WWW.VNMATH.COM
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC
KỲ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM HỌC 2013-2014
Môn: Toán 12. Khối D.

Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian giao đề)
A.PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số
3 2
y x ( 2m 1)x m 1
     

( Cm )
.
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
m 1

.
2)
Tìm
m
để đường thẳng
y 2mx m 1
  
cắt cắt đồ thị hàm số
( Cm )
tại ba điểm phân biệt có
hoành độ lập thành một cấp số cộng.
Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình:

3
x 2
3x 2 3x 2
L lim
x 2

  



Câu IV (1,0 điểm). Cho hình chóp
S.ABCD
có đáy là hình bình hành với
AB 2a

,
BC a 2

,
BD a 6
 . Hình chiếu vuông góc của
S
lên mặt phẳng
ABCD
là trọng tâm
G
của tam giác
BCD
,
biết


B. PHẦN RIÊNG (3 điểm). Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)

1.Theo chương trình Chuẩn
Câu VIA (2,0 điểm) 1)Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ
Oxy
, cho hình thang cân
ABCD
có hai
đáy là
AB
,
CD
; hai đường chéo
AC
,
BD
vuông góc với nhau. Biết


A 0;3
,


B 3;4
và
C
nằm trên
trục hoành. Xác định toạ độ đỉnh
D




2
y m 3m x 2 m 3 cos x
   
luôn nghịch biến trên


2.Theo chương trình nâng cao.
Câu VI B (2,0 điểm) 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip


E
biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của


E
tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật
cơ sở của


E
là


12 2 3

.
2) Tính tổng :


HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Văn bản này gồm 05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng
phần như thang điểm quy định.
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong các giáo viên chấm thi.
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả.
II) Đáp án và thang điểm:
Câu Đáp án Điểm

Cho hàm số
3 2
y x ( 2m 1)x m 1
     

( Cm )
.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
m 1

.
1,0 đ
CâuI
Khi
m 1

hàm số trở thành
3 2
–2 –

0.25

Đồ thị của hàm số có dạng như hình dưới đây:

0.25

2) Tìm
m
để đường thẳng
y 2mx m 1
  
cắt
( Cm )
tại ba điểm phân biệt có hoành độ
lập thành một cấp số cộng
1,0đ

Xét phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
x ( 2m 1)x m 1 2mx m 1
       

3 2
x ( 2m 1)x 2mx 0
    



;


2
C 2m;4m m 1
 

Ta có:
A
,
B
,
C
phân biệt
1
m 0;m
2
  
(*)

Sắp sếp các hoành độ theo thứ tự tăng dần ta có các dãy số sau

0 ; 1 ; 2m
lập thành cấp số cộng
0 2m 2.1 m 1
    
thoả mãn (*)

0 ; 2m ; 1

3 2
2 sin x 3 3sin x 2 sin x 3 tan x
   
.(1)

CâuII
Điều kiện:
cos x 0


Phương trình đã cho tương đương với :


3 2
2 sin x.cos x 3cos x 3 sin x 2 sin x 3 sin x
   

3 2 2
2 sin x.cos x 3cos x 3cos x.sin x 2sin x
    

0.25
2,0 đ




2
2 sin x sin x.cos x 1 3cos x sin x.cos x 1 0
    

cos x 2 VN
1
cos x
2





 



0.25

1 2
cos x x k2 ,k
2 3

        

( thoả mãn điều kiện )
Vậy phương trình có hai họ nghiệm:
2
x k2 ,k
3

    



   
 
2 2
2
1
5 x y 4 x y 13
x y
1
x y x y 3
x y

 

    
 

 
 


    



Đ/K
x y 0
 

0.25


  
 
 



 


0.25
WWW.VNMATH.COM

x y 1
a 1 x y 1 x 1
1
x y 2
b 2 x y 1 y 1
x y
 

   
  

   
   
  
   
  



0.25

Tính giới hạn :
3
x 2
3x 2 3x 2
L lim
x 2

  



1,0đ
CâuIII
L




3
3
1 2
x 2 x 2
3x 2 2 2 3x 2
3x 2 2 3x 2 2
lim lim L L
x 2 x 2 x 2
 
    

3x 2 2 3x 2 4
 

   
 

 
    
 
 
 
   

0.25

 
 
