Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

1
-

Chuyên đề

§ 1. CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ

I – Các dạng toán thường gặp và phương pháp giải



Dạng toán 1. Tìm tham số m để hàm số
(
)
y f x; m

=
đồng biến trên D
(
)
y ' f ' x; m 0
⇔ = ≥
.
Đề yêu cầu
(
)
y f x; m
=
nghịch biến trên D
(
)
y ' f ' x; m 0
⇔ = ≤
.
 Bước 2. Độc lập m ra khỏi biến số và đặt vế còn lại là
(
)
g x
được:
(
)
(
)
m g x
m g x



.



Dạng toán 2. Tìm m để hàm số:
(
)
3 2
y f x; m a ' x b ' x c ' x d
= = + + +
đơn điệu một chiều trên khoảng có
độ dài bằng l ?
 Bước 1. Tính
(
)
2
y ' f ' x; m ax bx c
= = + +
.
 Bước 2. Hàm số
(
)
y f x; m
=
đơn điệu trên
(
)
1 2
x ;x y ' 0

)
2
2 2 2
1 2 1 2
x x 4x .x S 4P
⇔ + − = ⇔ − =
l l

(
)
ii

 Bước 4. Giải
(
)
ii
và giao với
(
)
i
để suy ra giá trị m cần tìm.
II – Thí dụ minh họa và bài tập rèn luyện
1/ Các thí dụ về tìm m để hàm số đơn điệu trên D mà dễ độc lập m
Thí dụ 1. Tìm m để
3 2
y x 3x 3mx 1
= − + + −
nghịch biến trên
(
)

= − − + +
nghịch biến trên
0;2
 
 
 
?
ĐS:
11
m
9
≥
.
Thí dụ 4. Tìm m để hàm số
2 2
x 5x m 6
y
x 3
+ + +
=
+
đồng biến trên
(
)
1;
+∞
?
Dự bị Đại học năm 2003
ĐS:
4 m 4

…

T
rang
-

2
-

ĐS:
25 1 7
m
12 3
+
− ≤ ≤
.
Thí dụ 6. Tìm m để
(
)
4 2
y x 2 m 1 x m 2
= − − + −
đồng biến trên
(
)
1;2
?
ĐS:
1 m 2
< ≤

)
;1
−∞
?
ĐS:
5 1
m 1
2
−
< ≤
.
Thí dụ 9. Tìm tham số m để hàm số:
(
)
2 2
x m 1 x 4m 4m 2
y
x m 1
− + + − −
=
− +
đồng biến trên khoảng
(
)
1;
+∞
?
ĐS:
1 13 7 14
m

y x 2x mx 10
3
= + − −
nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng
1
?
ĐS:
15
m
4
= −
.
Thí dụ 12. Tìm tham số m để hàm số
3 2
y x 3x mx m
= + + +
đồng biến trên đoạn có độ dài bằng
2
?
ĐS:
m 0
=
.


 Bài tập rèn luyện
BT 1. Tìm m để
( ) ( ) ( )
3 2
1

(
m ; 4

∈ −∞


.
BT 3. Tìm m để
3 2 2
y 2x 9mx 12m x 1
= + + +
nghịch biến trên khoảng
(
)
2;3
?
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Chuyên Phan Bội Châu – Nghệ An
ĐS:
3
2 m
2
− ≤ ≤
.
BT 4. Tìm m để
( )
3 2 2
2
y x 2mx m 2m 1 x
3
= − + − +

ĐS:
3
m 2;
2
 
 
∈ −
 
 
.
BT 6. Tìm m để
(
)
4 2
y mx m 1 x 1 2m
= + − + −
nghịch biến trên
(
)
; 2
−∞ −
?
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t

 
∈ −
 
 
.
BT 8. Tìm m để
2
2x 3x m
y
2x 1
− − +
=
+
nghịch biến trong khoảng
1
;
2
 



− +∞





 
?
ĐS:


− − − − − + ≤


= − ⇒ ⇔ ∀ ∈ +∞


≤



.
BT 10. Tìm m để
2
2x mx 2 m
y
x m 1
+ + −
=
+ −
đồng biến trên khoảng
(
)
1;
+∞
?
ĐS:
m 2 2 2
≥ −
.

< ∨ >
.
§ 2. BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

I – Tương giao giữa đồ thị hàm số nhất biến và đường thẳng
Bài toán tổng quát
Cho hàm số
ax b
y
cx d
+
=
+
có đồ thị
(
)
C
. Tìm tham số m để đường thẳng
d : y x
= α + β
cắt
(
)
C
tại hai điểm
phân biệt

A, B
thỏa mãn điều kiện K ?
Phương pháp giải

ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t
(
)
g x 0
⇔ =
có nghi
ệ
m nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
d
c
≠ −

c 0; 0
d
g 0
c


α ≠ ∆ >

c
1
m D
∈

(
)
i

+

G
ọ
i
(
)
(
)

1 1 2 2
A x ; x , B x ; y
α + β α + β
v
ớ
i
1 2
x , x
là
2
nghi

.
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

4
-

+ Biến đổi điều kiện K cho trước về dạng có chứa tổng và tích của
1 2
x , x

(
)
iii

+ Thế

cắt đồ thị
( )
2x 2
C : y
x 1
−
=
+
tại hai điểm phân biệt
A, B
sao
cho
AB 5
=
?
Đề thi thử Đại học lần I khối B năm 2014 – THPT Ngô Gia Tự
ĐS:

m 10 m 2
= ∨ = −
.
Thí dụ 14. Chứng minh rằng đường thẳng
d : x y m 0
− + =
luôn cắt đồ thị hàm số
( )
x 1
C : y
1 2x
−

d ' : x 2y 2 0
− − =
?
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Ba Đình – Thanh Hóa
ĐS:
11
m
5
= −
.
Thí dụ 16. Tìm tham số m để đường thẳng
d : y 2x 2m
= −
cắt đồ thị hàm số
( )
2x m
C : y
mx 1
−
=
+
tại hai điểm
phân biệt
A, B
và cắt trục

Ox, Oy
theo thứ tự tại

M, N

A, B
và
AIB
∆
cân tại I (I là giao điểm hai đường tiệm cận) ? Tìm m để
2 2
AB 3.IA
=
?
Đề thi thử Đại học năm 2012 – TT.BDVH Thăng Long Tp. HCM
ĐS:
m 1 14
= − ±
.
Thí dụ 18. Tìm m để đường thẳng
d : y x m
= − +
cắt
( )
2x 1
C : y
x 1
−
=
−
tại hai điểm phân biệt
A, B
và
AIB
∆

d : y x 1
= +
hoặc
2
d : y x 5
= −
là hai đường thẳng cần tìm.
Thí dụ 20. Cho hàm số
x 2
y
2x 1
+
=
+
có đồ thị
(
)
C
. Đường thẳng
1
d : y x
=
cắt
(
)
C
tại hai điểm phân biệt

A, B
. Tìm m để đường

5
-

Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc
ĐS:
m 2
=
.
Thí dụ 21. Cho hàm số
x 2
y
x 1
+
=
−
có đồ thị
(
)
C
. Lập hai phương trình đường thẳng

1 2
d , d
đi qua giao điểm I
của hai tiệm cận và cắt đồ thị
(
)
C
tại bốn điểm phân biệt là các đỉnh của một hình chữ nhật, biết
đường chéo hình chữ nhật có độ dài bằng


− − =



là các đường cần tìm.
Thí dụ 22. Cho đường thẳng

d : y x m
= − +
và hai điểm:
(
)
(
)

M 3;4 , N 4;5
. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ
thị hàm số
( )
2x 1
C : y
x 2
−
=
−
tại hai điểm phân biệt
A, B
sao cho bốn điểm
A,B, M, N

d : y x m
= − +
cắt đồ thị
( )
x
C : y
x 1
=
−
tại hai điểm phân biệt
A, B
sao
cho góc giữa hai đường thẳng OA và OB bằng
o
60
với O là gốc tọa độ ?
ĐS:

m 2 m 6
= − ∨ =
.
Thí dụ 25.
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
(

ớ
n h
ơ
n
1
?
Đề thi thử Đại học năm 2013 – THPT Nguyễn Văn Trỗi – Hà Tĩnh
Đ
S:
m
∀ ∈
»
.
Thí dụ 26.
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
d : y x m
= − +
c
ắ
t
( )
x 2
C : y
x 1

S:
m 2
=
.
Thí dụ 27.
Tìm tham s
ố
m
để

đườ
ng th
ẳ
ng
d : y mx m 1
= − −
c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố

( )
x
C : y
1 x
=

d : y x m
= +
luôn cắt đồ thị
( )
1 x
C : y
2x 1
−
=
−
tại hai
điểm phân biệt A và B. Gọi
1 2
k , k
là hệ số góc của các tiếp tuyến với
(
)
C C
tại A và B. Tìm m để tổng
1 2
k k
+
đạt giá trị lớn nhất ?
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ

+
tại hai điểm phân biệt
A,B
có độ dài bằng
30
?
Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối D – THPT Chu Văn An – Hà Nội
ĐS:
13
m
2
=
.
BT 14. Cho hàm số có đồ thị . Đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt .
Tìm m để đường cắt tại hai điểm phân biệt sao cho bốn điểm là
bốn đỉnh của một hình bình hành ?
ĐS:
m 10
=
.
BT 15. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho
vuông tại O với O là gốc tọa độ ?
Đề thi thử Đại học lần I năm 2014 – THPT Chuyên Quốc Học – Huế
ĐS:
2
m
3
=
.
BT 16. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt sao cho

ể
m phân bi
ệ
t sao cho

đề
u v
ớ
i ?
Đ
S:

m 5 m 1
= − ∨ =
.
BT 19.
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t t
ạ
i hai
đ
i
ể

ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho
v
ớ
i O là g
ố
c t
ọ
a
độ
?
Đại học khối B năm 2010
Đ
S:
m 2
= ±
.
BT 21.
Tìm m
để
c
ắ
t t
ạ

1
d : y x
=
(
)
C

A, B
2
d : y x m
= +
(
)
C

C, D
A, B, C, D
d : y x m
= +
( )
2x 1
C : y
x 1
+
=
+
A, B
OAB
∆
d : y x m

d : y x m
= − +
( )
2x 1
C : y
x 1
−
=
+
M, N
PMN
∆
(
)
P 2;5
d : y x m 1
= + −
( )
2x 3
C : y
x 1
+
=
+
A, B
OAB
∆
2 4
G ;
3 3

x 1
−
=
−
A, B
IAB
4S 15
∆
=
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

7
-

ĐS:

