ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
LƯƠNG DUY TIẾU
CƠ SỞ WAVELET
TRONG KHÔNG GIAN L
2
(R)
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
MÃ SỐ: 60.46.36
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Công trình được hoàn thành tại
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn
Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:
Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên
Tháng 8 năm 2011
Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học
hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG
GIAN L

Mở đầu
Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông
tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi
ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng
định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những
hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một
môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương
pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà
toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu.
Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ
trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông,
công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái
niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý
thuyết và ứng dụng thực tế.
Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
([0, 1))
bao gồm các hàm mũ

e
2πimx
: m ∈ Z

và tập hợp các hàm lượng giác
thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này
trong không gian L
2
([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép
tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được
cơ sở trực chuẩn trong không gian L

3
Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn,
những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [α
j
, α
j+1
) với j ∈ Z.
Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản
R =

n∈N
[n, n + 1)
thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:

g
m.n
(x) = e
2πimx
g(x − n) : m, n ∈ Z

.
Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở
thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R) thì g không được
"quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized).
Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Balian-
Low. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được
sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very
localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong

2
(R)
Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L
2
(R),
biến đổi Fourier trong không gian L
2
(R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong
không gian L
2
(R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4
Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong
không gian L
2
(R)
Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu
trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận
văn là tài liệu [7].
Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Công
nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình
đầy tâm huyết của Thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại
học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin
Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi
lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa
học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học

1
2
,
1
2
) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên.
Tích trong của các hàm f và g được xác định là:
< f, g >=

f(x)g(x)d(x),
ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức
Schwarz’s
|< f, g >| ≤ f
2
g
2
,
trong đó f
2
= (

|f|
2
)
1
2
là chuẩn của f trong L
2
.
Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng

Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−π, π) là

1
√
2π
e
n

n∈Z
khi e
n
(x) = e
inx
.
Cho một hệ trực chuẩn {f
n
: n ∈ Z} và một hàm f, chúng ta xác định
hệ số Fourier của f với {f
n
: n ∈ Z} sẽ là
c
k
=< f, f
k
>, k ∈ Z.
Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và
trong tình huống nào, điều này đúng với
f =

k∈Z

dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại
một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn
{f
n
: n ∈ Z}, chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s

k∈Z
|c
k
|
2
≤ f
2
2
.
Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược
lại, nếu một hệ trực chuẩn {f
n
: n ∈ Z} thỏa mãn

k∈Z
|c
k
|
2
= f
2
2
(1.2)
với mọi f ∈ L


−∞
g(ξ)e
iξx
dξ
và nếu chúng ta áp dụng nó cho g =

f, thì chúng ta có được f; đó là
(

f)
∨
= f. Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng
< f, g >=
1
2π


f, g. (1.3)
Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L
2
(R) và toán tử
f →
1
√
2π

f là unita. Khi f

tồn tại trong L

f, g, f

, g

∈ L
2
(R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3)
và (1.4).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8
Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm
Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x
0
được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi
lim
δ→0
+
1
2δ
x
0
+δ

x
0
−δ
|f(x) − f(x
0
)|dx = 0.
Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x

2
(R). Điều quan tâm của
chúng ta chính là những cơ sở wavelet.
1.2.1. Định nghĩa
Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh
bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực
chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L
2
(R) sao cho {ψ
j,k
: j, k ∈ Z} là cơ sở
trực chuẩn của L
2
(R), trong đó
ψ
j,k
(x) = 2
j
2
ψ(2
j
x − k), j, k ∈ Z.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9
Ta thấy ψ
j,k
đã được chuẩn hóa, vì thế
ψ
j,k



ψ(ξ) = χ
I
(ξ), với: I = [−2π, −π] ∪ [π, 2π], trong
đó χ
I
là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là
χ
I
(x) =

1 nếu x ∈ I
0 nếu x /∈ I.
Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L
2
(R).
Một phép tính đơn giản cho chúng ta thấy
(ψ
j,k
)
∧
(ξ) = 2
−
j
2

