan điểm Không gian Đại số các dãy. Từ đó ta có thể giải quyết
đợc một lớp nhỏ các bài toán dạng này.
Vì trình độ cũng nh sự hạn chế về giảm tải nội dung của chơng trình
THPT, tôi trình bày ba vấn đề thờng gặp nhất. Mong các đồng nghiệp góp ý.

B/ Quan điểm "Đại số của không gian các dãy" - Thuật toán
I/ Đại số các dãy;
Cho hai đa thức

xaxaxaaxP
n
++++= )(
2
210
Ta có:


Khi cho đồng nhất
{
}
{
}
aaxP
n
=

0
)(

{
}
{
}
bbxQ
n
=

0
)(

Phép nhân hay gọi là tích chập a
)().( xQxP

b đợc định nghĩa nh
trên ta có một đại số giáo hoán, có đơn vị :
)0,0,1(
=

M



T
T
T
S
S
S



B
B
B



I
I
I

P
P
P
T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O
Q
Q
Q
U
U
U
A
A

ễ
N
N
N
G
G
G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N
C
C
C



0

=+
+
=
Các ví dụ áp dụng
VD I.1
Với k, n là hai số tự nhiên k n. Chứng minh
k
n
k
n
k
n
CCC +=

+
1
1

Đây là một công thức trong sách giáo khoa HH12, việc chứng minh khá
đơn giản, chỉ cần thay công thức và biến đổi .
Với quan điểm tích chập (Thực chất là nhân hai đa thức) Ta viết nh sau:
Xét đồng nhất thức:
(*)
)1()1()1(
1
xxx
nn
++=+

+
ijxCCxx
xCCx
xCxCCx
xCxCxCCx
kji
n
n
kji
n
ok
n
nn
nnn
n
nn
n
kk
nnn
n
So sánh hai số hạng chứa x ở hai vế của (*)
k
Với VP = là

1
)1(
+
+
n
x

n
k
n
CCCCCCC
11
1111

Với (đpcm)
1
1
1
11
1;1(

+
+===
k
n
k
n
k
n
o
CCCCC
Các bạn đừng nghĩ rằng đã phức tạp lời giải của bài toán đơn giản. Cái
chính là ta hiểu cách chứng minh qua một bài toán đơn giản.
VD I.2. (Đề thi của trờng ĐHCS ND)
Với hai số tự nhiên k, n
)2( nk





ă
n
n
n
T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế



T
T
T
ổ
ổ

ờ
n
n
n
g
g
g
T
T
T
H
H
H
P
P
P
T
T
T
K
K
K
I
I







3
=+
+
==
kji
ji
n
k
n
jCCC )2;1;0(
2222
2
11
2
0
22

+
++=
k


4,,
ta có:

k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CCCCCC
4
4321
4464
+

=++++

VD I.4.(Đề thi của trờng ĐH Hồng Đức)
Cho n, k là các số tự nhiên ,
.5 nk


Chứng minh.


Sau đây là bài toán tổng quát.
VD I.5 ( Công thức Vanđecmon)
Với k, m, n là các số tự nhiên,
., nkmk


Chứng minh.

k
nmm
k
nm
k
n
k
mn
k
m
o
n
CCCCCCCCC
+

=++++
01111

Bải giải. Xét đồng nhất thức.

nmmn

CCCCCCCCC
+

=++++
011110



M
M
M



T

O
O
A
A
A
N
N
N
T
T
T



H
H
H



P
P
P




I
I
I



M
M
M
K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
D
D
D



Y
Y
Y
4
Một số ví dụ khác
VD I.6 Chứng minh rằng
Nn


.Ta có

n
n
n
nnn
CCCC
2
22120
)( )()( =+++

kji
k
n
j
n
i
n
nkCCC )20(
2
Cho k = n nên i +j = n ( số hạng chứa x
n
)