( )

x
y , C
x 1
=
−
. Tìm tất cả các giá trị tham số m để đường thẳng
d : y x m 1
= − + −
cắt đồ
thị hàm số tại hai điểm
A,B
sao cho tam giác OAB nội tiếp trong đường tròn có bán kính
2 2
.
ĐS:

m 1 m 7
= − ∨ =
.
BT 26.
G
ọ
i d là
đườ
ng th
ẳ
ng qua
A( 2;0)

t
M,N
thu
ộ
c hai nhánh khác nhau c
ủ
a
(C)
sao cho
AM 2AN
=
?
Đề thi thử Đại học 2014 khối A, B lần III – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Đ
S:
( )
5
M 1;2 , N ; 1
2
 



− − −





 

n K cho tr
ướ
c ?
Phương pháp giải
 Bước 1
.
+

L
ậ
p ph
ươ
ng trình hoành
độ
giao
đ
i
ể
m gi
ữ
a d và
(C) :Gi
ả
s
ử
nh
ẩ

t có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t

m
∀
( )
3x 2m
C : y
mx 1
−
=
+
d : y 3x 3m
= −
A, B

Ox, Oy
OAB OCD
S 2.S
∆ ∆
=
d : y m x
= −
( )
x 3
C : y
x 2

ax bx c x d 0
⇔ + + −α + − β =

(
)
∗
(
)
∗
o
x x
=
(
)
(
)
(
)
2
o
x x ax b ' x c ' 0
∗ ⇔ − + + =
(
)
o
2
x x
g x ax b ' x c ' 0

=

⇔ ⇒


≠



1
m D
∈
(
)
i
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-


.
Thí dụ 30. Tìm tham số m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại
ba điểm phân biệt, trong đó có đúng một điểm có hoành độ âm ?
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Số I Tuy Phước
ĐS: .
Thí dụ 31. Tìm tham số m để cắt đồ thị hàm số tại
ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng ?
Đề thi thử Đại học năm 2014 khối D – THPT Chuyên – Vĩnh Phúc
ĐS: là các giá trị cần tìm.
Trong các thí dụ trên, tôi đã tìm ra được cả ba nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm bằng nguyên tắc
nhẩm nghiệm. Còn nếu không tìm ra được nghiệm hoặc không đủ ba nghiệm, sẽ làm như thế nào ? Ta cùng xét
hai bài tập nhỏ sau:
(
)
(
)
(
)

o o 1 1 2 2
A x ; x , B x ; x , C x ; x
α + β α + β α + β
1 2
x , x
(
)
g x 0
=
1 2
b '

⇒ ∈ ∩
o
x x
=
(
)
d C n 3
∩ = =
(
)
⇔ ∗
3
(
)
CD CT
y h x :
y .y 0


=


⇔


<



(

⇔ ∗
1
(
)
( )
DC CT
y h x :
y h x :
y .y 0

=




⇔
=






>





(

= − −
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 2m 1 x m 1
= − + + − −

1 1
m m m 1
2 4
= − ∨ = ∨ =
có cực trị
có cực trị
đồng biến trên
có cực trị
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

là giá trị cần tìm.
Thí dụ 32. Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân ?
ĐS: .
Thí dụ 33. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm với hệ số góc đều cắt đồ thị
tại ba điểm phân biệt đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB ?
Đại học khối D năm 2008
Thí dụ 34. Tìm m để đường thẳng cắt tại ba điểm
phân biệt, sao cho điểm nằm giữa A và B đồng thời AB có độ dài bằng ?
(
)
3 2
m
C : y x 3x 9x m
= − − +
3 2
x 3x 9x m 0
− − + =
(
)
∗
(
)
m
C
(
)

1 2 3 1 2 3
x , x , x x x x

x x x 3, i
+ + =
1 2 3
x , x , x
1 3 2
x x 2x
+ =
(
)
ii
(
)
ii
(
)
i ,
2
x 1
=
2
x 1
=
(
)
∗
m 11
=
m 11
=
(

(
)
f x 0
=
(
)
(
)
(
)
3 2
1 2 3
ax bx cx d a x x x x x x
+ + + = − − −
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 2m 1 x 9x
= − + −
(
)
2
x x 2m 1 x 9 0
 
− + − =
 
 

)
i
m
∀

1 2
x ; 0; x
1 2
x x 2.0
+ =
2m 1 0
⇔ + =
1
m
2
⇔ = −
(
)
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 5 m x 6 5m x 6m
= + − + − −

9 4
m m m 6
2 3

Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

10
-

ĐS:

8
m 0 m
9
= ∨ =
.
Thí dụ 35. Gọi d là đường thẳng đi qua và có hệ số góc k. Tìm k để d cắt tại ba
điểm phân biệt sao cho cân tại O (với O là gốc tọa độ) ?
Đề thi thử Đại học năm 2014 khối B – Chuyên Quốc Học – Huế
ĐS:

1

Thí dụ 37.
Tìm tham s
ố
m
để

đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t
đồ
th
ị
tham s
ố

t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho A c
ố

đị

đồ
th
ị

và c
ắ
t t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho ?
Đ
S: ho
ặ
c ho
ặ
c .
Thí dụ 39.
Vi
ế
t ph
ươ
ng trình
đườ
ng th
ẳ

độ
?
Đ
S: .
Thí dụ 40.
Cho
đồ
th
ị
hàm s
ố
. Tìm m
để
c
ắ
t
đồ

th
ị
t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho t
ổ

ẳ
ng c
ắ
t
đồ
th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i
ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho tích các h
ệ
s
ố
góc ti
ế
p tuy
ế
n v
ớ
i
đồ

đồ
th
ị
t
ạ
i m
ộ
t
đ
i
ể
m A c
ố

đị
nh. Xác
đị
nh giá tr
ị
c
ủ
a m
để
d c
ắ
t t
ạ
i ba
đ
i

th
ị
hàm s
ố
t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t ?
Học sinh giỏi tỉnh An Giang năm 2014
Đ
S:
m 0
>
.