ψ(2
−j
ξ)e
−i2

j,k
, ψ
l,m
> =
1
2π
2
−j

R




ψ(2
−j
ξ)



2
e
i2
−j
(m−k)ξ
dξ
=
1
2π


j
4π
2





R

f(ξ)

ψ(2
−j
ξ)e
i2
−jkξ
dξ




2
=

j∈Z
2
j
2π



là một cơ sở trực chuẩn của
không gian L
2
(R) (thực tế là tương đương với tính trực chuẩn của hệ
tương tự trên đoạn [0, 2π]).
Ta viết:

j,k∈Z
|f, ψ
j,k
|
2
=

j∈Z
2
j
2π





I
ˆ
f(2
j
µ)





ˆ
f



2
2
= f
2
2
,
do

j∈Z
χ
I
(2
−j
ξ) = 1, với hầu hết ξ ∈ R.
Điều này chỉ ra rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian
L
2
(R).
1.2.2. Định lí Balian-Low
Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng
phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số.
Ví dụ, một cơ sở trong không gian L

(x) = e
2πimx
g(x − n), m, n ∈ Z.
Nếu {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R)
thì
+∞

−∞
x
2
|g(x)|
2
dx = +∞ hoặc
+∞

−∞
ξ
2
|g(ξ)|
2
dξ = +∞.
Chứng minh.
Chúng ta đưa ra các toán tử Q và P, được xác định trên không gian
S

gồm các hàm suy rộng tăng chậm với

2
|g(ξ)|
2
dξ,
Các công thức cuối là hệ quả của (1.3) và (1.4). Vì thế chúng ta cần
phải thấy rằng cả (Qg) và (P g) không thể cùng thuộc L
2
(R).
Giả sử cả (Qg) và (P g) đều thuộc L
2
(R). Chúng ta sẽ thấy rằng điều
này dẫn đến mâu thuẫn, và từ điều này định lí được chứng minh.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12
Ta có:
< Qg, P g >=

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
>< g
m,n
, P g >, (1.6)
< Qg, g
m,n
>=< g
−m,−n
, Qg > với mọi m, n ∈ Z (1.7)
và < P g, g
m,n

2
= g
0,0

2
2
= 1, chúng ta có được
< Qg, P g >= −i+ < P g, Qg >,
điều này trái ngược với (1.9).
Vì thế định lí được chứng minh nếu chúng ta thiết lập (1.6), (1.7) và
(1.8). Từ Qg, P g ∈ L
2
(R) và {g
m,n
: m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn
chúng ta có:
< Qg, P g > =<

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
> g
m,n
, P g >
=

m,n∈Z
< Qg, g
m,n
>< g

−∞
g(y + n)(y)g(y)e
−2πim(y+n)
dy =< g
−m,−n
, Qg >,
chúng ta đã có (1.7).
Để chứng minh (1.8) chúng ta sử dụng tích phân từng phần công thức
(1.5) để có được
< P g, g
m,n
> = −i

+∞
−∞
g

(x)g(x − n)e
−2πimx
dx
= i

+∞
−∞
g(x){ − 2πimg(x − n) + g

(x − n)}e
−2πimx
dx
= 2πmδ

(χ
[0,1)
)
∧
(ξ)


2
=

2 sin(
ξ
2
)

2
Ví dụ 1.2.2. Cho g(x) =
sin(πx)
πx
≡ sinc(x), khi đó {g
m,n
: m, n ∈ Z} là
một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R), ta thấy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14
(χ
[0,1)
)

g(x − nt
0
) (1.10)
với w
0
t
0
= 2π, thì định lí Balian-Low vẫn đúng. Để thấy được thì toán
tử U được xác định bởi Ug(x) = (2πw
−1
0
)
1
2
.g(2πw
−1
0
x) là unita trong
L
2
(R) và
Ug
m,n
(x) = e
2πimx
Ug(x − n)
khi 2πw
−1
0
= t

=

e
2πimx
b(x)

m∈Z
là một hệ trực chuẩn, chẳng hạn trong L
2
(0, 1)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15
Ví dụ giả sử b là một hàm số xác định trên R với supp(b) ⊆ [−ε, 1 + ε

