BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM Tp. HỒ CHÍ MINH NGUYỄN THANH DŨNG
CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHÔNG
GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN
p
¢ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC


quá trình làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán – Tin học trường THPT
Ngô Gia Tự; gia đình, bè bạn đã tạo điều kiện thuận lợi cả về vật chất lẫn tinh thần cho tôi trong
suốt quá trình học tập.

Tp Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011

Nguyễn Thanh Dũng

MỤC LỤC CÁC KÝ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

p: số nguyên tố
¥
: tập hợp các số tự nhiên
*
¥
: tập hợp các số nguyên dương
¢
: tập hợp các số nguyên
¤
: tập hợp các số hữu tỉ
¡
: tập hợp các số thực
£

x
: dãy chuẩn của x
[]a
: phần nguyên của số nguyên a
[]
p
a
: phần nguyên p – adic của a
W
: kết thúc phép chứng minh MỞ ĐẦU
Các số p – adic được mô tả lần đầu tiên bời Kurt Hensel vào năm 1897, hơn một trăm năm
qua chúng đã từng bước thâm nhập vào nhiều ngành toán học như: Lý thuyết số, Hình học đại số,
Tôpô đại số, Giả tích và cả Vật lý đặc biệt là Vật lý lượng tử. Bộ môn toán học nghiên cứu các hàm
với biến số là các số p – adic gọi là giải tích p – adic.
Không gian các hàm liên tục trên
p
¢
,
( )
pp
C →¢£
, là một không gian Banach với chuẩn
{ }
( )
max ( ) , ,
p pp
p

rõ thêm một số kết quả về cơ sở này.
Mục đích chính của luận văn là xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục
trên
p
¢
. Nghiên cứu và mở rộng một số tính chất của cơ sở này. Đồng thời, xây dựng các ứng dụng
của cơ sở này để biểu diễn các hàm liên tục trên tập
p
¢
.
Luận văn giới thiệu đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cũng như các tính chất cơ bản của cơ sở
Vanderput. Chúng tôi đã cố gắng tìm tòi để đưa ra những ứng dụng của cơ sở này trong việc nghiên
cứu các hàm liên tục, khả vi liên tục trên
p
¢
; các hàm thỏa điều kiện Lipchitz cấp a dương.
Cấu trúc của luận văn gồm 2 chương
Chương 1: Các kiến thức cơ bản
Chương này giới thiệu các kiến thức cơ bản dùng cho chương sau như: các trường số
p - adic, không gian các hàm liên tục trên
p
¢
, cơ sở trực giao, trực chuẩn của một không gian.
Chương 2: Cơ sở Vanderput cho không gian các hàm liên tục trên
p
¢

Chương này là chương chính của luận văn, trình bày đầy đủ, chi tiết cách xây dựng cơ
sở Vanderput và các tính chất của nó. Trình bày các đặc trưng của hệ số Vanderput đối với lớp hàm
khả vi liên tục. Đưa ra công thức tính tích phân Volkenborn theo cơ sở này. Cuối cùng là mở rộng

và
p
£
, trước hết ta cần khái niệm giá trị tuyệt đối
trên một trường.

1.1.1.Định nghĩa
Cho K là một trường, ánh xạ
: K → ¡
được gọi là một giá trị tuyệt đối trên K nếu:
1)
0, ; 0 0x x Kx x≥ ∀∈ = ⇔ =

2)
., ,xy x y x y K= ∀∈

3)
,,x y x y xy K+≤+ ∀ ∈

Nếu
thỏa điều kiện 3’)
{ }
max , , ,x y x y xy K+≤ ∀ ∈
thì gọi là giá trị tuyệt đối phi - Acsimét.

Ví dụ 1 Trên trường số hữu tỷ
¤
, giá trị tuyệt đối thông thường là một giá trị tuyệt đối trên trường
¤


0, 0
,
1
,0
p
ord x
p
x
xx
x
p
=


= ∀∈


≠




¤

là một giá trị tuyệt đối phi – Acsimét trên trường
¤
.

Cho
là một giá trị tuyệt đối trên trường K. Ta định nghĩa hàm

x
là dãy Côsi theo giá trị tuyệt đối , nghĩa là:
,
0
mn
mn
xx
→+∞

−→



( )
0, : , ,
o om n
n nm n x x
εε
⇔∀ > ∃ ∈ ∀ > − <¥1.1.3 Định lý Oxtropxki
Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường trên
¤
đều tương đương với giá trị tuyệt đối
p
(p
là số nguyên tố nào đó) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên
¤
.

Từ (1) và (2) suy ra
max{ , }xy x xy−= =
.
Cuối cùng ta chứng minh
max{ , }xy x xy+==
. Ta có
( ) max{ , } max{ , }xy x y x y xy+ = −− = − =
.
W

1.1.5 Trường các số p – adic
p
¤

Xét
p
là giá trị tuyệt đối p – adic trên
¤
;
()
1
() ,
p
ord x
p
xx
p
= ∀∈¤
. Ký hệu S là tập tất cả
các dãy Côsi trong

Phép nhân:
{ }, { } , . { . }
n n p nn
x x y y xy x y∀= = ∈ =¤

Ta chứng minh được với hai phép toán cho như trên
P
¤
là một trường với:
Phần tử không:
0 { 0}
n
x= =

Phần tử đơn vị:
1 { 1}
n
x= =

Phần tử đối:
{}
n
xx=
thì
{}
n
xx−=−

Phần tử nghịch đảo: Với
{}0

≤

=

>

, là một dãy Côsi trong
¤
theo
p
, và
{ }.{ } 1
nn
xy=
.
Tức phần tử nghịch đảo của
{}
n
x
là phần tử
{}
n
y
.
Xét
: , ( ) { },
pn
x xxx
θθ
→ = = ∀∈¤¤ ¤

,
p
¤
, tức
( )
,
p
¤
là một mở rộng của
( )
,
p
¤
.
Để tiện trình bày, ta cũng ký hiệu giá trị tuyệt đối trong
p
¤
là
p
.

Ký hiệu
{ }
:1
pp
p
xx=∈≤¢¤
. Khi đó,
p
¢

m px∃∈ ≤¥
hay
m
p
x px
′
= ∈¢
. Do đó,
{0,1, , 1}
i
ap∃∈ −
sao
cho
0
i
i
i
x ap
∞
=
′
=
∑
. Suy ra
i
i
im
x ap
∞
=−

Hình cầu mở tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
Bar x x a r=∈ −<¤

Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
B ar x x a r=∈ −≤¤

Mặt cầu tâm a bán kính r là tập
( )
{ }
,/
p
p
S ar x x a r=∈ −=¤ Từ định nghĩa cho thấy
( )
0,1
p
B=¢

p
. Làm đầy đủ
¤
theo ta được trường số thực
¡
. Còn
làm đầy đủ
¤
theo
p
ta được trường
p
¤
. Trường số thực
¡
không đóng đại số, bao đóng đại số
của
¡
là trường số phức
£
và đặc biệt
£
đầy đủ. Vậy bao đóng, đủ của
p
¤
là trường nào? Ta xây
dựng nó như sau.
Ký hiệu
p
¤

. Khi đó,
n
o
p
p
a
α
=

là một giá trị tuyệt đối trên
p
¤
.
Nhận xét rằng
p
¤
đóng đại số nhưng chưa đầy đủ. Ký hiệu
p
£
là bao đủ của
p
¤
theo
p

và ta chứng minh được
p
là một giá trị tuyệt đối trên
p
£

Trong trường
p
£
:
Dãy
{}
nn
a
gọi là hội tụ về
p
a∈£
nếu
lim 0
n
p
n
aa
→∞
−=
. Ký hiệu
lim
n
n
aa
→∞
=
.

0
n

hội tụ và viết
0
n
n
Sa
+∞
=
=
∑
.

Nhận xét Vì
p
£
là trường phi – Acsimét nên điều kiện hội tụ của dãy và chuỗi đơn giản hơn trong
giải tích phức. Cụ thể: trong trường
p
£

1) Dãy
{}
nn
a
hội tụ khi và chỉ khi
1
0, , ,
nn
p
N n Na a
εε

fx fa
→
=
, nghĩa là
, 0, : ( ) ( )x X x a fx fa
εδ δ ε
∀ >∃ > ∀ ∈ − < ⇒ − <
.
Nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X thì ta nói f liên tục trên X. Ký hiệu
()CX K→
là tập tất
cả các hàm liên tục trên X.
1.2.2 Mệnh đề
()CX K→
là K – không gian véctơ với phép toán cho như sau:
Phép cộng:
( )( ) ( ) ( ), , ( ),f g x fx gx fg CX K x X+ = + ∀ ∈ → ∀∈

Phép nhân ngoài:
( )( ) ( ), ( ), ,f x fx f CX K K x X
λλ λ
= ∀∈ → ∀ ∈ ∀∈

1.2.3 Định nghĩa
Ánh xạ
:fX K→
được gọi là hàm hằng địa phương nếu với mỗi
xX∈
, tồn tại một lân
cận mở U của x sao cho f là hằng trên U.

y
ζ
=
,
yU∀∈
. Còn
xU∉
thì
\x KU∈
, mà U đóng nên
\KU
mở tức
\KU
là lân cận của x và
( )
( ) 0, \
U
y y KU
ζ
= ∀∈
. Vậy
U
ζ
là hàm hằng địa phương.
W

1.2.4 Định lý
Hàm hằng địa phương là hàm liên tục
Chứng minh Giả sử
:fX K→

, ta có
() ( ) 0 , ( , )
oo
fx fx a a x Bx
εδ
− = − = < ∀∈
. Vậy f liên tục.
W1.2.5 Định nghĩa
Cho E là một không gian véctơ trên trường
( )
,K
. Một chuẩn trên E là một ánh xạ
: E → ¡

thỏa ba tính chất:
1)
0, ; 0 0x x Ex x≥ ∀∈ = ⇔ =

2)
,,x x xE K
λλ λ
= ∀∈ ∀∈

3)
,,x y x y xy E+≤ + ∀ ∈

Cặp

= ∀∈¢
. Khi đó,
( )
:
pp
C
∞
→→¢£ ¡
là một hàm. Hơn nữa, ta có định lý.

1.2.6 Định lý
Hàm
∞
là một chuẩn phi – Acsimét trên
( )
pp
C →¢£
.
Chứng minh Ta kiểm tra bằng định nghĩa
Rõ ràng
( )
0, ; 0 0
pp
f fC f f
∞
≥ ∀∈ → = ⇔ =¢£

Với mọi
( )
,

fg C∈→¢£
, ta có:
{ }
{ }
{ }
{ }
max () () ,
max max ( ) , ( ) ,
max , .
p
p
p
pp
f g f x gx x
fx gx x
fg
∞
∞∞
+ = + ∀∈
≤ ∀∈
≤
¢
¢
WNhư vậy,
( )
( )
,

{ }
n
n
f
là dãy Côsi
nên
11
0, ,N mn N∃ >∀ >
ta có
3
mn
ff
ε
∞
−<
hay
{ }
max () () , () () ,
33
mn p mn p
pp
fx fx x fx fx x
εε
− ∀∈ < ⇔ − < ∀∈¢¢
(1)
Suy ra, với mỗi
p
x∈¢
dãy
{ }

.
Vì
() lim (),
np
n
fx f x x
→∞
= ∀∈¢
nên
22
0,N mN∃ >∀>
ta có
() () ,
3
mp
p
f x fx x
ε
− < ∀∈¢
(2)
Giả sử
{ }
,
n pn p
x xx⊂ →∈££
. Khi đó, với mỗi
m∈ ¥
vì
m
f

n
p
fx fx
ε
−<
, tức là
( ) ()
n
fx fx→
hay
( )
pp
fC∈→¢£
.
Cuối cùng ta còn phải chứng minh
n
ff→
.
Chọn
12
max{ , }N NN=
, thế thì theo (1) và (2), với mọi
,mn N>
ta được
{ }
() () () () () ()
2
max () () , () ()
3
,

,
pp
C
∞
→¢£
là một không gian Banach.
W Cho
XK⊆
và
:fX K→
. Với
aX∈
là một điểm tụ,
bK∈
. Khi đó, ta định nghĩa
lim ( )
xa
fx b
→
=
nếu
( )
0, , , ( )x Xx a fx b
εδ δ ε
∀ > ∃ >∀ ∈ − < ⇒ − <
với mọi
aX∈
. Khi đó, f gọi là nguyên
hàm của f’ còn f’ gọi là đạo hàm của hàm f.

Cho X là tập khác rỗng không chứa các điểm cô lập của K, ký hiệu
{ }
( , ):xx x X∆= ∈
. Sai
phân thương
1
fΦ
của
:fX K→
là một hàm hai biến
1
1
:\
() ()
(,) (, )
fXX K
fx fy
xy fxy
xy
Φ × ∆→
−
Φ=
−
a


1
CX K→
là không gian định chuẩn với chuẩn
( )
{ }
1
1
1
max , /f f f f CX K
∞∞
= Φ ∀∈ →1.2.10 Định nghĩa
Cho
(,)K
là một trường,
,0X Ka⊂>
. Hàm
:fX K→
được gọi là thỏa điều kiện
Lipschitz cấp a nếu tồn tại số M > 0 sao cho:
() () , ,
a
f x f y Mx y xy X− ≤ − ∀∈

Ký hiệu
( )
a
Lip X K→

{ }
inf ,x xy K
λλ
= − ∀∈
.

Ví dụ: Trong không gian định chuẩn
( )
( )
,
pp
C
∞
→¢£
hai hàm
()fx x=
và
2
( ) ( 1)gx xx= −
là
trực giao.
Chứng minh: Ta có
{ }
{ }
max ( ) , max , 1
pp
pp
f fx x x x
∞
= ∀∈ = ∀∈ =¢¢

∞∞
− ∀∈ ==£
.
W1.3.2 Định nghĩa
1) Cho
xE∈
và
12
,DD E⊆
. Ta nói:
Phần tử x trực giao với tập hợp
1
D
, ký hiệu
1
xD⊥
, nếu
1
,xddD⊥ ∀∈
.
Tập hợp
1
D
trực giao với tập hợp
2
D
, ký hiệu

nn
xx x x
−+

3)
{ }
12
, , , ,
n
xx x E⊆
được gọi là tập trực chuẩn nếu nó là tập trực giao và
1, 1, 2, 3,
n
xn=∀=

Nhận xét: Nếu
{ }
12
, , , ,
n
xx x E⊆
là tập trực giao không chứa phần tử không thì nó độc lập tuyến
tính.
1.3.3 Định lý
Cho
12
, , , ,
n
xx x E∈
. Ta có các khẳng định sau:

∑
với
12
, , ,
n
K
λλ λ
∈

3)
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao khi và chỉ khi
1
n
ii n n
i
xx
λλ
=
≥
∑
với
12
, , ,
n
K
λλ λ

xx x
là
tập trực giao bằng cách chỉ ra
12 1 1
, , , , , ,
i ii
x xx x x i
−+
⊥∀
. Thật vậy,
1 11
, , , ,
ii
y x xx
−+
∀∈
,
1
,
m
in in in
n
y ax a K
=
= ∈
∑
suy ra
1
, ,
i im

x x xx x
−+
⊥
.
Suy ra, với mọi
1
, ,
n
K
λλ
∈
ta có
1
n
ii j j
ij
xx
λλ
≠=
⊥
∑
. Theo định nghĩa 1.3.1, ta được
1
n
ii j j ii
ij
x xx
λ λλ
≠=
+≥

n
j j ii
j
x xi n
λλ
=
≤=
∑
. (**)
Kết hợp (*) và (**), ta được
{ }
1
max / 1,
n
j j ii
j
x xi n
λλ
=
= =
∑
.
Ngược lại, giả sử
{ }
1
max / 1, ,
n
jj jj j
j
x xi n K

max , / 1, ,
n
i i jj i jj
ij
x y x x x xij n K
α α λ αλ α
≠=
− = − = ≠= ∀∈
∑

Từ đó suy ra
,
ii
x yx K
αα
− ≥ ∀∈
suy ra
i
xy⊥
. Vậy
12
{ , , , }
n
xx x
là tập trực giao.
3) Giả sử
12
{ , , , }
n
xx x

Giả sử
1
,
n
j j nn j
j
xx K
λ λλ
=
≥ ∀∈
∑
. Khi đó,
1
11
nn
nn j j j j nn
jj
x x xx
λ λ λλ
−
= =
+= ≥
∑∑Theo nhận xét trên,
11
1 11
n nn
jj nn jj jj

λλ
−
−−
=
≥
∑
. Do đó,
11
1
n
jj n n
j
xx
λλ
−−
=
≥
∑

Cứ lập luận như vậy ta được
1
, 3, ,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑

=
≥
∑

Như vậy, ta đã chứng minh được
1
, 1, ,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑
. Từ đó suy ra
{ }
1
max / 1,
n
j j mm
j
x xm n
λλ
=
≥=
∑

Điều này cho ta khẳng định
{ }

{ }
12
, , , ,
n
ee e
là tập trực giao (tương ứng, trực chuẩn)
2) Với mỗi
xE∈
, tồn tại
12
, , K
λλ
∈
sao cho
1
nn
n
xe
λ
∞
=
=
∑1.3.5 Mệnh đề
Cho
{ }
12
, , , ,

n
xn
λ
= ∈¥

3) Nếu
1
nn
n
x eE
β
∞
=
= ∈
∑
, với
12
, , K
ββ
∈
thì
, 1, 2, 3,
nn
n
λβ
= ∀=

Chứng minh
1) Vì
1

→∞
=
.
2) Ta có
{ }
11
lim lim max , 1,
n
nn ii ii
nn
ni
x e e ei n
λλ λ
∞
→∞ →∞
= =
= = = =
∑∑{ }
{ }
lim max , 1, max , 1,2,3,
ii n
n
ei n n
λλ
→∞
= = = =


Chương 2: CƠ SỞ VANDERPUT CHO KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC TRÊN
p
¢ Chương này sẽ giới thiệu cụ thể, chi tiết cách xây dựng cơ sở Vanderput cho không gian các
hàm liên tục trên
p
¢
,
( )
pp
C →¢£
; cơ sở Vanderput cho các hàm liên tục trên
pp
×¢¢
,
( )
pp p
C
×→¢¢ £
. Đồng thời, đưa ra một số tính chất và ứng dụng của cơ sở này trong việc nghiên
cứu các hàm khả vi liên tục; các hàm thỏa điều kiện Lipchitz và công thức tính tích phân
Volkenborn qua hệ số Vanderput.

−
−
=+ ++L
.

2.1.1 Định nghĩa
Với
i
ip
i
x ap
+∞
=−∞
= ∈
∑
¤
, ta định nghĩa phần nguyên p – adic của nó là
[ ]
1
i
i
p
i
x ap
−
=−∞
=
∑
, với mỗi
1, 2, 3, n =

o np
xx x ∈¤
hội tụ về x. Ta gọi
{ }
n
n
x
là dãy chuẩn của x. Nếu
p
x∈¢
thì
0
i
i
i
x ap
+∞
=
=
∑
. Do đó,
dãy chuẩn của x là các số tự nhiên.
2.1.2 Định nghĩa
Cho
1
{ , , , , }
on
xx x
là dãy chuẩn của
p

Các khẳng định sau là đúng
1) Nếu
p
x∈¢
,
n∈ ¥
thì
n
n
xx p
−
−≤
và
{0,1, , 1}
n
n
xp∈−
. Ngược lại, nếu
{0,1, , 1}
n
yp∈−
thỏa
n
xy p
−
−≤
thì
n
yx=
.

là hằng trên tập
*
(,)
n
pp
ap a n+ ∈∈¢¢¥

4) Cho
,,
p
xy n∈∈¢¥
. Khi đó,
0,
,
n
p
nn
p
n
pp
xy p
xy
xy xy p
−
−

−≤

−=


, log
s
os p
m a ap ap s m

=+ ++ ∈ =

L¥

Chứng minh
1) Giả sử
1
11
nn
o nn p
x a ap a p ap
−
−
= + ++ + +∈L L¢
. Với mỗi
n∈ ¥
, ta có:
1
11
n
no n
x a ap a p
−
−
=+ ++L

p
xy p
−
−≤
. Khi đó, vì
y∈ ¥
nên
1
s
os
y b bp bp=++L
. Thêm nữa,
n
yp<
nên
1sn≤−
. Ta có
Nếu s < n - 1 thì
1
1
()()
ss
oo ss s
p
p
x y a b a bp a p
+
+
− = − ++ − + +LL


ta có
1
11
nn
o nn
x a ap a p ap
−
−
=+ ++ + +LL
và
1
11
nn
o nn
y b bp b p bp
−
−
=+ ++ + +LL

Suy ra
11
( ) ( )( )
sn
oo n n nn
p
p
x y a b a b p a bp
−−
− = − ++ − + − +LL
.

và
11nn
xy
++
≠
.
3) Với mỗi
n∈ ¥
,
p
x∈¢
,
1
1
1
n
pn
nn
p
o
pp
x a ap a p a p
−
−
=+ ++ + +LL
do đó,
1
11
n nn
po n p

−
−≤
và
n
p
iy p
−
−≤
suy ra
{ }
max ,
n
p pp
xy xi iy p
−
−≤ − − ≤

Theo (2i),
nn
xy=
. Tức hàm
()
np
x xx∈a¢
hằng trên tập
*
,,
n
pp
ap n a+ ∈∈¢¥¢

p
p
x y a b a b p a bp
−−
− = − ++ − + − +LL
.
Khi đó,
Nếu
n
p
xy p
−
−≤
thì
, 0, 1
ii
abi n= ∀= −
nên
0
nn
p
xy−=

Nếu
n
p
xy p
−
−>
thì

. Khi đó,
1
11
n
no n
x a ap a p
−
−
=+ ++L
. Xảy ra hai trường hợp:
Nếu m > n thì
11
11
00
nn m
no n
x a ap a p p p
−−
−
=+ ++ + ++ +L LL
suy ra,
11
11
() 0 0
nn m
nm o n n
x a ap a p p p x
−−
−
=+ ++ + ++ =LL

p
x∈¢
ta luôn có
1
n
on
x a ap ap=++ +LL
. Giả sử
,m mx∈¥<
. Khi đó,
s∃∈¥

sao cho
1
s
os
m a ap ap=++L
. Từ đây suy ra
1 2 ( 1)
12
1
ss s
ss
p
xm ap a p p
m
+ + −+
++
− = + +≤ <L


p
x m a b a bp a bp p
−
− = − + − ++ − + <LL

Suy ra
, 0,
ii
abi s= ∀=
hay
mx<
.
7) Vì
m∈ ¥
nên m có khai triển p – phân
1
s
os
m a ap ap=+ ++L
trong đó,
log
p
sm

=

.
Suy ra
_
ss

¢
<

là một hàm liên tục.
Chứng minh Với mỗi
n∈ ¥
, ta sẽ chứng minh
n
e
là hàm hằng địa phương. Thật vậy, với mọi
p
x∈¢
, có hai khả năng có thể xảy ra:
Nếu
nx<
thì
:
m
m nx∃∈ =¥
. Ký hiệu
1
{/ }
m
pm
U y yx p
−−
=∈ −<¢
. Khi đó, U là lân cận
mở của x và
ny<

xU∈
suy ra U là một lân cận mở của x. Hơn nữa,
yU∀∈
, cũng theo mệnh đề
2.1.3,
ny<
suy ra
() 0
n
ey=
.
Vậy
n
e
là hàm hằng địa phương, do đó,
n
e
là hàm liên tục trên
p
¢
. Nói các khác
( )
,
n pp
n eC∀∈ ∈ →¥ ¢£
.
W

2.1.5 Định lý
(Cơ sở Vanderput) Các hàm

() ()
nn
n
f x ae x
+∞
=
=
∑

trong đó,
*
(0), ( ) ( _),
on
a f a fn fn n==−∈¥
.
Chứng minh Trước hết ta chứng minh
1
{ , , , , }
on
ee e
là tập trực chuẩn. Với
n∈ ¥
ta có:

{ }
max ( ) , 1
nnp
p
e ex x
∞

λλ λ λ
λλ
= =
∞
−
∞


= ∈



≥ + ++ + ∈
= ∈=
∑∑
¢
L¢
¢

Hay là
1
m
ii m m
p
i
ee
λλ
∞
=
∞