 Bài tập rèn luyện về sự tương giao giữa hàm số bậc ba và đường thẳng
(
)
A 2; 4
(
)
3
C : y x 3x 2
= − +

1 1
C : y x 2x 3x
3 3
= − + −
A, B, C
OBC OAB
S 2S
∆ ∆
=
(
)
3 2
C : y x 3x 2
= − +
(
)
C
I,A, B
OAB
S 2
∆
=
1
d : y 1 x
= −
(
)
2
d : y 1 3 x 1 3
= − + + +

C : y x m 1 x x 2m 1
= − + + + +
d : y x m 1
= + +
(
)
m
C
A, B,C
(
)
m
C
A, B, C
12
(
)
d : y m 2 x 2
= − +
(
)
3 2
C : y x 3x 2
= − + −
(
)

A 2;2 , B, C
(
)

ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

11
-

BT 27. Cho hàm số
(
)
3 2
y 2x 3mx m 1 x 1
= − + − +
có đồ thị
(
)
m
C
. Tìm m để đường thẳng
d : y 1 x
= −

x x x 4
+ + <
?
Đại học khối A năm 2010
ĐS:
{ }
1
m ;1 \ 0
4
 



∈ −





 
.
BT 29. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
(
)
A 2; 2
−
có hệ số góc bằng k. Tìm k để d cắt đồ thị hàm số
(
)
3

th
ị

(
)
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 3m 1 x 5m 4 x 8
= − + + + −
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có
hoành
độ
l
ậ

i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t và kho
ả
ng cách
t
ừ

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i c
ủ
a
(
)
C

đế
n
∆
b

= −
c
ắ
t
(
)
(
)
3 2
m
C : y x m 2 x 4m 3
= − + + −
t
ạ
i ba
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t

A, B, C
sao
cho t
ổ
ng h
ệ
s
ố

d : y 2mx 2m 6
= − +
cắt
(
)
3
C : y 2x 6x 2
= − + +
tại

A, B,
C sao cho tổng hệ số góc các
tiếp tuyến với
(
)
C
tại

A, B, C
bằng
6
−
?
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu
ĐS:
m 1
=
.
BT 35. Tìm m để
d : y mx m 1

)
3 2
m
C : y x 3mx 1
= − +
tại ba điểm phân biệt
(
)

A 0;1 , B, C
sao cho
KBC
S 5
∆
=
với
(
)
K 1;2
?
ĐS:
m 1
= ±
.
BT 37. Cho hàm số đồ thị
(
)
(
)
(

m m 14
13
= ∨ =
.
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

12
-

BT 38. Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt
và C sao cho . Trong đó lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến với tại B và C ?
ĐS:

m 1 m 2
= − ∨ =

ể
m phân bi
ệ
t sao cho ti
ế
p tuy
ế
n c
ủ
a t
ạ
i B và C vuông góc nhau ?
Đề thi thử Đại học năm 2013 khối A – THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa
ĐS:

3 2 2 3 2 2
k k
2 2
− − − +
= ∨ =
.
BT 40.
Tìm m
để
c
ắ
t
đườ
ng th
ẳ

t tr
ụ
c hoành t
ạ
i duy nh
ấ
t m
ộ
t
đ
i
ể
m ?
Học sinh giỏi cấp trường năm 2014 – THPT Đặng Thúc Hứa – Nghệ An

Đ
S:
m 1
≠
.
III – Tương giao giữa đồ thị hàm số bậc bốn trùng phương và đường thẳng
Bài toán tổng quát
Tìm m
để

đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ

đ
i
ể
m c
ủ
a d và
+
Đặ
t thì
+

Tùy vào s
ố
giao
đ
i
ể
m n mà ta bi
ệ
n lu
ậ
n
để
tìm giá tr
ị
c
ụ
th
ể
:

t có ba nghi
ệ
m phân bi
ệ
t có nghi
ệ
m th
ỏ
a:
.
○

Để

đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t có hai nghi
ệ
m trái d
ấ
u ho
ặ
c

= − + −
(
)

A 1;0 , B
1 2
k k BC 5
+ =
1 2
k , k
(
)
m
C
(
)
A 2;0 ,
(
)
3 2
C : y x 3x 4
= − +
A, B, C
(
)
C
(
)
3 2
m

4 2
C : ax bx c 0
+ + − α =
(
)
i
2
t x 0
= ≥
(
)
2
i at bt c 0
⇔ + + −α =
(
)
ii
(
)

1
m D ,
∈ ∗
(
)
C d n 4
∩ = =
(
)
i

C d n 3
∩ = =
(
)
i
⇔
(
)
ii
⇔
1 2
t , t
1 2
c 0
0 t t
b
0
a


− α =



= < ⇔


<







>





(
)
C d n 1
∩ = =
(
)
i
⇔
(
)
ii
⇔
0
=
1
t 0
=
2
t 0
<


Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

13
-

 Bước 2.
+ Biến đổi điều kiện K về dạng có chứa tổng và tích của
+ Thế biểu thức tổng – tích vào sẽ thu được phương trình hoặc bất phương trình với biến số là m

+ Từ và kết luận những giá trị m cần tìm.
Thí dụ 44. Tìm m để cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
lập thành cấp số cộng (cách đều) ?
ĐS:

13
m 3 m
9

3
− < <
và
m 0
≠
.
Thí dụ 46.
Tìm tham s
ố
m
để

đườ
ng th
ẳ
ng c
ắ
t
đồ
th
ị
c
ủ
a hàm s
ố
t
ạ
i b
ố
n

n
đ
i
ể
m
phân bi
ệ
t sao cho v
ớ
i (
đượ
c x
ế
p theo th
ứ
t
ự
hoành
độ

t
ă
ng d
ầ
n) ?
Đề thi thử Đại học năm 2013 lần III – THPT Quỳnh Lưu I – Nghệ An

Đ
S:
m 4

để
c
ắ
t tr
ụ
c hoành t
ạ
i b
ố
n
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t sao cho hình ph
ẳ
ng gi
ớ
i
h
ạ
n b
ở
i
đồ
th
ị
và tr
ụ

c
ắ
t tia Ox t
ạ
i hai
đ
i
ể
m phân bi
ệ
t có hoành
độ

th
ỏ
a mãn ?
Đ
S:
5
m
4
=
.


 Bài tập rèn luyện về sự tương giao giữa hàm số bậc bốn và đường thẳng
BT 42. Tìm m để cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt đều có hoành độ
nhỏ hơn ?
ĐS:


(
)
4 2
m
C : y x 2 m 2 x 2m 3
= − + + − −
d : y 1
= −
(
)
(
)
4 2
m
C : y x 3m 2 x 3m
= − + +
2
d : y m
=
(
)
4 2
C : y x 5x 4
= − + −
A, B, C, D
AB BC CD
= =
(
)
(

)
4 2
m
C : y x 4x m
= − +
(
)
m
C
Ox
(
)
4 2
m
C : y x 2mx 1
= − +
1 2
x , x
2 1
x 2x
=
(
)
(
)
4 2
m
C : y x 2 m 1 x 2m 1
= − + + +
3

thỏa: ?
ĐS:
19
3 m
9
− < < −
.
BT 45. Tìm m để đồ thị cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
thỏa ?
ĐS:
m 0
=
.
BT 46. Giả sử đồ thị cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt có hoành độ
. Chứng minh rằng biểu thức: ?
BT 47. Chứng minh rằng đồ thị luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt
?
BT 48. Tìm m để cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt sao cho hình
phẳng giới hạn bởi với trục hoành mà có phần phía trên trục hoành có diện tích bằng ?
ĐS:
m 2
= ±
.
BT 49. Viết phương trình đường thẳng cắt đồ thị
( )
4 2
x x 2
C : y
6 2 3
= + −

)
2
2 2
2
m
C : y x – 1 – m 1 1 m
= + −
(
)
4 2
m
C : y x 2mx m 3
= + + +
1 2 3 4
x x x 1 2 x
< < < < <
(
)
(
)
4 2 2
m
C : y x m 10 x 9
= − + +
1 2 3 4
x , x , x , x
1 2 3 4
x x x x 8
+ + + =
(

C
96
15
∆
A,B
ABD
∆
(
)
C
( )
(
)
(
)
3 2
4 2
y f x;m ax bx cx d
C :
y f x;m ax bx c

= = + + +


= = + +


y ' 0
⇔ =
1

=
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

15
-

+ Phân tích (bằng chia đa thức ):
+ Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là: (phần dư bậc nhất trong phép chia đa thức ).
Thí dụ 51. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị sao cho
?
Đại học khối D năm 2012
ĐS:
2
m
3

.
Thí dụ 54.
Tìm m
để
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và hoành
độ
c
ự
c
ti
ể
u bé h
ơ
n ?
Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Cẩm Bình – Hà Tĩnh
Đ
S:
m 1
< −
ho
ặ
c là nh

c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m A và B sao cho ba
đ
i
ể
m
th
ẳ
ng hàng ?
Đ
S:
m 4
=
.
Thí dụ 57.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng luôn có c
ự
c
đạ

bán kính
đườ
ng tròn ngo
ạ
i ti
ế
p b
ằ
ng ?
Đề thi thử Đại học 2014 lần I khối A – THPT Nghi Sơn – Thanh Hóa
Đ
S:

3
m 1 m
5
= − ∨ =
.
Thí dụ 58.
Tìm m
để
có hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị


i x
ứ
ng nhau qua
đ
i
ể
m ?
Đề thi thử Đại học 2014 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp
Đ
S:

m 2 m 0
= − ∨ =
.
y : y '
(
)
(
)
y y ' .q x h x
= +
(
)
(
)
1 1
2 2
y h x
y h x


+ + =
( ) ( ) ( )
3 2
m
1
C : y x 2m 1 x 1 4m x 1
3
= − − + − +
1 2
x , x
1 2
3x x 4
+ =
(
)
3 2 2
m
C : y 2x 9mx 12m x 1
= + + +
Đ
2
C CT
x x
=
(
)
(
)
(
)

)

A, B, C 0; 1
−
(
)
(
)
3 2 2 3
m
C : y x 3mx 3 m 1 x m m
= − + − − +
m
∀
A,B
(
)
m
C
(
)
I 1;1 ,
5
(
)
(
)
(
)
3 2

ngày hôm nay
…

T
rang
-

16
-

Thí dụ 60. Tìm m để
(
)
(
)
3 2
m
C : y 2x 3 m 1 x 6mx
= − + +
có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB
vuông góc với
d : y x 2
= +
?
Đại học khối B năm 2013
ĐS:

m 0 m 2
= ∨ =
.

= −
.
Thí dụ 66. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị sao cho là
độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng ?
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp
ĐS:
14
m
2
=
.
Thí dụ 67. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho
với O là gốc tọa độ ?
Đại học khối B năm 2012
ĐS: là các giá trị cần tìm.
Thí dụ 68. Cho hàm số và đường thẳng đi qua điểm cực đại của và có hệ số góc
bằng . Tìm m để khoảng cách từ điểm cực tiểu của đến đường thẳng lớn nhất ?
Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội
ĐS:
1
m
2
= ±
.
Thí dụ 69. Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị cắt đường
tròn tâm bán kính bằng tại hai điểm phân biệt sao cho đạt giá trị lớn nhất ?
ĐS:
2 3
m
2

2
(
)
3 2
m
C : y x 6mx 9x 2m
= + + +
4 5
5
(
)
(
)
3 2 2 3
m
C : y x 3mx 3 m 1 x m 4m 1
= − + − − + −
A,B
OAB
∆

m 1 m 2
= − ∨ =
(
)
3 2
m
C : y x 3x mx 2
= − − +
( )

C : y x 3x 2
= − +
∆
(
)
C
2
1
m
4
+
(
)
C
∆
(
)
3
m
C : y x 3mx 2
= − +
(
)
I 1;1
1
A,B
IAB
S
∆
mathvn.com

thức với là các điểm cực trị của hàm số ?
ĐS:
m 4
= −
.
BT 53. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các hoành độ
cực trị lớn hơn ?
ĐS:
m 2
>
.
BT 54. Tìm m để đạt cực trị tại sao cho
?
ĐS:
1
m
7
< −
.
BT 55. Chứng minh rằng thì có đồ thị luôn có hai điểm
cực trị phân biệt đồng thời trung điểm I của AB luôn chạy trên một đường thẳng cố định ?
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội
ĐS:
(
)
I m;2m
chạy trên đường
y 2x
=
cố định.

có hai cực trị và các giá trị cực trị của hàm số trái dấu nhau ?
( )
3 2
m
1
C : y x mx 3mx 4
3
= − − +
1 2
x , x
2
2
1 2
2 2
2 1
x 2mx 9m
m
2
m x 2mx 9m
+ +
+ =
+ +
m
∀
(
)
(
)
3 2
m

3
= − + − + +
1
( ) ( ) ( )
3 2
m
1
C : y x m 2 x 5m 4 x 3m 1
3
= + − + + + +
1 2
x , x
1 2
x 2 x
< <
m
∀
(
)
3 2 2 3
y x 3mx 3 m 1 x m 5m
= − + − − +
(
)
m
C
A, B,
(
)
3 2

AOB 120
=
(
)
(
)
3 2 2 2
y x 2 2m 1 x 5m 10m 3 x 10m 4m 6
= − + + + − − − +
(
)
m
C
(
)
m
C
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…


 
 
∈ −∞ − ∪ +∞
 
 
 
 
 
   
.
BT 62. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía của
đường thẳng ?
ĐS:
7 37 7 37
m
2 2
− +
< <
.
BT 63. Tìm m để đồ thị hàm số đạt cực trị tại hai điểm sao cho
với ?
ĐS:

m 3 m 2
= ∨ = −
.
BT 64. Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của tiếp xúc với đường tròn
?
ĐS:


ấ
t ?
Đ
S:
m 0
=
.
BT 66.
Tìm m
để
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u và
đồ
ng th
ờ
i các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ

để
có c
ự
c tr
ị
sao cho kho
ả
ng cách t
ừ

đ
i
ể
m
đế
n
đườ
ng
th
ẳ
ng
đ
i qua hai
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị

ươ
ng

Hàm s
ố
luôn nh
ậ
n làm m
ộ
t
đ
i
ể
m c
ự
c tr
ị
.

Khi hàm s
ố

có ba điểm cực trị

thì tam giác ABC cân tại A
. Khi
đ
ó, n
ế
u

để
có c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u mà các c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
o thành
tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng ?
Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần II – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
Đ
S:
m 1
=

(
)
C 2; 4
−
(
)
3 2
C : y x 3x 2
= − +
(
)
(
)
(
)
2 2
m
C : x m y m 1 5
− + − − =
( )
3 2
m
1
C : y x mx x m 1
3
= − − + +
(
)
(
)

 
4 2
y ax bx c
= + +
x 0
=
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
A 0; c ,B x ; y , C x ; y
ABC
∆
A AB.AC 0
⇔ =
 
ABC
∆
AB BC
⇔ =
ABC
∆
ABC
1
S S AH.BC
2
∆

Đại học khối A năm 2012
ĐS:
m 0
=
.
Thí dụ 72. Tìm m để có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có góc bằng
?
Học sinh giỏi tỉnh Hà Tĩnh năm 2014
ĐS:

3
3
1
m m 7 4 3
3
= ∨ = +
.
Thí dụ 73. Tìm m để có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác cân sao cho độ
dài cạnh đáy bằng lần độ dài cạnh bên ?
Đề thi thử Đại học 2014 – THPT Nguyễn Khuyến – TP. HCM
ĐS:
5
m
3
= −
.
Thí dụ 74. Tìm m để

có cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác
đều ?

Đề thi thử Đại học 2013 khối D lần I – Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc
ĐS: là những giá trị cần tìm
Thí dụ 79. Chứng minh rằng thì hàm số có ba điểm cực trị. Tìm m để
khoảng cách từ điểm cực đại đến đường thẳng đi qua hai điểm cực tiểu của đồ thị hàm số nhỏ
nhất ?
Đề thi thử Đại học 2012 lần II – THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội
ĐS:
m 0
=
.
(
)
(
)
4 2 2
m
C : y x 2 m 1 x m
= − + +
(
)
4 2 2
m
C : y x 2mx m m
= − + −
o
30
(
)
(
)

(
)
4 2
m
C : y x 2mx m
= − +
A, B, C
ABC
∆
1
(
)
4 2
m
C : y x 2mx 4
= − + −
(
{
}
m ;0 2

∈ −∞ ∪


m
∀
(
)
(
)

Đề thi thử Đại học 2013 lần II – THPT Chuyên – ĐHSP Hà Nội
ĐS:
1
k
4
= ±
.
Thí dụ 81. Tìm m để có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích lớn nhất ?
ĐS:
m 0
=
.


 Bài tập rèn luyện về cực trị của hàm số bậc bốn trùng phương
BT 68. Xác định tham số m để hàm số có ba cực trị tạo thành ba đỉnh của
một tam giác đều.
ĐS:
3
3
m 1
2
= +
.
BT 69. Tìm m để có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành
một tam giác có diện tích bằng ?
Đề thi thử Đại học 2014 khối A lần I – THPT Hùng Vương – Bình Phước
ĐS:
m 2

ĐS:
d Oy : x 0
≡ =
hoặc
d : y 1
=
.
BT 74. Tìm m để có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn
ngoại tiếp đi qua điểm ?
ĐS:
m 1
=
.
BT 75. Tìm m để có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân ?
( )
4 2
1 1
C : y x x 1
4 2
= − +
∆
(
)
C
(
)
C
∆
(
)

OA BC
=
(
)
4 2 2
m
C : y x 2mx m m
= + + +
o
120
( ) ( ) ( )
4 2
m
1
C : y x 3m 1 x 2 m 1
4
= − + + +
(
)
(
)
(
)
2 2
C : y x 1 x 1
= + −
(
)
C
(

ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

21
-

Đề thi thử Đại học 2014 khối B lần I – THPT Lạng Giang số I – Bắc Giang
ĐS:
m 1
=
.
BT 76. Tìm các giá trị của m để hàm số có ba cực trị và ?
ĐS:
5
m 2
= ±
.
BT 77. Tìm tham số m để có cực tiểu mà không có cực đại ?
ĐS:
m 0
≤
.

(
)o o
: y k x x y
∆ = − +
↓ ↓ ↓
  

 Điều kiện cần và đủ để hai đường
(
)
(
)
1
C : y f x
=
và
(
)
(
)
2
C : y g x
=
tiếp xúc nhau
⇔
hệ
(

∆
của
(
)
(
)
C : y f x ,
=
biết
∆
có hệ số góc k cho trước
 Gọi
(
)
o o
M x ; y
là tiếp điểm. Tính
(
)
o
y ' y' x
⇒
.
 Do phương trình tiếp tuyến
∆
có hệ số góc k
(
)
o
y ' x k

//
d : y ax b k a
∆ = + ⇒ =
.
 Phương trình tiếp tuyến
1
d : y ax b k
a
∆ ⊥ = + ⇒ = −
.
 Phương trình tiếp tuyến
∆
tạo với trục hoành góc
k tan
α ⇒ = α
.
 Phương trình tiếp tuyến
∆
tạo với
d : y ax b
= +
góc
k a
tan
1 k.a
−
α ⇒ = α
+



(
)
o
k y ' x
=
theo
o
x
.
 Phương trình tiếp tuyến
∆
tại
(
)
o o
M x ; y
là
(
)
o o
: y k x x y
∆ = − +
.
(
)
4 2 2
m
C : y x – 8m x 1
= +
A, B,C


Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

22
-

 Do
(
)
(
)
A A A A o o
A x ; y y k x x y
∈ ∆ ⇒ = − +

(
)
i

M(x ;y )
là tiếp điểm và tính hệ số góc
o
k y '(x )
=
theo
o
x
.
 Đề cho
OAB
OAB
S S OA.OB 2S
∆

∆


= ⇔ =



(
)
(
)
i
ii

 Giải

)
M M
M x ; y d : ax by c 0
∈ + + =
(sao cho có một biến
M
x
trong M)
 PTTT
∆
qua M và có hệ số góc k có dạng
(
)
M M
: y k x x y
∆ = − +
.
 Áp dụng điều kiện tiếp xúc:
(
)
(
)
(
)
M M
f x k x x y
f ' x k


= − +

)
M M
f x f ' x . x x y
= − +

(
)
iii

 Số tiếp tuyến của
(
)
C
vẽ từ
M
=
số nghiệm x của
(
)
iii
.


 Tìm những điểm
(
)
M M
M x ; y
mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số
(




=




(
)
(
)
i
ii

 Thế k từ
(
)
ii
vào
(
)
i ,
được:
(
)
(
)
(
)


Lưu ý.
 Qua M vẽ được hai tiếp tuyến với sao cho hai tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì
(
)
(
)
(
)
1 2
iii :
f x .f x 0.






<




 Đối với bài toán tìm điểm
(
)
(
)
M C : y f x
∈ =

x y M x ; y
⇒ ⇒ ⇒
.
Thí dụ 82. Lập phương trình tiếp tuyến của
(
)
3 2
C : y x 3x 1,
= − +
biết nó song song với đường thẳng
d : 9x y 6 0
− + =
?
Đề thi thử Đại học 2013 lần I – THPT Hậu Lộc II
ĐS:
: y 9x 26
∆ = −
.
(
)
C
vuông cân

t
ạ
o v
ớ
i Ox

m

4 2
C : y x x 6,
= − − +
biết tiếp tuyến vuông góc với đường
thẳng
1
d : y x 1
6
= −
?
Đại học khối D năm 2010
ĐS:
: y 6x 10
∆ = − +
.
Thí dụ 84. Gọi
( )
2x 1
M C : y
x 1
+
∈ =
−
có tung độ bằng
5
. Tiếp tuyến của
(
)
C
tại M cắt các trục tọa độ

Đại học khối A năm 2009
ĐS:
: y x 2
∆ = − −
.
Thí dụ 86. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
2x
C : y ,
x 2
=
+
biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận của
(
)
C
một
AIB
∆
vuông cân đỉnh I với I là giao điểm của hai đường tiệm cận ?
ĐS:
: y x
∆ =
hoặc
: y x 8
∆ = +
.
Thí dụ 87. Viết phương trình tiếp tuyến của
( )
2

C : y 4x 6x 1,
= − +
biết tiếp tuyến đó đi qua điểm
(
)
M 1; 9
− −
?
Đại học khối B năm 2008
ĐS:
1
: y 24x 15
∆ = +
hoặc
2
15 21
: y x
4 4
∆ = −
.
Thí dụ 89. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
3 2
C : y x 3x 2
= − +
tại điểm M. Biết điểm M cùng với hai
điểm cực trị của đồ thị hàm số
(
)

)
C
sao cho
∆
cắt trục hoành tại A mà
OA 6
=
?
Câu hỏi phụ trong khảo sát hàm số Tài liệu luyện thi Đại học – Ths. Lê Văn Đoàn Tương lai ngày mai đang b
ắ
t đ
ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

24
-

2/ Viết phương trình tiếp tuyến
∆



. 2/
1 3
: y x
4 2
1 7
: y x
4 2


∆ = − +



∆ = − +


.
Thí dụ 91. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
(
)
3 2
C : y x 6x 9x,
= − +
biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng
: x y 1 0
∆ + + =
một góc
,

)
B 4; 2
−
?
Đề thi thử Đại học 2014 – Đề số 04 – Tạp Chí Toán Học & Tuổi Trẻ
ĐS: Vậy
1 5
: y x
4 4
∆ = − +
hoặc
: y x 5
∆ = − +
hoặc
: y x 1
∆ = − +
.
Thí dụ 93. Xác định m để đồ thị
( )
2x m
C : y
x 1
+
=
−
có tiếp tuyến song song và cách đường thẳng
d : 3x y 1 0
+ − =
một khoảng cách bằng
10

∆ = − +
hoặc
1 13
: y x
9 9
∆ = − +
là các tiếp tuyến cần tìm
Thí dụ 95. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của
( )
x 1
C : y
x 2
−
=
−
. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của
(
)
C

tại điểm M thỏa mãn
IM
⊥ ∆
?
Đề thi thử Đại học 2013 lần IV – THPT Chuyên ĐH Vinh
ĐS:
: y x 1
∆ = − +
hoặc
: y x 5

ầ
u t
ừ

ngày hôm nay
…

T
rang
-

25
-

Thí dụ 97. Tìm tham số m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị hàm số
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 3x m 2 x 3m
= − + − +
vuông góc với đường thẳng
d : x y 2 0
− + =
?
Đề thi thử Đại học 2014 lần I – THPT Chuyên Lương Văn Chánh – Phú Yên
ĐS:
m 4




 
là các điểm cần tìm.
Thí dụ 99. Viết phương trình đường thẳng d cắt đồ thị
(
)
3 2
C : y x 3x 4
= − +
tại ba điểm phân biệt
(
)

M 2; 0 , N, P
sao cho tiếp tuyến của
(
)
C
tại N và P vuông góc nhau ?
Đề thi thử Đại học 2013 khối A lần I – THPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa
ĐS:
( )
3 2 2
d : y x 2
3
− ±
= −
.

Đề thi thử Đại học 2013 lần III – Chuyên Nguyễn Quang Diêu – Đồng Tháp
ĐS:
1 2
min
k k 1
+ =
khi
m 1
m 3

= −


=


.
Thí dụ 101. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị
( )
x
C : y ,
x 1
=
−
biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của
(
)
C
đến tiếp tuyến là lớn nhất ?
Đề thi thử Đại học 2011 khối B, D – THPT Lê Văn Hưu – Thanh Hóa

 Bài tập rèn luyện về tiếp tuyến và bài toán liên quan đến tiếp tuyến
BT 80. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
( )
1 x
C : y ,
2x 1
−
=
+
sao cho tiếp tuyến đi qua giao điểm của
đường tiệm cận và trục Ox ?
Đề thi thử Đại học 2014 khối D lần II – THPT Chuyên Vĩnh Phúc
ĐS:
1 1
d : y x
12 24
= − −
.
BT 81. Tìm m để tiếp tuyến của
(
)
(
)
3 2
m
C : y x 3mx m 1 x 1
= + + + +
tại điểm có hoành độ
x 1
= −