],
khi ε + ε

≤ 1, ε, ε

> 0 và b(x) ≥ 0. Thật dễ để tìm thấy các điều về b
để {b
m
: m ∈ Z} là một hệ trực chuẩn. Ý tưởng này là sử dụng một "đối
số gập" để thu được các mối quan hệ trực giao
< e
2πim(.)
b, e
2πiπn(.)
b >= δ
m,n

ε

+

1
1−ε
+

1+ε

1
){b
2
(x)e
2πi(m−n)x
}dx.
Trong tích phân đầu tiên chúng ta thực hiện thay đổi các biến số
y = 1 + x; Trong tích phân cuối cùng, chúng ta sử dụng sự thay đổi của
các biến y = x − 1. Do đó chúng ta có được
δ
m,n
=

ε

0

b
2
(x) + b

Đó là hàm f có giá trị b
2
(x) + b
2
(1 + x) trên đoạn [0, ε

], b
2
(x) trên
[ε

, 1 −ε] và b
2
(x) + b
2
(x −1) trên [1 − ε, 1] có hệ số Fourier là

f(k) = 0
nếu k = 0 và

f(0) = 1. Bây giờ thì đã trở nên dễ dàng hơn, nếu các mối
quan hệ trực giao được thiết lập, thì b phải thỏa mãn:
b
2
(x) + b
2
(1 + x) = 1 nếu x ∈ [0, ε

]
b

ta sẽ thấy rằng nếu thay thế các hàm mũ e
2πimx
bằng các hàm sin và
cosin thích hợp thì chúng ta có thể có được những cơ sở như vậy.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17
Chương 2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY
DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ
TRONG KHÔNG GIAN L
2
(R)
2.1 Xây dựng phép chiếu trơn
Chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể xây dựng một hàm số trơn
liên kết với đoạn [0, 1], theo cách mà hệ
√
2b(x − k) sin(
2j + 1
2
π(x − k)), k, j ∈ Z
là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L
2
(R). Trong thực tế, chúng
ta sẽ thấy rằng đối với mỗi số k cố định (k ∈ Z), thì tập hợp
{
√
2b(x − k) sin(
2j + 1
2
π(x − k)) : j ∈ Z}

= [α
k
, β
k
)) tạo ra một hệ đầy đủ các
không gian con trực giao của L
2
(R).
Hệ được xây dựng như vậy không phải là một hệ wavelet, nhưng nó
có thể được dùng để phân tích một hàm tổng quát trong không gian L
2
và hơn thế nữa chúng ta sẽ thấy nó có thể được sử dụng để xây dựng
nên wavelet như thế nào?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
18
2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞)
Chúng ta bắt đầu với trường hợp đặc biệt I = [0, +∞) và mục đích
của chúng ta là xây dựng nên một "hàm hình chuông" trơn mà "xấp xỉ"
χ
[0,+∞)
. Vì phép chiếu bất kì là lũy đẳng (không thay đổi sau khi nó được
lũy thừa lên) thì phép nhân bởi một số sẽ đưa ra một phép chiếu chỉ khi
hàm số đó có các giá trị 0 hoặc 1 hầu như ở khắp mọi nơi trên R; Điều
này chỉ ra rằng phép chiếu mà chúng ta đang tìm kiếm không thể được
đưa ra một cách đơn giản bằng phép nhân bởi một hàm trơn. Ta sẽ tìm
một hàm cộng tính không âm ρ ∈ C
+∞
, như vậy sup p(ρ) ⊆ [ − ε, +∞)
với ε > 0 và giống như χ
[0,+∞)

∗
= P ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
19
Trên thực tế,
(P
2
f)(x) = s(x)[s(x)(P f)(x) ±s(−x)(P f)(−x)]
= s(x)[|s(x)|
2
s(x)f(x) ± |s(x)|
2
s(−x)f(−x)
± |s(−x)|
2
s(−x)f(−x) + |s(−x)|
2
s(x)f(x)]
= s(x)[s(x)f(x) ± s(−x)f(−x)] = (Pf)(x),
và
< P
∗
f, g > =< f, P g >
=