=+

==
nji
in
n
i
n
n
n
in
n
i
n
CCdoCCC
2


=( C ) .
n
n
2
2
Theo Ví dụ I.6 ta có
=+++=
22120
2
)( )()(
n
nnn
n
n
CCCC

=
n
k 0
()
[]
2
2
2
!)!(
)!(
knk
n


n
n
k


=
= . =( C )
n
n
C
2
n
n
C
2
n
n2
2
( Điều phải chứng minh )

VD I.8.( Đề thi khối D - 2003)
Xác định số n. Biết rằng trong khai triển
nn
xx )2()1(
2
++ , hệ số chứa đợc xác định bởi
33 n
a
33 n
x

++
(*)



V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n
T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế





r
r



ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g
T
T
T
H
H
H
P
P
P
T
T
T









5

Hệ số của số hạng chứa x cũng là hệ số của số hạng chứa trong
khai triển (*).
33 n
3
x
Ta có
nn
x
x
)
2
1()
1
1(
2
++
= =

Vì chứa nên ta có:
3
x
3232
=
+
= jiji

Vì: nên ta có các khả năng.
Nji ,

3
)434(
2
6
8)2)(1(
22
11
30
2
2
11330
33
+
=
+

=
+=
==


03532
2
= nn




=
=

)(
5
2
7
loain
n

Vậy ta có n = 5.

VD I.9. (Đề thi BQP-2002-khối D)
Tìm số hạng chứa trong khai triển
4
x
102
)1( xx ++
Viết
[
]
10

4
=
+
+
=ahay

Chú ý rằng khi giảng dạy cho học sinh ta rất hạn chế kí hiệu Xichma.
Còn không thể đợc thì bài trên ta viết.


=

+=
10
210
10
)1()(
ok
kkk
xxCxP




I
I
I
T
T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N
T
T
T





Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N



I
I
I



M
M
M
K
C
C
C



C
C
C
D
D
D



Y
Y
Y
6


=




=
10
0
10
0
2
1010
k
k
i
iki
k
k
xCC
Cho Ta có Cho Ta có
42 =+ ik
40

=

=

=
10
0
10
0

1010
k
k
i
iki
k
k
xCC
42 =+ ik
40
=

=
ik21
=

=
ik02
=

=
ik
x

52
)1( xx ++

II/ Biến đổi dãy

Cho X là không gian các dãy
{
}

0
n
x{
}
n
xxXx
=
)(
Toán tử D :
XX

{
}
{
}
nnn

0
10
x
x
xxR
Gọi là toán tử tích phân.
Nếu
{}
{
}
, , ,,
1100 nnnp
xpxpxpxD
=

Ta có toán tử sai phân với các trọng số ,
10
pp
Trong chơng trình toán - THPT ta có công thức

C

1
1
1 +
+
+
=+
k
n



P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ




T
T
T
ổ
ổ
ổ
T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n

T
T
T
K
K
K
I
I
I
m
m
m
T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n









11
)1(


=

kkk
PkPP ( Kiểu sai phân có trọng số)
(2)
1
1
1
1




=
k
n
k
n
C
k
n
C
(Kiểu đạo hàm)
(3)
1
1

0
NnkiCCC
n
i
i
k
k
==
(b)
6
)2)(1(
;
2
)1(
;
321


=

==
nnn
C
nn
CnC
nnn

Từ hai khai triển cơ bản Ta có
nn
)11(,)11( +

11
2
1
1 n
CCCS +++=

Theo dạng sai phân

22
1
1
kkk
CCC =
+
Cho ta có
1 ,,1, = nnk
22
1
1
nnn
CCC =
+

2
1
2
1
=
nn
n

1
nn
CCCC
nnn
+
==+++
+
(đpcm)
Với các sai phân bậc 1 nh trên ta có các ví dụ sau với cách làm tơng tự.

M
M
M



T
O
O
O
A
A
A
N
N
N
T
T
T



H
H
H



P
P

N



I
I
I



M
M
M
K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N

C
D
D
D



Y
Y
Y
8
VD II.2 Tính tổng.

)1( 3.22.1
+
+
+
+
=
nnS

HD. Viết:
2
1

HD:
3
2
3
4
3
3
!3
+
+++=
n
CCCS
và áp dụng công thức
với
44
1
3
kkk
CCC =
+
)2, ,4,3(
+
=
nk

VDII.4 Chứng minh :

13210
)1( 32)(


(
)
!12!1
22
kkkkkkk ++=++

(
)
!.!1
2
kkkk +=!.!)1)(1( kkkk

+
+
=[
]
!!)1(!)1(!)2( kkkk

+

+

+
=

4
4

nn
CCCCC =++++

b/
32
1
2
4
2
3
2
2

nn
CCCCC =++++


P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m
V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n


T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n
T
T
T
r
r
r



ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h
h
h








9

r
k
r
k
CCC =
+

1
1
Cho
1 ,,,1


=
mrrk
và cộng vế
Một số bài toán đợc chế biến.
VDII.8. Chứng minh.

(
)
(
)
p
n
p
p
n
p
nnn

1
1
1
2
1
1
0
1
1
0
1
111
1






+=
+=
=
=
M
Cộng vế
(
)
p
n
p

1999
2000
3
2000
1
2000
CCC +++=
Từ khai triển cơ bản

(
)
2000
2000
2000
1999
2000
2
2000
1
2000
0
2000
11 +=+++++ CCCCC(
)
2000
2000
2000

=
S
S M
M
M



T
T
T


A
A
N
N
N
T
T
T



H
H
H



P
P
P
T



I
I
I



M
M
M
K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G


D
D



Y
Y
Y
10
VD II.10 ( toán tử tích phân)
Chứng minh với n
N ta có

()
()
()

+
=
+
++
12
1
12
1
1
4

1
1
1
1
2
1
1
1
10
1
=
+
+
++
+

+
n
n
n
n
C
n
n
C
n
C
n

Chuyển sang vế phải

C
n
C
n

áp dụng công thức
1
1
1
1
+
+
=
+
+
k
n
k
n
CC
k
n
với k=0, , n


(
)
01
1
1

12
1
1

2
1
1
10
+

=
+
+++
+
n
C
n
CC
n
n
nnn
( chứng minh tơng tự )

VD II.12.( Phơng pháp toán tử đạo hàm).
Chứng minh với n
N ta có
121
2 2

=+++


=
k
n
k
n
CC
n
k
với k = 1; 2; 3; ; n.
(1)

11
1
1
1
10
2




=+++++
nn
n
k
nnn
CCCC
đúng do khai triển
(


P
P
P
h
h
h
ạ



T
T
T
ổ
ổ
ổ
T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n


P
P
T
T
T
K
K
K
I
I
I
m
m
m
T
T
T
h
h
h
à
à
à
n










=
k
n
k
n
CnnCkk
(phơng pháp toán tử đạo hàm cấp
hai)

2
2
1
1
2
2
1
1
)1(
)1(
(*)






=



=
2
0
)
Từ đồng nhất thức
(
)
(
)
ckbakkacbkka +++=++ 1
2

tổng trên viết thành.

() ( )
k
n
n
k
k
n
n
k
k
n
n
k
CcCkbaCkkaT .1
000





==


=


k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
CnnCkkCC
n
k
C
n
k
n
k() ()

21

=
n
nnaT
Tơng tự

()
()
[]
22
3
1
2
242
2
2


+++=
=
+=
n
n
n
cnbanaT
cT
nbaT

VD II.15 (Bài toán phối hợp phơng pháp toán tử sai phân cùng toán tử

++
=+++
nn
CCCC
HD. Ta có :
6
)2)(1(
3
2
+
+
=
+
kkk
C
k
I
I
T
T
T
O
O
O
A
A
A
N
N
N
T
T
T



H

U
U
A
A
A
N
N
N



I
I
I



M
M
M
K
K
K
H

C
C



C
C
C
D
D
D



Y
Y
Y
12
3
2
23
623
+
=++

+
+++
n
CCCnn
nnn
n

(
)
3
2
3
4
3
3
333
6)1(
2
)342)(1(
21
+
+++=++

+
+
+++
n
CCCnn
nn
n

2
3
3
333
6 6 21
+++
+++=+++
nnn
CCCCn(
)
2
1
3
1
3
4
3
3
6
++
++++=
nn
CCCC
(đpcm)

b) Tính tổng


222

2
)1(
2
3
12
+
+=
+
nn
CS
n6
)12)(1(
2
)1(
3
)1()1( +
+
=
+
+

+
=
nnnnnnnn


hayx






++
1
11


h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m
V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n
T
T
T
h
h
h
ế

n
n
T
T
T
r
r
r



ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g
T
T
T
H

à
à
n
n
n
h
h
h








13

với x nguyên nào đó.

III/ Cực trị rời rạc
1/ Đề dẫn
Bài toán. Xét cặp số tự nhiên ( m, n ) có tổng bằng 9. Tìm max(m.n)
Lời giải.
Ta coi (vì chúng không thể bằng nhau)
nm

10
+


nm
(đúng)
Độ lệch pha là 2. Nên cứ giảm cho đến khi không giảm đợc nữa
Minh họa ( độ lệch pha)
}
}
2
145
2
336
527
2
718







Từ đó
4,5 == nm
Tất nhiên lời giải bài toán chỉ là đề dẫn (chứ học sinh lớp 3 cũng có thể
làm đợc bằng phơng pháp chọn số) . Chính ý tởng là xét hai phần tử lân cận.
2/ Các ví dụ minh họa phơng pháp
VD III.1 Xét khai triển

1
99
<
+
<


+



+
k
kkkkkk
CC
kk

do có tính đối xứng
4
9
3
9
2
9
1
9
0
9
CCCCC <<<<




T
T
T
S
S
S



B
B
B



I
I
I
T

P
P
T
T
T
H
H
H
E
E
E
O
O
O
Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N

N
N
G
G
G
G
G
G
I
I
I
A
A
A
N
N
N
C
C
C



C

CC =
5
9
4
99
90
max CCC
k
k
==


VD III.2 Tìm số lớn nhất trong các giá trị

n
nnn
CCC , ,,
10
Bài giải. Tơng tự nh VD III.1. Tức là so sánh hai phần tử lân cận

k
n
k
CC
k
n
k
n
1
1

CCC
do đối xứng.
Vì
2
1
2
1
+
=


nn
n


2
1
2
1
0
+

==
n
n
n
n
k
n
nk

nk
CCMax =
Ví dụ III.3 ( có trọng số - không còn tính đối xứng nữa )
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức chứa x trong khai triển
()

12
21 x+

Bài giải. Xét hai phần tử lân cận của hệ số

()
12, ,02
12
== kCa
kk
k

ta có
3
23
1
<<
+
kaa
kk
vậy


P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m



T
T
T
ổ
ổ
ổ
T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n
T

T
T
K
K
K
I
I
I
m
m
m
T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h









so sánh và ta có
7
a
8
a
87
aa
<

vậy
888
128
120
2.4952 ===

CaaMax
k
k
Ví dụ III.4 . Chứng minh rằng

k :
20000


k
ta có

(
)
*

1
2002

+
kC
k
)
)
Tơng tự VD III.2 với n - chẵn. Ta có là giá trị lớn nhất
1001
2002
C

Ví dụ III.5
a/ Chứng minh
()
(
!1
!!
1
1
0
,
++
==

nm
nm
dxxxI
n

=
++
==

()
m
m
C
mm
a
10
11
1
!10.11
!10!
=

=

m
a lớn nhất nhỏ nhất
m
C
10

0
=

m
hoặc

10
5,5
===
C
a
M
M
M
Ộ
Ộ
Ộ
T

O
O
A
A
A
N
N
N
T
T
T
Ổ
Ổ
Ổ
H
H
H
Ợ
Ợ
Ợ
P
P
P

Đ
Đ
Đ
I
I
I
Ể
Ể
Ể
M
M
M
K
K
K
H
H
H
Ô
Ô
Ô
N
N
N
G
D
D
D
Ã
Ã
Ã
Y
Y
Y
16 C/ Phô lôc Mét sè bμi to¸n
1. ( §Ò thi §H KTQD ).
Chøng minh r»ng , ta cã
Nn∈

144332111
3 2.42.322
−−−−−
=+++++
nn
nn
n
n

5
2 yx+

4. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn
12
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
x
x

5. T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn

n
xxx
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
15

8. Chøng minh

(
)
NnCCCC
nn
n
n
nnn
∈=++++ 3.2 42
210

9. Chøng minh

n
nnn
n
nnn
CCCCCC
2
2
2
2
0
2
12
2
3
2
1

nnnn
n−
=
−
++
−
+
−
( Nh− VD II.8 )



ạ
ạ
ạ
m
m
m
V
V
V
ă
ă
ă
n
n
n
T
T
T
h
h
h
ế
ế
ế

T
T
T
r
r
r



ờ
ờ
ờ
n
n
n
g
g
g
T
T
T
H
H
H

n
n
n
h
h
h








17

12. Chứng minh
a/
(
)
11 222
22110
=+++
n
n
n

)
n
21

13. Chứng minh

(
)
2
1
2
1
111
21
+
=+++++

nn
C
C
n
C
C
k
C
CC
n
n
n
n

n
x
n
n
x
x
CCC








++








+






Biết và số hạng thứ tự bằng 20n, tìm n và x.
13
5
nn
CC =
16. Rút gọn

19
19
18
19
2
19
1
19
0
19
.
21
1
.
20
1

4
`
3
1
2
1

n
C
n
CCC
n
n
nnnn

18. Chứng minh
3
1
22
1
2
3
2
4
2
3
2
2

+
=++++++
nnnn
CCCCCCC
19. Chứng minh
()
()
!!

nm
n



=m
m
m
mmn
m
mn
CCC

=

(
)
1
1
1
12
1
1
1
1
2


mn
( viết ngợc lại )
M
M
M



T
T
T
S

N
N
T
T
T



H
H
H



P
P
P
T
T
T
H

I
I



M
M
M
K
K
K
H
H
H
ễ
ễ
ễ
N
N
N
G
G
G
G



Y
Y
Y
18

1
1
1
13
1
12
!






=
m
mn
m
m
m
m

pip
in
p
i
i
p
CCC 2
0
=


=

HD. Ta có
(
)
npiCCCC
p
n
i
p
ip
in
i
n
=



Lấy tổng và để ý rằng

=

+=

cho và cộng vế (kiểu sai phân)
nk , ,1=
ĐS:
1!)1(

+= nA

b/
(
)
(
)
!12!1
22
kkkkkkk ++=++

()
!.!1
2
kkkk +=

!.!)1)(1( kkkk

+
+


.2)( 21
2222212
+=+++
nn
nnn
nnCnCC
HD. Viết
.)1(
2
kkkk +=
[]

+=+=
=
k
n
k
n
k
n
n
k
CkCkkCkkkVT )1()1(
1

(Thêm k = 0, áp dụng toán tử sai phân)



P
P
P
h
h
h
ạ
ạ
ạ
m
m
m
V
V
V
ă

ổ
ổ
T
T
T
o
o
o
á
á
á
n
n
n
T
T
T
r
r
r



ờ

I
I
m
m
m
T
T
T
h
h
h
à
à
à
n
n
n
h
h
h










1
1
12
)1(

b)

=

=


n
k
n
k
n
nk
n
n
k
k
C
1
21
!)2(
2)!(
12
)1(