2
x 2 x 2
2
x 2
3x 2 2 3x 2 4
L lim lim
x 2
x 2 3x 2 2
3 3
L lim
4
3x 2 2
 

lên mặt phẳng
ABCD
là trọng tâm
G
của
tam giác
BCD
, biết
SG 2a

.
Tính thể tích V của hình chóp
S.ABCD
và khoảng cách giữa hai đường thẳng
AC
và
SB
theo
a
.
1,0đ
1,0đ

Nhận xét ABCD là hình chữ nhật (do
2 2 2
AB AD BD )
 
0.25

3


Tam giác SHG vuông ở G suy ra GI=a.
Vậy: d(AC,SB) = a
Cho
,
x y
là các số dương thoả mãn
1 1 1
3
xy x y
  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2 2
3 3 1 1 1
( 1) ( 1)
y x
M
x y y x x y x y
    
  
0.25

1,0đ
Cách 1

3 3
1 1
a b ab
M a b
b a a b
    
  

2
2
( ) 2
3 ( ) 2
1
a b ab a b ab
a b ab
ab a b a b
   
    
   

2
1 12
( ) 2
4
a b a b
a b
 
      
 



      
suy ra
( )
g t
nghịch biến trên
(2, )


0.25

Do đó


2,
max ( ) (2) 6
g t g

 
suy ra giá trị lớn nhất của
M
bằng
3
2
đạt được khi
1 1
a b x y
    
.
0,25

    
  
.
0.25



1
1 1 2
2 2 2
ab ab ab ab ab ab
M a b b a ab
b a a b
b a ab
        
  
(BĐT AM-GM)
0.25

 




1 1
1 1 3
2 2 2 2 2 2
a b b a
a b
M a b b a ab

,
CD
; hai đường chéo
AC
,
BD
vuông góc với nhau. Biết


A 0;3
,


B 3;4
và
C

nằm trên trục hoành. Xác định toạ độ đỉnh
D
của hình thang
ABCD
.
1,0đ
WWW.VNMATH.COM
2,0 đ



 
C Ox C c;0

, từ
8 3c
IJ AB d ( 2 )
5

  

0.25

Thay (2) vào (1) có:
2
c 6
2c 9c 18 0
3
c
2



   





c 6 d 2 D(0; 2 )( tm )
3 5 5
c d D(6; )( ktm )
2 2 2
     


   

1,0đ

Điều kiện :
*
n ,n 9
 


9 8 8 9 8 9 8
n 3 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 n 2
C 2C C C 2C C C n 15
      
        

0.25

Khi đó
 
 
15 k
30 5k
15 15
15 k
k k k
3 3
6
15 15

15
C .2 320320


0,25

Xác định
m
để hàm số:




2
y m 3m x 2 m 3 cos x
   
luôn nghịch biến trên


1,0
Câu
Đạo hàm :


2
y m 3m 2 m 3 sin x

   

0,25

f t 2 m 3 t m 3m
    
trên đoạn


1;1

là một đoạn thẳng
để
 
 


 
f 1 0
f t 0 t 1;1
f 1 0

 

    





0,25




Vậy để hàm số nghịch biến trên

thì
2 m 3
 

0,25
Câu
VI B

2,0 đ
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy ,lập phương trình chính tắc của elip


E
biết rằng
có một đỉnh và hai tiêu điểm của


E
tạo thành một tam giác đều và chu vi hình
chữnhật cơ sở của


E
là


0,25

2 đỉnh trên trục nhỏ là




1 2
0; , 0;
B b B b

theo gt:tam giác


1 1 2 1 1
B F F B F F

đều
và chu vi hình chữ nhật cơ sở của


E
là


12 2 3

.
0,25


  


0,5

2) Tính tổng :
2 3 2013
2013 2013 2013
S 1.2.C 2.3.C 2012.2013.C   


1,0 đ

Xét số hạng tổng quát :


k
2013
k 1 .k.C k 2,3, ,2013.
  

0,25

   
 
k k 2
2013 2011
2013!
k 1 .k.C k 1 .k. 2012.2013.C k 2,3, ,2013
k ! 2013 k !

2 2
y m m 1 x m m 1 sin x 2m
      
đồng biến trên


1,0
7B
Đạo hàm




2 2
y m m 1 m m 1 cos x

     1,0 đ
Điều kiện hàm số luôn nghịch biến trên

y 0 x

   


0,25





2 2
f t m m 1 m m 1 t , t 1;1
        
trên đoạn


1;1

là một
đoạn thẳng để
 
 


 
f 1 0
f t 0 t 1;1
f 1 0
 

    

 



0,25
WWW.VNMATH.COM