+∞
−∞
f(x)s(x)[s(x)g(x) ± s(−x)g(−x)]dx
=



−x
−∞
ψ(t)dt
=

x
−∞
ψ(t)dt +

+∞
x
ψ(−t)dt
=

x
−∞
ψ(t)dt +

+∞
x
ψ(t)dt =
π
2
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
20
Đặt s(x) ≡ s
ε
(x) = sin(θ(x)) và c(x) ≡ c

0,ε

+,−
f)(x) = c
ε

(x)[f(x) ± c
ε

(−x)f(−x)]
phù hợp với khoảng (−∞, 0], khi ε

> 0.
2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β]
Bây giờ chúng ta muốn xây dựng những hình chiếu trơn trên một
đoạn tổng quát
I = [α, β], −∞<α < β < +∞
Chúng ta làm điều này bằng phép tịnh tiến τ
h
f(x) = f(x − h) đã được
giới thiệu ở phần đầu và đặt
P
α
= τ
α
P
0
τ
−α
và P

τ
−α
f)(x)
= (P
0
τ
−α
f)(x − α)
= s
ε
(x − α)[s
ε
(x − α)f(x) ± s
ε
(α −x)f(2α − x)]. (2.3)
Tương tự như vậy ta có:
(P
β
f)(x) = (τ
β
P
0
τ
−β
f)(x)
= (P
0
τ
−β
f)(x − β)

(gf) = g(P
β
f).
Đối với một đoạn tổng quát I = [α, β] ta chọn ε, ε

> 0 sao cho α + ε ≤
β − ε

và ta nhận thấy
P
α
P
β
f = χ
[α−ε,α+ε]
P
α
f + χ
[α+ε,β−ε

]
f + χ
[β−ε

,β+ε

]
P
β
f.

. Tương
tự, ta có
P
β
f = P
β
χ
[−∞,β−ε

]
f + P
β
χ
[β−ε,β+ε

]
f.
= χ
[−∞,β−ε

]
f + χ
[β−ε

,β+ε

]
P
β
f. (2.7)

[α,β]
phụ thuộc vào α, β, ε, ε

và các dấu mà ta
chọn tại α, β. Vì vậy, nếu α, β, ε và ε

là cố định thì việc chọn các dấu
cho ta 4 phép chiếu.
Cho biểu thức P
I
≡ P
[α,β]
, cái mà khác với cái đã nêu trong (2.8) đã thu
được bằng cách đưa ra hàm số b(x) = s
ε
(x − α)c
ε

(x − β).
Chúng ta coi b = b
I
như là một "hàm hình chuông" và phù hợp với
đoạn [α, β]. Quan sát thấy b phụ thuộc vào α, β, ε và ε

. Bằng cách tịnh
tiến đồ thị của b
ε
và b
ε


, β + ε

]
vii) b(x) = c
ε

(x − β),
viii) b(2β − x) = c
ε

(β − x) = s
ε

(x − β),
ix) b
2
(x) + b
2
(2β − x) = 1;
x) supp(b(.)b(2β − .) ⊆ [α −ε, α + ε] ;
xi) b
2
(x) + b
2
(2α −x) + b
2
(2β − x) = 1 trên supp(b).
















(2.9)
Không phải tất cả những tính chất trên là độc lập. Ví dụ như iv)
được suy ra từ ii) và iii). Có thể so sánh những điều kiện này với (1.11).
Dựa vào (2.5), định nghĩa P
α
và P
β
đã nêu ra trong (2.3) và (2.4),
những tính chất này chúng ta dễ dàng có được công thức mới sau đây
cho P
I
đối với "hàm hình chuông" b
(P
I
f)(x) = b(x){b(x)f(x) ± b(2α − x)f(2α − x)
±b(2β − x)f(2β − x)}
(2.10)
Quan sát công thức này ta thấy chúng ta có 4 cách chọn cho mỗi phép

(x − β);
b
J
= s
ε

(x − β)c
ε

(x − γ).
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn